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Ingenier´ ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ ımica. Matem´ aticas I. 2010-2011. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. 4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. 4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. Espacio nulo y espacio columna de una matriz. Dependencia e independencia lineal. Ecuaciones param´ etricas y ecuaciones impl´ ıcitas de un subespacio. 4.3.-Transformaciones lineales. Definici´on y propiedades. Matriz asociada. 4.4.- Bases de un subespacio. Coordenadas.Dimensi´on. Rango de una matriz. El teorema del rango. Cambios de base. 4.5.- Suma e intersecci´on de subespacios. 6.6.- Ejercicios. 6.7.- Ap´ endice: MATLAB. 4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. De forma gen´ erica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operaci´on suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operaci´on producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, exis- tencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectorial es real o es complejo en funci´on de que se consideren escalares reales o complejos respectiva- mente. Adem´as de los espacios de coordenadas, R n y C n , que manipulamos habitualmente, algunos ejemplos t´ ıpicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de matrices y funciones y de producto de una matriz o una funci´on por un escalar: El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m × n. El conjunto de todos los polinomios en una variable. 103

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Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.

4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

Espacio nulo y espacio columna de una matriz.Dependencia e independencia lineal.Ecuaciones parametricas y ecuaciones implıcitas de un subespacio.

4.3.-Transformaciones lineales.

Definicion y propiedades.Matriz asociada.

4.4.- Bases de un subespacio.

Coordenadas. Dimension.Rango de una matriz. El teorema del rango.Cambios de base.

4.5.- Suma e interseccion de subespacios.

6.6.- Ejercicios.

6.7.- Apendice: MATLAB.

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.

De forma generica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operacionsuma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operacionproducto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento delconjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma yproducto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, exis-tencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectoriales real o es complejo en funcion de que se consideren escalares reales o complejos respectiva-mente. Ademas de los espacios de coordenadas, Rn y Cn, que manipulamos habitualmente,algunos ejemplos tıpicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma dematrices y funciones y de producto de una matriz o una funcion por un escalar:

El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m× n.

El conjunto de todos los polinomios en una variable.

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104 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que uncierto n ∈ N.

El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo).

El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo).

El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo.

El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en unpunto prefijado.

El conjunto de las funciones integrables en un intervalo y cuya integral en dicho inter-valo es cero.

El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f ′′(t) − 2f ′(t) + tf(t) = 0para todo t (en un intervalo, en toda la recta real).

El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f ′′(t) − 2f ′(t) + tf(t) = 0para todo t (en un intervalo, en toda la recta real) y se anulan en un punto prefijado.

Y algunos ejemplos tıpicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espaciosvectoriales:

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa.

El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n ∈ N.

El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales quef(x0) = 1 siendo x0 un punto del intervalo dado.

El conjunto de los vectores de R2 cuya segunda coordenada es igual a uno.

El conjunto de los vectores de R2 cuyas coordenadas verifican una ecuacion de segundogrado.

El conjunto de todas las funciones derivables f que verifican que f ′′(t)− f(t)f ′(t) = 0para todo t (en un intervalo, en toda la recta real).

El tipo de subconjuntos mas importantes dentro de un espacio vectorial son los llamadossubespacios vectoriales. En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sinsalirnos de dicho subconjunto.

Definicion. Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un sub-espacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es unespacio vectorial. Es decir, si verifica que:

(a) ∀u, v ∈ S =⇒ u + v ∈ S.

(b) ∀u ∈ S, ∀α ∈ K =⇒ αu ∈ S.

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4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. 105

De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si

∀u, v ∈ S y ∀α, β ∈ K =⇒ αu + βv ∈ S.

Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S.

La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial,la recta determinada por dicho vector esta contenida en el subespacio. La propiedad (b)nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno multiplo del otro) de un subespaciovectorial, el plano determinado por dichos vectores esta contenido en el subespacio.

Obviamente S =�~0©

y S = Kn son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios

triviales). En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen esun subespacio vectorial. En el plano, los vectores de posicion determinados por los puntosde una parabola NO forman un subespacio vectorial.

Proposicion. El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados esun subespacio vectorial. Es decir, dados {v1, . . . , vn},

Gen {v1, . . . , vn} = {c1v1 + · · ·+ cnvn : c1, . . . , cn ∈ K}

es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se este considerando). Este subespaciovectorial se denomina subespacio generado por {v1, . . . , vn}.

Es facil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades.

Propiedades.

(1) Gen {v2, . . . , vn} ⊆ Gen {v1, v2, . . . , vn} .

(2) Gen {v1, v2, . . . , vn} = Gen {cv1, v2, . . . , vn} si c 6= 0.

(3) Gen {v1, v2, . . . , vn} = Gen {v1 + αv2, v2, . . . , vn}.

(4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al anadir combinacioneslineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinacion lineal de los restantes.

Ejemplos. Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales.

En el espacio vectorial de las matrices m× n,

• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespaciovectorial.

• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es unsubespacio vectorial.

En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n× n,

• el subconjunto de las matrices simetricas es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de las matrices A cuadradas n× n que verfican que A2 = 0 no esun subespacio vectorial.

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106 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

• el subconjunto de las matrices cuadradas n × n con determinante cero no es unsubespacio vectorial.

En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable,

• el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igualque un cierto n ∈ N.

En el espacio vectorial de las funciones continuas,

• el subconjunto de todas las funciones de la forma α sen(t) + β cos(t)(α, β ∈ R) esun subespacio vectorial.

• el subconjunto de las funciones periodicas con un periodo T > 0 prefijado es unsubespacio vectorial.

• el subconjunto de las funciones f cuya grafica no pasa por el origen de coorde-nadas, no es un subespacio vectorial.

En el espacio vectorial de las funciones derivables f que verifican que f ′′(t)− 2f ′(t) +tf(t) = 0 para todo t,

• el subconjunto de las funciones f que, ademas, verifican que f(t0) = 0 (en unpunto t0) es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de las funciones f que, ademas, verifican que f(t0) = 1 (en unpunto t0) no es un subespacio vectorial.

Relacionados con los subespacios vectoriales estan las llamadas variedades lineales (oafines). No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales. Es decir, una variedades un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vectordado y S un subespacio vectorial. Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto queuna recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier rectasera una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, segun un cierto vector, la rectaparalela que pasa por el origen de coordenadas. El estudio que haremos a continuacion de laestructura de espacio vectorial se centrara en los subespacios vectoriales. No consideraremosde forma explıcita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan, y las consideremos,de manera natural puesto que el conjunto solucion de un sistema compatible de ecuacioneslineales, homogeneo o no, es una variedad lineal (ya que el conjunto solucion del sistemahomogeneo asociado es un subespacio vectorial).

A partir de la seccion siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales genericos. Con-sideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn. No obstante,los conceptos y resultados que consideremos son trasladables, unos a espacios vectorialesgenericos (dependencia lineal, transformaciones lineales, etc.) y otros a espacios vectori-ales de dimension finita (bases, dimension, ecuaciones, matriz de una transformaci’on linealrespecto de bases prefijadas, etc.). Los espacios vectoriales de coordenadas R

n y Cn son

los modelos para trabajar con espacios vectoriales de dimension finita (reales y complejos,

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 107

respectivamente). Ası, Rn, n = 1, 2, . . . , es el modelo para el estudio de los espacios vecto-riales reales de dimension finita n. Por ejemplo, en lo que se refiere exclusivamente a lasoperaciones suma y produco por un escalar, trabajar con el espacio de las matrices realesde dimensiones 3× 2 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) degrado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios) es equivalente a trabajar conel espacio R6. Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones sumay producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los polinomios, se pierde alrepresentar dichos espacios como R6 (factorizacion de polinomios, producto de matrices,...).

4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

4.2.1.- Espacio nulo y espacio columna de una matriz.

Definicion. Sea A una matriz m× n con elementos en K. Se llama

espacio nulo de A a Nul (A) := {x ∈ Kn : Ax = 0} . Es decir, al conjunto solucion delsistema homogeneo Ax = 0.

espacio columna de A al subespacio (de Km) generado por las columnas de A,

Col (A) := {y ∈ Km : y es combinacion lineal de las columnas de A} .

Notemos que decir que un vector y ∈ Km es combinacion lineal de las columnas de A esequivalente a decir que el sistema Ax = y, con termino independiente y e incognita x, tienesolucion. Si llamamos v1, . . . , vn a las columnas de A y se tiene que y = α1v1 + · · · + αnvn

entonces α = (α1, . . . , αn)T es solucion de Ax = y puesto que y = Aα. Y viceversa, cadasolucion de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinacion lineal de v1, . . . , vn

que es igual a y. Es decir,

Col (A) = {y ∈ Km : Ax = y es un sistema compatible} .

No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por lasfilas de A). Cuando necesitemos referirnos a el lo haremos mediante Col (AT ).

Proposicion. Sea A una matriz m× n con elementos en K.

Nul (A) es un subespacio vectorial de Kn.

Col (A) es un subespacio vectorial de Km.

Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p ∈ Kn, el conjuntop + Nul (A) es una variedad lineal. Para cualquier v ∈ p + Nul (A) tendremos un vectoru ∈ Nul (A) tal que v = p + u y por tanto, Av = Ap + Au = Ap. Es decir, v es solucion delsistema Ax = b siendo b = Ap. Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible yp es una solucion, cualquier otra solucion v puede expresarse mediante v = p + (v − p) quees un vector de p + Nul (A) (puesto que A(v − p) = Av − Ap = b− b = 0).Por tanto, asociado a una matriz A, m× n tenemos:

(1) Nul (A), el conjunto solucion del sistema homogeneo Ax = 0 (es un subespacio vectorialde Kn).

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108 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(2) Col (A), el conjunto de terminos independientes y para los que el sistema Ax = y escompatible (es un subespacio vectorial de K

m)

(3) Para cada y ∈ Km, el conjunto solucion del sistema Ax = y, {x ∈ Kn : Ax = y}.Si y ∈ Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de Kn. Siy /∈ Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ningun vector en dichoconjunto.

Ejercicio.

(1) ¿Que relacion hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que seobtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz?

(2) ¿Que relacion hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtieneal hacer operaciones fila sobre la matriz?

4.2.2.- Dependencia e independencia lineal.

Definicion. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.

(a) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna com-binacion lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existencoeficientes α1, α2, . . . , αn ∈ K no todos nulos tales que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0.

(b) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmentedependiente.

Si {v1, . . . , vn} son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinacion linealde estos vectores igual al vector nulo

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0

y el coeficiente αk 6= 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejar vk que quedara ex-presado como combinacion lineal de los restantes vectores. Reciprocamente si tenemos unvector que es combinacion lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector com-binacion lineal es un conjunto linealmente dependiente. Notemos ademas de que si unacombinacion lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinacion lineal que resulta demultiplicar por cualquier coeficiente tambien es el vector nulo.

Propiedades. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.

(1) La dependencia o independencia lineal de {v1, . . . , vn} no depende del orden en el queesten dados los vectores.

(2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D.

(3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vectorpor un multiplo no-nulo. Siendo c 6= 0 (c ∈ K),

{v1, . . . , vn} es L.D.⇔ {u1 = cv1, v2, . . . , vn} es L.D..

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 109

(4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vectorun multiplo de otro (distinto). Siendo α ∈ K

{v1, . . . , vn} es L.D.⇔ {v1, u2 = v2 + αv1, . . . , vn} es L.D.

(5) Al anadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D.

Al suprimir vectores de un conjunto L.I. se obtiene un conjunto L.I.

Teorema. Consideremos vectores {v1, . . . , vn} en Km y sea A la matriz cuyas columnas sonlos vectores dados

A =

26664 ...... · · ·

...v1 v2 · · · vn

...... · · ·

...

37775Son equivalentes:

(1) {v1, . . . , vn} es un conjunto linealmente dependiente.

(2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene infinitas soluciones.

(3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n.

(4) Alguno de los vectores vk es combinacion lineal de los restantes.

(5) Si el primer vector v1 es no-nulo, alguno de los vectores es combinacion lineal de losanteriores.

Observacion. Interpretacion de la reduccion por filas de una matriz A en relacion con ladependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A.

Notemos que dar una cierta combinacion lineal de vectores es lo mismo que multiplicarla matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los corres-pondientes coeficientes

x1v1 +2 v2 + · · ·+ xnvn =

26664 ...... · · ·

...

v1 v2

. . . vn

...... · · ·

...

37775 266664 x1

x2

...xn

377775 .

Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U

A =

26664 ...... · · ·

...

v1 v2

. . . vn

...... · · ·

...

37775 operacionesfila

- U =

26666666664* ∗ ∗ · · · ∗ ∗

0 * ∗ · · · ∗ ∗0 0 ∗

*

37777777775tenemos que:

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110 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con lasanteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientescolumnas de A.

Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinacion lineal de lasanteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientescolumnas de A.

Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combi-nacion lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula.

Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios defila que se hayan hecho) son linealmente independientes.

Es decir, en la situacion del esquema anterior, se verifica que

la columna 3 de U es combinacion lineal de las columnas 1 y 2 (y lo mismo es ciertopara las correspondientes columnas de A),

las columnas {columna1, columna2, columna4} de U son linealmente independientes (ylo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A.

4.2.3.- Ecuaciones parametricas y ecuaciones implıcitas.

Asociados a una matriz A, m× n,

A =

26664 ...... · · ·

...v1 v2 · · · vn

...... · · ·

...

37775 =

266664 a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

377775hemos considerado;

El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x ∈ Kn caracterizadospor las ecuaciones implıcitas homogeneas

Ax = 0

8>>><>>>: a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

9>>>=>>>; .

El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vec-tores), esto es, el conjunto de vectores y

y = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

caracterizado por las ecuaciones parametricas homogeneas8>>><>>>: y1 = α1a11 + α2a12 + · · ·+ αna1n

y2 = α1a21 + α2a22 + · · ·+ αna2n

......

...ym = α1am1 + α2am2 + · · ·+ αnamn

, α1, α2, . . . , αn ∈ K.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 111

Resolviendo el sistema homogeneo Ax = 0 podemos obtener los vectores del espacionulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinacion lineal(arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertosvectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectorescolumna.

Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A esta formado por losvectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condi-ciones de compatibilidad de este sistema (en funcion del termino independiente y), tendremosunas ecuaciones lineales homogeneas que permiten expresar el citado espacio columna comoespacio nulo de otra matriz.

Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generadopor ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con caracterısticas distintas, sinoque es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, peroexpresados en forma distinta:

(a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz ten-emos una descripcion implıcita (ecuaciones implıcitas) de dicho conjunto (un vectoresta en el conjunto considerado si, y solo si, sus coordenadas verifican el sistema ho-mogeneo asociado a la matriz).

(b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de unamatriz tenemos una descripcion parametrica (ecuaciones parametricas) de dichoconjunto (un vector esta en el conjunto considerado si, y solo si, puede expresarsecomo combinacion lineal de determinados vectores).

Entre las descripciones implıcitas de un subespacio vectorial habra unas mejores queotras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no. De unasecuaciones implıcitas dadas Ax = 0 se podran suprimir las que sean redundantes, es decirlas ecuaciones que sean combinacion lineal de las restantes. Dichas ecuaciones las podemoslocalizar sin mas que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada. Las filas (tantode la matriz original A como de la matriz escalonada final U) que contengan algun pivotenos daran unas ecuaciones implıcitas, no redundantes, de dicho subespacio. Si resolvemos elsistema tendremos una descripcion parametrica del conjunto solucion, es decir del subespaciodado, el espacio nulo de la matriz A original.

Si en la descripcion parametrica eliminamos los parametros, llegaremos a unas ecuacioneshomogeneas que daran una descripcion implıcita del subespacio considerado. De la mismaforma que en el caso de ecuaciones implıcitas, entre las descripciones parametricas de unsubespacio vectorial, unas seran mejores que otras en el sentido de que unas involucren menosvectores que otras. Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m × n,y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que seancombinacion lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz originaltambien es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendoalgunas columnas. Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente,tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vectorde dicho espacio se puede expresar de forma unica como combinacion lineal de los vectoreslinealmente independientes obtenidos. Dichos vectores constituyen lo que se denomina unabase (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio)del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original.

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112 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse medianteecuaciones implıcitas o ecuaciones parametricas homogeneas, una variedad lineal, p + S,puede caracterizarse mediante ecuaciones implıcitas, en general no homogeneas, y medianteecuaciones parametricas, en general no homogeneas, puesto que el vector nulo puede nopertenecer a la variedad. Una vez que se tienen unas ecuaciones parametricas/implıcitas deun subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales queu = v−p esta en S, esto sera equivalente a decir que u = v−p verifica las citadas ecuacionesde S.

Ejemplo.- (Ecuaciones implıcitas −→ Ecuaciones implıcitas no redundantes, Ecuacionesparametricas y una base). Consideremos el espacio nulo de la matriz

A =

264 −1 2 0 33 0 1 −11 4 1 5

375 .

Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x ∈ R4 cuyas coordenadas(x1, x2, x3, x4) verifican las ecuaciones (implıcitas)

−x1 + 2x2 + 3x4 = 03x1 + x3 − x4 = 0

x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = 0

9>=>; .

Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre lasecuaciones del sistema) tenemos

A =

264 −1 2 0 33 0 1 −11 4 1 5

375 F2 + 3F1

-

F3 + F1

264 −1 2 0 30 6 1 80 6 1 8

375 F3 − F2

- U =

264 −1 2 0 30 6 1 80 0 0 0

375 .

De hecho, refiriendonos a la matriz original tenemos que F3(A) = F2(A)+2F1(A). Equivalen-temente, la tercera ecuacion del sistema original es combinacion lineal de las dos primeras conlo cual si un vector es solucion de las dos primeras tambien lo es de la tercera. Resumiendo,tenemos que

S = Nul (A) = Nul

�−1 2 0 33 0 1 −1

�= Nul (U) = Nul

�−1 2 0 30 6 1 8

�con lo cual nuestro conjunto S de vectores esta caracterizado por las ecuaciones (no redun-dantes)

−x1 + 2x2 + 3x4 = 06x2 + x3 + 8x4 = 0

« �o por

−x1 + 2x2 + 3x4 = 03x1 + x3 + x4 = 0

«�.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 113

Resolviendo el sistema Ux = 0 tenemos264 -1 2 0 3 0

0 6 1 8 00 0 0 0 0

375 =⇒

�Variables libres

x3 y x4.Variables fijas

x1 y x2.

�=⇒

8><>: x2 = 1

6(−x3 − 8x4)

x1 = 2x2 + 3x4 = 2

6(−x3 − 8x4) + 3x4 = −1

3x3 + 1

3x4

26664 x1

x2

x3

x4

37775 = x3

26664 −1

3

−1

6

10

37775 + x4

26664 1

3

−8

6

01

37775 .

Por tanto,

Nul (A) = Gen

8>><>>:v1 =

26664 −1

3

−1

6

10

37775 , v2 =

26664 1

3

−8

6

01

377759>>=>>; = Gen

8>><>>:6v1 =

26664 −2−160

37775 , 3v2 =

26664 1−403

377759>>=>>;= Col

26664 −1

3

1

3

−1

6−8

6

1 00 1

37775 = Col

26664 −2 1−1 −46 00 3

37775 .

Los vectores {v1, v2} forman una base de S = Nul (A). Los vectores de Nul (A) son los quepueden expresarse como combinacion lineal de v1 y v2 y, como consecuencia de la indepen-dencia lineal, cada vector de S solo puede expresarse de una forma como combinacion linealde v1 y v2. Los coeficientes que aparezcan en dicha combinacion lineal son las coordenadasdel vector de S respecto a la base {v1, v2} (de S). El vector v = [−8 5 18 − 6] esta en S ysus coordenadas respecto a {v1, v2} son la solucion de

v = λv1 + µv2 ≡

264 v

375 =

264 v1 v2

375 � λµ

�≡

26664 −1

3

1

3−8

−1

6−8

65

1 0 180 1 −6

37775 ,

es decir, λ = 18, µ = −6 (v = 18v1 − 6v2).

Ejemplo.- (Ecuaciones parametricas −→ Ecuaciones parametricas y Ecuaciones implıcitasno redundantes y una base). Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior.El espacio columna de dicha matriz es, por definicion de espacio columna, el conjunto devectores y que se pueden expresar como combinacion lineal de las columnas de A, es decirlos vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante

y =

264 y1

y2

y3

375 = α

264 −131

375+ β

264 204

375+ γ

264 011

375+ δ

264 3−15

375Matematicas I. 2010-2011

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114 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

para ciertos α, β, γ, δ ∈ R. Esto es lo mismo que decir que el espacio columna esta formadopor los vectores y ∈ R

3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solucion. En dichocaso, cada solucion del sistema Ax = y nos darıa una forma de expresar y como combinacionlineal de las columnas de A. Obtengamos, para un vector generico y ∈ R3 las condiciones decompatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A|y] a formaescalonada. Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenidoel espacio nulo tenemos

[A|y] =

264 −1 2 0 3 y1

3 0 1 −1 y2

1 4 1 5 y3

375 F2 + 3F1

-

F3 + F1

264 −1 2 0 3 y1

0 6 1 8 y2 + 3y1

0 6 1 8 y3 + y1

375F3 − F2

- U =

264 -1 2 0 3 y1

0 6 1 8 y2 + 3y1

0 0 0 0 y3 − y2 − 2y1

375 .

Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) ⇐⇒ la terceraecuacion tiene solucion⇐⇒ y3−y2−2y1 = 0. Es decir, el espacio columna de A esta formadopor los vectores y ∈ R3 cuyas coordenadas verifican la ecuacion (lineal homogenea) y3−y2−2y1 = 0. Se trata, por tanto, de un plano (en R3) que pasa por el origen de coordenadas.Ademas, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que:

las columnas 1 y 2 de U son linealmente independientes y

las columnas 3 y 4 son combinacion lineal de las columnas 1 y 2.

Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A. Es decir, elespacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado porlas columnas 1 y 2 de A (no de U !). Los vectores dados por las columnas 1 y 2 de A formanuna base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio. Sidenotamos por v1, v2, v3 y v4 a los vectores columna de A, cada vector y ∈ Col (A) se puedeexpresar de infinitas formas distintas como combinacion lineal de v1, v2, v3 y v4 puesto que elsistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y ∈ Col (A)) indeterminado (puestoque hay 2 variables libres). Sin embargo, dicho vector y ∈ Col (A) solo puede exprearse deuna forma como combinacion lineal de v1 y v2 puesto que el sistema de ecuaciones264 v1 v2

375 � λµ

�=

264 y1

y2

y3

375tiene solucion unica. Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas3 y 4 de la reduccion que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos264 −1 2 y1

3 0 y2

1 4 y3

375 → · · · → 264 -1 2 y1

0 6 1y2 + 3y1

0 0 y3 − y2 − 2y1

375 .

La solucion unica (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y ∈ Col (A)) nos dara loscoeficientes para los cuales se verifica

y = λv1 + µv2.

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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 115

Estos coeficientes (λ, µ) (unicos para cada vector y ∈ Col (A)) se denominan coordenadas dey respecto de la base {v1, v2}. Por ejemplo, las coordenadas del vector

y =

264 113

375 (∈ Col (A) puesto que y3 − y2 − 2y1 = 3− 1− 2 = 0)

respecto a la base {v1, v2} de Col (A) vienen dadas por la solucion del sistema264 v1 v2

375 � λµ

�=

264 113

375 −→ 264 -1 2 1

0 6 40 0 0

375 =⇒

�λµ

�=

�1

34

6

�.

Ejemplo. Consideremos la matriz

A =

26664 −1 0 1 2 1−2 2 2 5 01 −4 0 −3 3−1 2 1 3 −1

37775 .

Con el mismo proceso de reduccion a forma escalonada vamos a obtener: S1 = Nul (A) ⊂ K5,unas ecuaciones parametricas de S1, S2 = Col (A) ⊂ K4, unas ecuaciones implıcitas de S2,...

Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vectorgenerico de K4,

[A|y]

F2 − 2F1

F3 + F1

F4 − F1-

266664 -1 0 1 2 1 y1

0 2 0 1 −2 y2 − 2y1

0 −4 1 −1 4 y3 + y1

0 2 0 1 0 y4 − y1

377775F3 + 2F2

F4 − F2-

266664 -1 0 1 2 1 y1

0 2 0 1 −2 y2 − 2y1

0 0 1 1 0 −3y1 + 2y2 + y3

0 0 0 0 0 y1 − y2 + y4

377775Por tanto, tenemos:

(a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y solo si, el vector y ∈ K4

verifica y1−y2+y4 = 0. Es decir Col (A) = {y ∈ K4 : y1 − y2 + y4 = 0}. Por otra parte,teniendo en cuenta la reduccion que hemos hecho, los dos ultimos vectores columna deA son combinacion lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna sonlinealmente independientes. Si denotamos por {v1, v2, v3, v4, v5} los vectores columnade A, tenemos

Col (A) = Col

264 v1 v2 v3

375y cada vector y ∈ Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una delas soluuciones del sistema Ax = y) como combinacion lineal de los vectores columnade A, pero de una unica forma como combinacion lineal de {v1, v2, v3}.

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116 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = 0: Puesto que al reducir hemosobtenido 2 variables libres, la solucion general del sistema homogeneo see podra expre-sar en funcion de 2 parametros arbitrarios,

[A|0] →

266664 -1 0 1 2 1 0

0 2 0 1 −2 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0

377775 F1−F3−→

266664 -1 0 0 1 1 0

0 2 0 1 −2 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0

377775⇔

8><>: x1 = x4 + x5

x2 = −1

2x4 + x5

x3 = −x4

=⇒

26666664 x1

x2

x3

x4

x5

37777775 =

26666664 α + β−1

2α + β

−ααβ

37777775 = α

26666664 1−1

2

−110

37777775+ β

26666664 11001

37777775 .

Por tanto, el espacio nulo de A esta generado por los vectores, linealmente indepen-dientes, 8>>>><>>>>:u1 =

26666664 1−1

2

−110

37777775 , u2 =

26666664 11001

377777759>>>>=>>>>; .

Notemos por ultimo que, puesto que al hacer la reduccion del sistema Ax = 0 hemosobtenido una fila de ceros, dicha ecuacion es redundante en el sistema homogeneo ypor tanto tenemos que

Nul (A) = Nul

264 -1 0 1 2 1

0 2 0 1 −2

0 0 1 1 0

375 = Nul

264 −1 0 1 2 1−2 2 2 5 01 −4 0 −3 3

375 .

4.3.- Transformaciones lineales.

Ya hemos citado en los temas anteriores el concepto de transformacion lineal al considerarla transformacion de vectores definida por una matriz. Ahora veremos algunas propiedades yque toda transformacion lineal queda definida por una matriz. De esta forma, en el contextode los espacios de coordenadas, hablar de transformacion lineal y de transformacion matriciales lo mismo.

4.3.1.- Definicion y propiedades.

Definicion. Se dice que una aplicacion T : Kn −→ Km es una transformacion lineal siverifica que:

(a) T (αx) = αT (x) ∀α ∈ K y ∀x ∈ Kn;(b) T (x + x′) = T (x) + T (x′), ∀x, x′ ∈ K

n.

Equivalentemente T (αx + βx′) = αT (x) + βT (x′), ∀α, β ∈ K y ∀x, x′ ∈ Kn.

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4.3.- Transformaciones lineales. 117

Es decir, T transforma un multiplo de un vector en el multiplo del transformado y unasuma de vectores en la suma de los trasnformados. En particular, T tiene que transformarel vector nulo en el vector nulo.

Usaremos de forma indistinta los terminos transformacion lineal y aplicacion lineal.

Aunque en la definicion anterior hayamos considerado los espacios vectoriales de coor-denadas, el concepto de transformacion lineal se aplica a transformaciones sobre espaciosvectoriales genericos. Por citar algun ejemplo, cabe destacar la aplicacion derivacion o laaplicacion integracion (indefinida) entre espacios vectoriales apropiados. Tambien es lineal latransformacion que a una funcion y = f(t) (suficientemente derivable) le hace corresponderla funcion f ′′(t) + etf ′(t) − 3f(t). Una diferencia importante, entre considerar aplicacioneslineales para espacios vectoriales genericos y para espacios de coordenadas, es que en esteultimo caso, la aplicacion queda determinada por una matriz. Antes de describir la matrizasociada a una transformacion lineal veamos algunas propiedades.

Propiedades. Sea T : Kn −→ Km una transformacion lineal

(1) T transforma subespacios vectoriales en subespacios vectoriales. Es decir, si S ⊆ Kn esun subespacio vectorial (de K

n) y , entonces la imagen de S mediante T ,

T (S) = {y ∈ Km : y = T (x) para algun x ∈ S} ,

es un subespacio vectorial (de Km).

(2) La anti-imagen, mediante T , de un subespacio vectorial es otro subespacio vectorial. Esdecir, si si S ′ ⊆ Km es un subespacio vectorial (de Km), entonces la anti-imagen de S ′

mediante T ,

T−1(S ′) = {x ∈ Kn : T (x) ∈ S ′} ,

es un subespacio vectorial (de Kn).

Como casos especiales tenemos S = Kn y S ′ = {0}.

Definicion. Sea T : Kn −→ Km una aplicacion lineal.

(1) Se denomina nucleo de T , y se suele denotar por ker(T ), al subespacio vectorial formadopor los vectores de Kn que se transforman en el vector nulo. Es decir,

ker(T ) = {x ∈ Kn : T (x) = 0} .

(2) Se denomina conjunto o espacio imagen de T al subespacio vectorial formado por losvectores de K

m que tienen anti-imagen. Es decir,

Imagen(T ) = T (Kn) = {T (x) : x ∈ Kn} = {y ∈ K

m : ∃x ∈ Kntal que y = T (x)} .

Ejercicio. Demuestra que ker(T ) e Imagen(T ) son subespacios vectoriales

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118 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

4.3.2.- Matriz asociada.

Definicion/Proposicion. (Matriz asociada a una transformacion lineal)Sea T : Kn −→ Km una transformacion lineal.

(a) Definicion. Se llama matriz asociada a T (respecto a las bases canonicas, {e1, . . . , en}de Kn y {e′

1, . . . , e′m} de Km) a la matriz M de dimensiones m×n cuyas columnas son

las coordenadas de los vectores {T (e1), . . . , T (en)},

M =

26664 ...... · · ·

...T (e1) T (e2) · · · T (en)

...... · · ·

...

37775 .

(b) Proposicion. La matriz M anterior es la unica matriz que verifica que

T (x) = Mx ∀x ∈ Kn.

Es decir, es la unica matriz que al multiplicarla por un vector x ∈ Kn ,arbitrario, da

el vector transformado de x mediante T . Por tanto, hablar de transformacion lineal, entreespacios de coordenadas, es lo mismo que hablar de transformacion matricial.

D.− Puesto que todo vector x = [xk] ∈ Kn es combinacion lineal de los vectores canonicos

x = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen

y T es una aplicacion lineal, tenemos que

y = T (x) = T (x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen) =

= x1T (e1) + x2T (e2) + · · ·+ xnT (en)

⇒ y =

266664 y1

y2

...ym

377775 =

26664 ...... · · ·

...T (e1) T (e2) · · · T (en)

...... · · ·

...

37775 266664 x1

x2

...xn

377775 .

Si consideramos la matriz A asociada a una transformacionlineal T , tenemos

ker(T ) = T−1 ({0}) = {x ∈ Kn : Ax = 0} = Nul (A)

Imagen(T ) = T (Kn) = {Ax : x ∈ Km} = {y ∈ Km : ∃x ∈ Kn, y = Ax} == {y ∈ Km : Ax = y es un S.C.} = Col (A).

A la hora de determinar la matriz A de una transformacion lineal T : Kn −→ Km no hay unaunica opcion (para los calculos, no para el resultado). Como hemos visto, las columnas de lamatriz A son los transformados, mediante T , de los vectores de la base canonica de K

n. La ma-triz A tambien se puede determinar conociendo los transformados de los vectores de cualquier

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4.3.- Transformaciones lineales. 119

otra base de Kn (conjunto de n vectores linealmente independientes). Si {v1, v2, . . . , vn} esuna base de K

n y sabemos calcular los transformados {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} podemoscalcular la matriz A sin mas que tener en cuenta que

A

26664 ...... · · ·

...v1 v2 · · · vn

...... · · ·

...

37775 =

26664 ...... · · ·

...T (v1) T (v2) · · · T (vn)

...... · · ·

...

37775 =⇒ A = · · · .

Notemos que de la igualdad matricial anterior podemos despejar A, puesto que la matrizP cuyas columnas son los vectores de una base de Kn tiene inversa. De esta forma es comohemos calculado, en el tema anterior, la matriz de una transformacin matricial (proyecciones,simetrıas, etc.). A pesar de que pueda utilizarse cualquier base de Kn para determinar lamatriz de T , la matriz es unica, no depende de la base utilizada.

Ejemplos.

(1) Consideremos un giro de centro el origen de coordenadas y angulo ϕ (en el sentidopositivo). Tenemos entonces una transformacion lineal y para determinar la matrizasociada basta con obtener los transformados de los vectores canonicos

e1 =

�10

�→ T (e1) =

�cos(ϕ)sen(ϕ)

�, e2 =

�01

�→ T (e2) =

�− sen(ϕ)cos(ϕ)

�.

Por tanto la matriz del giro es, como ya sabıamos,

Gϕ =

�cos(ϕ) − sen(ϕ)sen(ϕ) cos(ϕ)

�.

(2) La transformacion que asigna a cada vector de R3 su proyeccion ortogonal sobre unplano que pasa por el origen de coordenadas, por ejemplo π ≡ x + y + z = 0, esuna transformacion lineal. Por tanto, para determinar la matriz asociada basta conobtener la proyeccion ortogonal sobre dicho plano de cada uno de los vectores canonicos.¿Quienes son el espacio nulo y el espacio columna de la matriz asociada a la proyeccionortogonal dada?

(3) Para la misma transformacion anterior (proyeccion ortogonal sobre un plano que pasapor el origen de coordenadas), podemos obtener la matriz asociada M teniendo encuenta cual es el resultado de multiplicar esta matriz por determinados vectores (deR

3). Consideremos un vector ~n ortogonal al plano dado, en el caso anterior pode-mos tomar ~n = [1, 1, 1]t, y dos vectores {v1, v2} que generen el plano, por ejemplo,�v1 = [1, −1, 0]t , v2 = [1, 0, −1]t

©. Puesto que el transformado de ~n es el vector nulo

y los transformados de v1 y v2 son ellos mismos, la matriz M debe verificar

M

264 1 1 11 −1 01 0 −1

375 =

264 0 1 10 −1 00 0 −1

375 .

Basta despejar M multiplicando a la derecha, en ambos miembros de la igualdadanterior, por la inversa de la matriz P ,

P =

264 1 1 11 −1 01 0 −1

375 , P−1 =1

3

264 1 1 11 −2 11 1 −2

375 .

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120 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Tenemos

M =

264 0 1 10 −1 00 0 −1

375 1

3

264 1 1 11 −2 11 1 −2

375 =1

3

264 2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

375 .

En lugar de utilizar los vectores v1, v2 y ~n podrıamos haber considerado tres vectores{u1, u2, u3} linealmente independientes. Calculando sus transformados T (u1), T (u2) yT (u3) podrımos obtener M de forma analoga a la que hemos descrito. Las expresionesy calculos intermedios serıan distintos pero la matriz final coincidirıa con la calculada.

(4) Consiseremos la proyeccion ortogonal sobre la recta 2x−3y = 0 (ya la hemos consideradoen el ejercicio 21 del Tema 3). Se trata de una transformacion lineal T : R2 −→ R2.Para determinar la matriz asociada A, 2 × 2, basta determinar los transformados delos vectores canonicos e1 y e2 (Ae1 y Ae2 son los dos vectores columna de A). Es decir,solo tenemos que calcular la proyeccion ortogonal de e1 y de e2 sobre la recta dada.

Proyeccion ortogonal de e1 = (1, 0)

T (e1) ∈ {2x− 3y = 0} ≡ T (e1) = α

�32

�,

e1 − T (e1) =

�1− 3α−2α

�⊥

�32

�≡ 3(1− 3α) + 2(−2α) = 3− 13α = 0

⇔ α =3

13=⇒ Ae1 = T (e1) =

3

13

�32

�.

Es decir, ya tenemos la primera columna de la matriz A que tenemos que deter-minar.

Anaalogamente, la proyeccion ortogonal de e2 es Ae2 = T (e2) =1

13

�64

�.

Por tanto,

A =1

13

�9 66 4

�.

(5) La matriz de cada una de las transformaciones lineales/matriciales del ejercicio 21 deltema anterior puede obtenerse calculando los transformados de los vectores canonicos.

Ejercicio.- Sea T : R2 −→ R2 la transformacion lineal definida por la matriz

A =

�2 11 −1

�.

Calcula:

(a) La imagen, mediante T , de la recta r ≡ x + y = 2.

(b) La anti-imagen, mediante T , de la recta s ≡ 2x− y = 3.

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4.4.- Bases de un subespacio. 121

4.4.- Bases de un subespacio.

Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial.Definicion. Dado un subespacio S de Kn distinto del subespacio trivial nulo S 6= {0}, sedice que un conjunto de vectores

{v1, v2, . . . , vr}

de S es una base de S si:

(a) {v1, v2, . . . , vr} es Linealmente Independiente,

(b) {v1, v2, . . . , vr} genera S, S = Gen {v1, v2, . . . , vr}.

Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A ala matriz cuyas columnas son los vectores dados

A =

26664 ...... · · ·

...

v1 v2

. . . vr

...... · · ·

...

37775las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si:

(a) El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica (condicion equivalente a que losvectores sean linealmente independientes) y

(b) S = Col (A), es decir S esta formado por los vectores y ∈ Km para los que el sistemade ecuaciones Ax = y es compatible.

Ejemplos.

(1) Los vectores canonicos de Kn,8>>><>>>:e1 =

266664 10...0

377775 , e2 =

266664 01...0

377775 , . . . , en =

266664 0...01

3777759>>>=>>>;forman una base de Kn.

(2) Los vectores {e1, e1 + e2, · · · , e1 + e2 + · · ·+ en} tambien forman una base de Kn.

(3) Si tenemos una matriz A, m×n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes,entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dichamatriz. En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnaspivote de A (no de la forma escalonada U) forman una base de Col (A).

(4) Si una matriz cuadrada A, n× n, tiene inversa, sus n columnas formam una base delespacio total K

n.

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122 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

4.4.1- Coordenadas. Dimension.

Teorema/Definicion. (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial(S 6= {0}) y sea {v1, v2, . . . , vr} una base de S.

(1) Teorema. cada vector v de S se puede expresar de forma unica como combinacion linealde los vectores de la base dada,

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ crvr.

(2) Definicion. Los coeficientes que aparecen en dicha expresion (c1, . . . , cr) se denominancoordenadas de v respecto a la base dada B = {v1, v2, . . . , vr} y se suele denotar

[v]B

=

2664 c1

...cr

3775 .

Teorema/Definicion. Consideremos un subespacio vectorial S 6= {0} de Km.

(1) Teorema. Se verifica:

(a) S tiene base.

(b) Todas las bases de S tienen el mismo numero de elementos.

(2) Definicion. Al numero de elementos de una base de S se le denomina dimension deS. Por definicion, la dimension del subespacio nulo es cero.

Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados

A =

26664 ...... · · ·

...

v1 v2

. . . vr

...... · · ·

...

37775 ,

para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para algun vector decoeficientes c. De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de unamatriz cuyas columnas sean los vectores de una base. Por tanto, se puede expresar medianteecuaciones parametricas, y elminando los parametros se podran obtener unas ecuacionesimplıcitas que caractericen al subespacio dado.

Teorema (El Teorema de la Base). Consideremos un subespacio vectorial S de Km dedimension p y un conjunto de vectores {u1, . . . , uq} ⊂ S:

(a) Si {u1, . . . , uq} generan S, entonces q ≥ p. Ademas, q = p⇐⇒ {u1, . . . , uq} es una basede S.

(b) Si {u1, . . . , uq} es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Ademas, q = p ⇐⇒{u1, . . . , uq} es una base de S.

En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de Km:

Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes,

Si n < m, los n vectores no pueden generar Km.

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4.4.- Bases de un subespacio. 123

4.4.2.- Rango de una matriz. El teorema del rango.

Definicion. Dada una matriz A, m× n, se llama rango de A a la dimension de su espaciocolumna, es decir, a la dimension del subespacio vectorial (de Km)

Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A}= {Ax : x ∈ Kn} = {y ∈ Km : Ax = y es un S.C.} .

Teniendo en cuenta la relacion entre la dimension del espacio columna de A y la reduccionde A a forma escalonada tenemos que rango(A) = numero de pivotes de A.

Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre laexistencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa ⇐⇒ rango(A) = n.

Teorema. Consideremos una matriz A, m× n. Se verifican:

(a) rango(A) = rango(AT ). Es decir, la dimension del subespacio vectorial (de Kn) generadopor las m filas de A coincide con la dimension del espacio columna de A (subespaciovectorial de Km generado por las n columnas de A):

dim (Col (A)) = dim�Col (AT )

�.

Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (medianteoperaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (medianteoperaciones columna), el numero de pivotes que se tienen en ambas reducciones es elmismo.

(b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n.

(c) En terminos de la reduccion por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango sepuede expresar mediante:

(numero de pivotes) + (numero de variables libres) = n.

La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresion de que al reducir a formaescalonada el numero de filas-pivote coincide con el numero de columnas-pivote.

Si consideramos la transformacion lineal T : Kn −→ K

m, asociada a una matriz A, m×n,el espacio imagen de la transformacion es el espacio columna de la matriz de la matriz A,

Imagen(T ) = T (Kn) = {T (x) ∈ Km : x ∈ Kn} == {y ∈ Km : y = T (x) para algun x ∈ Kn} = Col (A).

Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de Km cuya dimension es rango(A).

Dada una matriz Am × n, la imagen, mediante la transformacion lineal T (x) = Ax, decualquier subespacio vectorial S de Kn sera un subespacio vectorial T (S) de Km contenido enel espacio imagen (columna) y por tanto la dimension de dicho subespacio T (S) sera menor oigual que el rango (y menor o igual que la dimension del subespacio S original). Ademas, si el

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124 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u1, . . . , up} (en particular si {u1, . . . , up}es una base de S) entonces T (S) puede generarse con {T (u1), . . . , T (up)},

S = Gen ({u1, . . . , up}) =⇒ T (S) = Gen ({T (u1), . . . , T (up)}) .

No obstante, el que {u1, . . . , up} sea una base de S no implica que {T (u1), . . . , T (up)} seauna base de T (S).

Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de Km, el conjunto de losvectores x ∈ Kn cuyos transformados T (x) = Ax pertenecen a H forman un subespaciovectorial de K

n.

Ejercicio. Sea A una matriz m× n y B una matriz n× p, prueba que

rango(AB) ≤ mın {rango(A), rango(B)} .

4.4.3.- Cambios de Base.

Todas las bases de Kn estan formadas por n vectores. Puesto que en ese caso tendremosn vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadradaformada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna dedicha matriz inversa formaran otra base de Kn). Por otra parte, tambien los vectores fila decada una de las dos matrices citadas seran una base de K

n. Para comprobar si n vectoresforman una base de Kn bastara con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichosvectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos. Notemosque, puesto que el orden de los vectores no influye en si estos forman base o no, en la matrizcitada podemos intercambiar las columnas. De hecho, podrıamos hacer operaciones columna.

Ejemplo. Sean e1, e2, . . . , en los vectores canonicos de Kn. Los vectores

e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, . . . , e1 + e2 + · · ·+ en

forman una base de Kn. Para calcular las coordenadas de un vector generico x ∈ Kn respectode esta base basta con resolver el sistema (con termino independiente x)266664 1 1 · · · 1

0 1 · · · 1...

.... . .

...0 0 · · · 1

377775 266664 α1

α2

...αn

377775 =

266664 x1

x2

...xn

377775 .

Resolvemos el sistema266664 1 1 · · · 1 x1

0 1 · · · 1 x2

......

. . ....

...0 0 · · · 1 xn

377775 −→ 266666664 1 0 0 · · · 0 x1 − x2

0 1 0 · · · 0 x2 − x3

......

. . .. . .

......

0 0 · · · 1 0 xn−1 − xn

0 0 · · · 0 1 xn

377777775 .

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4.4.- Bases de un subespacio. 125

Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son266666664 α1

α2

...αn−1

αn

377777775 =

266666664 x1 − x2

x2 − x3

...xn−1 − xn

xn

377777775 .

Dada una base V = {v1, v2, . . . , vn} de Kn, las coordenadas de un vector x ∈ Kn respectoa dicha base son los coeficientes (unicos) α1, α2, . . . , αn para los cuales se verifica

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = x ≡

26664 ...... · · ·

...

v1 v2

. . . vn

...... · · ·

...

37775 266664 α1

α2

...αn

377775 = x =

266664 x1

x2

...xn

377775Solo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total Kn. No consideraremosel problema de cambio de base entre bases de un subespacio.

Dadas dos bases

U = {u1, u2, . . . , un} y V = {v1, v2, . . . , vn}

de Kn se trata de hallar la relacion entre las coordenadas de un vector x ∈ K

n respecto deambas bases. Las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto a U vienen dadas por un vector[x]

Uque verifica que

x =

266664 x1

x2

...xn

377775 , [x]U

=

266664 α1

α2

...αn

377775 ⇔ x = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

266664 x1

x2

...xn

377775 =

26664 ...... · · ·

...

u1 u2

. . . un

...... · · ·

...

37775 266664 α1

α2

...αn

377775 . (∗)

La matriz 26664 ...... · · ·

...

u1 u2

. . . un

...... · · ·

...

37775que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canonica con lascoordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio debase U −→ C de U a la base canonica C = {e1, e2, . . . , en} y se denota por

PC ← U

=

26664 ...... · · ·

...

u1 u2

. . . un

...... · · ·

...

37775 , x = [x]C

= PC ← U

[x]U

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126 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Puesto que la igualdad (∗) es equivalente a266664 α1

α2

...αn

377775 =

26664 ...... · · ·

...

u1 u2

. . . un

...... · · ·

...

37775−1266664 x1

x2

...xn

377775 ≡ [x]U

=

�P

C ← U

�−1

[x]C

la matriz

�P

C ← U

�−1

es la matriz del cambio de base C → U con lo cual

PU ← C

=

�P

C ← U

�−1

.

De forma analoga, si tenemos dos bases distintas de Kn,

B = {v1, v2, . . . , vn} y U = {u1, u2, . . . , un}

podrıamos obtener las matrices de cambio de base B −→ U y U −→ B de la misma formaque lo que acabamos de hacer si conocieramos las coordenadas de los vectores de una baserespecto a la otra. Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto,por ejemplo, a la base canonica, podemos considerar un planteamiento similar.

Denotemos las coordenadas de un vector generico, x ∈ Kn, respecto de ambas bases B y

U mediante

[x]B

=

2664 α1

...αn

3775 , [x]U

=

2664 β1

...βn

3775 .

Tenemos entonces que x = α1v1+· · ·+αnvn = β1u1+· · ·+βnun y expresando estas igualdadesen forma matricial tenemos que

x =

2664 x1

...x3

3775 =

264 v1 v2 · · · vn

375 2664 α1

...αn

3775 =

264 u1 u2 · · · un

375 2664 β1

...βn

3775es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U lamatriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que

x = B [x]B

= U [x]U

.

De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base,

[x]B

= B−1U [x]U

=⇒ PB ← U

= B−1U,

[x]U

= U−1B [x]B

=⇒ PU ← B

= U−1B.

Ejemplos.

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4.4.- Bases de un subespacio. 127

(1) Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canonica de R3 y la base

B =�v1 = [−2 1 0]T , v2 = [1 − 2 3]T , v3 = [−1 0 − 1]T

©.

Siendo las coordenadas de un vector generico x ∈ R3 respecto a B y respecto a la basecanonica respectivamente,

[x]B

=

264 α1

α2

α3

375 , x =

264 x1

x2

x3

375se verifica que

x = α1v1 + α2v2 + α3v3 ≡

264 x1

x2

x3

375 =

264 v1 v2 v3

375 264 α1

α2

α3

375 .

Por tanto, la matriz

P =

264 v1 v2 v3

375 =

264 −2 1 −11 −2 00 3 −1

375(cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz

PC ← B

del cambio de base B −→ C, puesto que

x = [x]C

= P [x]B

, ∀x ∈ R3.

Puesto que la inversa P−1 verifica [x]B

= P−1 [x]C, ∀x ∈ R3 dicha matriz es la del

cambio de base C −→ B. Resumiendo,

PC ← B

= P =

264 −2 1 −11 −2 00 3 −1

375 , PB ← C

= P−1 = −1

6

264 2 −2 −21 2 −13 6 3

375 .

(2) Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases

B =

8><>:v1 =

264 −210

375 , v2 =

264 1−23

375 , v3 =

264 −10−1

3759>=>; y

U =

8><>:u1 =

264 121

375 , u2 =

264 −1−22

375 , u3 =

264 −132

3759>=>; .

Denotemos las coordenadas de un vector generico x ∈ R3 respecto de ambas bases B

y U mediante

[x]B

=

264 α1

α2

α3

375 , [x]U

=

264 β1

β2

β3

375 .

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128 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Tenemos entonces que x = α1v1 + α2v2 + α3v3 = β1u1 + β2u2 + β3u3. Escribiendo estasigualdades en forma matricial264 x1

x2

x3

375 =

264 −2 1 −11 −2 00 3 −1

375 264 α1

α2

α3

375 =

264 1 −1 −12 −2 31 2 2

375 264 β1

β2

β3

375obtenemos 264 α1

α2

α3

375 =

264 −2 1 −11 −2 00 3 −1

375−1 264 1 −1 −12 −2 31 2 2

375264 β1

β2

β3

375 .

Por tanto,

PB ← U

=

264 −2 1 −11 −2 00 3 −1

375−1 264 1 −1 −12 −2 31 2 2

375 = −1

6

264 2 −2 −21 2 −13 6 3

375 264 1 −1 −12 −2 31 2 2

375= 1

6

264 4 2 12−4 7 −3−18 9 −21

375 .

Analogamente podrıamos obtener

PU ← B

=

�P

B ← U

Ǒ−1

=1

15

264 −20 25 −15−5 22 −615 −12 6

375 .

4.5.- Suma e interseccion de subespacios.

Definicion. Consideremos dos subespacios vectoriales E y F de Km. Se define:

la suma, E + F , como el conjunto de vectores w ∈ Km que pueden expresarse comosuma w = u + v de un vector u ∈ E y otro vector v ∈ F ,

E + F = {w ∈ Km : existen u ∈ E y v ∈ F tales que w = u + v} ,

la interseccion, E∩F , como el conjunto de vectores que pertenecen simultaneamentea ambos subespacios, E ∩ F = {w ∈ Km : w ∈ E y w ∈ F } .

Es decir, E ∩F es el corte de los subespacios E y F y E + F es el menor subespacio quecontiene a E y a F (de la misma forma que el subespacio generado por ciertos vectores es elmenor subespacio que contiene a dichos vectores).

Cuando los dos subespacios E y F tienen en comun unicamente al vector nulo E ∩F = {0},la suma de dichos subespacios se suele llamar suma directa y se denota E ⊕ F ,

E ⊕ F = E + F si E ∩ F = {0} .

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4.5.- Suma e interseccion de subespacios. 129

Cuando dos subespacios E y F verifican E ⊕ F = Kn se dice que son complementarios. Porejemplo, cualquier pareja de rectas (no coincidentes, que pasen por el origen de coordenadas)en el plano es una pareja de subespacios complementarios. En el espacio, un plano (que pasepor el origen de coordenadas) y una recta que no este contenida en el plano (y pase por elorigen de coordenadas) tambien forman una pareja de subespacios complementarios.

Propiedades.

(1) E + F y E ∩ F son subespacios vectoriales.

(2) E ∩ F ⊆ E, F ⊆ E + F .

(3) Si E = Nul (A) y F = Nul (B), entonces E∩F = Nul

�AB

�. Es decir, si los subespacios

E y F vienen dados en forma implıcita mediante Ax = 0 y Bx = 0 respectivamente,es inmediato tener una descripcion implıcita de E ∩ F , basta considerar todas lasecuaciones implıcitas simultaneamente.

(4) Si E = Col (A) y F = Col (B), entonces E + F = Col�

A B�.

(4’) Si E = Gen {u1, u2, ..., up} y F = Gen {v1, v2, ..., vq}, entonces

E + F = Gen {u1, u2, ..., up, v1, v2, ..., vq}.

Ejercicio. Prueba las siguientes propiedades:

(1) E = E + F ⇔ F ⊆ E.

(2) E + F = E ∩ F ⇔ E = F .

Teorema. Sean E y F dos subespacios de Km. Se verifica:

(a) dim (E ∩ F ) ≤ dim (E), dim (F ) ≤ dim (E + F ) ≤ dim (E) + dim (F ).

(b) dim (E + F ) = dim (E) + dim (F )− dim (E ∩ F ).

(b’) dim (E ⊕ F ) = dim (E) + dim (F ).

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130 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

4.6.- Ejercicios.

Ejercicio 1. Determina cuales de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vec-toriales, cuales son variadades y cuales no son ni lo uno ni lo otro:

(a) El conjunto de los vectores (x1, x2) ∈ R2 cuyas coordenadas verifican, respectivamente,

(a1) cos2(x1) + sen2(x1) = 1,

(a2) x1x2 = a (a ∈ R),

(a3) x1 + 2x2 = 0 o x1 − x2 = 0,

(a4) x2

1+ x2

2= a (a ∈ R),

(a5) x1 − x2 = a (a ∈ R),

(a6) x1 + 2x2 = a y x1 − x2 = b, (a, b ∈ R).

(b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3) ∈ R3 cuyas coordenadas verifican, respectiva-mente,

(b1) x1 + x2 + x3 = 0 y 2x1 − x3 = a (a ∈ R),

(b2) x2

1+ x2

2= a (a ∈ R),

(b3) (x1 + x2)(x2 + x3) = 0,

(b4) x1 = 0 y (x2 = 0 o x3 = 0),

(b5) Se pueden expresar de la forma

8><>: x1 = α,x2 = α + α2,x3 = 0,

9>=>; para algun α ∈ R.

(b6) x1 + x2 + x3 ≤ 0.

(c) El conjunto de los vectores (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican, respecti-vamente,

(c1) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media (aritmetica) de las coorde-nadas anteriores,

(c2) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media geometrica de las dos coor-denadas anteriores,

(c3) La derivada segunda del polinomio a1 + a2t + a3t2 + · · · + antn−1 se anula para

t = 1.

(c4) La derivada segunda del polinomio a1 +a2t+a3t2 + · · ·+antn−1 vale 3 para t = 1.

Ejercicio 2. Siendo v1, v2, . . . , vk vectores de Rn, demuestra o da un contraejemplo de (cadauna) de las siguientes afirmaciones:

a) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces al menos uno de ellos es com-binacion lineal de los restantes.

b) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces cualquiera de ellos es combi-nacion lineal de los restantes.

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4.6.- Ejercicios. 131

Ejercicio 3. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes asıcomo ecuaciones implıcitas independientes para cada uno de ellos:

(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinacion lineal de

v1 =

264 −102

375 y v2 =

264 111

375y cuyas coordenadas verifican la ecuacion x1 − x2 + x3 = 0.

(b) Subespacio de R4 generado por los vectores

v1 =

26664 −1020

37775 , v2 =

26664 20−40

37775 v3 =

26664 1111

37775 y v4 =

26664 3202

37775 .

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 − x2 + x3 − x4 = 0,−2x1 + x2 + x3 = 0,3x1 − 2x2 − x4 = 0.

(d) Subespacio de Rn definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 + x2 + · · ·+ xn = 0,−x1 + 2x2 + · · ·+ 2xn = 0,2x1 + 5x2 + · · ·+ 5xn = 0.

Ejercicio 4. Sea V la variedad de R4 dada por las ecuaciones parametricas8>><>>: x1 = 1 + α− β + 2γ,x2 = −1 + 2α + β,x3 = 2 + 2α− 7γ,x4 = β + γ.

Determina una base (del subespacio director) y la dimension de V y halla unas ecuacionesimplıcitas.

Ejercicio 5.

(1) Determina el rango de las siguientes matrices:

A =

26664 0 1 −1 2 00 2 1 2 −20 1 −1 2 00 0 −1 −2 3

37775 , B =

26664 −1 1 −1 23 2 3 22 1 2 20 1 0 −2

37775 .

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132 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(2) Sabiendo que el rango de una matriz A, 3× 3, es 3, determina el rango de la matriz�A A2

I 2A

�(3) Sea A una matriz 20× 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimension de los

siguientes subespacios vectoriales,

Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).

(4) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A2 = 0,

(4a) demuestra que Col (A) ⊆ Nul (A),

(4b) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual 2 y

(4c) da ejemplos de matrices A que verifiquen que A2 = 0 y cuyos rangos respectivossean 0, 1 y 2.

Ejercicio 6. Consideremos una transformacion lineal T : Kn −→ Km y su matriz asociadaA, T (x) = Ax, ∀ x ∈ Kn. Demuestra que

(a) T transforma subespacios vectoriales (de Kn) en subespacios vectoriales (de Km). Esdecir, si S ⊂ Kn es un subespacio vectorial,

T (S) = {T (x) : x ∈ S} ≡ {Ax : x ∈ S}

es un subespacio vectorial. Que puede afirmarse sobre las dimensiones de S y de T (S)?

(b) T transforma variedades de Kn en variedades, es decir, si V ⊂ Kn es una variedad,

T (V ) = {T (x) : x ∈ V } ≡ {Ax : x ∈ V }

es una variedad.

¿En que se puede transformar un plano mediante una transformacion lineal?

Ejercicio 7. Determina la matriz de una aplicacion lineal T : R4 → R4 sabiendo que

T

26664 1001

37775 =

26664 1012

37775 , T

26664 1012

37775 =

26664 0110

37775 , T

26664 0110

37775 =

26664 0001

37775 , T

26664 0001

37775 =

26664 1000

37775 .

Ejercicio 8. Determina la matriz A de una transformacion lineal T : R3 −→ R2 sabiendoque el espacio nulo de A viene dado por la ecuacion implıcita x1 − x2 − x3 = 0 y que

T

�264 111

375Ǒ =

�2−1

�.

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4.6.- Ejercicios. 133

Ejercicio 9. Se considera la transformacion lineal T cuya matriz asociada es

A =

�1 2 1 22 4 1 3

�.

(a) Determina el espacio columna de A, Col (A).

(b) Calcular los vectores del nucleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones¨x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 2,x1 + 6x2 − 4x3 + x4 = 4.

(c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿Es V un subes-pacio vectorial de R4? Justifica la respuesta.

Ejercicio 10. Siendo e1, e2, e3 los vectores de la base canonica de R3 y sabiendo que losvectores {u1, u2, u3} e1 = 2u1 + 2u2 + u3, e2 = u1 − 2u2 + 2u3, e3 = −2u1 + u2 + 2u3, senalala relacion correcta:

(a) [e1 e2 e3] =

264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375 [u1 u2 u3] .

(b) [u1 u2 u3] =

�264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375Ǒ−1

= 1

9

264 2 1 −22 −2 11 2 2

375 .

(c) [u1 u2 u3] =

�264 2 1 −22 −2 11 2 2

375Ǒ−1

= 1

9

264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375 .

Ejercicio 11. Consideremos los siguientes vectores de R5,

v1 =

26666664 21−132

37777775 , v2 =

26666664 11011

37777775 , v3 =

26666664 15421

37777775 y v4 =

26666664 26432

37777775 .

(a) ¿Son v1, v2, v3 y v4 linealmente independientes?

(b) ¿Es v4 combinacion lineal de v1, v2 y v3?

(c) ¿Es v1 combinacion lineal de v2, v3 y v4?

(d) ¿Es v4 combinacion lineal de v1 y v2?

(e) ¿Es v4 combinacion lineal de v2 y v3?

(f) ¿Son v1, v2 y v3 linealmente independientes?

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134 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Ejercicio 12. (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3) Seaf : R

3 → R4 la aplicacion lineal dada por

f(x) =

26664 1 2 −32 −1 43 a 1b 4 −b

37775 264 x1

x2

x3

375 .

Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (−1, 3, 2, b − 4)verifique respectivamente:

(a) No pertenezca a la imagen de f .

(b) Sea la imagen de un unico vector de R3.

(c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3.

Ejercicio 13. Sea T : R2 → R2 la transformacion que hace corresponder al punto P =(x1, x2) el punto Q = (−x1, x2). Senala la unica opcion que es correcta.

es una transformacion que no esta bien definida.

es una aplicacion lineal que se representa, respecto de las bases canonicas, por la matriz

A =

�−1 0

0 1

�.

es una transformacion, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones8><>: y1 = −x1 cos π2

+ x2senπ2,

y2 = x1senπ2

+ x2 cos π2.

Ejercicio 14. (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que

Nul (A) ⊆ Nul (A2) ⊆ · · · y Col (A) ⊇ Col (A2) ⊇ · · ·

(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que

Nul (B) ⊆ Nul (AB) y Col (A) ⊇ Col (AB).

Ejercicio 15. Dados dos subespacios E y F de Rn, hallar las ecuaciones implıcitas, lasparametricas y una base del subespacio interseccion, E ∩ F :

(a) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R2.

(b) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ 2x1 + 2x2 = 0, en R2.

(c) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R3.

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4.6.- Ejercicios. 135

(d) E ≡ x1 + x2 + x3 = 0, F ≡ x1 − x2 + 2x3 = 0, en R3.

(e) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

(f) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 2), (0, 1, 0)}, en R3.

(g) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 3), (0, 1, 0)}, en R3.

(h) E = Gen {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 3)}, F = Gen {(0, 1, 1, 2), (1, 0, 2, 2)}, en R4.

Ejercicio 16. Hallar las ecuaciones implıcitas, las parametricas y una base del subespaciosuma, E + F , para los siguientes subespacios:

(a) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R2.

(b) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ 2x1 + 2x2 = 0, en R2.

(c) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R3.

(d) E ≡ x1 + x2 + x3 = 0, F ≡ x1 − x2 + 2x3 = 0, en R3.

(e) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

(f) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 2), (0, 1, 0)}, en R3.

(g) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 3), (0, 1, 0)}, en R3.

(h) E = Gen {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 3)}, F = Gen {(0, 1, 1, 2), (1, 0, 2, 2)}, en R4.

(i) E = Gen {(1, 1, 1), (2, 2, 2)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

Ejercicio 17. Extender a una base de Rn el conjunto linealmente independiente que se da:

(a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3.

(b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3.

(c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3.

(d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4.

Ejercicio 18. Consideremos la base B = {(2, 1), (−3,−1)} de R2.

(a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subespaciosque en la base canonica vienen definidos mediante:

E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 − 2x2 = 0, G = Gen {(1, 1)}, H = Gen {(3, 1)}.

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136 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

(b) Obtener, en la base canonica, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subes-pacios que en la base B vienen definidos mediante:

E ≡ y1 + 5y2 = 0, F ≡ y2 = 0, G = Gen {(1, 0)B}, H = Gen {(2, 4)B}.

Ejercicio 19. Halla las ecuaciones parametricas de un subespacio F (de R4) complementariode Nul (A), siendo A la matriz

A =

26666664 1 −2 0 01 −3 3 00 1 −1 0−1 2 4 0

2 −3 −1 0

37777775 .

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7.- Apendice.- MATLAB. 137

7.- Apendice.- MATLAB.

Bases de un subespacio vectorial.

Subespacio en forma implıcita. Si tenemos un subespacio vectorial en formaimplıcita como espacio nulo de una determinada matriz, podemos obtener unabase de dicho subespacio sin mas que recurrir al comando null que ya hemosdescrito.

Subespacio en forma parametrica. Si tenemos un subespacio vectorial enforma parametrica como espacio columna de una determinada matriz, podemosobtener una base de dicho subespacio recurriendo al comando rref que ya hemosdescrito.

Dada una matriz A, la orden

> rref(A)

proporciona la forma escalonada reducida de A. Seleccionando las posiciones piv-ote en dicha forma escalonada y escogiendo las correspondientes columnas de Atendremos una base del espacio columna de A. El comando rref dispone de unaopcion que permite hacer esto directamente, sin necesidad de programarlo. Alejecutar la orden

> [R,jb]=rref(A)

se obtiene la forma escalonada reducida R de A y un vector jb donde se almacenanlos ınidices de las columnas pivote. De esta forma,

> A(:,jb)

proporciona una matriz cuyas columnas (son columnas de A) forman una basedel espacio columna de A.

Por otra parte, notemos que al hacer operaciones columna sobre una matriz A elespacio columna no cambia. Por tanto si haciendo operaciones columna obtenemosuna forma escalonada, por columnas, una base del espacio columna estara for-mada por las columnas no nulas de dicha forma escalonada. Las columnas queobtengamos no seran, en general, columnas de la matriz A original. Utilizandoeste planteamiento podemos obtener una base del espacio columna de una matrizreduciendo por filas la transpuesta. Dada una matriz A, al ejecutar

> M=transpose(A);

> R=rref(M);

> B=transpose(R)

obtenemos una matriz B cuyas columnas no nulas forman una base del espaciocolumna de A.

Rango de una matriz. La determinacion efectiva del rango de una matriz es una cuestiondelicada desde el punto de vista numerico. Notemos que el rango de una matriz de

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138 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

orden n de la forma 266664 1 0 · · · 00 ε · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · ε

377775es uno para ε = 0 y es n para ε 6= 0 por muy pequeno que sea |ε|.

El comando rank permite estimar el rango de una matriz,

rank(A) proporciona una estimacion del rango de A, es decir del numero de filaso de columnas de A que son linealmente independientes.

rank(A,tol) proporciona una estimacion del rango de A con una tolerancia tol

respecto a los denominados valores singulares de A. El rango de A coincide conel numero de valores singulares (positivos) de A, rank(A,tol) proporciona elnumero de valores singulares mayores que tol.

Ejemplo. Si consideremos la matriz

>> A=magic(4)

A =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

al ejecutar

>> [R,jb]=rref(A);

>> B=A(:,jb)

obtenemos la matriz

B =

16 2 3

5 11 10

9 7 6

4 14 15

cuyas columnas son columnas de A que forman una base del espacio columna de A.

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