1. Tema 4:Codificacin de canalDr. Jos Ramn Cerquides BuenoTeora de la Seal y ComunicacionesUniversidad de SevillaTransmisin Digital

2. Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 2Organizacin Introduccin Ejemplo Esquema y definiciones Cdigos de bloque Cdigos convolucionales Codificacin avanzada Conclusiones Referencias 3. Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 3Introduccin El Teorema de Codificacin de Canal (Shannon)establece que:Es posible enviar (con el cdigo adecuado) con unaprobabilidad de error arbitrariamente pequea si y solosi H(S)Rs CRc En este tema vamos a abordar el diseo decodificadores que nos permitan aproximarnos a lacapacidad de canal. 4. Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 4Ejemplo Canal binario simtrico con p=0.15C = 0,39 bits/uso de canal Intentamos mejorar transmitiendo cada smbolo 3veces y decidiendo por mayora, con la intencin deobtener una capacidad 0,393 = 1,17 bits.Smbolo 1 Transmitimos 1,1,1Smbolo 0 Transmitimos 0,0,0 La nueva probabilidad de error ser:3p2(1-pe)+p3=0,0607que corresponde a una capacidadC = 0,6696 bits < 1,17Por qu? 5. Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 5Ejemplo La capacidad sera 3C = 1,17 bits si los smbolos deentrada al canal fuesen equiprobables:X = 000,001,010,011,100,101,110,111pero nosotros slo hemos empleado dos smbolosposibles de entrada:X= 000,111. Al reducir la entropa a la entrada no puedealcanzarse la capacidad de canal. 6. ESQUEMA DE CODIFICADOR YDECODIFICADOR PARA UN CANAL DMCDEFINICIONES(n,k) Descripcin usada para referirse al cdigok Tamao de las palabras del alfabeto de entrada oLongitud de las palabras de entradan Tamao de las palabras cdigo oLongitud del cdigoR=k/n Tasa de transmisin (o tasa de cdigo)r=n-k RedundanciaEsquema y definicionesDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 6 7. Definiciones (continuacin)Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 7 Alfabeto de entrada: BCompuesto por las 2k posibles combinacionesde bits a la entrada. Palabra cdigo: cCada una de las 2k posibles combinacionesde n bits a la salida del codificador Diccionario de cdigos: CConjunto de todas las palabras cdigo Distancia mnima de un cdigo:Un cdigo es capaz de corregir hasta erroresmin 1 / 2d 8. Ejemplo revisitadoDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 8 Canal BSC con p=0,15 Vamos a disear un codificador con n=3k, R=1/3,para diferentes valores de k. Elegimos las 2k palabras cdigo de n bits que ms sediferencien entre s. Por ejemplo, para k=2, podranser: En la decodificacin elegimos como palabra cdigocorrecta aquella que presente mayor similitud conalguna de ellas. 9. Ejemplo revisitadoDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 9 A cada una de las 2k palabras cdigo les correspondeun conjunto de 2n/2k = 22k smbolos recibidos. Por ejemplo para el vector todo ceros: La pe de la palabra cdigo ser ahora:pe=1-((1-p)6+6p(1-p)5+9p2(1-p)4 )=0.1178resultado un tanto SORPRENDENTE pues laprobabilidad de error en la transmisin de 2 bits deinformacin es menor que en 1 !!! 10. Resultado para diferentes valores de n La grfica muestra laevolucin de la pe deuna palabra cdigo amedida que n aumenta. Si n=1500 pe 310-3,k=500 pe,bit 610-6 Relacin entre C yR=0.3333 Para p=0.13 (C=0.4426) lacada es ms rpida Para p=0.17 (C=0.3423) lacada es muy lenta Para p=0.19 (C=0.2985) lape sube cuando naumenta.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 10 11. Ms definiciones Probabilidad de error de una palabra cdigo: Probabilidad de error media de un cdigo: Probabilidad de error mxima de un cdigo: Podemos realizar una transmisin fiable a una tasa R si existe una secuencia de cdigos (n, nR) (donde nR denota el entero mspequeo que es mayor que nR) tal que la probabilidad de error mxima,pe(mx, n), tiende a cero cuando n tiende a infinito. Formalmente, si para todo > 0 existe una secuencia de cdigos (n, nR) yun valor n0 para el que Pe(mx, n) < cuando n > n0.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 11 12. Retos En realidad querramos encontrar una FORMASISTEMTICA de construir cdigos para los que: La codificacin sea sencilla y de bajo coste computacional La decodificacin sea sencilla y de bajo coste computacional La pe decaiga lo ms rpidamente posible a medida que aumenta n Los decodificadores pueden ser: Soft (o blandos) si hacen uso de la seal a la salida deldemodulador, antes del detector. Hard (o duros) si hacen uso de la seal a la salida deldetector.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 12Los decodificadores blandos utilizan distancias eucldeas,mientras que los duros utilizan distancias de Hamming 13. Sistema binario BPSK, B={0,1}, C={00,11} (repeticin) Smbolos {-1,+1} Comparacin decodificador blando y duro Decodificador HARD dmin=2 corrige hasta 0errores y detecta hasta 1 pe,palabra=p2+2p(1-p) 2p Decodificador SOFT No detecta ni corrige errores.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 13Bit 1Bit 2110011-1-1Bit 1Bit 2110011-1-10 02 2s bE Ep Q QN N0 02 2s beE Ep Q QN N0 022 2s bE Ep Q QN N 14. Ganancia de codificacin Diferencia entre la relacin SNR necesaria paraalcanzar cierta BER con y sin sistema de codificacin. En el caso anterior: BER sin codificador BER con decodificador HARD Ganancia de codificacin (BER = 10-6) Tabla Q(x)Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 1460 0 sin cod210 11,3b bE EQN N6HARD0 0 HARD2 10 24 3,26b bE EQ G dBN NSin codificador Codificador HARD Codificador SOFT02 bEQN 02 bEQN02 bEQN6SOFT0 0 SOFT210 11,3 0b bE EQ G dBN N 15. Sistema binario BPSK, B={00,01,10,11}, C={000,011,101,110} Sin codificador Para BER = 10-6 Otro ejemploDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 15-101-101-1-0.500.51101000110011Bit 1Bit 2Bit 30 02 2s bE EBER Q QN N60 0 sin cod210 11,3b bE EQN N 16. BER y Ganancia de codificacin Decodificador HARD Para BER = 10-6 GHARD = -2,14dB Decodificador SOFT Para BER = 10-6 GSOFT = 1 dBDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 16,0 03 22 43 33s bs be sE EE Ep Q QN N0 04 43 33 3b bE EBER Q QN N,0 03 24 83 33s bs be sE EE Ep Q QN N08233 3bEBER QN60 043 10 18,523b bHARDE EQN N60 082 10 8,953b bSOFTE EQN NLa ganancia del decodificador SOFT es siempre mayor quela del decodificador HARD 17. Comparacin decodificadoresDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 17-101-101-1-0.500.51101000110011Bit 1Bit 2Bit 3-101-101-1-0.500.51101000110011Bit 1Bit 2Bit 3Decodificador HARD Decodificador SOFT 18. Ancho de banda ocupado Al utilizar un codificador de tasa R, o bien: El ancho de banda se incrementa en un factor 1/R O bien la velocidad de informacin se reduce en un factor RDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 18Donde antes transmitamos k smbolos/sahora transmitimos n=k/r smbolos/sSUBE EL BW NECESARIOSi seguimos transmitiendo a la misma velocidadslo k de cada n son informacinSE REDUCE LA TASA BINARIADE INFORMACIN 19. Cdigos de bloque Los cdigos de bloque estructuran los datos enBLOQUES de longitud FIJA a los que aadenREDUNDANCIA. Todos los ejemplos vistos son cdigos de bloque. Nos van a interesar especialmente los cdigos debloque LINEALES y, entre ellos, los cdigosCCLICOS. Vamos a necesitar conceptos de campos de Galois(GF) (Galois Field).Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 19kDATOSn-kREDUNDANCIA 20. Campos de Galois Cuerpo finito, campo finito o campo deGalois (variste Galois) es un CUERPO que contieneun nmero finito de elementos. EJEMPLO: GF(2)a+b = (a+b)2ab = (ab)2 EJEMPLO: GF(3)a+b = (a+b)3ab = (ab)3Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 20+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1+ 0 10 0 11 1 0 0 10 0 01 0 1 21. Cdigos bloque lineales Un cdigo bloque es lineal (n,k) si es un s.e.v. dedimensin k de GF(2n). PROPIEDADES: Cualquier combinacin lineal de palabras cdigo es palabracdigo. La palabra 0 pertenece al cdigo La dmin de un cdigo lineal coincide con el menor nmerode 1s en una palabra cdigo (excepto la 0) Todas las palabras cdigo poseen otra a distancia dminDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 21Las k palabras cdigo forman un s.e.v. 22. EJEMPLO k = 2, n=6Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 22Lapalabra 0perteneceal cdigodmin = 4011011+110110101101 23. Generacin de un cdigo lineal Para generar un cdigo lineal basta con una MATRIZGENERADORA G que contenga k vectores linealmenteindependientes c = b G EJEMPLO: Cdigo (5,2) Cualquier matriz que contenga una base (n-k vectores) delcomplemento ortogonal a G es una MATRIZ DECOMPROBACIN DE PARIDAD, H.c HT = 0 pues G HT = 0 y HT c = 0 pues H GT = 0 EJEMPLO: Adems, H es una matriz generadora de un cdigo (n,n-k)Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 230 0 1 1 11 1 1 0 0G0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 11 1 1 1 0 1 1b cb cb cb c1 1 0 0 00 1 1 1 00 0 0 1 1H11 1 0 0 0 010 1 1 1 0 000 0 0 1 1 011 24. Cdigos SISTEMTICOS Los procesos de codificacin y decodificacin sesimplifican si el cdigo es SISTEMTICO (losprimeros k bits de la palabra cdigo coinciden con lapalabra a codificar). Para que ocurra G debe tomar una forma especial:G = [Ik | P] H = [PT | In-k] EJEMPLO:Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 241 0 1 0 10 1 0 1 1G1 0 1 0 00 1 0 1 01 1 0 0 1H 25. Sndrome El sndrome es r HT, que ser 0 si r es una palabra cdigo. Si r = c+e entonces r HT = e HT Como el sndrome depende del error, podemos elaborar unatabla para cada sndrome, consignando el patrn de errorasociado (el que menos errores contenga). EJEMPLO: Los sndromes 111 y 101 corresponden a ms de un error.Existen dos posibilidades: reportar la palabra recibida comoerrnea o realizar la decodificacin con ms de un error. Un cdigo es PERFECTO si en la tabla no queda ningnsndrome por asignar.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 251 0 01 1 00 1 00 1 10 0 1TH0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 1 01 0 0 0 0 1 0 0Error Sndrome 26. Capacidad correctora (cota de Hamming) Un cdigo binario de longitud n con capacidad decorregir (t) errores debe tener una redundancia (r)r = n-k log2 V(n,t) V(n,t) es la esfera de Hamming de radio t (nmerode vectores que estn a distancia t) EJEMPLO: Es posible corregir 3 errores en uncdigo con (12,5)?r = 7 log2 299 = 8,22 NO La igualdad r = log2 V(n,t) CDIGO PERFECTO.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 260,tjnV n tj301212,3 1 12 66 220 299jVj 27. Cdigos PERFECTOS Slo existen 4 cdigos perfectos: Trivial: n=k, r=0, t=0 Repeticin: n impar, k=1, t=(n-1)/2 Golay: n=23, k=11, t=3 Hamming: n=2r-1, k=n-r, t=1 EJEMPLO: Cdigo de Hamming (r=3 n=7, k=4)sistemticoDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 270 1 1 1 1 0 01 0 1 1 0 1 01 1 0 1 0 0 1H1 0 0 0 0 1 10 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 1 00 0 0 1 1 1 1GTodas lascombinacionesrestantes 28. EJEMPLO Si c = [0 1 0 0 1] c(x) = x+x4xc(x) = x2+x5 = 1 (x5+1) + (x2+1) [1 0 1 0 0] Para generar un cdigo cclico se parte de unpolinomio GENERADOR g(x) de grado r=n-k. Las palabras cdigo se obtienen multiplicando b(x)por g(x) (cdigo NO SISTEMTICO). EJEMPLO:g(x) = 1+x2+x3+x4 r=4. Si k=3, n=7b = [0 1 1] b(x)=x+x2c(x)=g(x)b(x) = x+x3+x4+x5+x2+x4+x5+x6c(x) = x+x2+x3+x6 c = [0 1 1 1 0 0 1]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 29Cociente Resto 29. Mtodo SISTEMTICO Existe una forma de obtencin alternativa que dalugar a un cdigo SISTEMTICO (aunque laredundancia precede a los datos). El procedimiento es: Obtener d(x) = (b(x) xr)g(x) Construir c(x) = b(x) xr + d(x) EJEMPLO:g(x) = 1+x2+x3+x4b = [0 1 1] b(x)=x+x2d(x) = (x5+x6)g(x) = x3+1c(x)=b(x) xr + d(x)=1+x3+x5+x6 c = [1 0 0 1 0 1 1]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 30DatosRedundanciaAs trabaja MATLAB 30. EJEMPLO g(x) = 1+x2+x4 r=4, k=2, n=6 Obtener todas las palabras cdigo. DETALLES: Cualquier palabra cdigo rotada es otra palabra cdigo. En este caso se obtiene un cdigo SISTEMTICO. La matriz generadora sera:Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 31Entrada b(x) c(x) Salida00 0 0 00000001 x x+x3+x5 01010110 1 1+x2+x4 10101011 1+x 1+x+x2+x3+x4+x5 1111111 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1G 31. Decodificacin de un cdigo cclico Para calcular el sndrome s(x) basta obtener el restode la divisin entre la palabra recibida y elpolinomio generador g(x). Si el polinomio recibido es r(x)=c(x)+e(x),s(x)=(r(x))g(x)=(c(x)+e(x))g(x)=(e(x))g(x) EJEMPLO:g(x) = 1+x2+x3+x4b = [0 1 1] c = [0 1 1 1 0 0 1]Si r = [0 1 1 1 0 0 0] r(x) = x+x2+x3s(x)=x+x2+x3 e(x)=x6 c = [0 1 1 0 0 1]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 32Es necesario disponer de unatabla de sndromes, aunqueexisten otras alternativas 32. Tabla de sndromes para cdigos cclicosDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 33Error e(x) s(x) Sndrome1000000 1 1 10000100000 x x 01000010000 x2 x2 00100001000 x3 x3 00010000100 x4 1+x2+x3 10110000010 x5 1+x+x2 11100000001 x6 x+x2+x3 0111Si el ltimo bit delsndrome es 1, aldesplazar (multiplicarpor x) habr querecalcular el residuo.Error e(x) s(x) Sndrome0001000 x3 x3 00010000100 x4 1+x2+x3 10110000001 x6 x+x2+x3 0111Esta propiedad acortala tabla y los tiemposde bsqueda. 33. Cdigos BCH y RS Algunas de las familias de cdigos cclicos ms famosos son loscdigos BCH (Bose Chaudhuri Hocquenghem) o RS (ReedSolomon). Cdigos BCH Ms conveniente para errores independientes. Parmetros: Longitud del bloque: n=2m-1 m>=3 Bits de informacin: kn-m t Distancia mnima: d2 t+1 Cdigos RS Variante del BCH, operando con smbolos no binarios. Ms apropiada para rfagas de errores Parmetros: Bits por smbolo: m Longitud del bloque: n=2m-1 smbolos Smbolos de informacin: k=n-2t smbolos Capacidad correctora: t smbolos Distancia mnima: d(2 t+1) smbolosDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 34 34. Ejemplo de diseo y uso BCH (MATLAB) m=4, t=1 n=15, k=15-4 t=11 Cdigo (15,11) Hay otras alternativas:bchnumerr(15) Generacin del polinomio:bchgenpoly(15,11)g(x) = 1 + x3 + x4 Codificacin de los datos:bchenc(gf([01010101010],1),15,11)c=[01010101010 0100] Introduccin de un error:r=c;r(1)=1r=[11010101010 0100] Decodificacin:[d,num]=bchdec(r,15,11)d=[01010101010 0100] m=4, t=2 n=15, k=15-4 t=7 Cdigo (15,7) Generacin del polinomio:bchgenpoly(15,7)g(x) = 1 + x+x2 + x4 + x8 Codificacin de los datos:bchenc(gf([0101010],1),15,7)c=[0101010 00011010] Introduccin de dos errores:r=c;r(1)=1;r(2)=0;r=[1001010 00011010] Decodificacin:[d,num]=bchdec(r,15,7)d=[0101010] Introduccin de tres errores:r=c;r(1)=1;r(2)=0;r(3)=1; Decodificacin:[d,num]=bchdec(r,15,7)d=[1011110]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 35 35. Campos de Galois y cdigos RS Para generar un GF(2m) es necesario encontrar un polinomiobinario PRIMITIVO pm(x) que verifique: pm(x) es IRREDUCIBLE o PRIMO (no factorizable) El menor n para que pm(x) divida a xn+1 es 2m-1 EJEMPLO: Para m=2 n=3, p2(x) = x2+x+1, pues x3+1 = p2(x)(x+1) Una vez tenemos pm(x) podemos generar el GF. Sus elementossern 0,0, 1, 2 n-1, definidos como en el ejemplo. EJEMPLO: Para m=3 n=7, p3(x) = x3+x+1Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 36Elemento Polinomio Cdigo Elemento Polinomio Cdigo0 0 000 (0) 3 +1 011 (3)0 1 001 (1) 4 2+ 110 (6)1 010 (2) 5 2++1 111 (7)2 2 100 (4) 6 2+1 101 (5) 36. Ejemplo de diseo y uso RS (MATLAB) m=3 bits/smbolo GF(23) {n=7, k=5, t=1} smbolos Generacin del polinomio: [g,t]=rsgenpoly(7,5)g(x)=x2+4x+3 Codificacin de los datos: rsenc(gf([0 0 0 0 3],3),7,5) b = [0 0 0 0 3] = [000 000 000 000 011] b(x) = 3 = +1. Para que seasistemtico: (xn-kb(x))g(x) nos da la redundancia c = [0 0 0 0 3 1 5] = [000 000 000 000 011 001 101] Introduccin de un error de smbolo (un bit):r=c;r(1)=4; Decodificacin: d=rsdec(r,7,5)d = [0 0 0 0 3] Introduccin de un error de smbolo (3 bits):r=c;r(1)=7; Decodificacin: d=rsdec(r,7,5)d = [0 0 0 0 3] Introduccin de un error en dos smbolos:r=c;r(1)=4;r(2)=1; Decodificacin: d=rsdec(r,7,5)d = [4 1 0 0 5]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 373 2 7 63 2 22 4 3 2 4 3( ) 1 1x xc x x xx x x x 37. Modificando cdigos A partir de un cdigo se pueden derivar versionesmodificadas. Esto permite generar cdigos AUMENTADOS: (n,k)(n,k+1) r EXPURGADOS: (n,k)(n,k+1) r EXTENDIDOS: (n,k) (n+1,k) r PERFORADOS. (n,k) (n-1,k) r ALARGADOS: (n,k) (n+1,k+1), r = ACORTADOS: (n,k) (n-1,k-1) r=Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 38 38. Implementacin de codificadores. Ejemplo Es posible implementar los codificadores: Software (DSPs, C, P) Hardware (FPGA, VHDL) EJEMPLO: Producto b(x)g(x) Polinomio generador: g(x) = x3 + x + 1 Mensaje: b = [0 1 0 1] b(x) = x2 + 1 c(x) = g(x)b(x) = x5 + x2 + x + 1 c = [0 1 0 0 1 1 1]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 39 39. EJEMPLO (cont.)Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 40 40. Implementacin de codificadores EJEMPLO: (xn-kb(x))g(x) Polinomio generador: g(x) = x3 + x + 1 Mensaje: b = [0 1 0 1] b(x) = x2 + 1 r(x) = (xn-kb(x))g(x) c(x) = xn-kb(x)+(xn-kb(x))g(x) = x5 + x3 + x2 c = [0 1 0 1 1 0 0]Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 41 41. EJEMPLO (cont.)Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 42Resto = x2 42. Prestaciones de los cdigos bloque Procedimiento a seguir: Determinar dmin: Menor nmero de 1s de una palabra cdigo distinta de 0 Calcular Pe,s y BER:1/kPe,s BER Pe,s Obtener la ganancia de codificacin El procedimiento es habitualmente muy complejo,especialmente para valores de n elevados y requieresimulacin.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 43,01 1tn iie sinP p pi 43. SimulacionesDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 44BER obtenida por distintos cdigos BCH para un canal conpe = 0,0563 C = 0,6874Tasa mxima dadauna BER Hamming (7,4) BCH (15,k)BCH(31,k) BCH(63,k) BCH(127,k)- BCH (255,k)--- BCH (511,k) BCH (1023,k) 44. SimulacionesDr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 45BER obtenida por distintos cdigos BCH para un canal conmodulacin BPSK, en funcin de la SNR- BCH (63,30) BCH (127,64)--- BCH (255,131)- BCH (511,259) BCH (1023,513) 45. Aplicaciones de los cdigos de bloque Almacenamiento dedatos: CD, DAT,DVD En CD se utilizan dosversiones acortadas deun (255,251): uno interno(32,28) y uno externo(28,24). En conjuntopueden corregir rfagasde hasta 4000 bitserrneos (2,5 mm). En DVD elprocedimiento essemejante, con cdigointerno (208,192) yexterno (182,172).Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 46 46. Aplicaciones de los cdigos de bloque (II) Cdigos de barras: PDF-417, MaxiCode,Datamatrix, QR yAztec usan cdigosReed-Solomon adiferentes niveles.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 47 47. Aplicaciones de los cdigos de bloque (III) Comunicaciones: G-709 (interfaz paratransporte ptico)emplea un cdigoRS (255,239). DVB-T, C, S utilizaun cdigo RS(204,188) resultadode acortar el anterior(255,239). Las imgenesenviadas por elVoyager utilizancodificacin RS.Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 48 48. Conclusiones A los cdigos BCH/RS les cuesta acercarse a lacapacidad del canal, y necesitaran valores de n muyelevados retardos, complejidad. Son cdigos competitivos para R 1 y tamaospequeos (n