TEMA 3.1 Mecánica del sólido deformable: Análisis de...

Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEMA 3.1Mecánica del sólido deformable:

Análisis de tensiones


3. 1. 1. Introducción

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

OBJETIVO:

- estudio del comportamiento de los medios deformables

- establecer las bases físicas que nos permitan determinar:

1) el material mas conveniente2) la forma 3) las dimensiones

más adecuadas de estos sólidos cuando se emplean como elementos de una construcción

3.1.1. Introducción


MÉTODO DE TRABAJO:

Efectos que las FUERZAS APLICADAS provocan en el INTERIOR de un cuerpo cualquiera

SE ANALIZARÁN:

1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto en el cuerpo:

- vector tensión- estado de tensiones: TENSOR DE TENSIONES



MÉTODO DE TRABAJO:

2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto:

- vector desplazamiento- tensor de pequeñas deformaciones: deformación unitaria

ESTADO DE TENSIONES

SÓLIDO ELÁSTICO

ESTADO DE DEFORMACIONES



3.1.2. Concepto de medio continuo

MODELO DEL SISTEMA OBJETO DE ESTUDIO:

- SIMPLIFICACIÓN: útil y cómodo- CONCLUSIONES: buena aproximación de la realidad

PUNTO MATERIAL

- estudio de:

cuerpos celestes, moléculas de gas

- trayectorias >> dimensiones

SÓLIDO RÍGIDO

- modificaciones de forma despreciables

- fuerzas aplicadas no pueden ser arbitrariamente grandes



SÓLIDO DEFORMABLE:

- DISTANCIA ENTRE PARTÍCULAS: modificada por acciones externas

- MATERIA: constituida por partículas sometidas a complejasfuerzas de interacción, PLANTEAMIENTO COMPLEJO

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:- MECÁNICA DEL SÓLIDO

- MECÁNICA DE FLUIDOS

MODELO DEL MEDIO CONTINUO:

- continuidad del sistema- no existen huecos, ni distancias intersticiales- continuidad de las funciones y magnitudes



3.1.3. Vector tensión (o esfuerzo)

A∆

Fr

∆

AFt A ∆

∆= →∆

rr

0lim

: fuerza por unidad de superficie en un punto O

¿ES ÚNICO EL VECTOR TENSIÓN ASOCIADO A UN PUNTO O?

tr



DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR TENSIÓN tr

σ

τ

: TENSIÓN NORMAL

: TENSIÓN TANGENCIAL

Componentes intrínsecas de :tr

222 τσ +=t



3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto

CUESTIÓN:

¿Es posible calcular de una manera sencilla el valor de la tensión en O para cualquier orientación de S?

ESTADO DE TENSIONESDE UN PUNTO “O”

Vectores asociados a las superficies

S que pasan por O

tr



- paralelepípedo de lados dx, dy, dz con vértice en O

- en el límite: caras del paralelepípedo = superficies S



Paralelepípedo de lados dx, dy dz:

Para cada cara, :

- Tensión intrínseca normal:

i : eje normal a la cara

- Tensión intrínseca tangencial:

dos componentes

i : eje normal a la cara

j : eje paralelo a la arista

iσtr

ijτ

Signo de las componentes: según el sentido de los ejes coordenados



?¿ *yy σσ ≠ ?¿*yzyz ττ ≠

En el equilibrio:

∑=

=n

iiF

10

r∑=

=n

iiM

10

r

⇒=∑=

n

iixF

1

0r

0)()()( =−+−+− ∗∗∗ dxdydzdxdydz zxzxyxyxxx ττττσσ

Despreciando el peso del paralelepípedo:

xx σσ =∗

yxyx ττ =∗

zxzx ττ =∗

⇒=∑=

n

iiyF

10

r

⇒=∑=

n

iizF

10

r

yy σσ =∗

zyzy ττ =∗

xyxy ττ =∗

zz σσ =∗

yzyz ττ =∗

xzxz ττ =∗



?¿ zyyz ττ ≠

∑=

=n

iiM

10

r

zyyz ττ =

xzzx ττ =

yxxy ττ =

⇒=−⇒=∑=

0)(2)(201

dzdxdydydxdzM zyyzn

iix ττ

⇒=−⇒=∑=

0)(2)(201

dxdydzdzdxdyM xzzxn

iiy ττ

⇒=−⇒=∑=

0)(2)(201

dydxdzdxdydzM yxxyn

iiz ττ

TEOREMADE

CAUCHY



6 valores independientes:

xσ yσ zσ

xyτ yzτ zxτ



3.1.5. Tensor de tensiones

- cara ABC

- áreas caras coincidentes con planos coordenados

Área: dA),,( γβαur

dAαdAβdAγ



tr

),,( zyx tttt =r

Vector tensión asociado a ABC:

0=−−− dAdAdAdAt zxxyxx γτβτασ

∑=

=n

iiF

10

r0=−−− dAdAdAdAt yzyxyy γτβσατ

0=−−− dAdAdAdAt zyzzxz γσβτατ



γτβτασ zxxyxxt ++=

γτβσατ yzyxyyt ++=

γσβτατ zyzzxzt ++=

Dividiendo por y reordenando los términos:dA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

ttt

uTt rr

⋅=VECTOR TENSIÓN ASOCIADO A “S” EN EL PUNTO O:



ESTADO TENSIONAL EN EL INTERIOR DE UN SÓLIDO

En todos los puntos del sólido:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyzzx

yzyxy

zxxyx

στττστττσ



PROPIEDADES DEL TENSOR DE TENSIONES:

1) TENSOR SIMÉTRICO: EJES PRINCIPALES

a) autovalores: tensiones principales

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyzzx

yzyxy

zxxyx

στττστττσ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

000000

σσ

σ

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

0=−

−−

σστττσστττσσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

0322

13 =+−+−⇒ III σσσ



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

000000

σσ

σ

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

EN CADA PUNTO O:

- tres superficies perpendiculares entre sí- desaparecen tensiones tangenciales, solo tensiones normales

Para calcular las direcciones principales....



b) autovectores: direcciones principales

0)( =⋅−⇒⋅=⋅ iiiii uITuuTrrr σσ

ANALÍTICAMENTE:

),,( iiiiu γβαr

0)( =++− izxixyiix γτβτασσ

0)( =+−+ iyziiyixy γτβσσατ

0)( =−++ iiziyzizx γσσβτατ

3,2,1=i

321 ,, uuurrr



123

2

22

2

21

2

=++σσσzyx

ELIPSOIDE DE TENSIONES O ELIPSOIDE DE LAMÉ: lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión en un punto P

1222 =++ γβα

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

σσ

σ

3

2

1

000000

zyx

ασ1=x

βσ 2=y

γσ 3=z⇒



2) INVARIANTES

322

13)det( IIIIT +−+−=− λλλσ

a) Invariante lineal o traza:

3211 σσσσσσ ++=++= zyxI

Suma de tensiones normales a tres planos perpendiculares entre sí es constante

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

000000

σσ

σ

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx



b) Invariante cuadrático:

211332222

2 σσσσσστττσσσσσσ ++=−−−++= xyzxyzyxxzzyI

c) Invariante cúbico:

321

3

2

1

3

000000

σσσσ

σσ

στττστττσ

===

zyzzx

yzyxy

zxxyx

I


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