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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 41. Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Frisos y Mosaicos

TEMA 41. Movimientos en el plano. Composición de movimien-

tos. Aplicación al estudio de las teselaciones. Frisos y Mosaicos.

1. Introducción.

Se consideran a los pensadores de la Grecia clásica como los padres de la geometría. Los

filósofos Griegos, como Platón, tenían una especial devoción por las figuras geométricas con

regularidad y simetría. El conocimiento geométrico de la cultura griega queda plasmado en el

libro de Euclides “Los Elementos”. En este libro la geometría es tratada de forma sistemática a

partir de definiciones, postulados y teoremas. Su influencia perduró muchos siglos, hasta la

edad moderna.

A partir del siglo XVII la geometría empieza a ser tratada desde un punto de vista aritmético,

de manos de Descartes terminando con el divorcio entre aritmética y geometría.

Dentro de la Geometría Afín se incluyen las transformaciones de semejanza, que mantie-

nen la forma de la figura (isagonal) pudiendo modificar el tamaño. Dentro de las semejanzas

están los movimientos que además de conservar la forma mantienen el tamaño. Dentro de los

movimientos distinguimos los giros y las traslaciones.

2. Transformaciones geométricas en el plano euclideo.

Al igual que las transformaciones entre conjunto de números reales se denominan funcio-

nes, las transformaciones entre los conjuntos de puntos del plano o del espacio se denominan

transformaciones geométricas.

Una de las transformaciones geométricas más sencillas es la que transforman los puntos

en sí mismo (transformación identidad).

Los puntos cuya imágenes son ellos mismos se denominan puntos invariantes

Si tenemos dos transformaciones, f y g, en el mismo espacio euclideo se llama transfor-

mación composición (se denota como gf o ) a la aplicación que resulta de aplicar f a la trans-

formado de g a los elementos del espacio euclideo. Esquemáticamente:

E2 E2 E2

P f(P)=P’ g(f(P))=f(P’)=P’’

La composición por lo general no es conmutativa, por lo que hggf oo ≠

Como bien dijimos en la definición las transformaciones geométricas son biyecciones, por

lo que hay siempre aplicación inversa, f-1

, de forma que la composición

)(11 xidffff == −−oo .

Veamos alguna de las definiciones de las aplicaciones geométricas que usaremos a lo largo

del tema:

- Transformaciones involutivas si se cumple que f es la inversa de sí mismo: idff =o

f g gf o



- Transformaciones isométricas o simplemente isometría si conserva las distancias en-

tre os elementos d(P,Q)=d(f(P),f(Q)).

- Transformaciones isagonales, si no modifican las formas de las figuras, es decir los

ángulos entre sus elementos.: ))(),(),((),,( MfQfPfMQP ∠=∠ . Dentro de las

isagonales distinguimos: directas conserva la orientación e inversa que cambia la

orientación.

Teniendo en cuenta que la composición es asociativa y dada la definición de las isometrías

se cumple que el conjunto de todas las isometrías en el plano E2 con la composición es un gru-

po, por lo general no abeliano.

3. Transformaciones en el plano

3.1 Definición

Dado un vector u libre en el plano, se llama traslación del vector u y se denota como u

T a

la transformación geométrica en el plano definida como:

uT : E2 E2

P u

T (P)=P’ cumpliéndose que uPP =' )

Observaciones:

1) Toda transformación es biyectiva en el plano E2 ya que siempre podemos definir la

traslación inversa u

T−

2) Si el vector u =0 (vector nulo) todo punto coincide con su homólogo, así u

T =Id

3.2 Propiedad característica.

Propiedad característica: Para que una transformación geométrica T del plano sea una

traslación es necesario y suficiente que el vector determinado por dos puntos cualesquiera sea

equipolente al determinado por sus dos vectores homólogos. Es decir que 2, EQP ∈∀ y sus

transformados )(')(' QTQyPTPuu

== se cumpla que ''QPPQ = . Demostración:

Necesario: Sea u

T una traslación veamos que ''QPPQ = . Se cumple que uPP =' y

uPQ =' , tal que ''''

''''''QPPQigualando

uPQQQPQPQ

QPuQPPPPQ=

+=+=

+=+=

Suficiente: Sea P y P’ su transformado. Si se cumple que uPP =' y que ''QPPQ= enton-

ces el cuadrilátero P, P’, Q, Q’ es un paralelogramo, y por tanto uQQPP == '' y por tanto

esta transformación es una traslación de vector u

P

P’ Q’

Q

u u



3.3Ecuaciones de la traslación.

Sea el vector u =(ux, uy) y P(x,y) un punto cualquiera del plano, se cumple que P’=P+ u

=(x+ux, y+uy). La ecuación en cartesianas de la traslación es por tanto:

+=

+=

y

x

uyy

uxx

'

'

Matricialmente:

=

y

x

u

u

y

x

y

x

1

·

10

01

001

'

'

1

que resumiendo se expresa como X’=T·X

3.4 Consecuencias de la traslación.

Varias son las consecuencias, veamos alguna de ellas:

1) Toda traslación es una transformación isométrica (conserva distancias).

Demostración: es inmediata a partir de la propiedad característica pues como

''QPPQ= , entonces d(P,Q)= == ''QPPQ d(P’,Q’)

2) En toda traslación la recta se transforma en otra recta paralela.

Demostración: la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B viene

dada como r(x,y)=A+ AB ·t. Si aplicamos la transformación de la traslación será:

tABAutABArTyxru

·'·)()','(' +=++== con A’=A+ u el trasladado de A. Ve-

mos que r’(x’,y’) tiene mismo vector director AB que r, por lo que son paralelas.

3) Toda traslación es una aplicación isagonal directa.

Demostración: Que sea isagonal es consecuencia directa de la 2). Dados tres pun-

tos A(ax,ay) , B(bx,by), C(cx,cy) que forman un ángulo )(ABC∠=α , sus transfor-

mados A’(ax+ux,ay +uy) , B’(bx+ux,by+uy), C’(cx+ux,cy+uy) formarán el mismo ángulo

)'''( CBA∠=α pues las rectas AB y AC son paralelas a las rectas A’B’ y A’C’.

Veamos que es directa viendo el signo de los determinantes de los vectores

ACAB, y '','' CABA :

),det(

)()(

)()'(

''''

'''')'',''det(

ACABacac

abab

uaucuauc

uaubuaub

acac

ababCABA

yyxx

yyxx

yyyyxxxx

yyyyxxxx

yyxx

yyxx

=−−

−−=

=−++−+

+−++−+=

−−

−−=

4) Si el vector 0≠u no hay ningún punto que sea el transformado de si mismo. Si te-

nemos una recta r paralela al vector u cualquier punto A de la recta su transfor-

mado será A’=A+ u que es también de la recta r, por tanto r’=r pues un punto en

común y paralelos.

5) El grupo de las traslaciones: Sean T el grupo de todas las traslaciones en el plano,

se cumple que las traslaciones con la composición es grupo Abeliano

Demostración: si u

T , 'u

T T∈ la composición de ambas es '' uuuu

TTT+

=o que es

otra traslación con vector traslación es la suma de los vectores traslaciones. Vea-

mos propiedades de los grupos:



a) Asociativa: ( ) )(')'()'(' wuuwuuwuuwuu

TTTTTTTT rr oooo ===++++

b) Conmutativa: uuuuuuuu

TTTTTT oo''''

===++

c) Elemento neutro: uuuu

TTTTT ==+00 oo

d) Elemento opuesto: IdTTTuu

==− 0

o

4. Giros en el plano.

4.1Definición

Se denomina giro con centro en O y ángulo orientado ϕ a la transformación geométrica

que a cada punto P le asocia otro G0,ϕ (P)=P’ cumpliéndose dos condiciones:

1) d(O,P)=d(O,P’)

2) ϕ=∠ )',( OPOP

4.2 Propiedad característica.

Propiedad característica: la condición necesaria y suficiente para que una transformación

en el plano sea un giro es que el vector determinado por dos puntos P y G cualesquiera y el de

sus transformados P’ y G’ tienen el mismo módulo y forman entre ellos un ángulo ϕ:

1. ''|| QPPQ =

2. ϕ=∠ )'',( QPPQ

4.3 Ecuación de un giro.

Sea P(x,y) un punto y P’(x’,y’) el trasnformado por el giro GO,ϕ con centro en el origen O(0,0)

que cumple por trigonometría:

)·cos()(·'

)(·)·cos('

ϕϕϕϕ

ysenxy

senyxx

+=

−=

Si el centro es O(xo,yo) la transformada será:

)·cos()(·))·cos(()()·('

)(·)·cos()()·())·cos(('

0

00

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ysenxbyysenxxyy

senyxasenyyxxxx

ooO

oo

++=−+−=−

−+=−−−=−

con (ao,bO)=(xo(1-cos(ϕ)+ yo·sen(ϕ), y0(1-cos(ϕ)-xo·sen(ϕ))

En forma matricial:

−

=

1

·

100

)cos()(

)()cos(

1

'

'

y

x

bsen

asen

y

x

o

o

ϕϕϕϕ

O Q’

Q

ϕ

P

P’

ϕ



4.4 Consecuencias de los giros.

Varias son las consecuencias, veamos alguna de ellas:

1) Los giros son isometrías. La demostración es trivial a partir de la propiedad caracterís-

tica: sean P y Q dos puntos cualesquiera y P’ y Q’ sus transformados, se cumple que

d(P,Q)=

''|| QPPQ = =d(P’,Q’).

2) En un giro toda recta se transforma en otra recta. Demostración: si la recta r pasa por

un punto A, y se R(x,y) cualquier otro punto de la recta, se cumple que sea cual sea el

punto R forman un vector AR con misma dirección. Si A’ es el transformado de A y R’

el de R se cumple por la propiedad característica que )'',( RAAR∠ , por lo que inde-

pendientemente del valor R se cumple que R’ forman con A’ una misma dirección, y

por tanto lo puntos R’ forman una recta. Además esta recta, r’, forma un ángulo ϕ con

la recta origina r.

Nota si tenemos dos rectas r y r’ que forman un ángulo ϕ se puede pasar de una a otra

por el giro GO,ϕ donde el centro de giro O será el punto equidistante de dos puntos

homólogos y que forme un ángulo ϕ=∠ )'(AOA , para calcularlo no tenemos más

que hacer el arco capaz de AA’ con ángulo ϕ (puntos que forman ángulo ϕ con A y A’)

y ver la intersección con la mediatriz de AA’ (puntos que equidistan de A y A’)

3) Todo giro es isagonal directo. Demostración: Sean tres puntos A, B,C y sus homólogos

A’, B’, C’ mediante un giro GO,ϕ vamos a probar que '','', CABAACAB ∠=∠ . Traza-

mos la paralela por A a la recta A’C’ y por A’ la paralela a AB, se cumple que entonces

tenemos dos ángulos iguales al ser paralelos los lados: '','', CAEAADAB ∠=∠ co-

mo se ve en el dibujo. Por otro lado ADACACABADAB ,,, ∠+∠=∠ y

'','''','''','' CABABAEACAEA ∠+∠=∠ . Igualando ambas expresiones tenemos

que ADACACAB ,, ∠+∠ = '','''','' CABABAEA ∠+∠ , como por propiedad ca-

racterística se cumple que ϕ=∠=∠ ADACCAAC ,'', y =∠ '', BAAB

'','' BAEA∠ =ϕ, entonces la igualdad se reduce a ACAB ,∠ = '','' CABA∠

ϕ A

A’

r

r’

O



4) Elementos invariables por los giros: Si el ángulo de giro es 360o se cumple que

G0,360=Id, y todos los puntos invariables. En cualquier otro caso el único punto invaria-

ble es el del centro de giro. Toda circunferencia será invariante globalmente si le apli-

camos cualquier giro con centro en el mismo que el de la circunferencia. Hay figuras

que son invariantes a giros con centro en el centro de la figura y diversos giros. Vea-

mos algún ejemplo: el cuadrado es invariante a giros de 90o, 180

0 y 270

o .

5) El en grupo de los giros con centro O, el conjunto de todos los giros con mismo centro

O forman con la composición un grupo abeliano. La composición de GO,ϕ oGO,α=GO,ϕ+α

que es otro giro que cumple las propiedades de grupo:

a. Asociativa: ( ) ( )δβαδβαδβαδβα ,,,)(,)(,,,, OOOOOOOO GGGGGGGG oooo === ++++

b. Conmutativa: βα ,, OO GG o = αβαββα ,,,, OOOO GGGG o== ++

c. Elemento neutro: ααα ,360,360,, 00 OOOO GGGG ==+

o

d. Elemento opuesto: IdGGGOOO ==

− 00 360,360,, αα o

5. Simetría central.

La simetría central con respecto a un punto O es un caso particular de giro, donde el ángu-

lo de giro es de 180o. Denotaremos So=Go,180 a la simetría central. El punto P y su transformado

So(P)=P’ cumplen las siguientes propiedades |OP |=| 'OP | y )',( OPOP∠ =180o, que resu-

miendo implica que OP =- 'OP , es decir P, P’ y O están alineados siendo O como el punto

medio de P y P’.

A B

C

A’

C’ B’

E

D

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria


Además de las propiedades generales de los giros se cumple también

1) Es involutiva: SS oo o

2) Toda recta que pasa por O es globalmente invariante

3) La simetría central transforma cualquier

4) Las figuras F que tiene un punt

to se denomina centro de s

Figura 1

6. Simetría axial.

6.1 Definición.

Se llama simetría respecto a un

ométrica que asocia a cada punto P un homólo

mento PP’. La recta e se llama

6.2 Ecuaciones de la simetría axial.

Vamos a obtener la ecuación de la simetría

e:Ax+By+C=0, P(x,y) y P’(x’,y’)

++2

',

2

' yyxxM que tiene que

1) pertenecer a la recta e, y por tanto cumple la

Ax’+By’=-2C-AX-BY (1)

2) La pendiente de e, m1=

culares) A

B

xx

yy=

−−'

' (2)

Resolviendo el sistema 'x−

=

O

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Frisos y Mosaicos

s propiedades generales de los giros se cumple también:

IdGGG oo === 360,180,0180,0 o

Toda recta que pasa por O es globalmente invariante.

metría central transforma cualquier recta n una recta paralela. (fig 1)

que tiene un punto O de forma que F es invariante a So, S

centro de simetría (fig 2)

Figura 2

simetría respecto a un recta, e, o simetría axial de eje e a la transformación g

ométrica que asocia a cada punto P un homólogo P’ tal que la recta e es la mediatriz del se

mento PP’. La recta e se llama eje de simetría. La notación que utilizaremos es S

Ecuaciones de la simetría axial.

la ecuación de la simetría aplicando la definición. Si la ecuación del eje es

P’(x’,y’)=Se(P). Se cumple que el punto medio

que tiene que cumplir:

pertenecer a la recta e, y por tanto cumple la igualdad: 2

'· ++

Bxx

A

=-A/B, y de la recta PP’ m2=xx

yy

−−'

' han de ser opuestas (pe

22

22 2)(2

BA

AByxBAAC

+

−−−−,

2

2(2'

A

ABCy

+

−+−=

7

Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Frisos y Mosaicos

(fig 1)

, So(F)=F, este pun-

je e a la transformación ge-

go P’ tal que la recta e es la mediatriz del seg-

La notación que utilizaremos es Se

aplicando la definición. Si la ecuación del eje es

(P). Se cumple que el punto medio de P y P’ es

02

'· =++

Cyy

B �

han de ser opuestas (perpendi-

2

2 2)

B

ABxyB −



Si la ecuación de la recta está descrita en forma vectorial vtOAe ·+= con A(xo,0 ) punto de

corte con el eje OX y ),( yx vvv = es vector unitario (| v |=1) se puede expresar la simetría axial

por la matriz siguiente:

−=

1

·

100

)·cos(2)2cos()2(

)(··2)2()2cos(

1

'

'

0

0

y

x

xsen

senxsen

y

x

αααααα

con

= −

x

y

v

v1tanα =ángulo v con OX

Casos particulares:

a) Eje OX (α=0) �

=

1

·

100

010

001

y

x

SOX

b) Eje OY (α=90o, x0=0) �

−

=

1

·

100

010

001

y

x

SOY

c) Bisectriz 1er

cuadrante (α=45o, x0=0) �

=

1

·

100

001

010

y

x

Se

6.3 Propiedades de la simetría axial.

Veamos algunas de las propiedades de la simetría axial:

1) La simetría axial es involutiva, es decir IdSS ee =o , ya que PPSPSS eee == )'())((

se cumple que P’ es el simétrico al eje respecto de P y P’ de P respecto al mismo eje.

2) La simetría axial es isometría. Demostración: Se(P)=P’, Se(Q)=Q’. Trazamos la recta que

une Q y Q’ que corta en N al eje e y otra que une P y P’ que corta en M. Si trazamos las

paralelas al eje por P y P’ entonces tendremos dos triángulos rectángulos PQH y P’Q’K.

Estos dos triángulos tienen los dos catetos iguales, pues |PM|=|PM’| y |QN|=|Q’N|

por lo que |QH|=|Q’K| y además |PH|=|P’K| pues es la distancia de dos rectas parale-

las. Al tener los dos catetos iguales se cumple que las hipotenusas también

|PQ|=|P’Q’|, luego hay isometría.

P

P’

Q

Q’

K

H

N M

α

-α



3) La simetría axial es una transformación isagonal inversa. Demostración: si tenemos 3

puntos A, B, C y sus transformados A’, B’, C’ al ser isometría son dos triángulos ABC y

A’B’C’ son iguales, por lo que los ángulos que los forman son iguales pero como pode-

mos ver la orientación es contraria, pues las rectas que forman los lados con el eje es

le mismo pero uno en cada lado del eje.

4) Elementos invariantes: todos los puntos del eje de simetría son invariantes, siendo es-

tos los únicos puntos que los son. Si tenemos una recta perpendicular al eje esta recta

es invariante globalmente. Si una figura F globalmente invariante mediante simetría

axial si dice que dicha figura tiene simetría respecto este eje. Hay figuras con varios

ejes de simetría (donde cortan se llama centro de simetría) incluso la circunferencia

tiene infinitos ejes de simetría:

7. El grupo de las isometrías y el subgrupo movimiento.

Una transformación geométricas , F, en el plano E2 es isometría si conserva las distancias,

es decir para todo punto P,Q∈E2 y sus transformados F(P)=P’ y F(Q)=Q’ se cumple

d(P,Q)=d(P’,Q’). El conjunto de todas las simetrías se denota como Isom(E2)

Proposición: toda transformación es isometría entonces también es isagonal (conserva

ángulos).

Demostración: Sean 3 puntos cualesquiera A,B,C∈E2 y sus tres transformados por una iso-

metría F: A’=F(A), B’=F(B), C’=F(C) entonces se cumple que en los triángulos ABC y A’B’C’ los

tres lados son iguales a=d(B,C)=d(B’,C’)=a’, b=d(A,C)=d(A’,C’)=b’ y c=d(A,B)=d(A’,B’)=c’. Por

propiedad de semejanza de triángulos (teorema de Tales) se cumple que los dos triángulos son

iguales, y por tanto los tres ángulos son iguales 'ˆˆ AA = , 'ˆˆ BB = , 'ˆˆ CC = , es decir es isagonal.

A

B

A’

B’

+

-

C

C’



Podemos así distinguir dos isometrías:

1) Directas: conservan la orientación de los ángulos. Son las traslaciones, giros y sus

composiciones. Las denotaremos como Isom+(E2).

2) Inversas: no conservan la orientación. Son las simetrías axiales y sus composicio-

nes. Las denotaremos como Isom-(E2).

Como Isom+(E2)∩ Isom

-(E2)=∅ y Isom

+(E2)∪ Isom

-(E2)=Isom(E2) entonces las isometrías di-

rectas e las inversas están en suma directa con las isometrías: Isom+(E2)⊕Isom

-(E2)=Isom(E2).

Nota: la composición de dos isometrías directas es directa pero la composición de dos si-

metrías inversas es directa: si f,g∈Isom+(E2) entonces fo g∈Isom

+(E2); si f,g∈Isom

-(E2) entonces

fo g∈Isom+(E2)

Al subgrupo de todas las isometrías directas, Isom+(E2), que como hemos visto es cerrado

con la composición les llamamos traslaciones. Como hemos visto durante el tema es el conjun-

to de todos los giros y las traslaciones y sus posibles composiciones.

8. Teselaciones en el plano: Frisos o Mosaicos.

8.1 Frisos.

Existen innumerables dibujos, pinturas, esculturas que se caracterizan por motivos geomé-

tricos constantes que se repiten. Los frisos son ejemplos de esta manifestación geométrica.

Se llama friso a un dibujo plano generado por la transformación de una figura base o re-

gión fundamental, que a su vez se forma a partir de un elemento o motivo mínimo. Elementos

de un friso:

- Región fundamental que es la que se traslada

- Región mínima a partir de la que se obtiene la región fundamental

- Movimientos que dan lugar al paso de la región mínima a la fundamental

- Traslaciones que dan lugar al friso.

Una definición más matemática de friso: Sea una figura F y SF el grupo de todas las

isometrías que dejan invariante a F, se dice que F es un friso si cumple:

1) Hay una recta r (dibujada o no) que queda invariante por todas las isometrías SF. Es-

ta recta indica la dirección en la que se desarrolla el friso por translación.

2) Existe una traslación de vector d con dirección de la recta r que deja invariante el

friso al igual que toda traslación de la forma dnu ·= con n∈ℤ.

Ejemplos:

1) Por traslación:

2) Traslación y simetría horizontal:

d d



3) Traslación y simetría vertical:

4) Traslaciones y rotaciones:

8.1 Mosaicos.

Un mosaico es, matemáticamente, el recubrimiento del plano mediante figuras, de tal

forma que no se solapen ni queden huecos entre ellas. Las piezas que se utilizan reciben el

nombre de teselas (o baldosas, losetas,…).

Se cree que la cultura Egipcia ya conocía la existencia de 17 formas de cubrir el plano con

teselas, muchos de ellos aparecen en la Alambra de Granada. Tipos De mosaicos:

a) Mosaicos regulares: las teselas o baldosas son iguales y con forma de polígono regular.

Dado que hay que en cada vértice completar 360o sólo hay 3 polígonos regulares váli-

dos: el triángulo (60o, 6 triángulos en cada vértice), el cuadrado (90

o, 4 cuadrados en

cada vértice) y el hexágono (120o, 3 hexágonos en cada vértice):

Es la solución del sistema diofántico:

=+−

=−

02·2

360180·2

·

mnmnn

nm

con n=nº de lados del polí-

gono y m= número de polígonos en cada vértice.

n=3, m=6 n=m=4 n=6, m=3

b) Mosaicos semirregulares: formado por dos o más polígonos regulares siendo el patrón

el mismo en cada vértice. Son 8. Alguno de ellos:



c) Demirregulares: La diferencia con los mosaicos semirregulares es que la distribución

no es la misma para todos los vértices, esta se repite periódicamente. Existen 14 tipos:

Hexágono y tres triángulos: Tres cuadrados y seis triángulos

d) Irregulares: están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual

que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espa-

cios vacíos

9. Conclusiones.

Los movimientos en el plano en el plano se abordan solamente en el curso de 3º de la ESO

(aplicadas y académicas) en el bloque de geometría. El estudio de los movimientos no se hace

de forma analítica, solo descriptiva. Su aplicación al arte es también unos de los puntos que se

tratan en secundaria.

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