..Tema 3. Modelización de Sistemas Biológicos

Modelización de Procesos Biológicos

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

Prof. Domingo Cantero Moreno

Biorreactores

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•  Unmodelomatemá,coesunconjuntoderelacionesentrevariablesenelsistemaestudiado.Lasvariablesincluyecualquierpropiedadqueseade importanciaen nuestro sistema, pH, temperatura, caudal dealimentación, concentración de la biomasa, estadodeesabiomasa,etc.

•  Elcontroldevolumenelegidodebeserunoenelquelasvariableselegidasseanhomogénea,sipuedeserelreactorcompleto,bien,sinopartesdeel.

•  Cuandoelvolumencontrolcoincideconelvolumendel reactor, este volumen puede variar con el,empo.

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•  Este conjunto de relaciones entre la variables, nospermi,rá predecir la variables de salida, lo quellamamos“elestadodelsistema”,en funciónde lasvariablesdeentrada.

•  Variables usuales de entrada: pH, T, concentracióndesustratos,velocidaddealimentación,….

•  Variables usuales de salida: concentración deproductos,concentracióndebiomasa,estadodeesabiomasa,……

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Elobje(vodelmodeladoesponerordenalacan(daddedatosqueresultandeun experimento de fermentación y expresarlos de una forma concisa que seainteligibleparaotroscolegasyquequieranhacerusodeellos.Unodesuspotencialesusosessuu(lizaciónparaeldiseñodefermentadoresagranescalaapar(rdedatosobtenidosenfermentadoresdelaboratorios.

Datos experimentaleso b t e n i d o s d e u nf e r m e n t a c i ó n d elevaduras a escala delaboratorio

Time(h) xv(Kgcellsm-3) S(Kgglucose) N(kgm-3)0,00 0,100 40,00 4,001,00 0,134 39,93 4,002,00 0,180 39,83 3,993,00 0,241 39,70 3,984,00 0,323 39,50 3,975,00 0,433 39,30 3,966,00 0,581 38,97 3,947,00 0,788 38,50 3,928,00 1,040 38,00 3,889,00 1,400 37,20 3,8410,00 1,870 36,20 3,7811,00 2,500 34,80 3,7012,00 3,350 32,90 3,5913,00 4,490 30,50 3,4414,00 6,000 27,20 3,2415,00 8,000 22,80 2,9716,00 10,700 17,10 2,5717,00 14,100 9,60 2,0918,00 17,900 1,11 1,5019,00 18,300 0,00 1,4920,00 18,300 0,00 1,48

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0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

Bio

mas

a

Glu

cose

Time

N (kg m-3) xv (Kg cells m-3)

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0,000

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10,000

12,000

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0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

Bio

mas

a

Nitr

ogen

Time

S (Kg glucose) xv (Kg cells m-3)

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Prof. Domingo Cantero Moreno Prof. Domingo Cantero Moreno

Esusualcomenzarconunaseriedesimplificaciones,losprimerosresultadosnosdirán si hace falta eliminar alguna de estas simplificaciones y comenzar conmodelosmáscomplicados.Simplificacionesquepuedenrealizarse:

Elreactorenunmezclacompleta.Lascélulassonsiempreviables.Seignoralaproduccióndeetanol.Losdossustratosmásimportantessonlafuentecarbonadaynitrogenada.El oxígeno se suministra en exceso, tanto para sa(sfacer la necesidadesmetabólicacomoenergé(ca.

Preguntasquenecesitanrespuesta:

Velocidadmáximadecrecimientodelalevadura.Cuanta fuente carbonada se u(liza para el crecimiento y cuanta paramantenimiento.Querequerimientosdefuentenitrogenadasenecesita.

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Modelo Matemático

( )Skx

Srs

vmx +

= µ vssxxs xmYrr += '// nxxn Yrr //=

xrsm

'/ sxY

sr

nxY /

nr

S

vx

sk

(Kg cells m-3 h-1)

(Kg cells m-3)

(Kg fuente de carbón m-3)

(Kg fuente de carbón m-3)

(Kg fuente de carbón Kg cells-1h-1)

(Kg cells Kg fuente carbón-1)

(Kg fuente de carbón m-3 h-1)

(Kg nitrógeno m-3 h-1)

(Kg cells Kg nitrógeno-1)

Factor de rendimiento

Coeficiente de rendimiento

mµ (Kg cells Kg cells-1m-3 h-1)

Expresado como Nitrógeno elemental 24.6/(0.2 *14) = 8.8

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Cálculos

Para el cálculo de la de las velocidades hacemos uso de las ecuaciones que sederivadelosbalancesdemateria.Velocidaddeacumulaciónodesaparición=velocidaddecrecimientooconsumo

12

12

ttxx vv

−

−

La velocidad de acumulación o desaparición no es mas que el cambio en la concentración dividido por el intervalo de tiempo en el que esto ocurre. Para el caso de la biomasa:

Que puede abreviarse por incrementos o en el límitepordiferenciales

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Cálculos

Nuestras ecuaciones en nuestro modelo quedan:

Nuestromodelopermi(rá:Determinar los parámetros de las ecuaciones y, si es losuficientemente robusto, representar lo que ocurre en un granvariedaddecondiciones

( )SkSx

rdtdx

s

vmx

v

+== µ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=−= vssx

xs xm

Yrr

dtdS

'/

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=−= '

/nx

xn Y

rrdtdN

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Cálculos

Los valoresde laderivadaspuedenobtenersepor tresmétodos condiferentesgradosdeprecisión:

a)  Trazando una curva a mano queajuste a los puntos y calculando supendiente

b)  Diferenciación numérica. Tomandodiferenciasentrespuntosa lamismadistanciadel puntodondequeremoscalcularlapendienteydividirloporelintervalode(empocorrespondiente

c)  Ajustarunaecuaciónmatemá(caquemejorseajustea lospuntos.Enestecasohemoselegidounaexponencial.

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Cálculos

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Cálculos

Time(h) xv(kgcellsm-3) S(kgglucose) N(kgm-3) rx=dx/dt(kgm-3h-1) rs(kgm-3h-1) rN(kgm-3h-1)0,00 0,100 40,00 4,001,00 0,134 39,93 4,00 0,040 0,085 0,0052,00 0,180 39,83 3,99 0,054 0,115 0,0103,00 0,241 39,70 3,98 0,072 0,165 0,0104,00 0,323 39,50 3,97 0,096 0,200 0,0105,00 0,433 39,30 3,96 0,129 0,265 0,0156,00 0,581 38,97 3,94 0,178 0,400 0,0207,00 0,788 38,50 3,92 0,230 0,485 0,0308,00 1,040 38,00 3,88 0,306 0,650 0,0409,00 1,400 37,20 3,84 0,415 0,900 0,05010,00 1,870 36,20 3,78 0,550 1,200 0,07011,00 2,500 34,80 3,70 0,740 1,650 0,09512,00 3,350 32,90 3,59 0,995 2,150 0,13013,00 4,490 30,50 3,44 1,325 2,850 0,17514,00 6,000 27,20 3,24 1,755 3,850 0,23515,00 8,000 22,80 2,97 2,350 5,050 0,33516,00 10,700 17,10 2,57 3,050 6,600 0,44017,00 14,100 9,60 2,09 3,600 7,995 0,53518,00 17,900 1,11 1,50 2,100 4,800 0,30019,00 18,300 0,00 1,4920,00 18,300 0,00 1,48

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Cálculos

Estimación de:

( )SkSx

dtdxr

s

vm

vx +

== µ

mµ y Ks

( )SkS

xr

s

m

v

x

+=

µ

v

v

v

x

xdtdx

xr /==µAgrupando términos:

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Cálculos

( )SkSx

dtdxr

s

vm

vx +

== µ

Estimación de: mµ y Ks

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Reactores Biológicos y Bioquímicos

Cálculos

( ) mm

s

Sk

µµµ11

+=

( )SkS

xr

s

m

v

x

+=

µ

v

v

v

x

xdtdx

xr /==µ

Agrupando términos

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Cálculos

Es(macióndeY’x/s,msyYx/n

Demanerasimilar:Time(h) xv(kgcellsm-3) S(kgglucose) N(kgm-3) rx=dx/dt(kgm-3h-1) rs(kgm-3h-1) rs/xv(kgkgcell-1h-1) μ=rx/xv(h-1)

0,00 0,100 40,00 4,001,00 0,134 39,93 4,00 0,040 0,085 0,634 0,2992,00 0,180 39,83 3,99 0,054 0,115 0,639 0,2973,00 0,241 39,70 3,98 0,072 0,165 0,685 0,2974,00 0,323 39,50 3,97 0,096 0,200 0,619 0,2975,00 0,433 39,30 3,96 0,129 0,265 0,612 0,2986,00 0,581 38,97 3,94 0,178 0,400 0,688 0,3067,00 0,788 38,50 3,92 0,230 0,485 0,615 0,2918,00 1,040 38,00 3,88 0,306 0,650 0,625 0,2949,00 1,400 37,20 3,84 0,415 0,900 0,643 0,29610,00 1,870 36,20 3,78 0,550 1,200 0,642 0,29411,00 2,500 34,80 3,70 0,740 1,650 0,660 0,29612,00 3,350 32,90 3,59 0,995 2,150 0,642 0,29713,00 4,490 30,50 3,44 1,325 2,850 0,635 0,29514,00 6,000 27,20 3,24 1,755 3,850 0,642 0,29315,00 8,000 22,80 2,97 2,350 5,050 0,631 0,29416,00 10,700 17,10 2,57 3,050 6,600 0,617 0,28517,00 14,100 9,60 2,09 3,600 7,995 0,567 0,25518,00 17,900 1,11 1,50 2,100 4,800 0,268 0,11719,00 18,300 0,00 1,4920,00 18,300 0,00 1,48

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y = 0,4621x - 0,0007 R² = 0,9613

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800

rs /x

v(kg

kg

cell-

1h-1

)

µ = rx/xv (h-1)

Estimación de ms , Y’x/s

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Cálculos

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y = 0,1462x - 0,0069 R² = 0,99795

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000

rN

rx

Estimación Yx/N

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Cálculos

De acuerdo con nuestro modelo debería ser una línea recta que pasara por el origen. Como puede verse aparece una ligera desviación. Esto podría deberse a una pérdida de amonio en los gases de salida o un pequeño error en la determinación experimental.

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Modelo de nuestro ejemplo

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Eldesarrollodelmodeloimplicalossiguientespasos:

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Especificar la complejidad involucra en número de reacciones que vamos aconsiderar. (Todos los reactantes?, todos los metabolitos?, estado de labiomasa?....)Las expresiones que relacionan las variables de salida con las de entrada serefieren, normalmente, a expresiones ciné,cas. A veces, pueden probarsediferentesciné,cas;unasiránmejorqueotras.El siguientepasoes combinar estas expresiones ciné,cas conunmodeloparanuestroreactorenelqueocurrennuestrasreaccionescelulares.Estemodelodereactorespecificacomolossustratos,biomasayproductosmetabólicoscambianconel,empo,esdecirlosbalancesdemateria.

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Esta combinación de ecuaciones completa la descripción de nuestro procesofermenta,vo. Idealmente, esto sería suficiente, sin embargo lamayoría de loscasos hay que ajustar los parámetros de nuestro modelo, esto se hacecomparando los resultados predichos por nuestro modelos con resultadosexperimentales.La prueba final es que nuestro modelo sea capaz de simular otros datosexperimentales que no hayan usados para la etapa de es,mación deparámetros.Si el ajuste es pobre, debemos volver a revisar nuestras ecuaciones ciné,cas,sus,tuyéndolas por otras o incorporar alguna otra consideración que nohayamosconsideradopreviamente(muertecelular).

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COMPLEJIDADDELOSMODELOS

CLASIFICACIÓNDEMODELOS

Los procesos biológicos son extremadamente complejos, está claro que no es posibleconsiderar todos los procesos bioquímicos que ocurren en el interior de una célula.Cuandoenunmodeloincluimospropiedadesestocás,cas,comoac,vidadycomposicióncelular,lacomplejidadseincrementa,elnivelalquesequierallegardependedelobje,voperseguido.

MODELOSNOESTRUCTURADOS.

MODELOSESTRUCTURADOS.

La Biomasa se describe como una sola variable (concentración total de biomasa, x), lapoblaciónsesuponecompletamentehomogénea,estosmodelospuedenextendersealosllamadosSEGREGADOS,cuandolascélulasindividualessedescribencomounasolavariable(masacelularoedadcelular).

Labiomasasedescribepormásdeunavariable,seconsideralaestructuradelabiomasa(divisióncelular,enzimas,macromoléculas,….).

“TANSIMPLECOMOSEPUEDAPERONOTANSIMPLES”

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Aumentodelacomplejidaddearriba-abajo,dederecha–izquierda

Para simular la concentración de biomasa en un proceso fermenta,vo, un “modelo simple” noestructuradopuedesersuficiente.Para simular la influencia del número de copia de un plásmido sobre la replicación de ADN, un“modelosimple”nonosvaldrá.

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Unejemploparailustrardiferentescomplejidadesseríaladescripcióndefraccióndeunaproteína“y”aunaconcentracióndeligando“ci.”

EstopodríaexplicarseporlaecuacióndeHill,totalmenteempírica:

OporestaotrapublicadaporMonoden1963

Ambas ecuaciones se ajustan bien a los resultados experimentales pero mientras en laprimeras los parámetros son empíricos (provienen de un ajuste), en la segunda losparámetros de ajustes ,enen una interpretación rsica del fenómeno. Provienen de un“ModeloVerbal”

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MODELOSBASADOSENREDESNEURONALES.

Se pueden u,lizar cuando no existen modelos matemá,cos precisos oalgoritmosconcomplejidadrazonable.Lascaracterís,casdelasRNAlashacenbastanteapropiadasparaaplicacionesen las queno se dispone a priori de unmodelo iden,ficable quepueda serprogramado,perosedisponedeunconjuntobásicodeejemplosdeentrada(previamenteclasificadosono).Las redesneuronalesar,ficiales (RNA),enenmuchasventajasdebidoaqueestánbasadasenlaestructuradelsistemanervioso.

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Aprendizaje:LasRNA,enenlahabilidaddeaprendermedianteunaetapaquesellamaetapadeaprendizaje.EstaconsisteenproporcionaralaRNAdatoscomoentradaasuvezqueseleindicacuáleslasalida(respuesta)esperada.Flexibilidad:UnaRNApuedemanejarcambiosnoimportantesenlainformacióndeentrada,comoseñalesconruidouotroscambiosen laentrada (porejemplosi la informacióndeentradaes laimagendeunobjeto,larespuestacorrespondientenosufrecambiossilaimagencambiaunpocosubrillooelobjetocambialigeramente).Tiempo real: La estructura de una RNA es paralela, por lo cual si esto es implementado concomputadoras,sepuedenobtenerrespuestasen,emporeal.

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Metodología básica para el desarrollo de un modelo matemático.

Ecuaciones de Balances Principales puntos a recordar:

El volumen de control ha deprecisarse.Este volumen puede cambiarcon el (empo si la entrada ylasalidanosoniguales.Laconcentraciónes lamismaen cualquier punto delreactor (Condiciónde tanqueagitado).

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Ecuaciones de Balances

Principalespuntosarecordar:

Velocidadentrada:Flujodeentrada+Generacióndentrodelvolumen+Transf.Interfases

Velocidaddeacumulación=Vel.deentrada–Vel.salida

VelocidadSalida:Flujodesalida+Consumodentrodelvolumen+Transf.Interfases

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EcuacionesdeVelocidad

Lasvelocidadesdegeneración,consumoytransferencianosondirectamentemediblesyhandeexpresarseenfuncióntérminosconocidosovariablesmedibles.

Lasdeconsumoygeneraciónsonvelocidadesciné(cas.

LasdeTransferenciademasa.

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Ecuaciones Termodinámicas

Aveces,comoenlaexpresiónanterior,apareceunavariablequenopuedemedirsedirectamente.Entalescasoslatermodinámicapuedeecharnosunamanoparaquepodamosponerestavariableenfuncióndeotrasconocidasofácilmentemedibles.

Ley de Henry, relaciona la concentración un gas en un liquido con supresiónparcialenelgas

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Comprobación de las ecuaciones

Consistencia dimensional.

Grados de Libertad.

G.L. = Número de variables- Número de ecuaciones

Para fermentaciones en discontinuos no existen grados de libertad, en otras fermentaciones los grados de libertad es el numero de variables que una persona puede independientemente fijar

Ejemplo 1. Nuestro ejemplo anterior

Seis ecuaciones y seis variables. No hay grados de libertad.

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Comprobacióndelasecuaciones

GradosdeLibertad.

Ejemplo2.Unafermentacióncon(nuadondenosinteresabiomasaysustrato carbonado, no hay muerte celular, no hay formación deproductoyeloxígenoestaenexceso

Cincoecuacionesyochovariables.Tresgradosdelibertad.

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Crecimientocelular

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EcuacionesdeVelocidadCrecimientocelular.Inhibiciónporsustrato

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Ecuaciones de Velocidad Crecimiento celular Inhibición por producto

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EcuacionesdeVelocidadU(lizacióndesustratoFuentecarbonada

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ax y ap, unidades de Kg de sustrato para energía Kg-1, no están generalmentedisponibles en la bibliograra, y se incluyen combinados con los coeficientes derendimientosparadarlosfactoresderendimientos.

Generalmente se asume, donde ms es elcoeficiente demantenimiento Kg de sustrato (kgcell)-1h-1

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Cuando consideramos proceso anaerobio, no necesitamos considerar el consumo de energía para mantenimiento o síntesis celular y productos complejos, ya que podemos considerar que toda la energía procede de la producción de productos simples.

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EcuacionesdeVelocidadFormacióndeproducto

Laciné(cadeformacióndeproductonoesbienconocida.Seconsideraquehaydosclasesdeproductossinconsiderarlascélulascomounodeellos.

a)Productosresultadosdeproduccióndeenergía.

b)Productosquerequierenenergíaparasusíntesis.

Asociado al crecimiento No Asociado al crecimiento

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Transferenciaatravésdeinterfases

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MODELOparasimularunafermentaciónanaerobiaavolumenconstante(BATCH)

Consideramosquesetratadeunproductoqueprovienedelmetabolismodelsustratou,lizadocomofuentedecarbonoyenergía.EsteproductobienpodríaserlaproduccióndeetanolproducidoporS.cerevisaeenunatpicafermentaciónalcohólica.

Ecuacionesdebalances:

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Ecuacionesdevelocidad

µ = µmS

ks + S( )rx = µxv

rd = kdxv

rp =αrx +βxv

rs = rx /Yx/s' + rp /Yp/s

'

Biomasatotalmedidaexperimentalmentext=xv+xd

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Valoresdelosparámetros,delabibliograraocalculadosexperimentalmente:

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¿Tenemossoluciónanalí,ca?

Si,paraμyKd=ctes,ms=o,

Si,paraKd=0yμvariable

β = 0

(rp ) =Y 'p/x (rx ) = Yp/x −mp

µ

"

#$

%

&'

"

#$

%

&'(rx )

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SIMPLIFICADO

µ = µmaxs

KS + s

β = 0

ms = 0

1.Ciné(ca(poMonod:

2.Coeficientedemantenimientodepreciable:

3.Formacióndeproductoasociadoalcrecimiento

−(rS ) =µY 'x/s

+ms

"

#$

%

&' x

1Y 'x/s

=1Yx/s

−(rS ) =µY 'x/s

x

(rp ) =Y 'p/x (rx ) = Yp/x −mp

µ

"

#$

%

&'

"

#$

%

&'(rx )

4.Formacióndeproductorelacionadaconelmantenimientodespreciable

mp = 0 (rp ) =Y 'p/x (rx ) =Yp/x (rx ) Y 'p/x =Yp/x

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5. EJEMPLO SIMPLIFICADO

x ≠ x0eµt

1Yx/s

=1

Y 'x/s=s0 − sx − x0

p = p0 +Yp/x x − x0( )

1. Balance de biomasa:

2. Balance de sustrato: s = s0 −

1Yx/s

(x − x0 )

3. Balance de producto:

µ = µmaxs

KS + s≠ cte dx

dt= µ x

x = x0 +Yx/s (s0 − s)

Y 'p/x =Yp/x =p− p0x − x0

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1. Balance de biomasa:

dxdt= µ x Sustituimos: µ = µmax

sKS + s

Se obtiene:

θ = 1+ a1+ X0

!

"#

$

%&ln

XX0

!

"#

$

%&−

a1+ X0

ln(1+ X0 − X)

θ = µmaxt X = xYx/ss0

a = KS

s0X0 =

x0Yx/ss0

Cuando Ks << s0 (a <<1) => lnxx0

= µmax t

s = s0 −1Yx/s

(x − x0 )

55

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L o s mod e l o s s o n u n aabstracción de la realidad yeste no es una excepción.Podemos cri(car este quehemos desarrollado porquen o e x p l i c a p o r q u e e lm i c r o o r g a n i smo s i g u ecreciendo a pesar que lafuente de carbono se hayaagotado. El mecanismo sec o n o c e c omo f a s e d erespiración endógena; elmicroorganismo consume suspropiosproductosexcretadosalmedioporautolísiscelular.

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Siconsideramosµ=constantedxvdt

= (µ − kd )xv xv = xv0e(µ−kd )t

dxtotaldt

= µ xv = µ xv0e(µ−kd )t

xvxtotal

=xv0e

(µ−kd )t

xv0xtotal0xv0

1+ µµ − kd

e(µ−kd )t"

#$

%

&'

Viabilidad

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Modelos

Fermentaciónaerobiaconvolumenconstante,produccióndepolisacáridos(Batch).

Crecimientonoasociado,incluimosunfactor[S/(γ+S)]paraasegurarnosquerp(endeacerocuandolaconcentracióndesustratoStambiénlohace.Nitrógenolimitante.Consumodesustratoparamantenimientodespreciable.Enprincipioignoramosmuertecelular.

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µ = µmaxN

KN + N


' +msxv

rn = rx /Yx/n'

rp = βxv

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Modelos Fermentaciónaerobiaconvolumenconstante,produccióndepolisacáridos(Batch).

Observar comportamientodespués que el sustratolimitantesehaagotado

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Modelos Fermentaciónaerobiaconvolumenconstante,produccióndepolisacáridos(Batch).

Siincluimosuntérmino ( -kd xv) en la ecuac ióncorrespondiente a las célulasviables es posible simular queocurre con el efecto demuertecelular. El efecto sobre el(empo en alcanzar la máximaproducciónesmuyimportante.

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ReactoresBiológicosyBioquímicos

Fermentaciónencon(nuo

Caudalesdeentradaysalidaiguales.Elvolumenpermanececonstante.Adicionalmente los valores de todas las variables independiente, usualmentecomposición y variables ambientales, temperatura y pH, permanecenconstantes, demaneraque lasdemás variables seestabilizan; estoes loquellamamosalcanzarestadoestacionario.

Cons ide rando Xv y S . S i nformacióndeproductos

DondeD=F/V.

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Modelos Fermentación en con(nuo para producción de biomasa con un único sustratolimitante

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Prof. Domingo Cantero Moreno Prof.DomingoCanteroMoreno


Modelos Fermentación en con(nuo para producción de biomasa con un único sustratolimitante

SoesindependienteSiDc (velocidad de dilución de lavado)(Dcaprox.=μmax)D=μ (sirve para fijar el crecimientocelular).

La produc(vidad de un fermentador(batch) se mide dividiendo laconcentraciónfinalporel(empototalde proceso incluyendo el llenado,vaciado,limpieza,etc.Encon(nuonoe x i s t e n e s t o s ( empo s y l ap r o d u c ( v i d a d s e o b ( e n emul(plicando D por la concentracióna la salida. En este casoDxv (Kg cellsm-3h-1)

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Modelos Fermentaciónencon(nuoconformacióndeproductos.

Podemosextenderelmodeloanteriorconsiderandolaformacióndeproducto.

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Modelos Fermentaciónencon(nuoconformacióndeproductos.

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Modelos Fed-batch.

Fasedecrecimiento.Volumenconstante

Fasedeproducción.


' +msxv

µ = µmS

ks + S( )

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Modelos Fed-batch.

..Tema 3. Modelización de Sistemas Biológicos

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