Tema 5 Variables Aleatorias

TEMA 5Variables aleatorias

Resumen de contenidos

Concepto de variable aleatoria. Función de distribución. Caso discreto.Función de probabilidad. Esperanza. Varianza. Momentos. Caso continuo.Función de densidad. Esperanza. Varianza. Momentos. Funcióngeneratriz. Propiedades de la esperanza y la varianza. Transformaciones

Se estudian las variables aleatorias tanto en el caso discreto como en elcaso continuo. Especial interés tienen los conceptos de función dedistribución, función de probabilidad, función de densidad, esperanza,varianza y función generatriz de momentos.

VARIABLES ALEATORIAS

Variable aleatoriaEn los fenómenos de naturaleza aleatoria existen determinadas

características de interés que reciben la denominación de variablesaleatorias. En general, son medidas que se establecen sobre cada sucesoobservado. A falta de una definición más rigurosa, podemos indicar queuna variable aleatoria X es una aplicación:

: Ω, → ,

de forma que ∀ ⊆ , .

Se observa que la definición de p se hace, a través de , a partir de laprobabilidad P definida sobre Ω.

EjemploAl lanzar un dado cúbico equilibrado dos veces, estamos interesados en la

suma de las puntuaciones observadas en las caras superiores. En estecaso, la variable X toma los valores: 2,3,4,5,2,7,8,9,10,11,12

En este caso, Ω , | , ∈ 1, … , 6 .

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Obtenemos:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Ya que, por ejemplo:

4 1,3 , 2,2 , 3,1336

Función de distribuciónA toda variable aleatoria X se le asocia una función de distribución:

: → 0,1

tal que ∀ ∈ , ∞, ∈ Ω| y verificando:

1 ∞ 0, ∞ 12) F es monótona no decreciente: Si ,3) F es continua por la derecha:lim

→

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

EjemploAl lanzar una moneda equilibrada dos veces, nos interesamos por el

número de caras obtenidas. La correspondiente variable, X, toma losvalores 0, 1 y 2. Las probabilidades asignadas aparecen a continuación:

0 1 214

24

14

0, 014 , ∈ 0,134 , ∈ 1,21, 2

0 1 2

x. ..

14

14

..34

1

EJEMPLO

Una variable aleatoria transforma sucesos en subconjuntos de númerosreales (medidas). En consecuencia, el fenómeno aleatorio adquiere unaexpresión numérica que, por las propiedades conocidas de los númerosreales, resulta más manejable.Por tanto, las probabilidades de los sucesos se expresan en probabilidadesde subconjuntos de R. Es importante, entonces, saber calcularprobabilidades de subconjuntos de R.

Al ser ∞, , podemos utilizar la función de distribución paracalcular las probabilidades de los intervalos de R:

,,,,

lim→

Como , , .

En consecuencia, a través de X, los números reales que tienen probabilidad positiva son los que corresponden a puntos de discontinuidad de F.

PRBABILIDADES DE INTERVALOS

0, 014 , ∈ 0,134 , ∈ 1,21, 2

Para el caso anterior:

12 ,32

32

12

12

1,2 2 134

0,1 1 014

1 1 112

54

54

54 0

EJEMPLOS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Una variable aleatoria es discreta si su función de distribución esescalonada con un número finito o numerable de saltos.

Esto se puede traducir en que una variable aleatoria es discreta si elconjunto de puntos con probabilidad positiva es finito o numerable.

Ejemplos1)

1 2 3 4 515

15

15

15

15

2) 0,1,2,3, … , , 0,1,2,3, …

Características de las variables aleatorias discretasFunción de probabilidadUna variable aleatoria discreta queda determinada por su función deprobabilidad o función de masa. Como ocurre en los ejemplos anteriores,dicha función indica cuáles son las probabilidades asociadas a los distintosvalores que toma la variable.


La función de probabilidad debe verificar:a 0, ∀b ∑ 1

EsperanzaSi X es una variable discreta que toma los valores , para ∈ , con Idiscreto o numerable, ∑ ∈ .La esperanza es una medida de centralización.Toma un valor dentro delrango de variación de la variable.

Para el ejemplo 1 de la diapositiva anterior, ∑ 3.Para el ejemplo 2 de la diapositiva anterior:

23

13

23

13

2319

2


VarianzaSi X es una variable discreta que toma los valores , para ∈ , con I discreto o numerable, ∑ ∈ .Alternativamente, ∑ ∈ .

La varianza es una medida de dispersión de los valores de la variablerespecto al valor de la esperanza.

Para el ejemplo 1 anterior, ∑ 9 9 9 2

Para el ejemplo 2 anterior, ∑ 4

Desviación TípicaEs la raíz cuadrada de la varianza. Se nota por .

MomentosEl momento de orden k respecto al origen es:

∈La esperanza es el momento de orden 1 respecto al origen.


El momento de orden k respecto a la media es:

∈La varianza es el momento de orden 2 respecto a la media.

VARIABLES ALEATORIAS COTINUAS

Una variable aleatoria es continua si su función de distribución es continua.

Prescindiendo de ser más rigurosos, podemos indicar que las variablesaleatorias continuas están caracterizadas por una función de densidad. Lafunción de densidad, : → , viene a desempeñar el papel de la función deprobabilidad del caso discreto y debe verificar las propiedades:

• 0, ∀ ∈• 1

En la misma línea de planteamiento, indicaremos que la relación existente entre la función de distribución y la función de densidad es:

Suponiendo que f tiene las propiedades adecuadas, se verifica que ′ =

Además, la probabilidad de un determinado subconjunto A de R se puedecalcular de la forma:


EjemploSea X la variable aleatoria que toma valores, con igual probabilidad, en elintervalo , .

Claramente, su función de distribución es:0,

, ∈ ,

1,

La función de distribución es continua.Su función de densidad es:

0, , ∈ ,0,

Habitualmente se escribe la función de densidad sólo para el conjunto donde toma valores distintos de cero.Para el caso anterior, basta con escribir:

1, ∈ ,


Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad ,definimos:

Esperanza

Varianza

MomentosEl momento de orden k respecto al origen es:

El momento de orden k respecto a la media (esperanza) es:

Es obvio que , y


Ejemplo

Si X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es:

3 , 0

313 ,

3 ,

PROPIEDADESSi h es una función, el trabajo previo sugiere que:

En el caso discreto bastará cambiar integral por sumatorio y función dedensidad por función de probabilidad.

Función generatriz de momentosEn el caso particular en que , siendo t un parámetro real,definimos como la función generatriz de momentos de X.

En el caso de que existan, las sucesivas derivadas de g en 0 determinan los respectivos momentos de X respecto al origen. Ejemplo

Si X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es:3 , 0

3 1 3

′ 013 ′′ 0

29

PROPIEDADES

Dadas una variable aleatoria X y una constante K, para la esperanza y la varianza se tiene que:

. . . .

EjemploSi X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es:

4 , 0Para

43

112 ,

1144

. .112

TRANSFORMACIONES

Dada una variable X, puede resultar de interés la variable aleatoria ,siendo h una transformación o función de X. Casos particulares de estastransformaciones ya han sido utilizados en el cálculo de la varianzas, en elcálculo de los momentos y en la determinación de la función generatriz.Podría interesarnos, no obstante, encontrar la función de distribución, lafunción de probabilidad, la función de densidad,… de la variable

EjemploSea Xla variable discreta con función de masa:

1 2 3 41/5 2/5 1/5 1/5

La variable tiene función de masa:

1 8 27 641/5 2/5 1/5 1/5

Ejemplo

Dada X, variable aleatoria continua cuya función de densidad es:4 , 0

determinar la función de densidad de 3 2

Si F es la función de distribución de X y G es la función de distribución de Y

3 22

32

3

Por tanto, la función de densidad de Y es:

´13

23

43 , 2

TRANSFORMACIONES

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