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CAPITULO5.ECUACIONESDIFERENCIALESDEORDENN2
5.1.Introduccin
Unaecuacindiferencialdesegundoordenesunaexpresinmatemticaenlaqueserelacionaunafuncinconsusderivadasprimeraysegunda.Esdecir,unaexpresindeltipo()
Laecuacinanteriorsediceescritaenformanormalcuandotenemos:()
5.2.Reduccindeorden
Estemtodoconsisteenreducirelproblemaderesolverunaecuacindiferencialdesegundoordenaunproblemaderesolverunaomsecuacionesdiferencialesdeprimerorden.Casosaconsiderar
5.2.1.Ecuacionesquenocontienenlavariabley.Sealaecuacin()=0.Haciendo,sededuce.Portantolaecuacindiferencialdadasetransformaenlaecuacindiferencialdeprimerorden
fx,p,p'0
Resolviendoestaecuacinseobtienep,dedondefinalmente,setiene
ypxdxyx,C1,C2
5.2.2.Ecuacionesquenocontienelavariablex.Sealaecuacin()=0.Haciendo,setiene
y
dydx
dpdydydx
p
dpdy
Laecuacindadasetransformaen
fy,p,pdpdy
0
Resolviendoestaecuacinseobtienep,dedondeposteriormenteseobtiene
1
yx,C1,C2
5.3.Ecuacionesdiferencialeslinealesdesegundoorden
Laecuacinlinealgeneraldesegundoordenpuedeescribirseenlaformaestndar
yPxyQxyRx
EnlacualP(x),Q(x),R(x)sonfuncionesconocidas
Teorema1.DeexistenciayunicidadparaelproblemadelvalorinicialSeanP,Q,RfuncionescontinuasenunintervaloIyseax0I.Seany0,y0dosnmerosrealescualesquiera.Elproblemadelvalorinicial
yPxyQxyRx,yx0y0,yx0y0
tienesolucinnicadefinidaenI
5.4.Ecuacionesdiferencialeslinealeshomogneasdesegundoorden
Laecuacinlinealgeneraldesegundoorden
yPxyQxyRx
eshomognea,siR(x)=0,xI
yPxyQxy0
Teorema2.Seanverifica
y1,y2solucionesdelaecuacinlinealhomogneaenunintervaloI.Entoncesse
1.
y1y2esunasolucinenI
2.Paracualquierconstantec,
cy1esunasolucinenI
2
Lasrelaciones(1)y(2)sepuedencombinardelaformasiguiente.Siy1,y2sondossolucionesdelaecuacinanteriorc1y1c2y2esunasolucinparadosconstantescualesquiera
Definicin1.Lassoluciones
y1,y2sonlinealmentedependientesenunintervaloIsiexistendos
nmerosrealesnotodosnulostalesquec1y1+c2y2=0
Silarelacinanteriorsolamenteseverificasic1=c2=0entoncesy1,y2sonlinealmenteindependientes.Lassolucionesy1,y2formanunsistemafundamentaldesolucionessisonlinealmenteindependientes
Teorema3.Estudiodelwronskianoparalaindependencialineal
Sealaecuacinhomogneadesegundoorden()(),yseany1,y2solucionesdelaecuacindiferencialdadaenelintervaloI.SedemuestraquesielWronskianode[y1,y2]quevienedadoporeldeterminante
Wy1,y2
y1xy2xy1xy2x
esdistintodecero,entoncesy1,y2sonlinealmenteindependientes
Teorema4.Seany1,y2solucionesindependientesde:()()enunintervaloI.Sedemuestraquetodasolucindelaecuacindiferencialesdelaformay=c1y1+c2y2,siendoc1,c2constantes.Lacombinacinlineal:c1y1+c2y2eslasolucingeneraldelaecuacindiferencialsiy1,y2sonlinealmenteindependientes.Estasolucincontienetodaslasposiblessolucionesdelaecuacindiferencial
5.4.1.Obtencindeunasegundasolucinapartirdeunasolucionconocida.Sealaecuacinlinealhomogneadesegundoorden
()()
Supongamosqueseconoceunasoluciny1delaecuacindiferencial.Setratadebuscarunasegundasolucinlinealmenteindependientedelaforma
y2(x)=u(x)y1(x)
3
Calculemosy2,y2ysustituyamosenlaecuacindiferencial,setieneentonces
2y1Py1y1Py1Qy1y1u''u'u0
Comoy1Py1Qy10.Lanuevaecuacindiferencialser
uy12y1Py1u0
Haciendo,laecuacindiferencialdadasetransformaen
pPp02y1y1
Ecuacinlinealdedondeobtenemosp.Acontinuacinsecalculauenfuncindep,conlocualy2(x)=u(x)y1(x)esunasolucindelaecuacindiferencialoriginal,siendoy1,y2linealmenteindependientesyaqueu(x)noesconstante.Portantoy1,y2formanunconjuntofundamentaldesolucionesdelaecuacinoriginal.Lasolucingeneralesdelaformay=c1y1+c2y2
5.5.Ecuacionesdiferencialesdesegundoordenconcoeficientesconstantes
Estaecuacinesdelaforma()
Supongamosq(x)=0.Estaecuacintienesiempresolucionesdeltipoexponencialdelaformay=erx.Lasustitucindeestasolucinenlaecuacindiferencialnosda
r
2
arberx0
Comoerx0,x,setieneque.Estaecuacinsellamaecuacincaractersticadelaecuacindiferencial.Lasracesdanvaloresderparaloscualeserxesunasolucindelaecuacin.Estasracesson
r
aa24b2
Lasracespuedenser:Dosracesrealesdistintas.Unarazrealdoble.Racescomplejasconjugadas
4
1.Laecuacincaractersticatienedosracesrealesdistintas.Seanr1yr2estasraces,portanto
y1er1x,y2er2xsonsolucionesdelaecuacin
diferencial.Estassolucionessonlinealmente
2.Laecuacincaractersticatienedosracesrealesiguales.Enestecaso:a-4b=0.Unasolucindeestaindependientesencualquierintervaloporserelwronskiano0,luegoy1,y2formanunconjuntofundamentaldesoluciones,portantolasolucingeneraldelaecuacinhomogneaes
yc1erx1c2er2x
2
xecuacindiferenciales:ye
a2
Paraobtenerunasegundasolucinbuscamossolucionesdelaforma:
()().Lasolucingeneraldelaecuacindiferencialser
xyxc1c2xe
a2
3.Laecuacincaractersticatienedosracescomplejasconjugadas.Enestecaso:a2-4b0
Pararesolverestaecuacinsehaceelcambiot=Lx,conlocuallaecuacindiferencialdadasetransformaenlaecuacindecoeficientesconstantes
()
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