Tema 4: Modulaciones Digitales Paso Banda COMII ETSETB-UPC · 4.3.3 PSK (MPSK+QPSK) ... 4.4...

Tema 4: Modulaciones Digitales Paso Banda COMII

ETSETB-UPC

Este documento pretende ser una ayuda para el estudio del tema 4 de la asignatura COMII de la ETSETB (Plan de Ing. en Telecomunicaciones), UPC. Margarita Cabrera Profesora de Comunicaciones II Dept. TSC ETSETB-UPC Septiembre, 2009

COM2 (M. Cabrera) T07 1

4 Modulaciones Digitales Paso Banda ........................................................................ 2

4.1 Introducción ...................................................................................................... 2 4.2 Densidad Espectral ........................................................................................... 2

4.2.1 Función de correlación. ............................................................................ 3 4.2.2 Función de autocorrelación promedio ...................................................... 4 4.2.3 Función de densidad espectral. ................................................................. 4

4.3 Modulaciones Lineales Paso-Banda ................................................................. 4 4.3.1 Diagrama de Bloques del Transmisor y del Receptor .............................. 6 4.3.2 ASK: Amplitude Shift Keying ................................................................. 8 4.3.3 PSK (MPSK+QPSK) ................................................................................ 9 4.3.4 Modulaciones QAM Cuadradas ............................................................. 10 4.3.5 Errores de sincronismo de portadora ...................................................... 10 4.3.6 Modulación Offset-QPSK ...................................................................... 12 4.3.7 Ejemplo de Comparación ....................................................................... 15

4.4 Modulaciones FSK ......................................................................................... 20 4.4.1 Condición de ortogonalidad ................................................................... 21 4.4.2 Probabilidad de error para FSK ortogonal .............................................. 22 4.4.3 Ejemplo: 2FSK ....................................................................................... 22

4.5 Modulaciones CPM: Continuous Phase Modulation ..................................... 25 4.5.1 Modulación y expresión de la señal CPM .............................................. 25 4.5.2 Análisis de la fase instantánea: ............................................................... 26 4.5.3 Modulación Minimum Shift Keying (MSK) .......................................... 27 4.5.4 Modulación Gaussian MSK ................................................................... 32

4.6 Ejercicios Propuestos ...................................................................................... 36 4.6.1 Ejercicio 1: DPSK .................................................................................. 36


4 Modulaciones Digitales Paso Banda

4.1 Introducción La Modulaciones Paso Banda pueden expresarse en función de las componentes en fase y en cuadratura, es decir, en función de la señal equivalente paso bajo. En el caso de modulaciones digitales, tanto la componente en fase como la componente en cuadratura resultan cada una de ellas una modulación digital paso bajo. En este tema se presentan dos tipos de diferenciados de modulaciones digitales paso banda. Las lineales, a las que en general se las denomina QAM (Quadrature Amplitude Modulation) y las no lineales, con especial atención a las modulaciones de frecuencia FSK (Frequency Shift Keying) y a las modulaciones de fase continua CPM (Continuoous Phase Modulation). El primer grupo, modulaciones QAM, resulta un caso particular de modulaciones fácilmente caracterizables mediante el espacio de señal. Su análisis da lugar a un espacio de señal de dimensión L=2, donde las dos funciones de la base ortonormales coincide cada una de ellas con una de las componentes en fase y en cuadratura (I&Q a partir de este punto). El segundo grupo de modulaciones, las no lineales, en general se caracterizan pero mediante el espacio de señal, por lo que el espacio de señal se utiliza únicamente para determinadas modulaciones no lineales. En general, las modulaciones CPM se detectan mediante un receptor no óptimo y su ventaja reside en su eficiencia espectral, ya que presentan un ancho de banda reducido, comparado con modulaciones lineales.

4.2 Densidad Espectral Para calcular la función de densidad espectral, tenemos dos posibilidades. Una de ellas consiste en realizar el análisis desde la perspectiva de espacio de señal, identificando las funciones de la base ortonormal generadora del espacio de señal y aplicando la teoría desarrollada en el tema 3. La segunda alternativa, que conduce al mismo resultado, consiste en realizar el análisis como proceso aleatorio paso-banda y aplicar, por tanto, la teoría desarrollada en la asignatura de Comunicaciones I. Mediante ambas alternativas se ha de obtener idéntico resultado. A continuación se presenta el desarrollo desde la perspectiva de proceso aleatorio paso-banda. Se obtiene como paso previo la función de correlación [ ]( , ) ( ) ( )sR t t E s t s tτ τ+ = + . Dado que al tratar con modulaciones digitales, dichas señales resultan cicloestacionarias, se obtendrá la función de correlación promedio 1ˆ ( ) ( , )s sTR R t t dtτ τ= +∫ en un

cicloperiodo y finalmente la función de densidad espectral ( )ˆ( )s sS f TF R τ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

En esta sección se obtiene la función de densidad espectral del proceso paso banda, en función de la densidad espectral del proceso pasobajo, formado por las componentes en fase y en cuadratura.


4.2.1 Función de correlación. Interpretando la modulación digital paso banda como:

( ) ( )( ) ( ) cos 2 ( )sen 2c s c c c s c cs t A i t f t A q t f tπ θ π θ= + − + y considerando las componentes I&Q como procesos aleatorios de funciones de correlación:

[ ][ ][ ][ ]

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

s

s

s s

s s

i s s

q s s

i q s s

q i s s

R t t E i t i t

R t t E q t q t

R t t E i t q t

R t t E q t i t

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

+ = +

+ = +

+ = +

+ = +

se obtiene la función de correlación para el proceso ( )s t :

[ ]( )

( )

( , ) ( ) ( )

[ ( )cos(2 ( ) ) ( )sen(2 ( ) )

( )cos(2 ) ( )sen(2 ) ]

s

c s c c c s c c

c s c c c s c c

R t t E s t s t

E A i t f t A q t f t

A i t f t A q t f t

τ τ

τ π τ θ τ π τ θ

π θ π θ

+ = + =

+ + + − + + +

+ − + =

( )( )( )( )

2

2

2

2

2

2

2

2

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) sen(2 (2 ) 2 ) sen(2 )

( , ) sen(2 (2 ) 2 ) sen(2 )

c

s

c

s

c

s s

c

s s

Ai c c c

Aq c c c

Ai q c c c

Aq i c c c

R t t f t f

R t t f t f

R t t f t f

R t t f t f

τ π τ θ π τ

τ π τ θ π τ

τ π τ θ π τ

τ π τ θ π τ

+ + + + +

+ + − + + +

− + + + −

− + + + +

(1)

En general, se asume que se cumple la siguiente condición. Si no fuera cierta, se debería retomar el análisis desde este punto.

( , ) ( , ) 0s s s si q q iR t t R t tτ τ+ = + =

Con ello, una primera simplificación para la expresión en (1), resulta:

( )( )

2

2

2

2

( , )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

c

s

c

s

s

Ai c c c

Aq c c c

R t t

R t t f t f

R t t f t f

τ

τ π τ θ π τ

τ π τ θ π τ

+ =

+ + + +

+ + − + + +

(2)

Asumiendo que el cicloperiodo de las componentes I&Q, T, es a su vez múltiplo del periodo de portadora, T 1c cf Nr T N N= = >> , propiedad que se justifica más adelante, el promedio de la función de autocorrelación en el cicloperiodo resulta:


( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

s s

s s s s

i i

q i q i

s s

R t t R t T t T

R t t R t T t T

R t t R t T t T

τ τ

τ τ

τ τ

+ = + + +

+ = + + +

⇒+ = + + +

4.2.2 Función de autocorrelación promedio Realizando el promedio de la función de autocorrelación en el cicloperiodo, se obtiene:

( )( )

2

2

1

1 12

2

ˆ ( ) ( , )

( , ) cos(2 ) ( , ) cos(2 )

ˆ ˆ( ) ( ) cos(2 )

c

s s

c

s s

s sT

Ai c q cT T

Ai q c

R R t t dt

R t t dt f R t t dt f

R R f

τ τ

τ π τ τ π τ

τ τ π τ

= + =

+ + + =

+

∫∫ ∫

4.2.3 Función de densidad espectral. Realizando la transformada de Fourier:

2 2 2 2

4 4 4 4

ˆ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )c c c c

s s s s

s s

A A A Ai c i c q c q c

S f TF R

S f f S f f S f f S f f

τ⎡ ⎤= =⎣ ⎦

− + + + − + + (3)

Las expresiones (2) y (3) se simplifican o bien toman valores, muy particulares en función del tipo de modulación considerado.

4.3 Modulaciones Lineales Paso-Banda Mediante una señal digital PAM se puede modular la amplitud, la frecuencia o la fase de una portadora sinusoidal. En 4.3 se analizan únicamente aquellas modulaciones en las que tanto la componente en fase como la componente en cuadratura de la modulación corresponden a modulaciones PAM, denominadas en general modulaciones QAM (Quadrature-Amplitude Modulation).

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )( ) cos 2 sen 2c c c c c cn

s t I n p t nT A f t Q n p t nT A f tπ θ π θ+∞

=−∞

= − + − − +∑

(4)

[ ] ( )

[ ] ( )

( )

( )

sn

sn

i t I n p t nT

q t Q n p t nT

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= −

= −

∑

∑


En general, se asume que los símbolos son equiprobables, estadísticamente independientes en tiempo y en número M igual a una potencia de 2.

[ ] [ ] ( ){ } 1Pr ; 2bMm

I n jQ n I jQ M+ = + = = donde por comodidad se han definido símbolos complejos, haciendo coincidir la parte real del símbolo con el símbolo de la modulación PAM correspondiente a la componente en fase y la parte imaginaria del símbolo con el símbolo de la modulación PAM correspondiente a la componente en cuadratura. Por temas de obtención de las diferentes señales de reloj que se utilizan tanto en el modulador como en el demodulador, es frecuente que se cumpla la siguiente relación entre frecuencia portadora y velocidad de símbolo.

T 1c cf Nr T N N= = >> (5) En cuyo caso, se puede generar el espacio de señal a partir de las funciones:

( ) ( )( ) ( )

1

2

( ) ( ) 2 cos 2

( ) ( ) 2 sen 2i c c

q c c

t t p t f t

t t p t f t

ϕ ϕ π θ

ϕ ϕ π θ

= = + +

= = − + (6)

donde ( )p t corresponde a un pulso cualquiera elegido habitualmente en modulaciones PAM, de energía igual a uno y cuya función de autocorrelación cumple las condiciones de ISI nula. El signo negativo elegido para la componente en cuadratura es útil para que la representación del espacio de señal transmitido, coincida con la representación de la constelación de señal tal como se define para modulaciones QAM. Obsérvese que si el pulso cumple [ ]( )pR mT mδ= , las dos funciones generadoras del espacio de señal presentadas en (6) cumplen las condiciones de ISI, ICI nulas:

( )( )

( ) [ ]( )

( ) ( ) ( ) cos 2

( ) ( ) ( )sen 2

( ) ( ) ( ) cos 2

( ) ( ) ( )sen 2 0

i q

q i i q

i q

q i i q

p c

p c

p

p

R R R f

R R R f

R mT R mT R mT mN m

R mT R mT R mT mN

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

τ τ τ π τ

τ τ τ π τ

π δ

π

= =

= − = −

= = =

= − = − =

(7)

En la Figura 1, se presenta un ejemplo de funciones, para el caso en que el pulso elegido sea rectangular.

( ) ( ) ( ) ( )( )/ 21

( ) 2 cos 2 ; ( ) 2 sen 2

( ) ; ; 5; 0i c c q c c

t Tc cTT

t p t f t t p t f t

p t T NT N

ϕ π θ ϕ π θ

θ−

= + + = − +

= Π = = =

En el desarrollo de las propiedades anteriores se ha considerado que se cumple (5), pues de lo contrario, las condiciones (7), solo serian válidas de forma aproximada.


Figura 1 Ejemplo de funciones ( ), ( )i qt tϕ ϕ . El eje temporal se halla normalizado al tiempo de símbolo. En estas condiciones la señal QAM expresada en (4) queda expresada mediante las funciones (6)

[ ] ( ) [ ] ( )( )( ) i i q qn

s t n t nT n t nTα ϕ α ϕ+∞

=−∞

= − + −∑ (8)

con [ ] [ ] [ ] [ ]2 2

c cA Ai qn I n n Q nα α= =

4.3.1 Diagrama de Bloques del Transmisor y del Receptor En la Figura 2 se presentan el diagrama de bloques funcional del modulador, tanto en la versión espacio de señal, como desde la perspectiva de Up-Conversion. Ambos esquemas son equivalentes y producen la misma señal. .

[ ]i nα

Codif Símbol

[ ]'b n

[ ]q nα

( )q t nTϕ −

( )i t nTϕ −

( )s t

+

⊗

⊗


Figura 2 Diagrama de bloques funcional para modulaciones digitales con espacio de señal de dimensión L=2. Ambos esquemas son equivalentes. En el primero pueden distinguirse las etapas Software/Hardware. En el segundo pueden distinguirse las etapas Software/Hardware y dentro de la parte Hardware, la parte de conformación de pulso y la parte de Up-Conversion. En la Figura 2 se presentan el diagrama de bloques funcional del receptor óptimo, tanto en la versión espacio de señal, como desde la perspectiva de Down-Conversion. Ambos esquemas son equivalentes y producen la misma probabilidad de error.

[ ]I n

Codif Símbol

[ ]'b n

[ ]Q n

( )p t nT−

( )p t nT−

( )s t

+

⊗

⊗

cos(2 )c c cA f tπ θ+

⊗

⊗sen(2 )c c cA f tπ θ− +

( )r t

( )iy t

( )i t tϕϕ − MAP

[ ]ˆi kα

( )qy t

( )q t tϕϕ − MAP

[ ]ˆq kα

k dt t kT= +

[ ] [ ]i ik kα β+

[ ] [ ]q qk kα β+


Figura 3 Diagrama de bloques funcional para el receptor óptimo para modulaciones digitales paso-banda lineales. Ambos esquemas son equivalentes. En el primero pueden distinguirse las etapas Hardware/ Software. En el segundo pueden distinguirse las etapas Hardware/ Software y dentro de la parte Hardware, la parte de down-Conversion y la parte de filtro adaptado.

4.3.2 ASK: Amplitude Shift Keying Mediante este tipo de modulación solo se presenta la componente en fase, la dimensión del espacio de señal resulta L=1 y las coordenadas [ ] [ ]2

cAi n I nα = modulan

directamente la amplitud. El pulso utilizado es rectangular.

[ ] ( ) [ ]( ) ( )cos 2 ( )c c c i in n

s t A I n p t nT f t n t nTπ θ α ϕ+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − + = −∑ ∑

Codificación de símbolos y elección de pulso

[ ][ ] ( ) ( )

( )2

/ 21

0, ,......, ( 1)

0, ,......, ( 1) 0,1,......, ( 1)

( )

cAi

t TTT

I n A M A

n A M A d M

p t

α−

= −

= − = −

= Π

Energía media de bit:

2 2 2 21

( 1)(2 1)2 2 3 116 6

0

sM

E M Md d M M db b b M b b

mE m

−− − − +

=

= = = =∑

La BER en detección para canal ideal de atenuación cero dB y ruido gaussiano es

( )2( 1)2

M db bMBER P Q σ

−= = ( )0

2( 1) 3( 1)(2 1)

bEM bbM M M NQ−

− −=

( )iy t

( )iy t( )dp t t−⊗

∼2π

( )2cos 2 c cf tπ θ+

( )2sen 2 c cf tπ θ− +

( )qy t( )dp t t−⊗

MAP

[ ]I k

MAP

[ ]Q k

FPBda


4.3.3 PSK (MPSK+QPSK) Mediante este tipo de modulación la dimensión del espacio de señal resulta L=2 y las coordenadas [ ] [ ] [ ] [ ]2 2

, c cA Ai qn I n n Q nα α= = modulan directamente la fase de la señal

portadora. El pulso utilizado es rectangular.

[ ] ( ) [ ] ( )( )

[ ] [ ]( ) ( )( ) ( )

[ ]( ) ( )( )

2

2

( )

Re

Re

c c

c c

i i q qn

j f tc

n

j f t nc

n

s t n t nT n t nT

I n jQ n p t nT A e

A e p t nT

π θ

π θ φ

α ϕ α ϕ+∞

=−∞

+∞+

=−∞

+∞+ +

=−∞

= − + − =

⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

∑

Codificación de símbolos y elección de pulso

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] ( )[ ]

( )

2

2

2

3 5 74 4 4 4

/ 21

cos

sen

0,1,.., ( 1)

, , ,

( )

c

c

Ai

Aq

MPSK m M

QPSK

t TTT

n n

n n

n M

n

p t

π

π π π π

α φ

α φ

φ φ

φ−

=

=

= = −

=

= Π

Vector de Señal:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]2

cos cossen sen

ci Ab

q

n n nn bE

n n nα φ φα φ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

s

Distancia entre dos símbolos y relación con la energía media de bit:

( )

22 1 22

1 11 2

222 22

2

cos cossen sen

cos12 2cos 4 sen

sen0

b

Mb b bM M

M

d bE

bE bE bEπ

π ππ

φ φφ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s s

La probabilidad de error de símbolo para canal ideal de atenuación cero dB y ruido gaussiano se puede obtener a partir de la cota superior:

( ) ( )( )0

22( 1) ( 1) 2 sen bEd

e M NP M Q M Q b πσ≤ − = −


4.3.4 Modulaciones QAM Cuadradas En las modulaciones con constelaciones cuadradas, se tiene que el número total de símbolos es una potencia de 4 y por tanto, el número de bits codificados por símbolo es par.

2 '2 2b bM = =

En estas condiciones, cada símbolo resulta [ ] [ ][ ]

,

.

i mi

q mq

nn

nαααα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

s con ,i mα un valor

cualquiera de ( )1 11 12 2 2 2,.., , ,...,M Md d d d− −− − + + y ,q mα un valor cualquiera de

( )1 11 12 2 2 2,.., , ,...,M Md d d d− −− − + + .

Es equivalente a tener una codificación polar de '

2b

M = niveles para la componente en fase, obtenida a partir de los bits pares codificados de 'b en 'b y de forma independiente una codificación polar de '

2b

M = niveles para la componente en cuadratura, obtenida a partir de los bits pares codificados de 'b en 'b . En estas condiciones cada una de las ramas fase y cuadratura se puede detectar de forma independiente, y por tanto calcula su probabilidad de error también de forma independiente. La energía media transmitida por bit se relaciona con la distancia mínima entre símbolos d.

( )2 2 21 16

s

i i

E Mb b b bE dα ασ σ −= = + =

En estas condiciones, la BER en detección para canal ideal de atenuación cero dB y ruido gaussiano se puede calcular únicamente para los bits de una componente, ya que coinciden entre sí.

( ) ( )02

2( 1) 4( 1) 32 1

bb

EM Md bb M NM b M

BER P Q Qσ− −

−= = =

4.3.5 Errores de sincronismo de portadora Para evaluar el efecto de los errores de sincronismo de portadora, se considerarán las siguientes funciones en recepción , ,( ), ( )Rx i Tx qt tϕ ϕ , que corresponden a las funciones de la base con un error de fase de portadora: cε .

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,

,

( ) 2 cos 2 cos ( ) sen ( )

( ) 2 sen 2 sen ( ) cos ( )Rx i c c c c i c q

Tx q c c c c i c q

t p t f t t t

t p t f t t t

ϕ π θ ε ε ϕ ε ϕ

ϕ π θ ε ε ϕ ε ϕ

= + + + = +

= − + + = − +

Por tanto, a la salida del primer filtro adaptado a , ( )Rx i tϕ , la señal muestreada, suponiendo canal AWGN ideal de atenuación 0dB, se puede expresar como:


[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) cos sen

( ) sen cosi k i c i c q i

q k q c i c q q

y t y k k k k

y t y k k k k

ε α ε α β

ε α ε α β

= = + + +

= = − + +

Es decir, se ha producido un giro en la constelación de la señal:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )cji q i q i qy k jy k k j k e k j kεα α β β−+ = + + +

o bien de forma matricial:

[ ] [ ][ ]

( ) ( )( ) ( )

[ ][ ]

[ ][ ]

cos sensen cos

i i ic c

q q qc c

y k k kk

y k k kα βε εα βε ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y

Los efectos sobre la constelación de la señal, se pueden ver en la Figura 4.

Figura 4 Modulación QPSK. Constelación transmitida en color azul y recibida en color rojo. Se supone 4c

πε < . Las distancias suponiendo 4c

πε < , por ejemplo del símbolo en el primer cuadrante respecto a cada uno de los ejes, para la señal transmitida son igual a 2

d y para la señal recibida son igual a

( )( )

1 42

2 42

sen

cos

dc

dc

d

d

π

π

ε

ε

= −

= −

De este modo, la probabilidad de error de símbolo para nivel alto de

0

bEN errores de fase

cε pequeños, se puede aproximar por:

qα

qα

1d

d

cε2d


( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2

0 0

2 24 4sen 4 cos 4b bE Ed d

e c cN NP Q Q Q Qπ πσ σ ε ε+ = − + −

4.3.6 Modulación Offset-QPSK La modulación Offset-QPSK consiste en una modulación QPSK de pulsos rectangulares, en la que se ha limitado la máxima variación de fase instantánea. Así como en una modulación QPSK convencional, se llegan a producir saltos de π± rad. entre dos símbolos consecutivos, en la modulación Offset-QPSK (OQPSK) estos saltos de fase instantánea se reducen a la mitad 2

π± rad., evitando que la componente en fase y la componente en cuadratura cambien de signo simultáneamente. La limitación del máximo salto de fase instantánea, es útil cuando la señal se amplifica mediante amplificadores de alta potencia, próximos a presentar un comportamiento no lineal. Como ejemplo, este tipo de amplificadores son frecuentes en transponders de satélites. El efecto sobre la señal, de las no linealidades empeore con el nivel de salto de fase, por lo que en este sentido OQPSK presenta ventajas respecto a QPSK. Para evitar que ambas componentes cambien de signo simultáneamente en el transmisor, la componente en cuadratura se retarda temporalmente un tiempo equivalente a medio periodo de símbolo: 2

T , y posteriormente en recepción, en paso bajo, se retarda la componente en fase temporalmente un tiempo equivalente a medio periodo de símbolo: 2T , y de este modo quedan de nuevo las dos componentes sincronizadas. En la Figura 5 se presenta el diagrama de bloques para el transmisor OQPSK.

Figura 5 Diagrama de bloques transmisor OQPSK En la Figura 6 se presenta el diagrama de bloques para el receptor OQPSK.

[ ]I n

Codif Símbol

[ ]'b n

[ ]Q n

( )p t nT−

( )p t nT−

( )s t

+

⊗

⊗

cos(2 )c c cA f tπ θ+

⊗

⊗sen(2 )c c cA f tπ θ− +

T/2


)(tr

( )iy t

( )dp t t−⊗

∼2π



( )qy t( )dp t t−⊗

k dt t kT= +

MAP[ ]I k

MAP[ ]Q k

FPBda

T/2

)(tr

( )iy t

( )dp t t−⊗

∼∼2π



( )qy t( )dp t t−⊗

k dt t kT= +

MAP[ ]I k

MAP[ ]Q k

FPBda

T/2

Figura 6 Diagrama de bloques receptor OQPSK En la Figura 7 se muestra la evolución temporal para las componentes I&Q para modulación QPSK y sobre la constelación de fase se halla indicado el máximo salto de fase instantáneo producido a partir del ejemplo. En la Figura 8 se muestra la evolución temporal para las componentes I&Q para modulación OQPSK y sobre la constelación de fase se halla indicado el máximo salto de fase instantáneo producido a partir del ejemplo.

Figura 7 Evolución de las componentes en fase y en cuadratura y diagrama de fase para la modulación QPSK convencional.

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 ( )si t

T

( )sq t

34

4

434

( )s tπ

π

π

π

θ+

+

−

−

( )s tθ πΔ =

iα

qα

( )s tθ πΔ =

(1, 1) (0, 1)

(1, 0) (0,0)


Figura 8 Evolución de las componentes en fase y en cuadratura y diagrama de fase para la modulación Offset-QPSK.

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 ( )si t

T

( )sq t

34

4

434

( )s tπ

π

π

π

θ+

+

−

−

2 2( )s t π πθΔ = +

iα

qα(1, 1) (0, 1)

(1, 0) (0,0)

2 2( )s t π πθΔ = +


4.3.7 Ejemplo de Comparación Se van a analizar 5 formatos diferentes para transmitir constelaciones de 16 símbolos y compararlas entre sí. El objetivo final de todas las comparaciones consiste en establecer una escala de menor a mayor aprovechamiento de energía media transmitida por bit, calculando las ganancias relativas de ( )0

bEN dB

.

16ASK Este tipo de modulación es de dimensión L=1.

Figura 9 Constelación 16ASK Cálculo de la energía de bit:

( ) ( )2 ( 1) (2 1) ( 1)(2 1)2 216 6

1 1( 1)(2 1) 2 2155

6 2

Pr ( 1)

4

M MM M M M M

s m m M Mm m

M Mb

E E m d d d

d d E

− − − −

= =

− −

= = − = = =

= =

∑ ∑s

Por tanto: 2155

8bE d= y 2 8155 0.0516b bd E E= =

Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

2 1 15 0.0516 152 32 2 32 0.0258b bM E Ed

b bM N NBER P Q Q Qσ−= = = =

iαd


16PSK

Figura 10 Constelación 16PSK Cálculo de la distancia mínima d:

( )

2 22 222

2 1 22

222 22

2

cos cos 1sen0sen

cos 12 2cos 4 sen 4 sen

sen

s M Mss

Ms M

Ms s s bM M M

M

E Ed EE

E E E bE

π π

ππ

ππ π π

π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

−⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

s s

Cálculo de la energía de bit:

2 216

2 21 14 sen 16senM

b bE d dπ π= = y 2 2

1616sen 0.609b bd E Eπ= =


( ) ( ) ( )0 0

0.6092 1 12 2 2 2 0.305b bE Ed

b b N NBER P Q Q Qσ= = = =

iα

qα

d


16 QAM

Figura 11 Constelación 16QAM Cálculo de la energía de bit:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

9 9 9116 4 4 4 4 4 4

1

2 29 514 2 2 2

Pr 4 8 4

5 4

Md d d d d d

s m mm

d db

E E

d d E=

= = + + + + + =

+ + = =

∑ s

Por tanto: 25

8bE d= y 2 85 1.6b bd E E= =


( ) ( ) ( ) ( )0 0

4 1 3 1.6 32 4 2 4 0.8b b

M E Edb N Nb M

BER P Q Q Qσ

−= = = =

iα

qα

d d


16 Star-QAM

Figura 12 Constelación 16 StarQAM Cálculo del radio interior respecto a la distancia mínima d:

8

2 2 28 2sen4 sen dd r r ππ= ⇒ =


( )( ) ( ) ( )288

22 2 2 2 21 1 1 1 116 2 22sen4sen

8 8 2 2 3.5137 4s bE r r d r rd d d d Eππ= + + = + + = + + = =

Por tanto: 2 0.8784bE d= y 2 1.1384 bd E= Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( )0 0

3 3 1.1384 34 2 4 2 4 0.5692b bE Ed

b N NBER P Q Q Qσ= = = =

iα

qα

d

d


Q2PSK (M=16) Este tipo de modulación, es de dimensión L=4 y utiliza por tanto 4 funciones ortonormales cuyas coordenadas son binarias.

Las coordenadas respecto a la base de L=4 elementos son:

2

2

2

2

d

d

m d

d

±⎛ ⎞⎜ ⎟±⎜ ⎟=⎜ ⎟±⎜ ⎟⎜ ⎟±⎝ ⎠

s


( ) ( )( )2 2 2 2 2116 4 4 4 4

1Pr 16 4

Md d d d

s m m bm

E E d E=

= = + + + = =∑ s

Por tanto: 21

4bE d= y 2 4 bd E= = Y la BER se aproxima por:

( ) ( )0

3 32 4 2 bEd

b b NBER P Q Qσ= = =

Tabla comparativa:

M=16

16ASK

16PSK

16 Star-QAM

16QAM

QQPSK

2bd cteE= 2 0.0516 bd E= 2 0.609 bd E= 2 1.1384 bd E= 2 1.6 bd E= 2

bd E=

( )2dQ σ ( )0

0.0258 bENQ ( )0

0.305 bENQ ( )0

0.5692 bENQ ( )0

0.8 bENQ ( )0

2 bENQ

Ganancias Relativas de ( )0

bEN dB

( )0.30510 0.025810 log

10.72dB= ( )0.5692

10 0.30510 log2.72dB=

( )0.810 0.569210 log

1.47dB= ( )2

10 0.810 log3.98dB=

( )2dQ σ

para

010bE

N =

0.3057 4 E-2 8.5 E-3

2.3 E-3 3.9 E-6

( )2dQ σ

para

020bE

N =

0.2363 6.8 E-3 3.7 E-4

3.2 E-5 1.3 E-10


4.4 Modulaciones FSK Las modulaciones Frequency Shift Keying (FSK), son modulaciones en las que la frecuencia de la señal modulada va variando de forma discreta. Un modo de interpretar este fenómeno es que la frecuencia instantánea coincide con una modulación PAM polar de pulsos rectangulares, según se expresa a continuación.

[ ] ( )

[ ]( )( ) ( )

( ) [ ]

( ) cos 2 2

cos 2 2 ( )

( ) 2 ( ); ( 1)

t

FSK c c c dn

c c c d sn

s d sn

s t A f t f a n p nT d

A f t f a n t nT nT p t nT

t f t nT a n nT nT t n T

π θ π λ λ

π θ π φ

φ π φ

+∞

=−∞ −∞

+∞

=−∞

+∞

=−∞

⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − + −

= − + ≤ ≤ +

∑ ∫

∑

∑

(9)

donde df representa la sensibilidad de frecuencia, ( ) ( )/ 2t T

Tp t −= Π y las amplitudes

[ ]a n en general se toman como valores enteros:

[ ] 1, 3,..., ( 1)ma n a M= = ± ± ± − (10) La señal definida en (9) es de fase instantánea ( )s tφ continua. Es una característica deseable para mantener el ancho de banda estrecho en las modulaciones de frecuencia. La frecuencia instantánea de la señal ( )FSKs t es igual a:

[ ]( ) ; ( 1)s c df t f f a n nT t n T= + ≤ ≤ +

Por tanto, el parámetro df determina la separación entre las frecuencias instantáneas correspondientes a dos símbolos vecinos: 2 df Hz. A modo de ejemplo se muestra la ocupación frecuencial de este tipo de modulación en la Figura 13.

Figura 13 Ocupación espectral de los símbolos 8FSK.

cf2 df1 ( 1) df M f= − − ( 1) M df M f= + −


4.4.1 Condición de ortogonalidad Una condición interesante en el análisis de este tipo de modulación, se presenta cuando los diferentes símbolos transmitidos son ortogonales entre sí. La modulación FSK puede expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ; cos 2 2 ( )FSK m m c c c d m sn

s t s t nT s t A f t f a t nT p tπ θ π φ+∞

=−∞

= − = + + +∑

(11) En (11), la fase inicial de cada símbolo es ( )s nTφ y en general será una variable aleatoria acotada a un número de valores pequeño. Véase como influye para la ortogonalidad. La condición de ortogonalidad entre dos símbolos se expresa como:

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )[ ]

2

2

( 1)

( 1)

2

2

cos 2 2 2 2 ( ) cos 2c

c

n T

m jnT

n TA

c d m j c s d m jnT

A T

s t nT s t nT dt

f f a a t nT f a a t dt

m j

π θ φ π

δ

+

+

− − =

+ + + + + − =

−

∫

∫ (12)

donde se ha considerado:

2 4N N

d m j df a a r f r− = ⇒ = (13)

La diferencia mínima entre símbolos m ja a− es 2, tal como se han definido estas amplitudes en (10). De (13) se deduce que la mínima distancia entre símbolos (N=1) para que se cumpla la condición de ortogonalidad entre símbolos es de:

14df r=

Para ello se debe cumplir que cf r>> y de este modo la integral del primer sumando en (12) se iguala a cero. En la deducción de (13) se ha asumido que se va a realizar sobre la señal una demodulación coherente. Es decir, para que las señales sigan siendo ortogonales en recepción, el receptor debe diseñarse con el valor exacto de la fase de portadora, tal como se ha generado en transmisión. Si se realiza una detección no coherente, para preservar la condición de ortogonalidad entre frecuencias la condición debe ser

2N

d m j df a a Nr f r− = ⇒ = (14)


En la práctica, interesa elegir el mínimo valor del entero N posible, es decir N=1, ya que al aproximar las diferentes frecuencias instantáneas de la señal resultante ( )FSKs t , siempre repercute en mantener el ancho de banda menor que eligiendo mayores valores de N.

4.4.2 Probabilidad de error para FSK ortogonal Cuando se tenga un alfabeto ortogonal y se realice una detección coherente, se puede analizar la probabilidad de error utilizando la teoría de espacio de señal, tal como se presentó en el tema 3 para modulaciones M ortogonales: Definiendo las L=M funciones de la base como

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 cos 2 2 0m

m m c c d m sTEt s t f t f a t p tϕ π θ π φ= = + + +

Aunque la fase inicial ( )0sφ de la función de la base, representa en sí misma una ambigüedad, no influye en la ortogonalidad, entre las diferentes funciones. Dado que todas las señales del alfabeto presentan igual energía:

2 2

2 2 ; 1,..,cA T ds b mE bE E m M= = = = =

los vectores de señal resultan

( ) 2

: :1 1 "Coordenada ": :

dm st E m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ←⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s

y por tanto se puede hallar una cota superior para la probabilidad de error:

( ) ( )02( 1) ( 1) b bEde NP M Q M Qσ≤ − = −

4.4.3 Ejemplo: 2FSK Este tipo de modulación, se muestra con el objetivo de presentar un ejemplo en el que cumpliéndose la condición 1

2df r= , se obtienen símbolos ortogonales entre sí. Utilizando un único oscilador de señal, la expresión obtenida para los símbolos

1 2( ), ( )s t s t , no es única, pues depende de la fase inicial de la señal al principio de cada símbolo, sin embargo, se mantiene la ortogonalidad y además, la continuidad de fase entre símbolos. Los posibles símbolos a transmitir son:


( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

21 2

2

22 2

2

cos 2cos 2

cos 2

cos 2cos 2

cos 2

rc c cr

c c c rc c c

rc c cr

c c c rc c c

A f t p ts t A f t p t

A f t p t

A f t p ts t A f t p t

A f t p t

π θπ θ

π θ π

π θπ θ

π θ π

⎧ + +⎪= ± + + = ⎨+ + +⎪⎩

⎧ − +⎪= ± − + = ⎨− + +⎪⎩

En la Figura 14 se muestra la evolución de la señal temporal para este ejemplo, a lo largo de 4 símbolos. Se ha utilizado 2cf r= , para facilitar la visualización de la señal. Puede apreciarse las dos formas diferenciadas resultantes para cada uno de los dos símbolos generados 1 2( ), ( )s t s t .

Figura 14 Ejemplo de modulación 2FSK, generada a partir de un único oscilador y considerando 0cθ = . Análisis de la densidad espectral de 2FSK. El análisis de la función de densidad espectral se puede plantear de forma análoga a lo desarrollado en el apartado 4.2, pero particularizado a esta modulación. Como paso previo se identifican las componentes en fase y en cuadratura de la señal.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) cos ( )

cos cos

t nTs s T

n

t nTT

n

i t nT rt

rt rt

φ π

π π

+∞−

=−∞

+∞−

=−∞

= + Π =

± Π =

∑

∑

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ]

( ) sen ( ) sen

Q n sen ;

Q n 1 con equiprobabilidad y sin memoria

t nT t nTs s T T

n n

t nTT

n

q t nT rt rt

rt

φ π π

π

+∞ +∞− −

=−∞ =−∞

+∞−

=−∞

= + Π = ± Π =

Π

= ±

∑ ∑

∑

2 ( )s t 2 ( )s t T− 1( 2 )s t T− 1( 3 )s t T−


Por lo que la densidad espectral para las componentes en fase y en cuadratura para este tipo de modulación resulta:

( ) ( )( )( )

( )2 22

14 2 2

2cos4

1

( )

( )

( ) ( ) 0

s

fr

fsr

s s s s

r ri

q r

q i i q

S f f f

S f

S f S f

π

π

δ δ

−

= − + +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠= =

y para la señal paso banda:

( )2

4( ) ( ) ( ) ( ) ( )c

s s s s

As i c q c i c q cS f S f f S f f S f f S f f= − + − + + + +

Sustituyendo adecuadamente, se obtiene la función de densidad espectral para la modulación 2FSK.


4.5 Modulaciones CPM: Continuous Phase Modulation Se trata de una modulación de frecuencia en la que los dos principales objetivos consisten en:

• Mantener el ancho de banda de transmisión acotado. • Mantener continuidad en la fase instantánea de la modulación ( )s tφ . En general,

no es suficiente que la fase instantánea sea continua, sino que cuanto mayor número de derivadas tenga continuas, el ancho de banda permanece más acotado.

4.5.1 Modulación y expresión de la señal CPM Para garantizar la continuidad de fase se utiliza un único oscilador según se muestra en la figura adjunta.

Figura 15 Esquema Modulador CPM La señal a la salida del Modulador PAM se puede expresar como:

[ ]( ) ( )n

x t n p t nTα+∞

=−∞

= −∑ (1.15)

Las amplitudes [ ]nα corresponden a un alfabeto de M símbolos. M en general es potencia de 2, ya que se codifican b bits por símbolo. 2bM = .

[ ]

[ ] 1

1, 2,..., ( 1) 1 21..

Pr

m

m M

n M M mm Mα α

α

= = ± ± ± − = − − +

=

=

El modulador FM genera la siguiente señal de salida:

( )( ) cos 2 2 ( ) cos 2 ( )t

c c d c cs t A f t f x d A f t tπ π λ λ π φ−∞

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (1.16)

Observaciones sobre la señal anterior: Frecuencia instantánea de la señal ( )s t :

[ ]b kMod. PAM

Mod. FM

∼

( )CPMs t( )x t

cf


( )1 12 2( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( )

td d

s c d c c ddt dtf t f t f x d f t t f f x tπ ππ π λ λ π φ π π−∞

⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Componentes en Fase y en Cuadratura:

( ) cos ( )( ) sin ( )

s

s

i t tq t t

φφ

==

Energía Media Transmitida por bit: 2

2s cE A

b s b bbE PT T= = =

4.5.2 Análisis de la fase instantánea: El mensaje determina de forma explícita la fase instantánea de la señal CPM y según ello la expresión queda:

[ ] [ ]

[ ]

( ) 2 ( )

2 ( ) 2 ( )

2 ( )

t

d

t t nT

d dn n

dn

t f x d

f n p nT d f n p d

f n q t nT

φ π λ λ

π α λ λ π α γ γ

π α

−∞

−+∞ +∞

=−∞ =−∞−∞ −∞

+∞

=−∞

= =

− = =

−

∫

∑ ∑∫ ∫

∑

(17)

donde: ( ) ( )t

q t p dλ λ−∞

= ∫

Suponiendo pulsos ( )p t causales de duración LT seg.,

0

(0) ( ) 0

( ) ( ) (0)t LT

q p d

q t p d P

λ λ

λ λ

−∞

+∞

≥−∞

= =

= =

∫

∫

Con las consideraciones anteriores, la expresión (17) se simplifica. La fase de la señal CPM en el intervalo de análisis ( 1)kT t k T≤ ≤ + se expresa como:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1

1

1

( ) 2 (0) 2 ( )

2 (0) 2 ( )

2 (0) 2 1 ( ( 1) )

t nTk L k

d dn n k L

k L k

d dn n k Lk L L

d dn l

t f n P f n p d

f n P f n q t nT

f n P f k l q t k l T

φ π α π α γ γ

π α π α

π α π α

−−

=−∞ = − + −∞

−

=−∞ = − +

−

=−∞ =

= + =

+ − =

+ − + − − +

∑ ∑ ∫

∑ ∑

∑ ∑


Es muy frecuente trabajar con pulsos ( )p t normalizados, tal que (0) ( )P p t dt T+∞

−∞

= =∫ . En

estas ocasiones al cociente dfd rh f T= = , sin unidades, se le suele denominar índice de la

modulación. La decisión de símbolos suele realizarse a partir de las muestras en instantes de muestreo que sean múltiplos del periodo de símbolo. Para tales muestras, los valores de la fase en ( 1)kT t k T≤ ≤ + son:

( )

[ ] [ ]

[ ] [ ]1

1 1

1

( ) ( 1 )

2 2 1 ( )

2 2 1 ( )

k

k L L

d dn l

k L L

dn l

t k T

f T n f k l q lT

h n f k l q lT

φ φ

π α π α

π α π α

−

=−∞ =

− + −

=−∞ =

= + =

+ − + =

+ − +

∑ ∑

∑ ∑

(18)

En la expresión anterior (última línea), el primer sumando representa la influencia de los símbolos transmitidos hasta ( 1)t k L T≤ − + y es debida a la integral del modulador de FM. El segundo sumando se halla influenciado por los L-1 últimos símbolos recibidos y en general cuando la duración del pulso ( )p t , L es 1≥ se interpreta como ISI, o también CISI, (Controlled ISI) ya que es una ISI introducida deliberadamente en el transmisor con el objeto de mantener el espectro acotado. En los apartados siguientes se revisan dos casos particulares de modulaciones CPM. Para particularizar en cada caso se ha de determinar:

- Número de niveles de la modulación M. - Sensibilidad de frecuencias df que normalmente se da normalizada a la

velocidad de símbolo ( dfrh = ).

- Pulso base de la modulación PAM.

4.5.3 Modulación Minimum Shift Keying (MSK) Consiste en un caso particular de modulación binaria CPM. Se trabaja con la mínima separación frecuencial necesaria para conservar ortogonalidad entre las dos portadoras:

2 1,mM α= ⇒ = ±

1 1 1 1 14 4 4 4bd b dTf r r h f T= = = ⇒ = =

y el pulso elegido para la modulación PAM es el rectangular:

( )/ 2

0 0( ) ( ) 0

(0)

t TT

tp t q t t t T

T P T t

−

≤⎧⎪= Π ⇒ = ≤ ≤⎨⎪ = ≤⎩

En esta situación la fase instantánea de la señal ( )s t es:


[ ] [ ]

[ ]0

2

( ) 2 (0) 2 ( )

( ) ( )

t kTk L

d dn

t f n P f k p d

kT r k t kTπ


φ α

−−

=−∞

= + =

+ −

∑ ∫ (19)

Figura 16 Pulsos de la fase y la frecuencia instantáneas de MSK

( )/ 2( ) t TTp t −= Π

tT

( )q t

T t

(0)P

bT

1 0 1 1 0 0 0 1

t

bT

t

2π

( )s tφ

( ) ( )s df t f x t=

df+

df−

tt

2π

( ), ( )s si t q t


Figura 17 Frecuencia y fase instantáneas de la modulación MSK y componentes en fase (continua) y cuadratura (discontinua) para una secuencia de bits determinada. Como puede observarse para el ejemplo de la Figura 17, la forma temporal de las señales I&Q es similar a la de Offset-QPSK. Esta similitud facilita el análisis de la densidad espectral. En cuanto a la demodulación de ambas señales (MSK y Offset-QPSK) es diferente entre sí. Componentes en fase y en cuadratura resultantes:

[ ] ( ) ( ) [ ]

[ ] ( ) ( ) [ ]

2 22 2

2 22 2

( ) cos ( 2 )

( ) cos ( 2 )

b b

b b

b b b b

b b

t k T t k Ts bT T

k k

t k T T t k T Ts b bT T

k k

i t I k I k g t KT

q t Q k Q k g t KT T

π

π

+∞ +∞− −

=−∞ =−∞

+∞ +∞− − − −

=−∞ =−∞

= Π = −

= Π = − −

∑ ∑

∑ ∑

Las componentes I&Q son análogas a las obtenidas para Offset-QPSK con pulso conformador igual a

( ) ( )2 2( ) cosb b

t tT Tg t π= Π

[ ][ ]

cos( (2 )) 1

sen( ((2 1) )) 1b

b

I k kT

Q k k T

φ

φ

= = ±

= + = ±

Aunque el modulador y el demodulador para OQPSK y para MSK son diferentes entre sí la analogía anterior es útil para analizar el espectro de la modulación MSK. Considerando la siguiente propiedad fácilmente comprobable:

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0s s

s s s s

i q

i q q i

R t t R t t

R t t R t t

τ τ

τ τ

+ = +

+ = − + =

Y dado que las componentes en fase y en cuadratura presentan la misma densidad espectral, se cumple que

2 222 2

ˆ( ) ( ) cos(2 ) ( ) ( )c c

s s s

A As c i c i c i cS f TF A R f S f f S f fτ π τ⎡ ⎤= + = − + +⎣ ⎦

con

( )( )

( )( )

( )

4 4

4 4

2 2 4 4 2 24

2sen(2 ) sen(2 )221 1

2 8

22-cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )16 8

8 1 1 1

( ) ( )r rb b

b b

r rb bs b b

b b bf f

bb br rb b rb

f T f T

i IT T f f

fT fT fTT r r f

S f P fπ π

π π

π π ππ π

σ− +

− +

+

− + −

⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Con lo que:


( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 24 4 4

4 4 4 4

2 2

2 24 cos(2 ( ) ) 4 cos(2 ( ) ) 8 cos(2 ( ) )

( ) 1 ( ) 1 (

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

c c c c

s s s s

c c

s s

c c b c c b b c b

b bc cr r rb b b

A A A As i c q c i c q c

A Ai c i c

A f f T A f f T E f f Tr rf f f f

S f S f f S f f S f f S f f

S f f S f f

π π ππ π π

+ − +

+ − − −

= − + − + + + + =

− + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( )2 2 24

2 28 cos(2 ( ) )

) 1 ( ) 1

b c b

c crb

E f f T

f f f f

ππ

−

+ − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Detección Sub-óptima de MSK A partir de (19), se analiza a continuación las prestaciones de la modulación en cuanto a probabilidad de error, mediante un procedimiento de detección diferencial. Se considera un canal AWGN ideal de respuesta impulsional ( )tδ y ruido aditivo gaussiano blanco de densidad espectral 0

2( ) NwS f = . En condiciones de cociente

0

bEN

elevado, los efectos del ruido aditivo sobre la fase de la modulación se pueden aproximar del siguiente modo:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( )n

c

q tc c s c c rAr t s t n t A f t t A f t tπ φ π φ= + ≅ + + = + (20)

Para detectar la secuencia de símbolos [ ]kα , a partir del ángulo de señal recibida ( )r tφ , previo muestreo a kt kT= , se utiliza la información diferencial [ ]y k definida como:

[ ] 1( ) ( )k r k r ky t t tφ φ −= − (21) La Figura 20 muestra el esquema completo.

( ) ( )s t w t+1z−

( ) ( )s t n t+

−

+⊕

kt kT=

[ ]a k[ ]y kF.P.Bda

,c sf BDetector

ángulo

Detector

símbolo

( ) ( )s t w t+1z−

( ) ( )s t n t+

−

+⊕

kt kT=

[ ]a k[ ]y kF.P.Bda

,c sf BDetector

ángulo

Detector

símbolo

Figura 18 Detector subóptimo de MSK Las muestras de señal en (21), se particularizan al considerar por un lado la ecuación

(20) y por otro, de (19) se obtiene [ ] [ ]1 1

2( ) 2 (0)k k

dn n

kT f n P nπφ π α α− −

=−∞ =−∞

= =∑ ∑ :

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

1( ) ( )1 1

1 2

2 2

2 1

n k n k

c c

q t q tk r k r k k k A A

k k

n n

y t y k t t t t

n n k

k k

π π

π

φ φ φ φ

α α β

α β

−− −

− −

=−∞ =−∞

= = − = − + − =

− + =

− +

∑ ∑

A partir de la propiedad anterior se deduce que la regla de decisión es:


( )[ ]

[ ]ˆ 1 1

ˆ 1 1

0a k

ka k

y t− =+

− =−

><

Para el cálculo de la probabilidad de error del sistema es necesario caracterizar la componente de ruido resultante. Para expresar la probabilidad de error se debe obtener la potencia del ruido en detección a partir de la señal ( )nq t , componente en cuadratura del ruido filtrado paso banda ( )n t .

[ ] 1( ) ( )n k n k

c c

q t q tA Akβ −= −

A continuación se caracteriza estadísticamente la componente del ruido, empezando por el ruido paso banda resultante a la salida del filtro receptor. Se asume que el ancho de banda aproximado es 2sB r= . La densidad espectral del ruido paso banda ( )n t es:

( ) ( )0 02 2( ) c c

s s

N f f N f fn B BS f − += Π + Π

La densidad espectral de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( )0( )n s

fq BS f N= Π

La autocorrelación de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( ) ( )10( ) ( ) sinc

n nq q s sR TF S f N B Bτ τ−= =

La autocorrelación de la componente de ruido [ ]kβ es:

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )[ ] [ ]

2

2

02

1

10

220

2 ( ) (( 1) ) (( 1) )

2sinc 2 sinc 2( 1) -sinc 2( 1)

2

n n nc

c

bc

q q qA

sA

NEA

R m E k m k

R mT R m T R m T

N B m m m

N r m m

β β β

δ δ

⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

− − − + =

− + − =

=

La función de densidad de probabilidad del ruido es gaussiana:

[ ] ( )0

2

22

: 0,

b

NE

k Nβ σ

σ =

Una vez caracterizado el ruido la probabilidad de error resulta, considerando umbral de decisión igual a cero:


( ) ( )2

0

/ 28

bEe NP Q Qπ π

σ= =

4.5.4 Modulación Gaussian MSK Consiste en un caso particular de modulación binaria CPM similar a MSK. Se utiliza también la misma separación frecuencial pero cambia el pulso elegido para la frecuencia instantánea, ya que se elige un pulso gaussiano, en lugar de elegirlo rectangular como en la modulación MSK. El objetivo de utilizar un pulso gaussiano, es el de reducir el ancho de banda de la señal modulada. Para ello, se genera una fase continua y de varias derivadas continuas. Como contrapartida, aparece ISI en la fase instantánea y en la frecuencia instantánea de la señal, por lo que la demodulación de la señal deberá hacerse recurriendo a algoritmos con mayor memoria que los utilizados para la modulación MSK. Corresponde a la modulación utlizada en el sistema de telefonía móvil GSM.

2 1,mM α= ⇒ = ±

1 1 1 1 14 4 4 4bd b dTf r r h f T= = = ⇒ = =

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2/ 2 / 2 21

2 ln 2 ln 2ln 2 ln 2( ) 2 2 * exp bBt T t T t

b b bT Tg t Q B Q B B tπππ π− += − = Π −

Figura 19 Pulsos de la fase instantánea de GMSK. Donde el ancho de banda se halla normalizado. bB

n rB = El ancho de banda del pulso se puede aproximar por bB y en telefonía GSM se utiliza

0.3bB r=

Aproximando la duración de los pulsos anteriores a 3 periodos de símbolo, la fase instantánea de la señal ( )s t se puede expresar como.


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1

22

2

2

2

( ) 2 (0) 2 ( )

2 2 ( ) 2 1 ( )

2 2 (2 ) 2 1 ( )

con ( ) ( )

t nTk L k

d dt kTn n k L

T Tk

d dn

k

d dn

t

t f n G f n g d

r n f k g d f k g d

r n f k q T f k q T

q t g d

π

π


α π α γ γ π α γ γ

α π α π α

γ γ

−−

==−∞ =+ − + −∞

−

=−∞ −∞ −∞

−

=−∞

−∞

= + ≅

+ − + − =

+ − + −

=

∑ ∑ ∫

∑ ∫ ∫

∑

∫

(22)

Nota (Detección de modulaciones CPM): La detección de las modulaciones CPM, no se plantea desde la perspectiva de espacio de señal, debido a la complejidad que supondría este planteamiento con este tipo de modulaciones. En la práctica se aborda la etapa de detección mediante alguno de los dos planteamientos siguientes: - Detección óptima implementada mediante el algoritmo de Viterbi. - Detección subóptima basada en demodulación diferencial. Detección Sub-óptima de GMSK A partir de (22), se analiza a continuación las prestaciones de la modulación en cuanto a probabilidad de error, mediante un procedimiento de detección sub-óptima. Se considera un canal AWGN ideal de respuesta impulsional ( )tδ y ruido aditivo gaussiano blanco de densidad espectral 0

2( ) NwS f = . En condiciones de cociente

0

bEN

elevado, los efectos del ruido aditivo sobre la fase de la modulación se pueden aproximar del siguiente modo:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( )n

c

q tc c s c c rAr t s t n t A f t t A f t tπ φ π φ= + ≅ + + = + (23)

Para detectar la secuencia de símbolos [ ]kα , a partir del ángulo de señal recibida ( )r tφ , previo muestreo a kt kT= , se utiliza la información diferencial [ ]y k definida como:

[ ] 1( ) ( )k r k r ky t t tφ φ −= − (24) La Figura 20 muestra el esquema completo.


( ) ( )s t w t+1z−

( ) ( )s t n t+

−

+⊕

kt kT=

[ ]a k[ ]y kF.P.Bda

,c sf BDetector

ángulo

Detector

símbolo

( ) ( )s t w t+1z−

( ) ( )s t n t+

−

+⊕

kt kT=

[ ]a k[ ]y kF.P.Bda

,c sf BDetector

ángulo

Detector

símbolo

Figura 20 Detector subóptimo de GMSK Sustituyendo (22) en la ecuación (24) se obtiene:

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

1( ) ( )1 1

( 1)1 2

( ) ( 1)1 2

2 2

1

2(

2 ( ) 2 ( )

( ) ( )

( )

n k n k

c c

q t q tk r k r k k k A A

k TkTk k

n n

k n T k n Tk k

n n

k

n k n

y t y k t t t t

hr n g nT d hr n g nT d k

r n g d r n g d k

r n g d

π π

π

φ φ φ φ

π α γ γ π α γ γ β

α λ λ α λ λ β

α λ λ

−− −

−− −

=−∞ =−∞−∞ −∞

− − −− −

=−∞ =−∞−∞ −∞

−

=−∞ −

= = − = − + − =

− − − + =

− + =

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

∑ [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

( )

1)

( )1

2 21 1( 1) ( 1)

2 3

2 2 20 2

1 2 3

01 1

( ) ( )

1 ( ) 2 ( ) 3 ( )

1 2 3

k n T

T

k n T mTk L

n k L mk n T m T

T T T

T T

k n n kk

k n L k L n

r n g d k r k m g d k

r k g d r k g d r k g d k

k k k k

π π

π π π

β

α λ λ β α λ λ β

α γ γ α γ γ α γ γ β

ρ α ρ α ρ α β

−

−

−−

= − − =− − −

− > <⎧ ⎫+ = ⎨ ⎬− − ≤ − − ≤⎩ ⎭

= + = − + =

+ − + − + − + =

− + − + − +

∫

∑ ∑∫ ∫

∫ ∫ ∫

Donde por simetría (observar la Figura 19) se asume:

2 3

1 2 32 2 20 2

1 3 2

= ( ) ; = ( ) ; ( ) ; T T T

T T

r g d r g d r g dπ π πρ γ γ ρ γ γ ρ γ γ

ρ ρ ρ

=

= <<

∫ ∫ ∫

A partir de la propiedad anterior se deduce que la regla de decisión es:

( )[ ]

[ ]ˆ 2 1

ˆ 2 1

0a k

ka k

y t− =+

− =−

><

Para el cálculo de la probabilidad de error del sistema es necesario caracterizar a componente de ruido resultante. Para expresar la probabilidad de error se debe obtener la potencia del ruido en detección a partir de la señal ( )nq t , componente en cuadratura del ruido filtrado paso banda ( )n t .

[ ] 1( ) ( )n k n k

c c

q t q tA Akβ −= −

Resumiendo, en la variable de decisión:


( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]2 12 3 1ky t k k k kρ α ρ α α β= − + − + − + [ ] [ ]( )1 1 3k kρ α α− + − representa la ISI y [ ]kβ la muestra de ruido. A continuación se caracteriza estadísticamente la componente del ruido, de forma análoga a la caracterización realizada para MSK. Se asume que el ancho de banda aproximado es 2 0.6s bB B r= = . La densidad espectral del ruido paso banda ( )n t es:

( ) ( )0 02 2( ) c c

s s

N f f N f fn B BS f − += Π + Π

La densidad espectral de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( )0( )n s

fq BS f N= Π

La autocorrelación de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( ) ( )10( ) ( ) sinc

n nq q s sR TF S f N B Bτ τ−= =

La autocorrelación de la componente de ruido [ ]kβ es:

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

2

2

1

10

2 ( ) (( 1) ) (( 1) )

2sinc 0.6 sinc 0.6( 1) -sinc 0.6( 1)

n n nc

c

q q qA

sA

R m E k m k

R m R m T R m T

N B m m m

β β β⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

− − − + =

− + −

Por tanto no puede decirse que el ruido resultante sobre la variable de decisión sea temporalmente incorrelado. La función de densidad de probabilidad del ruido es gaussiana:

[ ] ( )[ ]

( )( )( ) ( )

( )( )2 2

2

2 2.0.620 0

: 0,

0 1 sinc 0.6 1 sinc 0.6c c

sA A

k N

R N B N rβ

β σ

σ = = − = − =

Una vez caracterizado el ruido la probabilidad de error resulta, considerando umbral de decisión igual a cero y energía media de bit ( )2

2cA

b rE = :

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

0 0 1 0 1

2 2 20 0 1 0 1

2 2 20 0 0

2 21 1 12 4 4

2 21 1 12 4 40.6 1 sinc 0.6 0.6 1 sinc 0.6 0.6 1 sinc 0.6

b b b

e

E E EN N N

P Q Q Q

Q Q Q

ρ ρ ρ ρ ρσ σ σ

ρ ρ ρ ρ ρ

− +

− +

− − −

= + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


4.6 Ejercicios Propuestos

4.6.1 Ejercicio 1: DPSK Sea la modulación DPSK (Diferencial PSK), en la que la información de símbolo reside en la diferencia de fases entre cada dos símbolos consecutivos. Mediante este tipo de modulación se evita la necesidad de la detección coherente. Trabajando don M=4 símbolos, las fases de la señal s(t) se codifican diferencialmente según la tabla:

φk = φk−1 + Δφk [ ]( ) ( )( )2( ) Re c cj f t nc

n

s t A e p t nTπ θ φ+∞

+ +

=−∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

bits 00 01 11 10 Δφ 0 rad. π/2 rad. π rad. 3π/2 rad.

Suponiendo que se cumple la condición ; 1cf Nr N= >> , interprete la modulación anterior como una modulación CPM según la expresión dada en (17), es decir identifique las funciones ( ) , ( )p t q t . Dibuje la fase instantánea de la señal para la secuencia de bits 0100111010 y observe que en realidad DPSK no es de fase continua.

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