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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 39. Geometría del triángulo.


1. Introducción.

El triángulo es el polígono mas estudiado, su importancia reside en las múltiples propieda-

des que estos tienen y que todos los polígonos se pueden descomponer en triángulos.

La importancia de los triángulos fue ya descubierta por los antiguos griegos, cuyos pensa-

dores más destacados en este sentido fueron Tales, Pitágoras y Tolomeo. El primero demostró

el teorema que lleva su nombre para relacionar triángulos semejantes; el segundo demostró

(se sabía ya con anterioridad) la relación entre los lados de los triángulos rectángulos; mientras

que el tercero realizó tablas de las razones trigonométricas de grado en grado para plasmar la

proporcionalidad de los lados en triángulos rectángulos con un ángulo igual.

2. Definición y clasificaciones.

2.1 Definición.

Un polígono es toda figura geométrica cerrada de 2 dimensiones, formada por la unión de

diferentes segmentos consecutivos.

Un triángulo es un polígono de tres segmentos. Los segmentos se denominan lados, los

puntos de unión de los lados vértices, siendo el ángulo del triángulo el interior formado por

dos lados consecutivos.

Notación: los vértices del triángulo se suelen llamar A, B, C siendo a, b, c los lados y ��, �� y �� los ángulos. El lado a es opuesto al vértice A, el b de B y el c de C.

2.2 Clasificación.

Hay dos clasificaciones diferentes, atendiendo a sus lados y sus ángulos. Veamos cada una

de ellas por separado.

Atendiendo a los lados:

• Triángulo equilátero: los tres lados iguales, tiene 3 ejes de simetría.

• Triángulo isósceles: dos lados iguales, tiene un eje de simetría.

• Escaleno: no tiene lados iguales, sin ejes de simetría.

B A

C



Atendiendo a los ángulos:

• Rectángulo: un ángulo recto. En este triángulo el lado opuesto al ángulo recto, el

mayor, se llama hipotenusa siendo los otros dos catetos.

• Acutángulo: todos sus ángulos son agudos (menores de 90o)

• Obtusángulo: un ángulo es obtuso (mayor de 90o)

2.3 Rectas notables de un triángulo.

En todo triángulo ABC definimos los las siguientes rectas y segmentos significativos:

- Base: cualquiera de sus lados

- Altura: el segmento perpendicular a la base o a su prolongación desde el vértice

opuesto. También se llama altura, h, a la distancia del vértice a la recta que contiene el

lado opuesto.

- Mediana: es la recta que une un vértice y el punto medio del lado opuesto.

- Mediatriz: es la recta que equidista de dos vértices del triángulo, cumple que es per-

pendicular al lado y pasa por el punto medio.

- Bisectriz (interior): recta que pasa por el vértice dividiendo el ángulo en dos partes

iguales, de forma que equidista todos sus puntos de los lados adyacentes al vértice.

3. Relación entre los ángulos de un triángulo.

Una de las características que hacen importante a los triángulos es la relación que existe

entre sus tres ángulos. Podemos ver dos teoremas con respecto a los ángulos de los triángulos.

Teorema 1: en todo triángulo la suma de los ángulos internos es de 180o (��+��+ ��=180

o).

Demostración: es muy sencilla, trazamos una paralela por un vértice el lado opuesto,

formándose con el vértice tres ángulos iguales a los ángulos del triángulo por estar formado

por lados paralelos, por tanto la suma será 180o.

Teorema 2: en todo triángulo el ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos inte-

riores adyacentes más 180o.

Demostración: Sea ABC el triángulo dado y �� el ángulo exterior del vértice C. Si trazamos

por C una semirrecta paralela a AB divide al ángulo �� en dos que resultan ser �� y �� por ser

paralelos sus lados.



4. Semejanza e igualdad de triángulos.

4.1 Semejanza. Criterios.

Dos figuras son semejantes si tiene los ángulos iguales y los lados proporcionales. En el ca-

so de los triángulos las condiciones son las siguientes:

1. ��=��′, ��=��′, ��=��′

2. kc

c

b

b

a

a===

'''

Debido a las propiedades de los triángulos podemos asegurar la semejanza con menos

condiciones, tenemos así tres criterios de semejanza que se apoyan en el Teorema de Tales.

Teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus la-

dos, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Demostración:

Se cumple que los triángulos BDE y CED tienen la misma área, pues tienen la misma base y

la altura de ambos triángulos es la distancia entre dos rectas paralelas. Calculemos las áreas:

|'|·||2/1|'|·||2/1)(

|DD'|·|EC1/2·|=a(CED)

|EE'|·|BD1/2·|a(BDE)

DDAEEEADADEa ==

=

||

||

||

||

||||

||

||||

||

||

||

||

||

||

||

)(

)(||

||

)(

)(

AC

AE

AB

ADk

AEEC

AE

ADBD

AD

EC

AE

BD

AD

EC

AE

CEDa

ADEaBD

AD

BDEa

ADEa

==→+

=+

→=

=

=

También BCkABACkADAEDE =−=−= )( � ||

||

||

||

||

||

BC

DE

AC

AE

AB

ADk ===

Por otro lado los tres ángulos son iguales, al estar formado por lados paralelos. Luego se

cumple que los ángulos iguales y los lados proporcionales, luego los triángulos son semejantes.

A

B

C

��

��

A D E’ B

C

E

D’



1er

criterio de semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los la-

dos que lo forman son proporcionales.

Demostración: se cumple ABkBA ='' , ACkCA ='' y 'ˆˆ AA =

Se cumple BCKACBAkCAABCB =−=−= )('''''' , luego el otro lado proporcional.

Si desplazamos y giramos un triángulo podemos ponerle superpuesto sobre el otro, como

el ángulo igual y los lados proporcionales por el teorema de Tales los otros lados paralelos y

por tanto los ángulos iguales al estar formado por lados paralelos.

2º Criterio de semejanza: si dos triángulos dos ángulos iguales estos son semejantes.

Demostración: sean 'ˆˆ AA = y 'ˆˆ BB = , como los ángulos de un triángulo suman 180o

'ˆˆ CC = . Si traslados y giramos un triángulo y lo ponemos con lados superpuestos con vértice

en común A=A’ como los ángulos son iguales los lados paralelos y estarán en posición de Tales

y por tanto los lados proporcionales.

3er

Criterio de semejanza: si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales estos son

semejantes.

Demostración: kBC

CB

AC

CA

AB

BA===

'''''', definimos un nuevo triángulo AB’’C’’ semejante

a ABC tal que la razón de semejanza entre ambos es k, por lo que AB’’=A’B’, AC’’=A’C’,

B’’C’’=B’C’. Como tienen los tres lados iguales por construcción estos dos triángulos son igua-

les, luego A’B’C’ es semejante de ABC.

Igualdad de dos triángulos: dos triángulos son iguales si los ángulos iguales y los lados

también. La igualdad de dos triángulos se hace viendo la semejanza con k=1.

4.2 Construcción.

1er

caso: dado un ángulo A y sus lados adyacentes b y c. Dibujamos el ángulo y medimos

sobre los lados del ángulo los valores de b y c, calculando así B y C. Uniendo los tres vértices

tenemos el triángulo buscado.

2º caso: un lado y dos ángulo. Calculamos el tercer ángulo sabiendo que la suma de los

tres es 180o. Dibujamos el lado y en sus extremos los ángulos adyacentes. Donde se corten los

lados de los ángulos es el tercer vértice.

A A

C

B

c

b

B A

C

c ��



3er

caso: si conocemos los tres lados. Dibujamos uno de ellos y sobre los vértices del seg-

mento trazamos con el compás dos circunferencias de radios el tamaño de los otros dos lados.

El punto de corte de las dos circunferencias es el tercer vértice (son dos puntos de corte y sa-

len dos triángulo iguales simétricos respecto el lado inicial).

5. Puntos y rectas notables.

5.1 Mediatrices. Circuncentro.

La mediatriz de un lado de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidis-

tan de los dos vértices de dicho lado. Se cumple que es una recta perpendicular al lado que

pasa por el punto medio. Todo triángulo tiene tres mediatrices, una por cada lado.

Proposición: las tres mediatrices de todo triángulo cortan en un único punto llamado cir-

cuncentro que equidista de los tres vértices.

Demostración: la mediatriz del lado a, ra, es una recta que equidista de os vértices B y C; la

mediatriz del lado b, rb, es una recta que equidista de los vértices A y C, la mediatriz de c, rc, es

una recta que equidista de los vértices A y B. Se cumple que el punto de corte de ra y rb es un

punto O que equidista de B, C y A por el que pasará también entonces rc (pues O equidista de A

y B).

Corolario: el punto de corte de las mediatrices se denomina circuncentro y es el centro de

la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.

5.2 Bisectriz. Incentro.

La bisectriz de un ángulo del triángulo es la recta que cumple que todos sus puntos equi-

distan de los 2 lados que del triángulo que forman el ángulo. Cumple que divide el ángulo en

dos partes iguales.

Proposición: las 3 bisectrices de cualquier triángulo cortan en un punto, Incentro, que

equidista de los 3 lados del mismo.

Demostración: la bisectriz de A, rA, equidista de los lados b y c; la bisectriz de C, rC, equidis-

ta de los lados a y b; la bisectriz de B, rB equidista de los lados a y c. El punto de corte de rA con

rB es un punto, I, que equidista de los tres lados y por tanto por donde pasa la recta rC..

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

Corolario: el punto que define la intersección de las 3 bisectrices se llama

do el centro de una circunferencia

gulo.

5.3 Alturas de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo

pendicular al lado opuesto (base). Se suele también llamar altura a la

y la base. Hay 3 alturas y 3 bases, tantas como lados y vértices.

Proposición: las tres alturas del triángulo, h

ortocentro.

Demostración: no es tan sencilla como las dos anteriores,

semejante A’B’C’, formado por las rectas paralelas al triángulo original por los vértices. Por

construcción (se forman paralelepípedos) se cumple que BA’=C’B

A’C=CB’=BA, por lo que los vértices A, B y C

órtico y además este es proporcional con k=2.

Al trazar las alturas del triángulo ABC estas cumplen que pasan por el punto medio de los

lados del triángulo A’B’C’ y son

ción a los lados de A’B’C’, por lo que estas alturas de nuestro triángulo son las mediatrices del

triángulo A’B’C’, y por tanto se cortan en un único punto el circuncentro de A’B’C’ que es a la

vez el ortocentro de ABC.

Corolario: el ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice recto al ser las alturas sus

catetos, cumpliéndose así que el triángulo A’B’C’ inscrito en una semicircunferencia y por tanto

el ángulo cuyo arco sea una semicircunferencia es de 90

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: el punto que define la intersección de las 3 bisectrices se llama

circunferencia denominada inscrita que es tangente a los 3 lados del triá

Alturas de un triángulo. Ortocentro.

altura de un triángulo a la recta que pasando por un vértice corta de forma pe

pendicular al lado opuesto (base). Se suele también llamar altura a la distancia entre el vértice

y la base. Hay 3 alturas y 3 bases, tantas como lados y vértices.

: las tres alturas del triángulo, hA,, hB, hC se cortan en un mismo punto llamado

: no es tan sencilla como las dos anteriores, necesitamos definir

, formado por las rectas paralelas al triángulo original por los vértices. Por

construcción (se forman paralelepípedos) se cumple que BA’=C’B=CA

A’C=CB’=BA, por lo que los vértices A, B y C están en el punto medio de los lados del triángulo

órtico y además este es proporcional con k=2.


lados del triángulo A’B’C’ y son perpendiculares a las bases de ABC y por tanto por constru



: el ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice recto al ser las alturas sus


el ángulo cuyo arco sea una semicircunferencia es de 90o

6

: el punto que define la intersección de las 3 bisectrices se llama Incentro, I, sien-

que es tangente a los 3 lados del trián-

a la recta que pasando por un vértice corta de forma per-

distancia entre el vértice

se cortan en un mismo punto llamado

necesitamos definir un triángulo

, formado por las rectas paralelas al triángulo original por los vértices. Por

=CA, C’A=AB’=BC y

están en el punto medio de los lados del triángulo


y por tanto por construc-



: el ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice recto al ser las alturas sus




5.4 Medianas de un triángulo. Baricentro

Se llama mediana de un triángulo a cada una de los tres segmentos que une un punto me-

dio de un lado con el vértice opuesto. A veces como en la altura también se utiliza la palabra

mediana para indicar el tamaño de la misma.

Proposición: las medianas de de un triángulo se cortan en un único punto llamado Baricen-

tro o centro de gravedad y representado por G.

Demostración: lo veremos al final de este punto.

Proposición: la distancia del punto medio de un lado, M, al baricentro G, es 1/3 el tamaño

de la mediana, distancia entre M y el vértice opuesto.

Demostración: si unimos dos puntos medios de dos lados a y b de un triángulo, M y N, se

cumple que los triángulos ABC y MNC son semejantes de proporcionalidad 2 (1er

criterio de

semejanza con k=2). Por tanto MN es paralelo a AB y de valor la mitad.

Sea el triángulo ABC y tracemos la mediana AM y BN, que cortarán en el baricentro G. En el

triángulo AGB calculamos los puntos medios de los lados AG, P, y del lado BG, Q. Por lo demos-

trado anteriormente PQ será paralelo a AB y de lado la mitad c/2. De esta forma el triángulo

PQG es igual al MNG pues tienen los tres ángulos iguales (G opuesto por el vértice y los otros

dos formados por rectas paralelas) y el lado PQ=MN=c/2. De esta forma AP=PG=GM, y por

tanto AG=2GM o GM=AM/3

Proposición (cálculo del baricentro de un triángulo): el baricentro e un triángulo con pun-

tos A, B, C se calcula sumando los tres puntos y dividiendo entre 3, es decir es el centro de

gravedad de la figura: 3

CBAG

++=

Demostración: utilizaremos la anterior proposición: AMAG3

2= con

2

CBM

+= . Ope-

rando 3·(G-A)=2·

−+

ACB

2� 3G=B+C+A �

3

CBAG

++= .

Nota: si lo hacemos para cualquier otra mediana el resultado de G es el mismo, lo que nos

indica que el punto de corte de las tres medianas es el mismo.

A B

C

M N 1/2

1/2 1/2

1/2

A B

C

M N

P Q G



6. Propiedades métricas en el triángulo rectángulo.

Las propiedades métricas de los triángulos rectángulos son más sencillas que los triángulos

genéricos, pues en estos se puede aplicar el teorema de Pitágoras y además las razones trigo-

nométricas han sido definidas para este tipo de triángulos.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo (un ángulo recto o de 90o) el cuadra-

do del la hipotenusa (el opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos (los otros dos lados). a2=b

2+c

2

Demostración: es uno de los teoremas más demostrados y de más diferentes formas. En

esta demostración usaremos una de las más clásicas basada en el cálculo del área de un cua-

drado dividió en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño de lado igual a la hipotenusa.

área total=at=acuadrdo grande= (b+c)2=b

2+c

2+2·b·c

area total=areacuadrado pequeño+4·atriangulo=a2+4·bc/2=a

2+2·b·c

Igualando: b2+c

2+2·b·c= a

2+2·b·c, despejando a

2=b

2+c

2

Consecuencias teorema de Pitágoras:

1. Teorema del cateto: en todo triángulo rectángulo el cateto es la media proporcional

de la hipotenusa y de su proyección sobre ella.

Demostración:

Los dos triángulos que se forman al trazar la altura

de un triángulo rectángulo son semejantes (son

rectos y un ángulo igual), por tanto los lados son

proporcionales:

AMB semejante AMP lados proporcionales: x

a

b

x=

2. Teorema de la altura: en todo triángulo rectángulo la altura es media proporcional de

las dos partes que se divide la hipotenusa por ésta.

Demostración:

AMP y MPC semejantes a AMC, luego semejantes en-

tre sí y los lados proporcionales: x

a

b

x=



Razones trigonométricas en triángulos rectángulos: Los triángulos rectángulos la seme-

janza se cumple si tienen entre sí un ángulo común (además del ángulo recto). Como sabemos

los lados de los triángulos semejantes son proporcionales, por tanto sabiendo el ángulo de

este triángulo rectángulo quedaran determinadas los valores de las relaciones de los lados de

cualquier triángulo rectángulo con este ángulo fijado. Estas razones entre los lados se llaman

razones trigonométricas:

contiguocateto

opuestocatetotg

b

c

b

c

b

c

hipotenusa

contiguocateto

a

b

a

b

a

b

hipotenusa

opuestocatetosen

a

c

a

c

a

c

====

====

====

)(

)cos(

)(

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

α

α

α

Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángu-

lo y no del triángulo. El ángulo en esta definición cumple α∈(0o,90

o)

Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un trián-

gulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que:0<sen(α)<1,

0<cos(α)<1 cuando α∈(0,90º).

A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes:

opuestocateto

contiguocateto

tgg

contiguocateto

hipotenusa

senec

opuestocateto

hipotenusa

==

==

==

)(

1)(cot

)(

1)(cos

)cos(

1)sec(

αα

αα

αα

Propiedad fundamental razones trigonométricas: sen2(α)+cos

2(α)=1.

Demostración: sen2(α)+cos

2(α)=b

2/a

2+c

2/a

2=(b

2+c

2)/a

2=1 (aplicando Pitágoras a

2=b

2+c

2)

a3 a2 a1

b1

b2

b3

c3

c2

c1

α

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7. Relaciones métricas en triángulos cualesquiera.

En los triángulos no rectángulos no podemos aplicar ni el teorema de Pitágoras ni las raz

nes trigonométricas, en estos triángulos podemos aplicar otros dos teoremas:

Teorema de coseno o de Pitágoras general

(1) a2=b

2+c

2-2·b·c·cos(A)

(2) b2=a

2+c

2-2·a·c·cos(B)

(3) c2=a

2+b

2-2·a·b·cos(C)

Demostración:

Teorema del seno:

Bsen

b

Asen

a

)()(==

Demostración:

Otros teoremas métricos:

Teorema 1: en todo triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos lados.

Demostración: Se el triángulo ABC, el camino más corto para ir de B a C es la recta que une

sus puntos: lado a; también se puede ir a partir de recorrer los otros dos

entonces que a<b+c.

Teorema 2: En todo triángulo cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

Demostración: a partir teorema anterior a<b+c

A

C

a

cb x

y

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Relaciones métricas en triángulos cualesquiera.

En los triángulos no rectángulos no podemos aplicar ni el teorema de Pitágoras ni las raz


Teorema de coseno o de Pitágoras generalizado:

Si A=90o (1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a

Rcsen

c2

)(= con R=radio circunferencia circunscrita.

métricos:

en todo triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos lados.


sus puntos: lado a; también se puede ir a partir de recorrer los otros dos lados b+c. Se cumple

: En todo triángulo cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

Demostración: a partir teorema anterior a<b+c � a-b<c.

B

c

x=b·sen(C)

y=b·cos(C)

c2=x

2+(a-y)

2=b

2·sen

2(C)+a

2+b

2·cos

c2=a

2+b

2-2·b·c·cos(C)

Dado el triángulo ABC, denotamos por

mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segme

to BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que

además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos

inscritos que abren el segmento BC

paz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

sen(A)=sen(P)=R

a

BP

BC

2=

Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :

sen(B)=b/2R y sen(C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema

10

En los triángulos no rectángulos no podemos aplicar ni el teorema de Pitágoras ni las razo-


(1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a

con R=radio circunferencia circunscrita.

en todo triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos lados.


lados b+c. Se cumple

: En todo triángulo cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

·cos2(C)-2·a·b·cos(C)

ABC, denotamos por O su circuncentro y dibuja-

mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmen-

hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

es recto, puesto que BP es un diámetro, y

son iguales, porque ambos son ángulos

BC (Véase definición de arco ca-

paz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene:

Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :

C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema



Teorema 3: si dos lados de un triángulo son iguales sus ángulos opuestos también lo son.

Demostración: Sea el triángulo isósceles ABC con a=b. Traza-

mos la bisectriz del vértice C que cortará al lado C en el punto D. Se

cumple que los triángulo ADC y CDB son iguales pues tienen dos

lados iguales (la altura común y a=b) y el ángulo comprendido es

también igual (al trazar la bisectriz). Luego si los triángulos son

iguales los ángulos �� = �� .

La demostración también se puede ver por teorema del seno.

Corolario: los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y valen 60o ya que la suma es 180

o

Teorema 4: En todo triángulo al lado mayor le corresponde el ángulo opuesto mayor, al la-

do menor el ángulo opuesto es menor.

Demostración: Sea el triángulo ABC con a >b. Cogemos un punto D del lado a tal que CD=b,

por lo que el triángulo ADC es isósceles y por tanto α=β (ver dibujo). Así se cumple que ��> �� :

8. Superficie o área de un triángulo.

Proposición: la superficie de un triángulo es la mitad a la de un paralelogramo con el mis-

mo lado que la base del triángulo y misma altura. 2

·

2

hbAA

parale

triangulo ==

Demostración: si sobre el triángulo trazamos una paralela a la base por la mitad de la atu-

ra y otra paralela a uno de los otros dos lados se forma un paralelogramo de igual base, b, y de

altura la mitad, h/2. Se cumple que el área de este paralelogramo es la misma a la del triángulo

pues hemos desplazado la parte superior del triángulo a su derecha para incorporarlo al pare-

logramo (triángulo AMN=NCM’ por tener los ángulos iguales y misma altura).

A

C

D

B

b

b

α

γ

β

π-β

��=α+γ

�� = 180 − �180 − β� + �� = β− � = � − �

A

B C

M’ N M

h/2



Calculo del área a partir del producto vectorial: el área de un triángulo es la mitad del

módulo del producto vectorial ACAB × (A, B y C vértices del triángulo) Area=2

ACAB ×

Demostración: ACAB× = hbsenACAB

h

·)(·· =43421α

C

A B

9. Conclusiones.

La geometría del triángulo se empieza a trabajar en los dos primero cursos de secundaria,

pero no es hasta 4º ESO y primero de bachillerato donde se resuelven triángulos, rectángulos

en 4º y cualquiera en bachillerato.

Los puntos notables del triángulo también se estudian en 4º y en 1º de Bachillerato de

Ciencias cuando se explican la geometría analítica.

El conocer la geometría del triángulo es esencial para poder estudiar la de cualquier otro

polígono.

α h

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