Tema 6: Ejercicios de Inferencia con muestras...
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Tema 6: Ejercicios de Inferencia conmuestras grandes
Bernardo D’Auria
Departamento de Estadística
Universidad Carlos III de Madrid
GRUPO 83 - INGENIERÍA INFORMÁTICA
15 de Mayo 2008
Tema 6: Ejercicios de Inferencia con muestras grandes
Ejercicio I4 Y JUN1998
En una encuesta se pregunta a 10000 estudiantes de Bachillerato sobre suconsumo de refrescos semanal, encontrándose una media de 5 botes, conuna desviación típica de 2.Hallar un intervalo de confianza para el consumo medio de toda la poblaciónde estudiantes de Bachillerato, al 95%.
SOLUCIÓN:
[4.96, 5.04]
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Tema 6: Ejercicios de Inferencia con muestras grandes
Ejercicio I4 Y JUN1998
En una encuesta se pregunta a 10000 estudiantes de Bachillerato sobre suconsumo de refrescos semanal, encontrándose una media de 5 botes, conuna desviación típica de 2.Hallar un intervalo de confianza para el consumo medio de toda la poblaciónde estudiantes de Bachillerato, al 95%.
SOLUCIÓN:
[4.96, 5.04]
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Tema 6: Ejercicios de Inferencia con muestras grandes
Ejercicio I2 Y SEPT1999
Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche enuna provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de talforma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche.
a) Determinar un intervalo de confianza para la proporción de la poblaciónque poseen coche (α = 0.05).
b) Si se desease estimar dicha proporción con una precision de 0.02 y un95% de confianza, ¿a cuantas personas se debería encuestas?
SOLUCIÓN:a) [0.2101, 0.3898];
b) n ≈ 2017.
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Ejercicio I2 Y SEPT1999
Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche enuna provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de talforma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche.
a) Determinar un intervalo de confianza para la proporción de la poblaciónque poseen coche (α = 0.05).
b) Si se desease estimar dicha proporción con una precision de 0.02 y un95% de confianza, ¿a cuantas personas se debería encuestas?
SOLUCIÓN:a) [0.2101, 0.3898];
b) n ≈ 2017.
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Ejercicio I10
La longitud en cm, X, de las piezas fabricadas por una máquina es unavariable aleatoria con función de densidad
f (x) = λ2xe−λ x, x ≥ 0.
Se pide:a) La expresión del estimador máximo verosímil del parámetro λb) Calcula la varianza asintótica del dicho estimador de máxima
verosimilitudc) ¿Cuál sería el estimador de λ por el método de los momentos?
Se toma una muestra de tamaño 100 para la cual resulta una longitud mediade x̄ = 52.
d) Construir un intervalo de confianza del 95% para el parámetro λ.e) Contrasta con un nivel de significación de α = 0.05 si λ = 0.05.
Usa la funciónΓ(p) =
∫∞0 e−xxp−1dx, p > 0.
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Tema 6: Ejercicios de Inferencia con muestras grandes
SOLUCIÓN:
a) λ̂MV = 2/x̄;
b) Var[λ̂MV] = λ2/2n;c) Sale el mismo que el de máxima verosimilitud;d) [0.03267, 0.04333];e) Se rechaza esa hipótesis con α = 0.05.
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Ejercicio I13 Y SEPT2005
Se dispone de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la variable aleatoria X defunción de densidad
f (x) =12θ3x2e−θ x x, θ > 0.
a) Determina el estimador de máxima verosimilitud de θ;b) Demuestra que la varianza de dicho estimador (que denotaremos por θ̂MV) para
muestras grandes es Var[θ̂MV] = θ2
3n ;
c) Calcula el valor de θ̂MV y de V̂ar[θ̂MV] para una muestra de tamaño n = 250 donde∑i xi = 432.
d) Construye un intervalo de confianza para θ utilizando la información del apartadoanterior.
SOLUCIÓN:a) θ̂MV = 3/x̄;
c) Var[θ̂MV] = 0.004;
d) [1.61, 1.86].
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Ejercicio I13 Y SEPT2005
Se dispone de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la variable aleatoria X defunción de densidad
f (x) =12θ3x2e−θ x x, θ > 0.
a) Determina el estimador de máxima verosimilitud de θ;b) Demuestra que la varianza de dicho estimador (que denotaremos por θ̂MV) para
muestras grandes es Var[θ̂MV] = θ2
3n ;
c) Calcula el valor de θ̂MV y de V̂ar[θ̂MV] para una muestra de tamaño n = 250 donde∑i xi = 432.
d) Construye un intervalo de confianza para θ utilizando la información del apartadoanterior.
SOLUCIÓN:a) θ̂MV = 3/x̄;
c) Var[θ̂MV] = 0.004;
d) [1.61, 1.86].
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