Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

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Tema 3. Semántica de la lógica proposicional 3b Conceptos clave

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Tema 3. Semántica de la lógica proposicional. 3b Conceptos clave. TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN CONTINGENCIA SATISFACIBILIDAD. -Estás triste -le dijo con voz inquieta el Caballero-: para alegrarte voy a cantar una canción. -¿Es muy larga? -le preguntó Alicia. - PowerPoint PPT Presentation

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Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

3b Conceptos clave

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TAUTOLOGÍACONTRADICCIÓNCONTINGENCIA

SATISFACIBILIDAD

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-Estás triste -le dijo con voz inquieta el Caballero-: para alegrarte voya cantar una canción.-¿Es muy larga? -le preguntó Alicia.-Es larga -dijo el Caballero- pero muy muy hermosa. A todo aquelque me la oye cantar… o se le saltan las lágrimas o si no…-O si no, ¿qué? -dijo Alicia, pues el Caballero se había quedadocortado de golpe.-… pues no se le saltan.

Lewis Carroll, A través del espejo

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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera las siguientes fórmulas:

p p1 1 10 1 0

p (q p)1 1 1 1 10 1 1 0 01 1 0 1 10 1 0 1 0

p (¬ p q)1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 11 1 0 1 1 00 1 1 0 0 0

Este tipo de fórmulas, verdaderas para cualquier posible asignación de valores de verdad de sus constituyentes, se denominan TAUTOLOGÍAS

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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera las siguientes fórmulas:

Este tipo de fórmulas, falsas para cualquier posible asignación de valores de verdad de sus constituyentes, se denominan CONTRADICCIONES

(p q) ¬ q1 1 1 0 0 10 0 1 0 0 11 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0

p ¬ p

1 0 0 1

0 0 1 0

q ¬ (p q)1 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 01 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0

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Tautología, contradicción, contingencia• La negación de una contradicción siempre será una

tautología, y la negación de una tautología será una contradicción:

[(p q) ¬ q)]

1 1 1 0 0 10 0 1 0 0 11 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0

[p (¬ p q)]1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 11 1 0 1 1 00 1 1 0 0 0

¬0000

¬1111

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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera estas otras fórmulas:

p p1 1 10 0 0

(p q) q)1 1 1 1 10 1 1 1 11 1 0 0 00 0 0 1 0

p (p ¬ q)1 0 1 0 0 10 1 0 1 0 11 1 1 1 1 00 1 0 1 1 0

Este tipo de fórmulas, verdaderas en algunas interpretaciones y falsas en otras, se denominan CONTINGENCIAS

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Tautología, contradicción, contingencia• La negación de una contingencia será siempre una

contingencia, puesto que los valores 1 pasarán a 0, y los 0 pasarán a 1, y seguirá habiendo tanto interpretaciones verdaderas como falsas:

[(p q) q)]

1 1 1 1 10 1 1 1 11 1 0 0 00 0 0 1 0

¬0010

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Satisfacibilidad

Considera estos 2 pares de fórmulas:p ¬p

¿crees que es posible que sean verdaderas a la vez?

Obviamente no: cuando una es verdadera, la otra es falsa.

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Satisfacibilidad¿Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez?

p q ¬(p q)

Tampoco, aunque este caso no es tan obvio como el anterior. Para verlo habrá que comparar sus tablas de verdad:

000001100111

qp

0001011011001110

q)(p¬ En los casos en que una es verda-dera, la otra resulta ser falsa.No hay ningún caso en que ambassean verdaderas a la vez.

Page 11: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Satisfacibilidad¿Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez?

p q ¬(p q)

En este caso sí. Comparemos sus tablas de verdad:

000011110111

qp

0100001111001110

q)(p¬ Hay al menos una fila en la que ambas son verdaderas, la fila 3.

Basta con eso para decir que estepar de fórmulas es

SATISFACIBLE

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• Una fórmula es satisfacible si y sólo si tiene al menos una interpretación verdadera, i.e., al menos una fila con un 1 bajo alguna interpretación de sus atómicas.

• Por tanto, una fórmula será satisfacible si es una tautología o una contingencia.

• Una fórmula insatisfacible es contradictoria

Satisfacibilidad de una fórmula

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• Un conjunto de fórmulas es satisfacible ssi hay alguna interpretación en que cada una de ellas es satisfacible a la vez. Es decir, cuando encontramos al menos una fila con todo 1s bajo la conectiva dominante de cada fórmula.

• Esto equivale a decir que un conjunto de fórmulas 1, … n es satisfacible ssi es satisfacible la fórmula que obtenemos al unirlas por conyuntores: (1 … n)

Satisfacibilidad de un conjunto de fórmulas

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¿Es satisfacible este conjunto de fórmulas?p q ¬(r ¬q) ¬p r

Para saberlo, podemos unirlas en una única fórmula:

(p q) ¬(r ¬q) (¬p r) y a continuación resolvemos la tabla de verdad de estafórmula. Si hay al menos un caso en que esta conyunciónes verdadera, este conjunto de fórmulas es satisfacible.Esto equivale a decir que debemos encontrar al menos una fila en que debajo de la conectiva dominante de cada fórmula aparezca un 1

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¿Es satisfacible este conjunto de fórmulas?p q ¬(r ¬q) ¬p r

( p q ) ¬ ( r ¬ q )1 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0 0 0 1 1 1 00 0 0 0 0 1 1 1 01 1 1 1 1 0 0 0 10 0 1 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 1 0

¬ p r )0 1 1 11 0 1 10 1 1 11 0 1 10 1 1 01 0 0 00 1 1 01 0 0 0

00001000

(

Observando la 5ª fila comprobamos que este conjunto de fórmulas sí es satisfacible

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¿Es satisfacible este otro conjunto?p q ¬(q ¬r) r ¬p

( p q ) ¬ ( q ¬ r )1 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 11 1 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 1 0

r ¬ p )1 0 0 11 1 1 01 0 0 11 1 1 00 1 0 10 1 1 00 1 0 10 1 1 0

00000000

(

No es satisfacible: no hay ninguna fila en que bajo cada conectivadominante (, ¬, , respectivamente) encontremos un 1

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Satisfacibilidad

• Lo que buscamos al comprobar si un conjunto de fórmulas es satisfacible o no, es poder determinar si las condiciones establecidas por las fórmulas pueden cumplirse conjuntamente o no.

• Si el conjunto de fórmulas es satisfacible, plantea condiciones consistentes, y si no es satisfacible, plantea condiciones inconsistentes o contradictorias.

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Satisfacibilidad

Fefa: Quiero un marido rico y guapo.Fufa: ¿Preferirías uno que fuese guapo y fiel?Fefa: Ni hablar. Y si es infiel, que no sea rico.

¿habrá marido para Fefa?p es rico q es guapo r es fielCondiciones del marido:

p q ¬(q r) ¬r ¬p

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(p q) ¬ (q r) (¬ r ¬ p)1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

¡Pobre Fefa!Sus condiciones son inconsistentes

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CONSECUENCIA LÓGICA

VERDAD LÓGICA

EQUIVALENCIA

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-Sé lo que estás pensando -dijo Tweedledum- pero no es eso, de ninguna manera.

-Por el contrario -continuó Tweedledee-, si lo hubiera sido, lo habría sido; y si lo fuera, lo sería; pero como no lo es, no lo es. Eso es lógica.

Lewis Carroll, A través del espejo

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Consecuencia lógica• En un argumento válido, la conclusión se sigue de

las premisas.• Esto ocurre cuando no es posible que las premisas

sean verdaderas y la conclusión falsa.• Diremos entonces que la conclusión es

consecuencia lógica de las premisas.• Por tanto, también una fórmula ß será

consecuencia lógica de una fórmula , cuando no pueda ocurrir que es verdadera y ß falsa

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Consecuencia lógica• ¿Cómo saber cuándo una fórmula ß es

consecuencia lógica de una fórmula ?• Habrá que disponerlas de tal manera que podamos

observar si ocurre que sea verdadera y ß falsa• Hay una conectiva cuya tabla de verdad se

corresponde con esta situación:

EL CONDICIONAL

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Consecuencia lógica• Una fórmula ß es consecuencia lógica de una fórmula

cuando el condicional ( ß) no es falso en ningún caso, i.e., cuando ( ß) es una tautología.

• Cuando ß es consecuencia lógica de , escribimos:

ßy cuando no lo es:

ß

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Sean p q ß p q¿es ß consecuencia lógica de ?

Consecuencia lógica

(p q) (p q)

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Efectivamente, no hay ningún caso en que ocurra que sea verdadera y ß sea falsa.Es decir, no hay ningún caso en el que el condicional que hemos construido sea falso.

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• La idea de consecuencia lógica se puede generalizar a conjuntos de fórmulas: Una fórmula ß es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas 1 … n ssi no puede ocurrir que 1 … n sean verdaderas y ß sea falsa, es decir, cuando el condicional (1 … n) ß sea una tautología.

• Cuando ß es consecuencia lógica de , escribimos:

{1 … n} ßy cuando no lo es:

{1 … n} ß

Consecuencia lógica

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Sean 1 (p q) 2 (r ¬p) ß r q¿es ß consecuencia lógica de 1 y 2?

Consecuencia lógica

[(p q) (r ¬ p)] (r q) 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

Efectivamente, no hayningún caso en el queel condicional que hemos construido seafalso

Page 28: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos• Tenemos, por tanto, un método para determinar

cuándo un argumento es válido.• 1º) Identificamos las premisas y conclusión, y las

traducimos a fórmulas de L0

• 2º) Construimos un condicional, cuyo antecedente es una conyunción de todas las fórmulas de las premisas, y su consecuente es la fórmula de la conclusión

• 3º) Evaluamos si el condicional es tautológico: - si lo es, el argumento es válido- si no lo es, el argumento no es válido: hay al menos

un caso en que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa

Page 29: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentosEJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea

libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

1º) Identificar y traducir:p humanos son libres q humanos ligados a esenciar D crea humanos

Premisas: (p ¬q) ; (r q) ; pConclusión: ¬r

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Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentosEJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea

libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

2º) Construir condicional:

[(p ¬q) (r q) p] ¬r

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Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentosEJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que

los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

3º) Evaluar condicional:[(p ¬ q) (r q) p] ¬ r 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0

Page 32: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos

EJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

La fórmula [(p ¬q) (r q) p] ¬r , correspondiente a dicho argumento, es tautológica. Por tanto, el argumento es VÁLIDO.

Page 33: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos

EJEMPLO 2: Si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa.

p W lo hizo q W lo hizo con llave r W lo hizo con cuerda s asesinato en vestíbulo t asesinato en cocina

La fórmula a evaluar es:([p (q r)] (r s) t) (p q)cuya tabla de verdad necesitaría 32 filas

Page 34: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”• Para evaluar fórmulas con más de 3 constantes,

la tabla de verdad resulta un método demasiado engorroso.

• Podemos explotar las propiedades de las conectivas lógicas para obtener métodos abreviados de evaluación de fórmulas.

• La idea general es: podemos determinar que una fórmula NO es tautológica, si encontramos al menos una fila en la que la fórmula es falsa; y podemos determinar que NO es contradictoria, si encontramos al menos una fila en la que la fórmula es verdadera.

Page 35: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las propiedades de las conectivas • En ocasiones, conocer el valor de verdad de una

fórmula molecular nos permite conocer el valor de verdad de sus componentes:Supongamos que el valor de ( ß) es 1 ¿Podemos saber algo sobre los valores respectivos de y de ß?

En efecto, tanto como ß deben tener valor 1

Supongamos que el valor de ( ß) es 0 ¿Podemos saber algo sobre los valores respectivos de y de ß?

Ahora ya no: tanto como ß pueden tener valor 1 ó 0

Page 36: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las propiedades de las conectivas • Considera ahora las fórmulas ( ß) y ( ß).Si ( ß) vale 0, debe valer 1 y ß debe valer 0Si ( ß). vale 0, tanto como ß deben valer 0Si ( ß) o ( ß) valen 1, no sabemos los

valores de y ß

Si contamos con más información, los dos últimos casos también ayudan. Por ejemplo:

Si ( ß) vale 1 y vale 1, ß debe valer 1Si ( ß) vale 1 y vale 0, ß debe valer 1

Page 37: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”1º Determinamos qué queremos saber de la

fórmula, si es tautológica o contradictoria2º Asignamos como valor inicial el contrario al

que queremos obtener. A partir de éste vamos llenando aquellos otros valores “obligados” por las tablas de las conectivas lógicas

3ºComprobamos si por el camino topamos con una contradicción.

Page 38: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”1º Determinamos qué queremos saber de la fórmula:

A) queremos saber si es tautológica: intentamos que la fórmula sea falsa; si lo conseguimos, entonces no es tautológica; si no lo conseguimos, entonces es tautológica.Esto es lo que nos interesa cuando queremos saber si un argumento es válido.B) queremos saber si es contradictoria; intentamos que la fórmula sea verdadera; si lo conseguimos, entonces no es contradictoria; si no lo conseguimos, entonces es contradictoria.Esto es lo que nos interesa cuando queremos saber si una o más fórmulas son satisfacibles.

Page 39: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”2º Fijamos los valores de verdad de la fórmula:A) queremos saber si el argumento del ejemplo 2 es válido, i.e., si su

fórmula es tautológica:

i) Intentamos conseguir un caso en la fórmula es falsa, así que ponemos 0 bajo el condicional

([p (q r)] (r s) t) (p q)

ii) Para que el condicional sea 0, el antecedente debe ser 1 y el consecuente 0. Estos valores van bajo las respectivas dominantes

1 0

iii) Una vez fijados estos valores, nos obligan a fijar otros valores de las fórmulas, de acuerdo a la tabla de cada conectiva

01 1 01 11 1 0

Page 40: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”Fijémonos en (p q): como es un condicional que debe tener valor 0,

ello obliga a fijar los valores de su antecedente y consecuente en 1 y 0, respectivamente. Fijémonos en t: como es una fórmula unida por un conyuntor con valor 1, debe tener valor 1.

([p (q r)] (r s) t) (p q)

01 1 01 11 1 0

iv) Trasladamos los valores obtenidos para esas constantes a sus otras ocurrencias dentro de la fórmula

1 0

Fijémonos en [p (q r)]: es un condicional que debe tener valor 1 y cuyo antecedente es 1, por tanto su consecuente (q r) debe ser 1 también. Dado que q tiene valor 1, el único modo posible es que r tenga valor 1. Fijamos este nuevo valor.

1 1

v) Comprobamos si es posible rellenar el último valor de verdad sin contradicción. En nuestro ejemplo sí lo es: s puede tener valor 1

11

Page 41: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

El método “abreviado”3º Comprobamos si por el camino topamos con una

contradicción.

([p (q r)] (r s) t) (p q)

01 1 01 1 1 1 01 0 1 1 1No hemos encontrado contradicción. Eso quiere decir que hay al menos un caso en que la fórmula es falsa.Nuestra fórmula NO ES UNA TAUTOLOGÍA y, por tanto, el argumento al que corresponde NO ES VÁLIDOLa fórmula sería tautológica y, en consecuencia, el argumento válido, SI NO HUBIÉSEMOS CONSEGUIDO HACERLA FALSA.Es decir, si a lo largo del proceso nos hubiésemos encontrado con que nos vemos obligados a hacer asignaciones contradictorias

1

Page 42: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas• Las propiedades de las conectivas se pueden explotar también

para saber algo sobre el tipo de fórmula• Sean dos fórmulas y ß de las que sabemos:

es tautología ß es contradicciónConsidera estas fórmulas:

ß ß ß ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?

ß es una contradicción ß es una contradicción ß es tautológica ß es una contradicción

Page 43: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas• Sean dos fórmulas y ß de las que sabemos:

es tautología ß es contingenciaConsidera estas fórmulas: ß ß ß ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?

ß es una contingencia ß es una contingencia ß es tautológica ß es una contingencia

Page 44: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas• Sean dos fórmulas y ß de las que sabemos:

es contradicción ß es contingenciaConsidera estas fórmulas: ß ß ß ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?

ß es una contradicción ß es una tautología ß es contingencia ß es una contingencia

Page 45: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas• Sean dos fórmulas y ß de las que sabemos:

es tautología ( ß) es tautología

¿podemos saber qué tipo de fórmula es ß?

ß tiene que ser una tautología

• Si ß fuese contradicción, ß sería contradicción• Si ß fuese contingencia, ß sería contingencia

Page 46: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas• Sean dos fórmulas y ß de las que sabemos:

es contradicción ( ß) es contradicción

¿podemos saber qué tipo de fórmula es ß?

LAS CONDICIONES DEL EJERCICIO NO SE PUEDEN CUMPLIR

Si es una contradicción, ( ß) necesariamente debe ser una tautología

Page 47: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Tautología, contradicción y consecuencia lógica El caso del condicional es particularmente

interesante: ß-si ß es una tautología, el condicional ß es

tautológico, independientemente de lo que sea -si es una contradicción, el condicional ß

también es una tautología, independientemente de lo que sea ß

Esto significa que una tautología es consecuencia lógica de cualquier cosa y que cualquier cosa es consecuencia lógica de una contradicción

Page 48: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Verdad lógica• Cuando una fórmula es verdadera en todas las

interpretaciones posibles de sus constantes, se trata de una verdad lógica

• Por tanto, una fórmula es verdad lógica ssi es tautológica

• Y dado que una tautología es consecuencia lógica de cualquier cosa, podemos expresar una verdad lógica con el símbolo de la consecuencia:

ß para toda ß que sea tautología

Page 49: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Equivalencia lógica• Consideremos las siguientes fórmulas:p q ¬(¬p ¬q) ¬(p ¬q) ¬(q ¬p)Si hacemos sus tablas de verdad, veremos que obtenemos

columnas idénticas:

• Decimos en ese caso que las fórmulas son lógicamente equivalentes, es decir, para cualquier interpretación (cualquier fila) de la fórmula obtenemos el mismo valor de verdad en las demás

1000

Page 50: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Equivalencia lógica• Eso significa que todas las tautologías son

lógicamente equivalentes entre sí y que lo mismo ocurre entre las contradicciones

• Y supongamos que y ß sean dos fórmulas lógicamente equivalentes: ¿qué podemos decir de la fórmula ß ?

• Se trata de una tautología, dado que, en cada fila, a cada valor de le corresponderá exactamente el mismo valor de ß, con lo que se cumplen las condiciones de verdad del

Page 51: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

Equivalencia lógica• Así mismo, podemos decir que cuando dos

fórmulas y ß son lógicamente equivalentes, es consecuencia lógica de ß, y ß a su vez es consecuencia lógica de

• Por tanto, toda tautología tiene como consecuencia lógica a cualquier otra tautología

Page 52: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

¿Cuántas conectivas hay?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Esta tabla recoge todas las posibles conectivas. Comencemos poridentificar las 5 que ya conocemos: ¬, , , , ¿A qué columnas corresponden?

Page 53: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

¿Cuántas conectivas hay?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p q ? ? ? ? ? ? ¬p ? ¬q ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Las columnas 11 y 12 se limitan a negar los valores de p y q, respec-tivamente. ¿Qué conectivas se esconden en las demás columnas?Centrémonos en 1, 4, 5 y 6

Page 54: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

¿Cuántas conectivas hay?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p q q p ? ? ¬p ? ¬q ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

4 y 6 se limitan a reproducir los valores de q y p, respectivamente. 1 es la columna de una tautología y 5 hace lo mismo que el condi-cional, pero en sentido inverso, o sea, equivale a q p

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¿Cuántas conectivas hay?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p q q p ? ? ¬p ? ¬q ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

De modo que podemos prescindir de todas esas columnas: podemos realizar sus funciones mediante nuestras conectivas. Si miramos las columnas 9-16, vemos que son una imagen espejo de 1-8.

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¿Cuántas conectivas hay?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

p q q p >–<

¬p >– ¬q –<

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Por tanto, para expresar las conectivas 9-16 nos basta con tener las conectivas 1-8, más el negador ¬

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¿Cuántas conectivas hay?Resumiendo, podemos establecer las siguientes equivalencias:

p q equivale a q ppq ¬ (p q)p >–< q ¬ (p q)p >– q ¬ (q p)p –< q ¬ (p p) p q ¬ (p q)De ahí que podamos prescindir de todas esas conectivas

Page 58: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

¿Cuántas conectivas hay?¿Es posible reducir aún más el número de conectivas?

Recordemos estas equivalencias lógicas: p q ¬(¬p ¬q) ¬(p ¬q) ¬(q ¬p)Esto indica que la función del conyuntor puede realizarse por medio del disyuntor + el negador, o del condicional + el negador.En realidad, cualquiera de estos pares de conectivas:

{¬, }, {¬, }, {¬, }

es suficiente para cubrir todas las combinaciones de nuestro cuadro general de conectivas

Page 59: Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

¿Cuántas conectivas hay?

Pero reducir demasiado el número de conectivas resulta engorroso. Lo que se intenta es encontrar un número equilibrado que (a) capte nuestras intuiciones más típicas del lenguaje natural y (b) resulte en fórmulas manejables

De hecho, podríamos reducir nuestras conectivas a una sola: pq (o también p q)¬p pp(p q) (pq)( pq)(p q) (pp)(qq)(p q) [p(qq)] o también: [p(pq)]