Tema 5: Teoría de colas

Ezequiel López RubioDepartamento de Lenguajes y

Ciencias de la ComputaciónUniversidad de Málaga

Sumario

Conceptos básicosCola M | M | 1Cola M | M | cCola M | M | 1 | kRedes de colas

Redes de Jackson abiertasRedes de Jackson cerradas

Conceptos básicos

Concepto de cola

Una cola es una línea de espera para determinado servicio

Este servicio lo proporciona uno o varios dependientes

La teoría de colas analiza la causa de la formación de la cola, que es la existencia de momentos en los que hay una mayor demanda de servicio que la capacidad de servicio

Clasificación de sistemas de colas

Llamaremos clientes, trabajos o tareas a los que demandan servicio, y dependientes, empleados o servidores a los que ofrecen servicioUn sistema de colas viene dado por varias características:

1º Modelo de llegada de clientes, El índice de llegadas será el número medio de llegadas por unidad de tiempo, Alternativamente podemos usar el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadas sucesivas

Clasificación de sistemas de colas

2º Modelo de servicio, Puede venir dado por el tiempo de servicio o por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo, Tendremos una variable aleatoria o bien un servicio determinista, Aquí supondremos que el modelo de servicio es independiente del de llegada3º Disciplina de la cola, Establece el orden en que se va atendiendo a los clientes:

Por orden de llegada (FIFO)Por orden inverso al de llegada (LIFO)Selección aleatoria (RANDOM)Según prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos:

Con interrupción, Si llega un cliente de más prioridad, el trabajo que se estaba sirviendo se interrumpe para atenderloSin interrupción, No se pueden interrumpir los trabajosDentro de cada clase de prioridad se podrán aplicar disciplinas LIFO, FIFO o RANDOM,

Clasificación de sistemas de colas

4º Capacidad del sistema, Es el número máximo de clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Si llega un cliente y el sistema está lleno, se marcha,5º Número de canales de servicio, Es el número de dependientes, Puede haber una cola para cada dependiente o bien una sola cola global6º Número de estados de servicio, Puede haber varias partes en las que se subdivide el trabajo (estados), cada una con su cola y su dependiente, que deben ser completadas sucesivamente, P, ej,, tres estados:

Notación de KendallLa notación de Kendall nos permite escribir resumidamente todas las características que hemos estudiado, Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde:

A es el modelo de llegadas, Valores posibles:M=tiempos entre llegadas exponencialesD=tiempos entre llegadas deterministasG=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución)

B es el modelo de servicio, Puede tomar los mismos valores que A

Notación de KendallX es el número de dependientes (servidores)Y es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), Se puede omitir si es infinitaZ es la disciplina, Se puede omitir si es FIFOV es el número de estados de servicio, Se puede omitir si es 1

Por ejemplo, M | M | 1 | ∞ | FIFO | 1 se escribe abreviadamente M | M | 1

Medidas de rendimiento

Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo es evaluar su rendimiento, Para ello tenemos varias medidas de rendimiento:

Número medio de clientes en el sistema, notado LTiempo medio de espera de los clientes, WNúmero medio de clientes en la cola, Lq

Tiempo medio de espera en cola de los clientes, Wq

Cola M | M | 1

Descripción del modeloHay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFOLas llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón λ, donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/λ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(λ)Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(μ), de tal manera que μ es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/μ es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturaciónSe demuestra que si λ≥μ, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

μλρρ =< donde,1

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

ProbabilidadesEl parámetro ρ se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlosSuponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n∈N:

( )ρρ −= 1nnp

Medidas de rendimientoEl número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así:

( ) ( )∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

−=−==000

11j

j

j

j

jj jjpjL ρρρρ

Sumamos la serie aritmético-geométrica:...432 432 ++++= ρρρρS

...32 432 +−−−=− ρρρρS

( )ρ

ρρρρρρ−

=++++=−1

...1 432S

( )( ) ρ

ρρρρ

−=

−−=⇒

111 2L

Medidas de rendimientoLa utilización del dependiente, notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él:

ρμλμλ ==⇒= UU

Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1

Medidas de rendimientoEl tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

( )μμμμμ11111

000

+=+=+= ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

LppjpjW jj

jj

jj

Tiempo que se pasaen el sistema sihay j por delante

al llegar

Probabilidad de quehaya j por delante

al llegar

Medidas de rendimientoPodemos simplificar algo más:

λμμμ −=+=

11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):

μ1

−=WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

λμρ−

=qW

EjemploUnos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante de dependiente, pagado con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 minNota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

EjemploTenemos dos opciones:

Sin ayudante: 1/μ1 = 5 min = 1/12 hCon ayudante: 1/μ2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, λ = 10 clientes/hOpción 1 (sin ayudante):

mecánicos5

12101

1210

1;

1210

1

111 =

−=

−==

ρρρ L

Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h

EjemploOpción 2 (con ayudante):

mecánicos2

15101

1510

1;

1510

1

112 =

−=

−==

ρρρ L

Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son 24€/hEn la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2 perdemos 24€/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2,

Más medidas de rendimientoEl número medio de trabajos en la cola Lq, se calcula restándole a L el número medio de trabajos que están siendo servidos:

( )ρ

ρρρ

ρρ−

=−−

=−=−−=11

12

0 LpLLq

Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en el sistema:

( ) WtetW /−=

( ) Wtq etW /−= ρ

Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en la cola:

EjemplosEjemplo: Un canal de comunicación se usa para enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno central, Cada fuente envía paquetes de datos según un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg, Además cada fuente envía independientemente de las otras, Todos los paquetes son idénticos, esperan en una cola común y después se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisión se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el número máximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:

Ejemplos1º El canal no se sature

Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, Por otro lado, 1/μ = 0,025 seg ⇒ μ= 40 paquetes/segEl canal no se satura cuando ρ<1:

fuentes2012040

2<⇒<=== kkk

μλρ

Ejemplos2º En media los paquetes no pasen en el sistema más de 100 mseg

Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos μ = 40 paquetes/segNos exigen W≤0,1 seg:

fuentes151,0240

11≤⇒≤

−=

−= k

kW

λμ

Ejemplos3º En el estado estacionario se garantice que al menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 mseg

Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos μ = 40 paquetes/segNos exigen que la probabilidad de que un paquete pase más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)≤0,05:

( ) ( ) ⇒≤−⇒≤⇒≤ −− 05,0ln42,005,005,01,0 2401,0 keW k

)k que (ya fuentes 5021,52,0

05,0ln4 N∈≤⇒≤⇒+

≤ kkk

EjemplosEjemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros λy μ se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parámetros λ/n y μ/n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en el sistema

μλ

μ/nλ/n

μ/nλ/n

…

EjemplosAlternativa 1 (una sola cola), λ1=λ, μ1= μ :

λμλ

ρρ

−=

−=

1

11 1

L

λμλμ −=

−=

11

111W

Alternativa 2 (n colas independientes), λ2=λ/n, μ2=μ/n :

12

2

1 2

22 1111

nLnnnnL

n

n

n

nn

i=

−=

−=

−=

−=

−=∑

= λμλ

μλμ

λ

ρρ

ρρ

μ

λ

μ

λ

Ejemplos

122

2111 nWnW

nn

=−

=−

=−

=λμλμ λμ

Como la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento, concluimos que la dicha alternativa es mejorEsto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir, tener un único servidor que atienda a todos los clientes

Teorema de LittleSea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y λ la razón de llegadas al sistema, Entonces:

WL λ=

Teorema de LittleExplicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias:

Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los λtrabajos que vea pasar por unidad de tiempoCada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema

Teorema de LittleSi aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil:

qq WL λ=

Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explícitos

Cola M | M | c

Descripción del modeloHay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y c servidores, La disciplina será FIFOLas llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón λ, donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/λ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(λ)Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(μ), de tal manera que μ es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/μ es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturaciónSe demuestra que si λ≥cμ, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

μλρρc

donde =< ,1

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

ProbabilidadesSuponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n∈N:

( )( ) 1

1

00 !1!

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= ∑

c

n

ncc

nc

ccp ρ

ρρ

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=

=

caso otroen ,!

,...,1,0 si ,!

0

0

pc

c

cnpn

c

pnc

n

nρ

ρ

Medidas de rendimientoNúmero medio de clientes en cola:

( )20

1

1! ρρ−

=+

cpc

Lcc

q

Usamos razonamientos ya vistos para obtener:

μ1

+= qWW

qq WL λ= WL λ=

Otras medidas de rendimientoNúmero medio de servidores ocupados, S, En el estado estacionario, la razón de las salidas será igual a la razón de las llegadas:

ρμλλμ cSS ==⇒=

Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (fórmula de retraso de Erlang):

( )ρρ−

=1!

0

cpcq

cc

Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

μλ λμ/2

μ/2

Alternativa 1: Alternativa 2:

EjemplosAlternativa 1:

ρρ−

=11L

Alternativa 2:

ρμλ

μλρ ===

22

2

( )( ) 1

12

0

22

02 !2

1!22

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= ∑

n

n

np ρ

ρρ

Ejemplos

( ) ( )

12212

02 124422421

124

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

ρρρρρρ

ρρp

( ) ρρ

ρρ

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=−

11

1222

1

02p

ρλμλλλλ

μ221

222

222 +=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== qqq WWWWL

( )( )

( ) ( )ρ

ρρρρρ

ρρρ 2

11122

1242 2

3

202

3

22 ++−

−=+

−=+=

pLL q

Ejemplos

( )( ) ( )( ) ( )( )ρρρ

ρρρρρρ

ρρρ

+−=

+−−+

=++−

=11

211

222211

2 333

2L

( )( ) ρρρ

ρρρ

ρρ

+<⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>−

⇒−+

<− 1

210111

21

Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de cumplirse que L1<L2:

121 <⇒<+⇒ ρρComo ρ<1 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no conviene dividir la capacidad de procesamiento en dos servidores

EjemplosEjemplo: Usando el número medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

μ/2λ/2

λμ/2

μ/2

Alternativa 2:Alternativa 1:

μ/2λ/2

EjemplosAlternativa 1 (nótese que hay 2 colas):

μλρ

ρρ

ρρ

=−

=−

= donde,12

12

1

11L

Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo anterior):

ρμλ

μλρ ===

22

2

( )( )ρρρ+−

=11

22L

Ejemplos

( )( ) ρρρ

ρρρ

ρρ

+>⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>−

⇒−+

>− 1

11012

112

12

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2:

011 >⇒>+⇒ ρρ

Como ρ>0 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener una única cola global

EjemplosEjemplo: En una copistería se dispone de 3 máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan como promedio 5 clientes a la hora,Parámetros del sistema: λ = 5 clientes/h, μ = 8 clientes/h, c = 3 servidores, El sistema no se satura porque ρ<1,

245

8·35

===μλρc

Ejemplos¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez?

( )( )

( )( )

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

−

=

−−

=∑∑

12

0

3311

00 !

31!3

3!1! n

nc

n

ncc

nnc

ccp ρ

ρρρ

ρρ

( )( ) ( ) ( ) 0,5342706

569304

12825

851

2432125

!23

!13

!03

1!33 1121033

≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−

−−ρρρ

ρρ

( ) ( )clientes 0,00722643

41791302

1!33

1! 256930443

20

1≈=

−=

−=

+

ρρ

ρρ

cpcL

cc

q

¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?

Ejemplos¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

h 00144529,035979

5241791·5302

≈===λq

qL

W

¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?

h 126445,04065514

81

35979521

≈=+=+=μqWW

¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?

clientes0.632226813514

4065514·5 ≈=== WL λ

Cola M | M | 1 | k

Descripción del modeloHay una sola cola, cuya disciplina será FIFO, La capacidad del sistema es limitada, de tal modo que sólo puede haber k clientes como máximo en el sistema, Por lo tanto, el número máximo de clientes en la cola es k–1, Si un cliente llega y el sistema está lleno, es rechazado y nunca más regresaLas llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón λ, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(λ)Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(μ), de tal manera que μ es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo

Probabilidades

El sistema nunca se satura, ya que la capacidad es limitadaSe deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n∈{0, 1, 2, …, k}:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

≠−

−

=+

1 si ,1k

1

1 si ,1

11

ρ

ρρ

ρρk

n

np

ProbabilidadesEl valor de ρ determina cómo varían los pn:

Si ρ<1, los estados más probables son los de menor número de clientes, porque la oferta de servicio supera a la demandaSi ρ>1, los estados más probables son los de mayor número de clientes, porque la demanda de servicio supera a la ofertaSi ρ=1, todos los estados son equiprobables, Podemos llegar a la fórmula del caso ρ=1 aplicando la regla de L’Hôpital al límite para ρ→1 de la fórmula del caso ρ≠1

Si hacemos k→∞, llegamos al modelo M | M | 1

Medidas de rendimientoTasa efectiva de llegadas, λef, Es el número medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los λ que intentan entrar (λef<λ):

( )kef p−= 1λλ

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠−+−

−=+

+

1 si ,2

1 si ,1

11 1

1

ρ

ρρρ

ρρ

k

k

Lk

k

Número medio de clientes en el sistema (este valor siempre debe ser inferior a k):

Medidas de rendimiento

Podemos obtener las demás medidas de rendimiento mediante razonamientos ya vistos, teniendo en cuenta que la tasa efectiva de llegadas al sistema es λef:

μ1

+= qWW

WL efλ=qefq WL λ=

EjemploA un taller mecánico llegan vehículos para el cambio de pastillas de freno, Los coches llegan a un promedio de 18 a la hora según un proceso de Poisson, El espacio físico del taller sólo permite que haya 4 vehículos, y las ordenanzas municipales prohíben esperar fuera, El taller puede servir a un promedio de 6 coches por hora de acuerdo a una distribución exponencial,Parámetros del sistema: λ = 18 vehículos/h, μ = 6 vehículos/h, k = 4 vehículos

36

18 ==ρ

Ejemplo¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún vehículo en el taller?

( ) 0,008264461211

2422

3131

11

1414

0

0 ≈=−−=

−−=

−−= ++ρρρp

¿Cuál es el promedio de vehículos que hay en el taller?

( ) ( )=

−+−

−=

−+−

−= +

+

+

+

14

14

1

1

31314

313

11

1 k

kkLρρ

ρρ

vehículos3,5206611121426

2421215

23 ≈=

−−−

Ejemplo

¿Cuánto tiempo pasa por término medio un coche en el taller?

( ) ( )=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=−= +11

111 k

k

kef pρρρλλλ

( ) clientes/h 5,950413121720

3123118 5

4≈=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−

horas 0,591666612071

720426

121720

121426

≈====ef

LWλ

Ejemplo¿Cuánto tiempo esperan por término medio en la cola los coches?

horas 425,04017

61

120711 ==−=−=

μWWq

¿Cuál es la longitud media de la cola?

vehículos2,52893121306

4017·

121720 ≈=== qefq WL λ

Redes de colas

Redes de colas

Una red de colas es un sistema donde existen varias colas y los trabajos van fluyendo de una cola a otraEjemplos:

Fabricación (trabajos=artículos)Oficinas (trabajos=documentos)Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajos

Criterios para decidir a qué cola se dirige un trabajo que acaba de salir de otra:

Probabilístico: se elige una ruta u otra en función de una probabilidad (puede haber distintos tipos de trabajos, cada uno con sus probabilidades)Determinista: cada clase de trabajo se dirige a una cola fija

Tipos de redes de colasSe distinguen dos tipos de redes de colas:

Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o más colas, sale del sistema, Dos subtipos:

Acíclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)Cíclicas: Hay bucles en la red

Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un número fijo de trabajos,

Red abierta acíclica

Red abierta cíclica

Red cerrada

Redes de Jacksonabiertas

DefiniciónUna red de colas abierta se dice que es de Jacksonsii:

Sólo hay una clase de trabajosLos enrutados son probabilísticos, donde rij ≥ 0 es la probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar del sistema después de haber salido del nodo i, donde ri0 = 1– ∑jrij

Cada nodo i es una cola .|M|ci

La tasa de llegadas externas al nodo i se notará γi

El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

{ }1

, 1,...,K

i i j jij

r i K=

λ = γ + λ ∀ ∈∑

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal con solución única, que resolveremos para hallar las tasas de llegada a cada nodo λi

Condición de no saturación

Para que ninguna de las colas del sistema se sature, es preciso que se cumpla la siguiente condición:

{ }ii

iii c

dondeKiμλρρ =<∈∀ ,1,,...,2,1

Nota: Se trata de la condición de no saturación del modelo M|M|c, aplicada a cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para redes abiertas

Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condición de no saturación, Entonces en el estado estacionario, la distribución del número de clientes en cada nodo es la que sigue:

11

( ) ( ), , , 0K

i i Ki

p p n n n=

= ∀ ≥∏n …

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni clientes en el nodo i, calculada según las ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teorema

Corolario: Las medidas de rendimiento para cada nodo se calculan según las ecuaciones del modelo M|M|c, Además se tendrán las siguientes medidas:

Tasa global de salidas del sistema (throughput), que es el número medio de trabajos que salen del sistema por unidad de tiempo, Coincide con el número de trabajos que entran en el sistema:

∑=

=K

iired

1γλ

Consecuencias del teoremaNúmero medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos:

∑=

=K

iired LL

1

Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella:

red

redred

LWλ

=

Consecuencias del teoremaRazón de visitas al nodo i, Vi, que es el número medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale:

{ }red

iiVKi

λλ=∈∀ ,,...,2,1

Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que Vi≤1 ∀i∈{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitarácada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acíclica)

11,5 2

0,8

3

0,2

60,5

40,6

50,4

1

{ }2 1,2,..,6i iμ = ∀ ∈

Ejemplo (red acíclica)

En el ejemplo, γ1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; γ6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:

1 2 31,5; 0,3; 1,2;λ = λ = λ =

4 5 60,72; 0,98; 0,5λ = λ = λ =

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r rλ = γ λ = λ λ = λ

4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r rλ = λ λ = λ +λ λ = γ

Ejemplo (red acíclica)

Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L= ≈ =

4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L= ≈ ≈

Condición de no saturación (se cumple porque ρi<1):i

ii

λρ = ⇒

μ 1 2 30,75; 0,15; 0,6;ρ = ρ = ρ =

4 5 60,36; 0,49; 0,25ρ = ρ = ρ =

⇒−

=i

iiL

ρρ

1

Ejemplo (red acíclica)

⇒−

=ii

iWλμ

11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W= ≈ =

4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W= ≈ ≈

⇒−=i

iqi WWμ1

1 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W= ≈ =

4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W= ≈ ≈

Red abierta cíclica

10,2 2

0,7

3

0,3

40,1

50,9

0,8

0,6

{ }{ }

3 1,2,4

4 3,5i

i

i

i

μ

μ

= ∀ ∈

= ∀ ∈

Ejemplo (red cíclica)

En el ejemplo, γ1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; γ3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:

1 2 30,2; 0,06; 2,0434;λ = λ = λ ≈

4 50,2043; 1,8391λ ≈ λ ≈

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r rλ = γ λ = λ λ = γ + λ + λ

4 3 34 5 3 35;r rλ = λ λ = λ

Ejemplo (red cíclica)

Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L≈ ≈ ≈

4 50,0731; 0,8511L L≈ ≈

Condición de no saturación (se cumple porque ρi<1):i

ii

λρ = ⇒

μ 1 2 30,0666; 0,02; 0,5108;ρ ≈ ρ = ρ ≈

4 50,0681; 0,4597ρ ≈ ρ ≈

⇒−

=i

iiL

ρρ

1

Ejemplo (red cíclica)⇒

−=

iiiW

λμ1

1 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W≈ ≈ =

4 50,3576; 0,4627W W≈ ≈

⇒−=i

iqi WWμ1

1 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W≈ ≈ ≈

4 50,0243; 0,2127q qW W= ≈

Redes de Jacksoncerradas

DefiniciónUna red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii:

Sólo hay una clase de trabajosLos enrutados son probabilísticos, donde rij ≥ 0 es la probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del nodo i, Cada nodo i es una cola .|M|ci

Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistemaEl número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrioDado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

{ }* *

1, 1,...,

K

i j jij

r i K=

λ = λ ∀ ∈∑

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegada relativas a cada nodo λi*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incógnita, por ejemplo λ1*=1

Análisis del valor medio

Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema:

Li(M)=Número medio de tareas en el nodo iWi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visitaλi(M)=Tasa real de salidas del nodo i

Se trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0

Análisis del valor medio

Las ecuaciones son:

{ } { }

{ } { }*

*1

( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

( )( ) , 1,..., 1,...,

( )

jj

j j j

j jj K

i ii

L mW m j K m M

c

W mL m m j K m M

W m=

−= + ∀ ∈ ∀ ∈μ μ

λ= ∀ ∈ ∀ ∈

λ∑

{ }(0) 0, 1,...,jL j K= ∀ ∈

{ } { }( )

( ) , 1,..., 1,...,( )

jj

j

L mm j K m M

W mλ = ∀ ∈ ∀ ∈

Red cerrada

12

0,3

40,7

31

1

1 { }5 1,2,..,6i iμ = ∀ ∈

Ejemplo (red cerrada)

En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solución es, tomando λ1*=1:

* *1 21; 0,3;λ = λ =

* *3 40,3; 0,7λ = λ =

Ecuaciones de equilibrio:* * * * *1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r rλ = λ + λ λ = λ

* * * *3 2 23 4 1 14;r rλ = λ λ = λ

Ejemplo (red cerrada)

{ }1 ( 1)

( ) , 1,...,45

jj

L mW m j

+ −= ∀ ∈

11

1 2 3 4

( )( )( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m mW m W m W m W m

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅

22

1 2 3 4

0,3 ( )( )( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m mW m W m W m W m

⋅=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

33

1 2 3 4

0,3 ( )( )( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m mW m W m W m W m

⋅=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

44

1 2 3 4

0,7 ( )( )( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m mW m W m W m W m

⋅=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

Ejemplo (red cerrada)

Primera iteración:{ }(0) 0, 1,...,4jL j= ∀ ∈ ⇒ { }

1 (0)(1) 0,2 1,...,4

5j

j

LW j

+= = ∀ ∈

10,2(1) 1 0,4347

2,3 0,2L = ⋅ ≈

⋅

20,3 0,2(1) 1 0,13042,3 0,2

L ⋅= ⋅ ≈

⋅

40,7 0,2(1) 1 0,30432,3 0,2

L ⋅= ⋅ ≈

⋅

30,3 0,2(1) 1 0,13042,3 0,2

L ⋅= ⋅ ≈

⋅

Ejemplo (red cerrada)

1,71730,39870,39874,48520,51130,27700,27700,93477

1,55640,38500,38503,67370,47290,27290,27290,78136

1,36440,36460,36462,90650,42800,26690,26690,63835

1,14010,33430,33432,19130,37700,25790,25790,50724

0,88490,28950,28951,53600,32070,24480,24480,38973

0,60340,22410,22410,94830,26090,22610,22610,28702

0,30430,13040,13040,43480,20,20,20,21

0000--------0

L4(m)L3(m)L2(m)L1(m)W1(m)W1(m)W1(m)W1(m)m

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

Ejemplo (red cerrada)

m

L

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejemplo (red cerrada)

m

W

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ejemplo (red cerrada)Utilización

delservidor (%)

U=λ/μ=L/(Wμ)

m

Cola 1

Cola 4

Colas 2 y 3

Cuellos de botellaUn cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistemaDefinición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella siiLj(m)→∞ cuando m→∞En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1