Tema 4- Regresión Lineal de Dos Variables
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Modelo de Regresión Lineal con 2 Variables (Capítulo 6) 4. Análisis de Regresión con Dos Variables 4.1 Análisis de Regresión Estudio de la relación entre la variable dependiente y otras variables independientes 4.1.1 Objetivos del Análisis de Regresión Estimar la media de la variable Y dados los valores de la X´s Contrastar hipótesis sobre la naturaleza de la dependencia Predecir Y dados X´s Combinar Objetivos 4.2 Función de Regresión de la Población (FRP) FRP No estocástica siendo los parámetros de la regesión. es la esperanza de Y condicionada a los valores de X
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Laboratorio de economtería usando STATA para describir un ejercicio de regresión lineal simple con dos variables. La base de datos puede consultarse enviando un correo a : [email protected]
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Modelo de Regresión Lineal con 2 Variables (Capítulo 6)
4. Análisis de Regresión con Dos Variables
4.1 Análisis de Regresión
Estudio de la relación entre la variable dependiente y otras variables independientes
4.1.1 Objetivos del Análisis de Regresión
Estimar la media de la variable Y dados los valores de la X´s Contrastar hipótesis sobre la naturaleza de la dependencia Predecir Y dados X´s Combinar Objetivos
4.2 Función de Regresión de la Población (FRP)
FRP No estocástica
siendo los parámetros de la regesión.
es la esperanza de Y condicionada a los valores de X
4.2.1 Especificación Estocástica de la Función de Regresión de la Población
FRP estocástica
donde:
son los parámetros poblacionales es el término de error, el cual es una variable estocástica incluye lo siguiente:
Variables no incluidas en el modelo Aleatoriedad del comportamiento de las variables Errores de medición Influencia de variables no muy relevantes (Navaja de Ockham)
4.2.2 Función de Regresión Poblacional FRP y de la muestra FRM
FRP
FRP No estocástica
FRM Estocástica
donde
4.3 Regresión Lineal Múltiple
Matricialmente esto se sintetiza como:
Así tenemos que en general ocurre que:
FRP
FRM
4.3.1 Método MCO-OLS
Técnica para ajustar la línea recta óptima a la muestra de observaciones X Y a fin de obtener estimadores de las La base del método consiste en minimizar la suma de cuadrados de las desviaciones entre los puntos y observaciones de la muestra y la línea de regresión teórica.
4.3.2 Derivación de estimaciones de MCO-OLS
donde
CPO
|
Tomamos
Ahora tomamos
Las ecuaciones y forman un sistema:
siendo las incógnitas
Solución: Reescribo el sistema:
Resolvemos por sustitución:
Ahora, dado obtenemos
Sustituyendo obtenemos los estimadores de MCO-OLS para dos variables
Ahora bien, ¿cómo sabemos que se trata de un mínimo?
CPO
Se trata de un mínimo
Notas:
No hay correlación
No hay correlación
no tiene necesariamente un significado económico específico.Estadísticamente es el efecto medio sobre Y de todas las variables en el modelo de regresión
Linealidad en el contexto del modelo MCO-OLS implica linealidad de los parámetros independientemente de que sean las lineales las
variables Lineal
No Lineal
Lineal
Modelo de Regresión Lineal con 2 Variables (Capítulo 7)4.4 Modelo de Regresión Lineal con 2 Variables
4.4.1 Supuesto del modelo de regresión lineal clásico
Linealidad de los parámetros
Las variables x´s no están correlacionadas "no multicolinealidad" Homocesdasticidad
No autocorrelación El modelo está correctamente especificado
4.4.2 Varianzas y Covarianzas Caso
Es el caso de 2 variables
Varianza de
Varianza de
Covarianza
Dado que no conocimos
Error Estandar de
Error Estandar de
4.4.3 Teorema de Gauss-Markov y MCO-OLS
Asumimos los supuestos del model de regresión lineal clásico, los estimadores de MCO son MELI (Mejores Estimadores Lineales Insesgados)
Propiedades:
son lineales
son insesgados
son eficientes
4.4.4 Distribuciones Muestrales de MCO-OLS
Dado
Tenemos que:
4.4.5 Contrastación de Hipótesis
¿Sirven los estimadores como variables explicativas?
Eso lo averiguamos con una prueba de hipótesis
Hipótesis Nula: la variable no sirve Hipótesis Alternativa: la variable sirve
¿Cómo la aplicamos?Idealmente dado que es una normal:
sin embargo depende de desconocida usamos como sustituto a
Criterio de Decisión
Rechazo
Aveces nos interesa saber en donde sepuede ubicar Esto lo podemos saber con un intervalo de confianza
Dado
Sustituyo:
Intervalo de Confianza al para
4.4.6 Bondad de Ajuste
¿Qué tan buena es la regresión?Analíticamente:
Despejo:
Coeficiente de Determinación
Coeficiente de Alineación
Coeficiente de Correlación
Propiedades:
4.4.7 Test de Normalidad
MCO-OLS funciona suponiendo normalidad. ¿Cómo lo verificamos?
1) Graficar residuos (Histograma de Residuos)2) Test Jarque-Bera
siendo S=sesgo y K=curtosis
En muestras grandes: AsintóticamenteSi hay Normalidad
3) Criterio de Decisión: Rechazo
Ejemplo:
¿Es normal? Acepto
4.4.8 P-valores e Hipótesis Nula
Si me interesa rechazar debiera tener un p-value cuyo valor sea pequeño (menor a 0.10)Si me interesa aceptar debiera tener un p-value cuyo valor sea grande (mayor a 0.10)
4.4.9 Calidad de la Predicción
Supongamos
dado valor numérico especificado
Predicción asociada a
En general se distribuye como
Dados desconocidos, usamos los estimadores muestrales y la normal ya no aplica, se usa la distribución :
Límite Superior:
Límite Inferior:
