Tema 3 Equivalencia. Formas normales. - Lógica Proposicional
Transcript of Tema 3 Equivalencia. Formas normales. - Lógica Proposicional
Tema 3Equivalencia. Formas normales.
Logica Proposicional
Antonio de J. Perez Jimenez
Departamento Ccia.
Logica Informatica
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 1 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:
• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Equivalencia logica
A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).
Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A
• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A
• Asociatividad:
{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A
• Distributividad:
{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
• Doble negacion: ¬¬A ≡ A
• Leyes de De Morgan:
{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A
• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.
Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.
Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten
comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.
Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A
Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.
Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.
Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales
Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.
Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:
1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.
2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).
3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).
4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.
Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)
1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)
1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)
2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)
3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)
4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)
4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))
≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Formas Normales. Ejemplo
Ejemplo:
Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)
(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)
(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}
1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}
0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Pares complementarios. Satisfactibilidad
Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces
1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.
2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.
[Indicaciones: para la demostracion de 1):
* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:
v(p) =
8<:
0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.
** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que
para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1
El apartado 2) se demuestra de forma analoga].
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:
1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literalescomplementarios.
2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par deliterales complementarios.
Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.
2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par deliterales complementarios.
Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de
literales complementarios.Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de
literales complementarios.Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de
literales complementarios.Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de
literales complementarios.Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7
Satisfactibilidad en formas normales
Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales
complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de
literales complementarios.Ejemplos:
1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.
2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.
3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.
4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.
Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7