TEMA 4 ( Tiempo de Vaciado de Un Cilindro Caso 1 y 2)

8/18/2019 TEMA 4 ( Tiempo de Vaciado de Un Cilindro Caso 1 y 2)

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PRÁCTICA DE HIDRÁULICA

CÁTEDRA : Hidráulica

CATEDRÁTICO : Quispe Estrada Misael

ESTUDIANTES :

DIEGO HUZCO De!!is "#el "U$CARIMA ROSA$ES He!rr%

SEMESTRE : &II

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD & ENERGIA

Tie'p# de (aciad# de u! cili!dr#

)Cas# * % +,

Huancayo – Perú- +.*/ -


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1. TEMA: CÁLCULO DEL TIEMPO DE VACIADO DEL AGUA EN UN TANQUE.

2. PROPÓSITO/OBJETIVO/LOGRO:

- Aplicar la ecuación de la continuidad para volumen de control variable y fluidosincompresibles.- Aplicar la ecuación de la energía y la ecuación de Torricelli.

- Calcular el tiempo de vaciado desde una altura inicial hasta una altura final.- Medir el tiempo en forma real en el equipo preparado

3. MARCO TEÓRICO:

FLUJO DE UN FLUIDO

El movimiento de un fluido se puede describir usando el concepto de flu o del fluido. Elflu o es una cantidad escalar que se denota por la letra griega ! y se define como elproducto de la densidad por la rapide" y por el #rea que atraviesa el fluido en sumovimiento$ esto es:

φ= ρ∗ v∗ A= ρ∗Q %&.'(

En la ecuación:

ρ : es la densidad del fluido$ e)presado en *g+m&v : es la rapide" del fluido$ e)presada en m+s A : es el #rea que atraviesa el fluido$ e)presada en m,Q : es el caudal del fluido$ se e)presa en m&+s

-a unidad del flu o en el sistema internacional es *g+s$ por lo que el flu o representa lacorriente del fluido a lo largo de su recorrido.

LEY DE CONTINUIDAD DEL FLUJO

Esta ley es consecuencia de la ley de la conservación de la materia. ace referencia a laconstancia del flu o a lo largo del camino recorrido por el fluido$ su enunciado es: El flu o

de un fluido en movimiento es el mismo en dos puntos diferentes del camino recorrido por el fluido En t/rminos matem#ticos$ es:

φ= ρ1∗v1∗ A1= ρ2∗v2∗ A2 %&.,(

Esta ecuación tambi/n recibe el nombre de ecuación de continuidad del flu o. E)presaque la cantidad de masa por unidad de tiempo que ingresa por un punto deber ser igual ala cantidad de masa por unidad de tiempo que sale por punto del recorrido del fluido.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

0i el fluido es un líquido no viscoso e incompresible$ su densidad permanece constantedurante el flu o$ entonces se puede eliminar la densidad en ambos miembros de la


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ecuación %&$,( del flu o$ por lo que la ecuación de continuidad del flu o se reduce a laecuación de continuidad del caudal del líquido. Esto es:

Q= v1∗ A1 = v2∗ A2 %&.&(

EL PRINCIPIO DE BERNOULLI

El principio de 1ernoulli es una ley que se deduce a partir de la ley de conservación de laenergía para un fluido en movimiento. Esta ley fue descubierta por el matem#ticoholand/s 2aniel 1ernoulli %'3445'36,($ su enunciado establece lo siguiente: L !"#$% ''#( #)#"*%+ ,' - ,%+ #' 0 %0%#'( #$ % , +# $ * 0 % $ +# #'#" 4*%'5(%* 6 ! (#'*% ! " ,'%+ + +# ,0#' 7,# *,""#' +," '(# # - ,) .

-a energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

C%'5(%*: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido7P (#'*% " %( *% ' : es la energía debido a la altitud que un fluido posea7

E'#" 4 +#!"#$% ': es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

-a siguiente ecuación conocida como 8ecuación de 1ernoulli8 %trinomio de 1ernoulli(consta de estos mismos t/rminos.

2ónde:

9 velocidad del fluido en la sección considerada.

9 densidad del fluido.

9 presión a lo largo de la línea de corriente.

9 aceleración gravitatoria

9 altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

P " ! %* " #*, *% ' $# +# #' "# %8 " $ $% ,%#'(#$ $,!,#$( $:

• iscosidad %fricción interna( 9 4 Es decir$ se considera que la línea de corrientesobre la cual se aplica se encuentra en una "ona ;no viscosa; del fluido.

• Caudal constante.•


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TEOREMA DE TORRICELLI

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación delprincipio de1ernoulli y estudia el flu o de unlíquido contenido en un recipiente$ a trav/s de unpeque>o orificio$ ba o la acción de lagravedad .

-a velocidad de un líquido en una vasi a abierta$ por un orificio$ es la que tendría uncuerpo cualquiera$ cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta elcentro de gravedad del orificio.

Matem#ticamente:

2ónde:

: es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio

: es la velocidad de apro)imación o inicial.

: es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.

: es la aceleración de la gravedad

?ara velocidades de apro)imación ba as$ la mayoría de los casos$ la e)presión anterior se transforma en:

2ónde:

: es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio

: es el coeficiente de velocidad. ?ara c#lculos preliminares en aberturas de pareddelgada puede admitirse 4$@ en el caso m#s desfavorable.

Tomando 9'

E)perimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificiode pared delgada$ es un poco menor que la ideal$ debido a la viscosidad del fluido y otrosfactores tales como la tensión superficial$ de ahí el significado de este coeficiente develocidad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_de_la_gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_superficialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_de_la_gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_superficial


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VACIADO DE TANQUES

El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en r/gimen no estacionariodado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable quedepender# del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas altanque$ esta descarga provocar# un cambio en el contenido inicial del equipo$ demodo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistemade la siguiente forma:

Esta ecuación es conocida en hidrodin#mica$ la ley de Torricelli el cual estableceque la velocidad v del flu o %o salida( del agua a trav/s de un agu ero de bordesagudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura %o profundidad(h es igual a la velocidad de un ob eto %en este caso una gota de agua($ que caelibremente desde una altura h7 esto es$

2onde g es la aceleración de la gravedad. Esta Bltima e)presión se origina aligualar la energía cin/tica$ %mv, ($ con la energía potencial$ mgh$ despe ando v.

M +# M (#09(%* D# V *% + D# T '7,#$


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0e considera un recipiente lleno de agua hasta una altura $ dondeA es el #reade la sección transversal constante$ y es el #rea de un orificio de seccióntransversal por el que fluye el agua$ el cual est# ubicado en la base del tanque.

0ea la altura del agua en el tanque en un tiempo t %nivel '( y h DA la altura enun tiempo t D At %nivel ,(. 0e desea establecer la altura del líquido en el tanque encualquier instante ( y el tiempo que este demora en vaciarse.

-a cantidad de agua que se pierde cuando el nivel ba a de ' a , es igual a lacantidad de agua que se escapa por el orificio.0ea ;(< la altura del líquido en el tanque en cualquier instante ( y V;(< el volumen

del agua del tanque en ese instante. -a velocidad v del agua a trav/s del orificioes

2onde es la gravedad. -a ecuación anterior representa la velocidad que unagota de agua adquirir# al caer libremente desde la superficie del agua hasta elagu ero. En condiciones reales$ hay que tomar en cuenta la contracción que sufreun chorro de agua en un orificio$ por lo que se obtendr#

2onde * es el coeficiente de descarga comprendido entre 4 y '. En algunosproblemas$ cuando el coeficiente de descarga no se indica$ se asume que c9'.

0egBn el Teorema de Torricelli$ la ra"ón con la que el agua sale pro el agu ero%variación del volumen de líquido en el tanque respecto al tiempo( se puedee)presar como el #rea del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es


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0ustituyendo en la ecuación

0i A%h( denota el #rea de la sección transversal hori"ontal del tanque a la altura h$aplicando el m/todo del volumen por secciones transversales se obtiene

2erivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del c#lculo

Comparando las ecuaciones

Esta es una ecuación diferencial de variables separables$ la cual al resolver su etaa la condición de conocer la altura inicial = para el tiempo (>=$ permite obtener lavariación de la altura del líquido en el tanque en función del tiempo.

-as medidas o dimensiones de los tanques se pueden e)presar de la siguienteforma:

E #0#'( N ( *% ' U'%+ +#$ Altura h%t( cm mt pies

olumen 1%t( Cm& Mt& ?ies &

Tiempo T seg seg seg

ravedad @6'cm+seg, @$6'mt+ seg, &,pies+seg ,

Frea del orificio desalida A Cm, Cm, ?ies ,

Frea de la seccióntransversal A%h( Cm

, Cm, ?ies ,

Coeficiente dedescarga C 0in Gnidades

-a constante C depende de la forma del orificio:

0i el orificio es de forma rectangular$ la constante C 9 4$6.0i el orificio es de forma triangular$ la constante 4$H I C I 4$3 .0i el orificio es de forma circular$ la constante C 9 4$H.


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J en algunos casos viene especificada.A ,' $ T%! $ D# T '7,#$

• C $ 1: Cilindro circular de altura h4 y radio K$ dispuesto en forma verticaly con un orificio circular de di#metro d.

y separando variables$

Lntegrando

Con las condiciones iniciales t94 y h9 h4$ se halla la constante C$ así:

Entonces de la ecuación se despe a el tiempo


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t

1

2 v


Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical.

D#$ "" !" *(%* .

Datos: Obtenidos del video que se hiso en una primera practica:

A (h) dhdt

=− ac √ 2 gh

A (h) dhdt =− ac √ 2 gh

CASO 1: Cuando solo e iste uncaudal de salida !"ariable#


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S# "% " ' $ + ( $ * ' "#$!#*( %+# ! " ,' $# ,'+ !"9*(%* .

D ( $:

2i#metro del cilindro %2( 4.,&4 m

2i#metro del orificio del cilindro %d( 4.4', m Altura del cilindro % ( 4., 4 mariación de altura final %h( 4.'@ m

R#$, ( + $:

Tiempo %t( .HH s

PREGUNTAS:

¿Cómo interpretas la ecuación de la continuidad para un volumen decontrol variable y un líquido incompresible?

Se toma el volumen ocupado por al agua como el volumen de control .en este caso,decrece el tamaño de este volumen con forme el nivel de agua desciende y donde estaes un volumen de control variable. Por lo tanto se determina que es un problema deflujo no estacionario (ecuación de continuidad) ya que las propiedades como lacantidad de masa en el interior del volumen de control cambian con el tiempo.

¿Cómo interpretas la ecuación de Torricelli a partir de la ecuación de laenergía?

etermina la velocidad del elemento a partir de la conservación de la energ!a yteniendo presente que si es la misma sustancia las densidad se van a eliminar .


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t

1

2 v


"#N"*US+#NES %

• Se determinó que la velocidad de salida del l!quido depende de la altura delvolumen de control y esta altura depende del tiempo.

• Se relacionan las leyes fundamentales de conservación de la materia tambi&nla conservación de la energ!a y a partir de ello se determinó la ecuación de'orricelli.

• l tener un caudal de ingreso constante el tiempo de vaciado va $acer muc$omayor o en el caso de que esta caudal de ingreso sea mayor que de la salidava $aber un puto de la altura del volumen de control casi constante.

RE"#,EN-A"+#NES %

• Tener cuidado en el mane o de las fórmulas de ra"ón de flu os volum/trico y demasa para aplicarlos en los c#lculos. En el segundo caso.

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