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Tema 59. Técnicas de obtención y representación de datos

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 59. Técnicas de Obtención y Representación de

datos

1. Introducción

La representación de datos o “estadísticas” sobre pertenencias o características de cualquier comunidad (estado, pablado, etc) fue una de las primeras inmersiones del hombre en el campo científico. Desde los primeros recuentos de ganado o las modernas “estadísticas oficiales” realizadas por ordenador hay una avance notable, pero el fin sigue siendo el mismo, el de administrar y controlar de forma eficiente los recursos disponibles.

Estas técnicas estadísticas en la actualidad son realizadas por estados, empresas, bancos, sociólogos…y los podemos encontrar en los medios de comunicación. Responden a estudios relaticos al crecimiento económico, el crecimiento en precio, población activa, crecimiento demográfico, etc.

En este tema abordaremos las formas de obtener y representar los datos, así como posibles errores y tendenciosidades más comunes.

2. Obtención de datos.

Los errores más comunes en las estadísticas suelen provenir de la obtención de los datos ,

es por esto que esta etapa es esencial y debe ser preparada con meticulosidad.

Estableceremos los siguientes pasos a la hora de recopilar la información:

- Fijar la población de estudio

- Característica de estudio.

- Delimitación del conjunto a realizar la encuesta.

- El cuestionario y la recogida de datos

- Elaboración de resultados

- Distribución de resultados.

1. Fijar la población de estudio: el primer paso será fijar el conjunto de elementos o

individuos que nos interesa estudiar y sobre los cuales vamos a realizar la estadística. El

conjunto de todos los individuos o elementos sobre los que vamos a hacer el estudio se

denomina población o universo. Cada uno de los elementos que lo forman se suelen

denominar individuos o unidades estadísticas. La población pueden ser personas de una

localidad, piezas de una producción, llamadas a un operador, etc. El número total de

elementos que forman parte de la población se denota por lo general con la letra N

2. Característica de estudio: una vez fijada la población tendremos que ver que característica

o características de la misma son objeto del estudio. Debemos establecer la forma de

medir esta característica con el objetivo de que esta sea homogénea para todas aquellas

unidades estadísticas en las que hagamos la medida. Es importante fijar perfectamente lo

que entendemos como característica. Por ejemplo si estudiamos el número de

habitaciones de las casas de un país tendremos que explicar previamente que entendemos

como habitación.

En las estadísticas oficiales es muy importante que se sigan las mismas reglas en los

diversos lugares donde se realizan las encuestas. Por ejemplo en las estadísticas de

sanidad se estudia el número de bebes fallecidos durante el parto. Es necesario fijar

claramente hasta que tiempo se considera que el bebe fallecido es por el parto.



Las características pueden clasificarse en:

a) Cuantitativas: son aquellas que son numerables y se describen por tanto mediante

valores numéricos. A su vez pueden ser de dos tipos:

a.1 Discretas: se describen mediante un conjunto finito y numerable de elementos que

son cuantificables. Ejemplos: número de hijos de una madre.

a.2. Continua: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, por ejemplo los

metros cuadrados de una casa.

b) Cualitativas: describen la característica de forma no numérica, por ejemplo el color, la

forma, la opinión (favorable, no favorable…), idioma. A veces se establece un código

que representa una opción cualitativa.

3. Delimitación del conjunto a realizar la encuesta: aunque lo deseable es que en la

encuesta participen todos los N individuos que forman parte de la población (censo) esto

no siempre es posible por cuestiones económicas, temporales, imposibilidad de llegar a

todos los individuos, etc. Para estos casos lo que se hace es tomar una parte de la

población, muestra (consideraremos que tiene n elementos), donde todos los individuos

de la muestra han sido elegidos por procedimientos basados en la aleatoriedad o el

conocimiento de la característica de estudio. La elección de la muestra no debe generar

sesgo, es decir todos ningún conjunto de individuos no estar marginadas en la encuesta.

Siempre hay que darse cuenta que aun sin sesgo el azar puede hacer que la muestra no

sea del todo representativa de la población de estudio.

4. El cuestionario: es el documento donde se anotan las características observadas para

cada unidad estadística. Puede presentarse de dos diferentes formas:

a. Cuestionario individual: a cada individuo encuestado se le entrega un documento

individual donde contestar las características estudiadas.

b. Cuestionario en lista: se presenta en forma de tabla de manera que en la fila o

columna se encuentran las características y en la fila (columna) los individuos

encuestados.

Las características fundamentales de un buen cuestionario son: a) comodidad para las

personas encuestadas, b) precisión para las preguntas formuladas, c) poca iniciativa a los

encuestados (preguntas cerradas), d) incluir lo esencial. Para asegurar la veracidad de los

datos es importante si el cuestionario se hace a personas que se les asegure el anonimato.

Existe en este sentido cada vez más legislación para la protección de datos.

Siempre se tiene que tener en cuenta las siguientes consideraciones: 1) las respuestas no

siempre tienen que ser sinceras, 2) la respuesta no indica lo que el individuo piensa sino lo

que quiere hacer ver al encuestador que piensa.

5. Elaboración de los resultados: una vez recogida la información se comprueban los

cuestionarios se organizan y se obtienen los resultados deseados. Estos resultados pueden

venir en forma de tablas o gráficos estadísticos como veremos en apartados siguientes.

6. Distribución de los resultados: una vez obtenidos y elaborados los resultados es

interesante hacer estos públicos a una parte de la sociedad o a toda según se estime. Por

ejemplo los resultados de una empresa de la productividad de sus empleados no se hará

pública, en cambio las estadísticas oficiales (como el paro) son generalmente públicas.Para

científicos las estadísticas realizadas se publicarán en revistas o congresos especializados.



3. Tablas estadísticas.

Una vez obtenida la información (datos) sobre los individuos de nuestra población (bien

por censo o por muestreo) se deben ordenar y resumir. Para ello, y en especial las

características cuantitativas discretas y cualitativas, el primer paso es el recuento de

respuestas idénticas.

3.1. Variables discretas y cualitativas

Estas dos variables se trabajan en las tablas de la misma forma ya la característica de

estudio tiene un número limitado de posibles valores (numéricos o cualitativos). Veamos

algunas magnitudes que nos permiten resumir la información de la estadística:

1. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite cada dato. Generalmente los

datos se representan como x1, x2, …, xk y a sus frecuencias absolutas se denotan con

f(xi) o fi. Se cumple que si interviene n individuos en la encuesta ∑=

=k

i

i nf1

.

2. Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y n, número de

individuos de la muestra. Se denota como hi o fri. Así n

fhfr i

ii == (nota∑=

=k

i

ih1

1).

3. El porcentaje: que representa la proporción en tanto por cien de cada una de los

datos. Se representa como pi, y se calcula como pi=fri·100 (se cumple 0011

∑=

=k

i

ip ).

4. Frecuencia relativa acumulada (solo variables cuantitativas): es el número de

elementos con valor de x menor o igual que xi. Se denota como Fi, y se calcula como

∑=

−+==

i

j

iiii fFfF1

1 . Se cumple que Fk=n.

5. Frecuencia relativa acumulada (sólo variables cuantitativas): es cociente de la

frecuencia absoluta acumulada entre n. Se denota como Hi y se cumple que su valor se

calcula como n

FhH i

i

j

ji ==∑=1

. Lógicamente se cumple que Hk=1.

6. Porcentaje acumulado (sólo variables cuantitativas): es la suma de todos los valores

porcentuales hasta esa categoría. Se denota como Pi y se calcula de diferentes maneras

∑=

==i

ij

iji HpP 100· .

Ejemplo: números de hijos={1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5}

xi fi hi pi Fi Hi Pi

1 5 0.25 25% 5 0.25 25%

2 8 0.4 40% 13 0.65 65%

3 4 0.2 20% 17 0.85 85%

4 2 0.1 10% 19 0.95 95%

5 1 0.05 5% 20 1 100%

Total 20 1 100%



3.2. Variable continuas

Cuando la variable toma valores en un intervalo o toma datos muy diversos donde se

repiten muy poco los resultados, no tiene lógica hacer la tabla de frecuencias de los mismos

pues todos tendrían frecuencia unidad. La forma de proceder para estos valores es agruparlo

en intervalos o clases y calcular las frecuencias para dichos intervalos. Las variables a utilizar

son las mismas que en las variables discretas.

La dificultad surge de cómo agrupar los datos, antes veremos una serie de definiciones:

1. Amplitud del intervalo: es la diferencia entre la cota superior, Mi, y la inferior, mi:

Ai=Mi -mi . Se pueden trabajar con intervalos de diferente amplitud, aunque lo normal

es que sean iguales.

2. Marca de clase: es el punto medio del intervalo.Se calcula como la semisuma de los

dos extremos 2

ii

i

mMx

+= . Suele utilizarse de forma aproximada, y por sencillez de

cálculos, como el valor representativo de todas las magnitudes que están en el

intervalo.

3. Rango: es la diferencia entre el valor máximo de la variable y el mínimo, se denota

como R, siendo R=Xmax-Xmin

Cuando tengamos una serie de datos y queremos construir los intervalos se nos plantean

cuantos intervalos deberíamos construir y como debes ser. Aunque los intervalos pueden ser

utilizar como se deseen, la información será productiva si se realizad de forma adecuada

siguiendo las siguientes pautas, con un compromiso entre: un único intervalo (perdemos

información de los datos) y tantos intervalos como datos (variable discretas).

Para determinar el número de intervalos, k, hay varias leyes:

1. Ley de Sturgues: )(log1 2 nk +≈ (con k entero)

2. Ley de la raíz: nk ≈

Si son intervalos de la misma amplitud esta amplitud, a, se calculará como k

Ra = ,

construyendo los intervalos a partir del valor mínimo y sumando la amplitud: I1=[xmin,xmin+a),

I2=[xmin+a, xmin+2ª), , Ik=[xmax-a, xmax]. A veces con el fin de que los extremos de los intervalos

sean exactos se modifica el intervalo disminuyendo la cota inferior y/o aumentado la superior.

Ejemplo: metros cuadrados de 20 viviendas: 30, 38, 45, 50, 62, 75, 76, 78, 82, 95, 100, 110,

115, 120, 125, 128, 130, 160, 177.

..32,5)20(log1 2 =+≈k o 47,420 =≈k � k=5 � 4.295

30177=

−=a . Podemos

aumentar el rango 3 unidades (hasta 180 por ejemplo) y así tenemos que 305

30180=

−=a



Ii xi fi hi pi Fi Hi Pi

[30, 60) 45 4 0.2 20% 4 0.2 20

[60, 90) 75 5 0.25 25% 9 0.45 45

[90,120) 105 4 0.2 20% 13 0.65 65

[120, 150) 135 5 0.25 25% 18 0.9 90

[150, 180] 165 2 0.1 10% 20 1 100

Total [30,180] 20 1 100

Cuando tenemos variables discretas pero con muchos valores diversos de la característica X se suele trabajar también con intervalos.

4. Gráficas estadísticas

Los gráficos son una forma de presentar la información estadística de forma que sea muy

intuitiva de valorar. En este punto veremos diferentes tipos de gráficas diferenciando entre sí

los cuantitativos discretos y cualitativos de los cuantitativos continuos.

4.1. Gráficos para características cualitativas y cuantitativas discreta

La representaciones más usadas para este tipo de datos son los conocidos diagramas de

barras y los gráficos por sectores. Veamos cada uno de ellos por separado

1. Diagrama de barras: se representa en el eje de coordenadas los distintos valores que

toman los datos (si son numéricos separados de forma proporcional a su valor y si son

cualitativos equiespaciados) siendo la altura de la barra igual al valor de la frecuencia

absoluta, relativa o el tanto por ciento (da igual cual porque son proporcionales). Por

ejemplo para la estadística del ejemplo la gráfica será:

A veces los diagramas de barras se ponen en columnas (cambiar eje OX y OY).

Alguna vez en características cuantitativas se añaden a la gráfica las frecuencias

acumuladas, obteniendo una línea escalonada. Para características cualitativas aunque la

ordenación puede ser aleatoria se puede optar por los diagramas de Pareto donde se ordena

los datos de más a menos frecuencia absoluta, incluyéndose además la gráfica de frecuencias

acumuladas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5

Hijos



2. Diagrama de sectores: cuando el número de valores de la característica x no es muy

grande uno de los gráficos más usados es el del diagrama de sectores. Es muy utilizado

en las votaciones. Se trata de un círculo dividió en sectores circulares donde el ángulo

del sector se relaciona de forma directamente proporcional al porcentaje de la

característica.

Los gráficos suelen venir acompañados de las frecuencias relativas o por los

porcentajes. En ocasiones las clases con menos porcentaje se unen en un mismo

sector circular (partidos minoritarios). Veamos un ejemplo.

4.2. Gráficas para características continuas.

Cuando tenemos variables continuas con las variables agrupadas en intervalos la gráfica más utilizada es el denominado histograma. En el histograma se representan los intervalos o clases en el eje de abscisas, siendo el ancho de la barra proporcional al rango de cada intervalo. La altura de la barra se calcula de forma proporcional al porcentaje o a la frecuencia relativa de la característica en este intervalo. A diferencia de los diagramas de barras las barras en este caso se encuentran pegadas unas con otras.

En ocasiones los histogramas suelen incluir los polígonos de frecuencia absoluta, construidos uniendo los puntos medios del lado de la barra de los rectángulos. Veamos en el ejemplo realizado anteriormente.


Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

4.3. Otras representaciones gráficas.

Existen numerosas técnicas para representar de forma atractiva la información

Veamos alguno de ellos:

1. Pictograma: utiliza dibujos alusivos a los temas que estamos estudiando haciendo que

las dimensiones del dibujo sea proporcional a la correspondiente frecuencia o

repitiendo varios de ellos. Veamos un ejemplo:

2. Pirámides de población:

proporcional a la cantidad de personas que representa la edad y sexo de la población

en cada una de dichas barras. Gráficamente se trata de un doble histograma de

frecuencias. Las barras del doble histograma se disponen en forma horizontal, es decir,

sobre la línea de las abscisas, y convencionalmente se indican los grupos de edad de la

población masculina a la izquierda y los que representan la población femenina a la

derecha. A su vez, en el eje de las ordenadas se disponen e identifican los grupos de

edad, por lo general, de cinco en cinco años o llamados quinquenales: (0 a 4, 5 a 9, 10

4

0

1

2

3

4

5

6

[30, 60) [60, 90)

Técnicas de obtención y representación de datos

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

Otras representaciones gráficas.

Existen numerosas técnicas para representar de forma atractiva la información

: utiliza dibujos alusivos a los temas que estamos estudiando haciendo que


repitiendo varios de ellos. Veamos un ejemplo:

Pirámides de población: gráfico de barras dispuestas horizontalmente cuya longitud es



cias. Las barras del doble histograma se disponen en forma horizontal, es decir,



echa. A su vez, en el eje de las ordenadas se disponen e identifican los grupos de


5

4

5

2

[60, 90) [90,120) [120, 150) [150, 180]

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Existen numerosas técnicas para representar de forma atractiva la información estadística.

: utiliza dibujos alusivos a los temas que estamos estudiando haciendo que


gráfico de barras dispuestas horizontalmente cuya longitud es



cias. Las barras del doble histograma se disponen en forma horizontal, es decir,



echa. A su vez, en el eje de las ordenadas se disponen e identifican los grupos de


[150, 180]



a 14, etc.), colocando las barras de menor edad en la parte inferior del gráfico y

aumentando progresivamente hacia la cúspide las edades de cada intervalo.




mentando progresivamente hacia la cúspide las edades de cada intervalo.

8


mentando progresivamente hacia la cúspide las edades de cada intervalo.



Según la forma de la pirámide nos indica si la población es joven (pirámide con mucha

base y cada vez más estrecha) típica de los países en vías de desarrollo, o envejecida

(pirámide con barras de edades entre 30 y 60 años muy grande) típica de países

desarrollados. A veces hay pirámides desequilibradas en un sexo por posibles

migraciones de un sexo

3. Diagrama de series temporales

diferentes periodos temporales, ordenando las clases según un orden cronológico o

uniendo los puntos que relacionan el instante temporal y su frecuencia. Un caso

particular y uno de los más importantes son los

precipitaciones se representan por diagramas de barras y las temperaturas por

diagrama de series temporales.





mide con barras de edades entre 30 y 60 años muy grande) típica de países

A veces hay pirámides desequilibradas en un sexo por posibles

migraciones de un sexo, guerras u otros motivos.

Diagrama de series temporales: en muchas ocasiones las clases corresponden a



particular y uno de los más importantes son los climogramas


diagrama de series temporales.

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mide con barras de edades entre 30 y 60 años muy grande) típica de países

A veces hay pirámides desequilibradas en un sexo por posibles

clases corresponden a



climogramas: donde las




5. Tendenciosidad y errores más comunes

Los errores en una estadística pueden ser de dos tipos: involuntarios o voluntarios,

también llamados tendenciosidades.

Los errores involuntarios suelen surgir en la recogida de la información, intentando que

todos los individuos de la población sean igualmente probables de participar en la muestra

que representa la población.

Tendenciosidades más comunes: Existen varios tipos de errores estadísticos que muchas

veces uno comete de manera consciente para manipular la opinión de la gente. Algunas veces,

los datos son tantos que se debe “seleccionar” con el objetivo de hacerlos más fáciles de

entender; sin embargo, parte de la historia también desaparece:

1) La media no nos da toda la información que se desea. Por ejemplo si los sueldos de los

españoles que sube es la de los que más dinero ganan el promedio de los sueldos en

España aumenta, pero la información será sesgada si solo damos la información de la

media. Mucha información se pierde si sólo calculamos promedios. Es importante que

los resúmenes estadísticos nos informen de otros datos importantes, como el rango, la

mediana o los cuartiles y percentiles.

2) En la visualización de datos, el tamaño generalmente sí importa. Dale un vistazo a los

dos diagramas a continuación.

Imagina el encabezado de ambas gráficas. El de la izquierda se podría llamar “El gasto

en Salud Pública en Finlandia incrementa“, pero la gráfica de la derecha se podría

llamar “El gasto en salud pública en Finlandia se mantiene estable”…pero ambas

gráficas son las mismas en diferente escala.

3) Las líneas del tiempo también son elementales para los mostrar datos. Mira el

esquema a continuación.



¿Existe un claro incremento de los gastos en salud pública desde el 2002? No. Date

cuenta de que, antes de 2004, la gráfica se representa de forma anual. Pero existe un

salto de 3 años del 2004 al 2007, y de dos años del 2007 al 2009. Esta gráfica nos hace

creer que, desde 2002, los gastos en salud pública crecieron a partir de ese año, pero

no es así. Si tienes que trabajar con líneas de tiempo, asegúrate que las escala o lapso

de tiempo sean iguales. Solo así podrás entender las tendencias.

4) Por ciento vs porcentaje : Éste es un error muy común para la mayoría de nosotros. Si

una valor cambia de 5% a 10%, ¿cuánto por ciento cambió?

¡Si tu respuesta es 5%, es un error! La respuesta es 100% (Imagina que tienes 5

manzanas y te dan 10; tienes ahora tienes 100% más).

6. Conclusiones.

Las tablas y gráficas estadísticas se imparten desde el 3er curso de secundaria, los alumnos

deben ser capaces de realizarlas así como de interpretarlas. Las tablas son también una

herramienta que nos permite calcular los parámetros estadísticos más importantes como la

media, la mediana o la varianza.

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