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TEMA 1: PROPOSICIONES LÓGICAS Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.- Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F) t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F) u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición p: ¡Viva el Perú 1!

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón

No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones

Resolvemos I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ( ) b) ¡Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2 23 x 5 ( ) e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( ) f) 20 -18 = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( )

i) ¿Eres estudiante de matemática? ( ) j) 15 < 13 ( ) k) Ponga atención ( )

ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos

enunciados que constan de variables. Se convierte

en una proposición cuando se le asigna un valor

específico a la variable". Ejemplos:

a) p: x es la capital del Perú Sí x: Lima, Quito… Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V) Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F) b) q: y + 4 = 11 , y es número natural Y: 0; 1; 2; 3; 4;….. Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F) q (7): 8+4 = 11 , es verdadero (V)

Practicamos

Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas a) x es hermano de y b) 28 < 15

c) El es arquitecto d) Tenga calma ,no se impaciente e) 9x + 3 = 12 , x R f) x es Ingeniero y Juan es Matemático

g) 3x – 8 > 15 , x R

h) x + y 15 , x , y R

i) 2x + 5 > 11, x R

j) 3x + 7 = 11, x N

l) x es un animal

CLASE DE PROPOSICIONES

A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional . Por ejemplo, sea la proposición

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p: 3 + 6 = 9 B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo: r: Pitágoras era griego y era geómetra p q Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejemplo: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor y s : Manuel es arquitecto Es decir , p : r o s

CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples

A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos

OPERACIONES PROPOSICIONALES

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba: 1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por

~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p: Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p ~p

V

F

F

V

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo. La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática

2.-CONJUNCIÓN

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la

proposición p q (se lee "p y q")

Ejemplo. Sea la declaración i) 5 es un número impar y 6 es un número par

p q

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Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p: 5 es un número impar q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera. Tabla de verdad

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: Si p: 3 es menor que 7

q: Todo número par es múltiplo de dos Entonces:

p q: 3 es menor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera

3.-DISYUNCIÓN

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de

las proposiciones p y q es la proposición p q, se lee” p o q “ Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad

Ejemplo2 Si p: Hace frío en Invierno , y q: Napoleón invadió Lima

p q: Hace frío en invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de las proposiciones verdadera la conjunción es verdadera

4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

Implicación de las proposiciones p y q es la

proposición p q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. Ejemplo. Supongamos la implicación

i) Si apruebo, ENTONCES te presto el libro

p q La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. Tabla de verdad

p q p q

V V F F

V F V F

V F V V

La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

p q p q

V V F F

V F V F

V F F F

p q p q

V V F F

V F V F

V V V F

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5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

Doble implicación de las proposiciones p y q es la

proposición p q (se lee "p si y sólo si q") Ejemplo 1: p: Karina ingresa a la universidad q: Karina estudia mucho Entonces: p q: Karina ingresa a la universidad si y sólo

si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a² = b²

La falsedad de esta doble implicación pq está caracterizada por la falsedad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Tabla de verdad

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De

este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de

(p q) (q p), como vemos:

6.- DIFERENCIA SIMÉTRICA

Diferencias simétricas o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la

proposición p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p q p q

V V F F

V F V F

F V V F

La verdad de p q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Ejemplo. Sea i) o vamos a Lima o vamos a Ica Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y

CONTINGENCIA

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:

~ {(p q) (s t)}

Tautología Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.

Ejemplo.

Si analizamos la proposición t: p ~p realizando su tabla de verdad:

p ~p p ~p

V F

F V

V V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición

p q p q

V V F F

V F V F

V F F V

p q p q q p (p q) (q p)

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

V F F V

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t: p ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología. Ejemplo. Analicemos ahora la fórmula lógica

{(p q) p} q

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

Contradicción

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo

Analicemos la fórmula lógica p ~p

p ~p p ~p

V F

F V

F F

Contingencia

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

p q p q q p { ( p q ) p } q

V V F F

V F V F

V F V V

V F F F

V V V V

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.-Halle el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra

ubicada en América del Sur.

b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5

c).- 24 es un número par y 42 es un número impar

d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita

con Chile.

2.- Formalice las siguientes proposiciones

a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine.

b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el

futuro.

c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener

18 años cumplidos son condiciones para poder

ejercer la docencia.

d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien

con todas las personas del colegio entonces no has

perdido el tiempo".

e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he

descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las

doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las

doce. Por tanto, será que no he descansado al

mediodía.

f) Si te cuesta entender las cosas, pero te

esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes.

g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física, o si no

estudio Física entonces estudio Aritmética.

h) Roxana estudia o trabaja, pero si no estudia

entonces trabaja. En consecuencia, Roxana no

trabaja hoy no es lunes.

4.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas moleculares:

a) [(pΛ q) → q ] v p d) ~ (p v q) Λ p

b) (p→q) v p e) [ (p → ~ q) Λ p ] → ~ q

c) p→(pΛq) f) ~p v ~ ( p v q )

5.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

a) p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q )

b) ( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]

5.- Si p=V, q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:

a) (p Λ q) → (~ p V r) c) p Λ q → r e) ( p ↔ ~q ) → r

b) ~r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ~p f) (~ p V q ) →(~r Λ q )

6.- a) Si la proposición p → (~p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ~ (p V q )

b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q→r ) , es falsa determine el valor de : p V r

7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o

Indeterminaciones (contingencias)?

a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo

razón. Por tanto, no estoy loco.

b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo

razón. Por tanto, no tengo razón.

c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar

Equivocado. Por tanto, estoy equivocado.

d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si

Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo

Tiempo.

e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan torta. La

prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta.

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EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACIÓN MÁS TABLAS DE VERDAD

Construya la tabla de verdad de las siguientes fórmulas. Indique qué fórmulas son tautológicas, cuáles

contradictorias y cuáles indeterminadas.

1. Jaime se come el polo o se le derretirá; no se derrite el polo; por tanto, Jaime se come el polo.

2. Juan partirá para Japón, si María se queda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan no partirá para

Japón. O María no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por consiguiente, María no se

queda en Venecia.

3. Si la Luna es mayor que la Tierra, la Tierra es mayor que el Sol. Júpiter es mayor que Plutón, si la Tierra

es mayor que el Sol. Por tanto, si la Luna es mayor que la Tierra, Júpiter es mayor que Plutón.

4. Cuando viajo me mareo. Siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me

entra un hambre atroz, viajo.

5. O el amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es ciego

y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces

el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.

6. Si Guillermo estudia, obtiene buenas notas. Si no estudia, lo pasa bien en el colegio. Si no saca buenas

notas, no lo pasa bien en el colegio. Así pues, Guillermo obtiene buenas notas.

7. Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis; cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al

fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto.

8. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a

dormir no iremos mañana al concierto; por consiguiente, iremos mañana al concierto.