Tema 3 ecualizacion de-canal

Tema 3:Ecualización de canal

Dr. José Ramón Cerquides BuenoTeoría de la Señal y Comunicaciones

Universidad de Sevilla

Transmisión Digital

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 2

Organización• Introducción• El detector MLSD• Ecualización de canal

• Planteamiento del problema• Soluciones

• Diseños fijos• Diseños no restringidos• Diseños retringidos a una estructura de filtro transversal

• Diseños adaptativos

• Comparación de las diferentes técnicas de ecualización

• Conclusiones• Referencias


Introducción• En los sistemas reales de transmisión

frecuentemente nos encontramos con ISI o con fenómenos que escapan a nuestro control:• Desvanecimientos• Propagación multicamino• Ecos• Desajustes en general en los circuitos transmisores

o receptores• Conmutación de circuitos• Otros fenómenos

• RESULTADO:• La respuesta del canal difiere de la esperada o

supuesta (la que habremos utilizado en el diseño teórico de los filtros terminales óptimos)


Introducción• CONSECUENCIAS:

• Respecto al ruido• Nuestro sistema ya no tiene un diseño óptimo

la relación SNR va a descender desciende la relación Eb/N0

aumenta la probabilidad de error

• ISI (Interferencia intersimbólica) • Si no había ISI

va a aparecer• Si ya había ISI (sistemas con ISI controlada o

compensada) va a aumentar (descontrolándose).

• En cualquier caso ISI ↑↑ aumenta la probabilidad de error


Introducción. Efectos multicamino• EJEMPLO:

• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 10dB BER = 3,9 · 10-6

• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?


Introducción. Efectos multicamino

0 20 40 60 80 10010

-6

10-4

10-2

100

Potencia relativa del rayo secundario (%)

BE

R

ISI + ruido

Solo ruido

• EJEMPLO:• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No =

10dB BER = 3,9 · 10-6

• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?


Introducción. Efectos multicamino• EJEMPLO:

• Sistema QPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 25dB

• Al aparecer una componente multicamino (retardo de un símbolo, nivel relativo 5 dB por debajo del camino principal)


Introducción• CONCLUSIÓN

• Necesitamos introducir elementos adicionales que compensen o minoren el efecto nocivo de la ISI.

• Tenemos dos alternativas• Cambiar a un detector MLSD (Maximum Likelihood

Sequence Detection)• Introducir un subsistema encargado de compensar la

ISI.

• El subsistema encargado se denomina ECUALIZADOR DE CANAL o IGUALADOR DE CANAL

• El ecualizador va colocado justo después del circuito de muestreo.


El detector MLSD• Cuando la señal recibida tiene ISI, el detector

convencional (critero de distancia mínima) deja de ser la solución óptima.

• EJEMPLO:• Supongamos que el canal digital viene dado por

hd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]

• Si la secuencia de símbolos (binarios) emitida hubiese sido:

s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …


El detector MLSD• La señal de salida hubiese venido dada por

• Suponiendo que los dos símbolos transmitidos antes del inicio de s[n] son dos 1’s (estado inicial) tendríamos que la secuencia recibida (sin incluir el efecto del ruido sería):

r[n] =… 0.8, -1.2, 0.2, 1.2, -0.2, -1.2, 0.2, -0.8, -0.8, -0.8 …• Si la secuencia de ruido w[n] tomase los siguientes

valores:w[n] = … 1.0, 0.5, 0.1, -0.4, 0.5, -0.9, -0.1, 1.1, 1.7, -0.6 …

la secuencia completa recibida hubiese sido:r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 0.1, 0.3, 0.9, -1.4 …

• La técnica de detección de mínima distancia hubiese arrojado la siguiente secuencia detectada:s’[n] = … 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 …

• Comparando:s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …

dk

h k s n k

ds[n]*h [n] s n 0.7s n 1 0.5s n 2


El detector MLSD• Es necesario utilizar un detector que tenga en

cuenta el efecto de la ISI (unos símbolos interfieren sobre los otros).

• En lugar de ser un detector que opere símbolo a símbolo deberá considerar la secuencia de símbolos más probable MLSD (Maximum Likelihood Sequence Detection)

• Podemos ver el canal digital equivalente como un codificador convolucional con relación de código

k/n = 1que utiliza una restricción de tamaño K = longitud en muestras de la respuesta impulsional.

• El “estado” del codificador serían los últimos K-1 símbolos emitidos.


El canal digital como codificador convolucional• EJEMPLO:

• El canal digital dado por hd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]

puede interpretarse como el siguiente codificador convolucional:

s[n] s[n-1] s[n-2]

1-0.7 0.5

s n 0.7s n 1 0.5s n 2

Estado

Entrada


Diagrama de estados del codificador• Continuando con la similitud entre el canal

digital y un codificador convolucional, podemos obtener su diagrama de estados. Para el caso del ejemplo:

a1,1

c1,-1

b-1,1

d-1,-1

1

0.8

-1

-1.2

12.2

-1

0.2

-1

-2.2

-1

-0.8

11.2

1-0.2


Trellis del canal digital• Continuando con la similitud entre el canal

digital y un codificador convolucional, podemos obtener su Trellis. Para el caso del ejemplo:

a

b

c

d

a

b

c

d

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1 -1

-1

1

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

1

-1

1

-1

1 -1

-1

1


El detector MLSD• Opera sobre secuencias de símbolos en lugar

de sobre símbolos aislados.• Vamos a hacer uso del algoritmo de Viterbi

para la obtención del camino más probable a lo largo del Trellis.

• Necesitamos asignar un “peso” a cada una de las transiciones dentro del Trellis. Dicho peso debería ser la probabilidad

• ¿Cuál es la probabilidad de cada transición?

a a

b

1

-1


El detector MLSD• El símbolo recibido es

r[n] = s[n] – 0.7 s[n-1] + 0.5 s[n-2] + w[n]• Queremos determinar la probabilidad de que

s[n] sea 1 (o -1) sujeta a que el símbolo recibido sea r[n] y a que el estado original sea el estado a (1,1). p s n 1 r[n],a

p s n 1, r n ,a

p r n ,a

p r n s n 1,a p s n 1,a

p r n ,a

p w n r[n] 1 0.7 0.5 p s n 1,a

p r n ,a

p s n 1,ap w n r[n] 0.8

p r n ,a

2

2w

r n 0.8

2

w

p s n 1,a1e

p r n ,a2


El detector MLSD• La probabilidad buscada es:

• La probabilidad de la otra transición (que supone la emisión del símbolo -1) será:

• Si los símbolos son equiprobables el factor

• Como la suma de ambas probabilidades debe ser 1, cada una será proporcional a la correspondiente exponencial.

2

2w

r n 0.8

2

w

p s n 1,a1p s n 1 r[n],a e

p r n ,a2

2

2w

r n 1.2

2

w

p s n 1,a1p s n 1 r[n],a e

p r n ,a2

p s n 1,a p s n 1,a

p r n ,a p r n ,a


El detector MLSD• Veamos un ejemplo de la asignación de pesos

a las ramas.• Supongamos que se recibe el símbolo 1.8 y

que partimos del estado a

donde k1 se habrá elegido de forma que la suma de ambas probabilidades sea la unidad.

a a

b

22w

1

21k ·e

22w

3

21k ·e


El detector MLSD• Si avanzamos en la decodificación, debemos

asignar las probabilidades de de las nuevas ramas que aparecen. Por ejemplo, si el siguiente símbolo recibido fuese -0.7 tendríamos:

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

22w

1

21k ·e

22w

3

21k ·e

22w

1.5

22k ·e

22w

0.5

22k ·e

22w

2.9

22k ·e

22w

0.9

22k ·e


El detector MLSD• Suponiendo que el ruido es independiente en

cada símbolo, la probabilidad de cada camino es el producto de las probabilidades de sus diferentes ramas.

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

22w

1

21k ·e

22w

3

21k ·e

22w

1.5

22k ·e

22w

0.5

22k ·e

22w

2.9

22k ·e

22w

0.9

22k ·e

2 2

2 2w w

1 0.5

2 21 2k ·e k ·e

2 2

2 2w w

3 2.9

2 21 2k ·e k ·e


El detector MLSD• Gracias a las propiedades de la exponencial,

podemos compactar el peso de cada camino como:

• Cuando dos caminos distintos confluyen en un mismo nodo, ambos tendrán distintas probabilidades:

• La de mayor probabilidad (exponente menor) será la superviviente.

2 2

2 22 2 2w w w

1 0.5 11 0.5

2 2 21 2 1 2k ·e k ·e k ·k ·e

2 2 2

1,1 2,1 n ,12w

1d d ... d

21 2 np ruta 1 k ·k ...·k ·e

2 2 2

1,2 2,2 n ,22w

1d d ... d

21 2 np ruta 2 k ·k ...·k ·e


El detector MLSD• Como acabamos de ver, finalmente el único

elemento que se utiliza para decidir es el factor

donde los di son las distancias entre el símbolo que teóricamente se debería haber recibido de producirse dicha transición y el que realmente se ha recibido.

• Por tanto no es necesario trabajar con los exponentes, sino que podemos asignar a cada rama el peso d2, eligiendo finalmente el camino de menos peso.

• El resto del algoritmo de Viterbi funciona de la forma habitual, descartando caminos hasta que sólo queda uno posible, que corresponde a la secuencia que se decodifica como correcta.

2 2 21 2 nd d ... d


2.563.82

0.161.42

15.86

0.365.86

1.967.46

Detector MLSD y algoritmo de Viterbi• Si la secuencia recibida hubiese sido:r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 1.7, -2.0,

3.3, -1.4 …el algoritmo de Viterbi resultaría:

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

1

9

2.253.25

0.251.25

8.4117.41

0.819.81

0.253.5

2.255.5

3.614.86

0.011.26

0.2517.66

6.2523.66

0.8110.62

1.2111.02

0

4

9

3.5

7.5

13.861


1.215.03

0.814.63

6.257.67

0.251.67

0.017.51

3.6111.11

2.255.75

0.253.75

Detector MLSD y algoritmo de Viterbi• Continuando con la decodificación: -0.7 0.3 0.8

0.3

2.563.82

0.161.42

1

0.36

1.96

a

b

c

d

a

b

c

d

a

d

a

b

c

d

2.253.25

0.251.25

0.81

0.253.5

2.25

3.61

0.011.26

0.25

6.25

0.81

1.21

0

4

9

3.5

7.5a

b

c

d


1.696.72

10.8915.92

0.014.64

3.618.24

5.4911.04

18.4924.24

0.812.48

8.4110.08

Detector MLSD y algoritmo de Viterbi

5.03

a

b

c

d

a

b

c

d

a

d

a

c

d

a

b

c

d3.82

1.42

3.5

5.75

1.67

3.53.25

1.25

4.631.26

a

b

c

d

-1 -1

-0.7 0.3 0.8 0.3 -2.1


Detector MLSD. Limitaciones• Como hemos visto el detector MLSD permite

realizar la decodificación óptima (máxima verosimilitud) en presencia de ISI.

• Su realización hace uso del algoritmo de Viterbi para determinar el mejor camino dentro del Trellis.

• Sin embargo, en la práctica su utilización está muy limitada fundamentalmente por dos factores:1. Es necesario conocer con precisión la respuesta del

canal digital hd[n].• Se dificulta su realización en el caso de canales

variantes (comunicaciones móviles, sistemas inalámbricos en general…)

2. El coste computacional asociado a la realización puede hacerlo inviable.


Detector MLSD. Coste computacional• Para una modulación con J posibles símbolos

emitidos y un canal con respuesta impulsional de longitud L tendremos JL-1 estados posibles con JL posibles transiciones.

• Cada transición supone evaluar 1 suma (resta) + 1 multiplicación 2JL operaciones.

• EJEMPLO: Modulación 16-QAM , Rs = 1 Mbaud, respuesta impulsional de longitud 6• El número de operaciones para decodificar cada

símbolo será:

2·166 = 33.5·106 flops = 33.5 Mflops• El número de operaciones requeridas por segundo

será:33.5 Mflops/símbolo · 1 Msímbolo/seg = 33.5·1012

flops/seg(el límite actual de los procesadores es ~ Gflops/seg)


Ecualización de canal• En muchas situaciones prácticas

(desconocimiento de la respuesta del canal, excesivo coste computacional) la detección MLSD no es viable.

• Se opta entonces por una solución sub-óptima: la ecualización (o igualación) de canal.

• La idea original es bastante sencilla: introducir un bloque (el ecualizador) capaz de eliminar la ISI o por lo menos de reducirla considerablemente, de forma que podamos seguir utilizando un detector clásico (de los que operan símbolo a símbolo).

• ¿Dónde va a ir colocado este nuevo circuito?


Localización del ecualizador

FUENTE

CODIFI-CADOR

MODU-LADOR

CANAL

DEMODU-LADOR

DETECTOR

DESTINO

Mensaje transmitido

m[l] (secuencia

digital)

Símbolos transmitidos

s’[n] (secuencia

digital)

Señal transmitida

s(t) (señal

analógica)

Ruido

v(t) (señal

analógica)

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Mensaje recibido

m’[l] (secuencia

digital)

Señal de salida del canal

c(t) (señal

analógica)

Símbolos estimados DECODIFI-

CADOR

s[n] (secuencia

digital)

CANAL DIGITAL

EQUIVALENTE

CANAL DISCRETO

EQUIVALENTE

CANAL BINARIO

EQUIVALENTE

Ecualizador


Localización y tecnología del ecualizador

• Tecnológicamente, los ecualizadores suelen realizarse con DSPs o ASICs Digital

FILTRO

ADAPTADO

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

DEMODULADOR

Símbolos recibidos


Señal salida

r(t) (señal

analógica)

Ecualizador

Símbolosecualizados

y[n]

FILTRO

ADAPTADO

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

DEMODULADOR

Símbolos recibidos


Señal salida

r(t) (señal

analógica)

A/D

DSPASIC

(ecualizador+detector+

decodificador)


Planteamiento del problema• Utilizando el modelo de canal digital

equivalente:

• Si el canal fuese ideal y el diseño perfecto*:• hd[n] = √Ep· δ[n] (diseño perfecto, no ISI)

• w[n] blanco y gaussiano, σw2 = N0/2, rww[m] = σw

2 δ[m]

• En la práctica puede ocurrir (incluso con un canal conocido y utilizando filtros terminales óptimos)• hd[n] ≠ √Es· δ[n] (ISI)

• w[n] adquiere color, σw2 = N0/2, rww[m] ≠ σw

2 δ[m]

CANAL DIGITAL

hd[n]

s[n]

Secuencia de símbolos de

entrada

r[n]

Secuencia de símbolos de

salida

w[n] Ruido discreto

x[n]

Salida del

canal

* Suponiendo que no se trata de sistema con ISI controlada


Planteamiento del problema• Ecualizar (igualar) el canal significa introducir

un sistema en cascada de forma que:

y[n] = hd[n]*hec[n]*s[n] + hec[n]*w[n] ≈ s[n-n0]

hd[n] s[n] r[n]

hec[n] y[n]

s[n-n0]

w[n]

x[n]

Respuesta del

canal ecualizado

Ruido a la salidadel ecualizador


Soluciones• Diseños fijos

• Estructuras sin restricciones• Filtrado inverso• Filtro de Wiener

• Restringidas a una estructura de filtro transversal:• Filtro FIR de Wiener• Forzador de ceros• Mínimos cuadrados

• Diseños adaptativos• Con referencia temporal

• Algoritmo LMS• Algoritmo RLS

• Sin referencias (ciegos)• Dirigidos por decisión

• Otras alternativas


Diseños fijos• El problema se plantea de la forma siguiente:

• Dada una hd[n] y las características del ruido w[n] diseñar un ecualizador con respuesta impulsional hec[n] que resuelva el problema.

• Se utilizan cuando el canal es conocido y no se esperan variaciones sustanciales con el tiempo.• EJEMPLO: Enlaces a través de medios guiados (cable,

guía de ondas, fibra óptica…)

• Pueden usarse también en diseños “adaptativos por bloques”• EJEMPLO: La transmisión se ejecuta en salvas de 1024

símbolos (tramas). El sistema identifica el canal en cada trama y supone que las carácterísticas de hd[n] y w[n] se mantienen durante el tiempo que dura la trama. Se diseña un ecualizador para las características de canal medidas.


Diseños fijos y adaptativos por bloques• Diseños adaptativos por bloques

¿ hd[n] ? s0[n] r0[n]

¿w[n]?

x0[n]

Algoritmode

identificaciónde

canal

dh n

w n

Ecualizador


Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso

y[n] = r[n]*hec[n] =

= (x[n]+w[n])*hec[n] =

= x[n] *hec[n] + w[n]*hec[n] =

=s[n]*hd[n]*hec[n] + w[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]

• Ignorando la componente de ruidos[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]

hd[n] s[n] r[n]

hec[n] y[n]

s[n-n0]

w[n]

x[n]


Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso

s[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]

hd[n]*hec[n] =δ[n-n0]

Hd(z)·Hec(z) = z-n0

• Solución:

0n

ecd

zH z

H z


Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso• Comentarios sobre la realizabilidad:

• Solo es estable y causal si hd[n] es un sistema de fase mínima (todos sus ceros dentro del circulo unidad).

• En caso contrario el ecualizador diseñado tiene polos fuera del círculo unidad:

• Si el sistema es estable (ROC contiene la circunferencia unidad), es no causal (ROC no contiene ∞)

• Si el sistema es causal (ROC contiene ∞) es inestable.

• Como la estabilidad es un criterio irrenunciable, el filtro inverso puede dar lugar a diseños no causales, lo que compromete seriamente su aplicabilidad.

• En resumen:• hd[n] es de fase mínima hec[n] causal

• hd[n] no es de fase mínima hec[n] no causal


Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso• Comentarios sobre las prestaciones

• No se ha tenido en cuenta el ruido al diseñar el ecualizador.

• El ruido a la salida será w[n]*hec[n], luego su densidad espectral será Sww(F)·|Hec(F)|2

• En aquellas bandas en las que Hd(F) tome valores bajos

Hec(F) crecerá para compensar

La densidad espectral de ruido crecerá

• La potencia de ruido a la salida será:

0.52

ruido,out ww ec

0.5

P S F H F dF

0.5

20ec

0.5

NH F dF

2

0.5

20ec

0.5

NH F dF

2

20ec

n

Nh n

2


EJEMPLO - Filtro inverso

hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]

Probabilidad de error (Eb/N0 = 5 dB) ≈ 0.023930



Hd(F) = 1 – 0.3e-j2πF -0.1e-j4πF

d

1H F 110 54cos 2 F 20cos 4 F

10

1d

3sin 2 F sin 4 FH F tg

10 3cos 2 F cos 4 F



Hd(z) = 1 – 0.3z-1 -0.1z-2

Es un sistema de fase mínima

Polos en z = 0 (doble)

Ceros en z = 0.5, -0.2


EJEMPLO – Filtro inverso

0n

ecd

zH z

H z

1

5

ec 1

zH z

1 0.5z 1 0.2z

5

d

z

H z

5

1 2

z

1 0.3z 0.1z

En este caso se ha elegido

n0 = 5



n 5 n 5

ec

2 1 5 1h n u n 5

7 5 7 2

1

5

ec 1

zH z

1 0.5z 1 0.2z


EJEMPLO – Filtro inverso• Probabilidad de error

• Sin ecualizador: 0.026501• Con ecualizador: 0.012570• Mínimo teórico: 0.005954

• Relación Eb/N0 • Antes de ecualizar: 5 dB• Después de ecualizar: 4.04

dB


EJEMPLO 2 – Filtro inverso



• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.259265• Con ecualizador:0.220274• Mínimo teórico: 0.005954

• Relación Eb/N0 • Antes de ecualizar: 5 dB• Después de ecualizar: -5.25

dB


Ecualizador por Filtro de Wiener (no causal)• Nos enfrentamos al problema:

s[n] = Secuencia de símbolos emitidoshd[n] = Respuesta impulsional del canal digital equivalentex[n] = Salida del canal digital equivalentew[n] = Ruido digital equivalenter[n] = Señal a la entrada del ecualizadorhec[n] = Respuesta impulsional del Ecualizador

y[n] = Señal a la salida del ecualizadord[n] = Señal deseada a la salida del ecualizadore[n] = Señal error

s[n] r[n]

w[n]

x[n]

d[n]

y[n] e[n]hec[n]

hd[n]


Filtro de Wiener• Analizaremos primero un problema más

sencillo:

hd[n] s[n] r[n]

hec[n]

w[n]

x[n]

d[n]

y[n] e[n]

r[n]

h[n]

d[n]

y[n] e[n]


Filtro de Wiener• Buscamos la solución al problema:

donde e[n] = d[n] – y[n] • Buscamos el mejor filtro h[n] en sentido

cuadrático medio (Mean Square Error) MSE, (Minimum Mean Square Error) MMSEMSE = E{|e[n]|2} = potencia media del error

• Queremos determinar que filtro h[n] debemos colocar para minimizar el MSE.

r[n]

h[n]

d[n]

y[n] e[n]


Principio de ortogonalidad• TEOREMA: El principio de ortogonalidad

establece que el MSE será mínimo cuando se verifique la condición:

er[m] = E{e[n]r*[n-m]} = 0

Alternativamente:re[m] = er

*[m] = E{r[n]e*[n-m]} = 0

• DEMOSTRACIÓN:• Sea h[n] un filtro tal que al usarlo se verifica re[m]

= 0• Sea g[n] otro filtro cualquiera• Vamos a demostrar que el MSE obtenido con el filtro

h[n] es siempre menor o igual que el obtenido con g[n].


Principio de ortogonalidad

yh[n] = salida del filtro h[n]

yg[n] = salida del filtro g[n]

eh[n] = d[n] – yh[n] = error al usar el filtro h[n]

eg[n] = d[n] – yg[n] = error al usar el filtro g[n]

MSEh = E{|eh[n]|}2 = E{|d[n] – yh[n]|2}

MSEg = E{|eg[n]|}2 = E{|d[n] – yg[n]|2} =

= E{|d[n] – yg[n]+ yh[n] - yh[n]|2} =

= E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2}

r[n]

h[n]

d[n]

yh[n] eh[n]

r[n] g[n]

d[n]

yg[n] eg[n]


Principio de ortogonalidadMSEg = E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2} =

= E{(eh[n] + yh[n] - yg[n]) *(eh[n] + yh[n] - yg[n])} =

= E{|eh[n]|2} + E {eh*[n](yh[n] - yg[n])} +

+ E {eh [n](yh[n] - yg[n]) *} + E {|yh[n] - yg[n]|2} =

= MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2} +

+ E {eh*[n](yh[n] - yg[n])} + E {eh

[n](yh[n] - yg[n]) *}

• Luego MSEg = MSEh + un término que es siempre mayor o igual que 0 + otros dos términos (que, como demostraremos a continuación, son 0)

• Veamos primero que ambos son complejos conjugados uno del otro:E {eh

*[n](yh[n] - yg[n])} = [E {eh [n](yh[n] - yg[n]) *}]*

de modo que basta demostrarlo para uno de ellos.


Principio de ortogonalidad

*

hm m

E e n h m r n m g m r n m

*h h gE e n y n y n

* *h

m

E e n h m g m r n m

* *h

m

h m g m E e n r n m

h

*

e rm

h m g m m

*m

h m g m 0 0


Principio de ortogonalidad• Por tanto,

MSEg = MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2}

de forma que el filtro capaz de verificar er[m] = 0 da el mínimo MSE (cualquier otro filtro tiene MSE mayor).

• Así, el filtro que buscamos verificará el principio de ortogonalidad

er [m] = 0

que era lo que queríamos demostrar.• A partir de ahora utilizaremos siempre dicho

criterio para el diseño.


Filtro de Wiener• La solución al problema:

se obtendrá cuando er[m] = 0 (ppo. ortogonalidad)

er[m] = E {e[n]r*[n-m]} =

= E {d[n]r*[n-m] - y[n]r*[n-m]} == dr[m] – yr[m] = 0

dr[m] = yr[m]

r[n]

h[n]

d[n]

y[n] e[n]


Recordatorio – Correlación y filtros• Dado un proceso estocástico r[n] con

autocorrelación rrr[m] que actúa como entrada a un filtro con respuesta impulsional h[n] y salida y[n], se verifica:

y[n] = h[n]*r[n]

rr[m] = E{r[n]r*[n-m]}

rhh[m] = h[m]*h*[-m]

yy[m] = E{y[n]y*[n-m]} = rr[m] * rhh[m] = rr[m]*h[m]*h*[-m]

ry[m] = E{r[n]y*[n-m]} = rr[m] * h*[-m]

yr[m] = E{y[n]r*[n-m]} = rr[m] * h[m]

r[n]

h[n] y[n]


Recordatorio – Densidad espectral y filtros• Dado un proceso estocástico R(z) con

densidad espectral rr(z) que actúa como entrada a un filtro con función de transferencia H(z) y salida Y(z), se verifica:

Y(z)=H(z)R(z)rr(z) = Z{rr[m]}

Shh(z) = H(z)H*(1/z*)

yy(z) = rr(z)· Shh(z) = rr(z)·H(z) H*(1/z*)

ry(z) = rr(z)·H*(1/z*)

yr(z) = rr(z)·H(z)

R(z)

H(z) Y(z)


Filtro de Wiener - SoluciónLa aplicación del principio de ortogonalidad

resultadr[m] = yr[m]

o, tomando transformadasdr(z) = yr(z)

yr(z) = rr(z)·H(z)

r[n]

h[n]

d[n]

y[n] e[n]

dr

rr

zH z

z


Ecualizador mediante filtro de Wiener• Aplicando ahora la solución anterior a nuestro

problema:

• Necesitamos determinar rr(z) y dr(z), teniendo en cuenta que d[n] = s[n-n0]

hd[n] s[n] r[n]

hec[n]

w[n]

x[n]

d[n]

y[n] e[n]

drec

rr

zH z

z


Determinación de dr(z)dr(z) = Z{dr[m]}

dr[m] = E{d[n]r*[n-m]} = E{s[n-n0] (x[n-m]+w[n-m])*} =

= E{s[n-n0]x*[n-m]} + E{s[n-n0] w*[n-m]} =

= sx[m-n0] + sw[m-n0] = sx[m-n0]

• Luego dr(z) = Z{sx[m-n0]} = z-n0· sx(z)

sx(z) = Hd*(1/z*)·ss(z)

ss(z) = Z{ss[m]} = Z{E{s[n]s*[n-m]}}

• Si la secuencia de símbolos es blanca (símbolos independientes) que es lo habitualss[m] = E{|s[n]|2}δ[m] ss(z) = E{|s[n]|2}

dr(z) = z-n0· Hd*(1/z*)· E{|s[n]|2}


Determinación de rr(z)rr(z) = Z{rr[m]}

rr[m] = E{r[m]r*[n-m]} =

= E{(x[n]+w[n])(x*[n-m]+w*[n-m])} == xx[m] + wx[m] + rw[m] + ww[m] =

= xx[m] + ww[m]

• Luegorr(z) = xx(z) + ww(z) =

rr(z) = ss(z)Hd(z)Hd*(1/z*) + ww(z)

• Suponiendo ruido blanco de potencia N0/2

rr(z) = E{|s[n]|2}· Hd(z)Hd*(1/z*) + N0/2


Ecualizador mediante filtro de Wiener• Finalmente

• Comentarios:• El filtro de Wiener tiene en cuenta simultáneamente

los efectos de la ISI y del ruido.

• Cuando el ruido es muy pequeño (N0 0) el filtro se comporta como un filtro inverso

• En aquellas zonas en las que Hd(z) toma valores bajos, el filtro de Wiener no intenta compensar a cualquier precio, sino que responde de forma mucho más suave (no olvida nunca el ruido)

• El filtro obtenido con la expresión anterior es siempre no causal

02 n*

d *

ec2 * 0

d d *

1E s n H z

zH z

N1E s n H z H

z 2


EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wiener



hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]

Hd(z) = 1 – 0.3z-1 – 0.1z-2

Hd*(1/z*) = 1 – 0.3z - 0.1z

Símbolos transmitidos ±1 E{|s[n]|2} = 1

Eb/N0 = 5 dB = 3.16

2

b d 0n

E h n 1.1 N 0.348

3 4 5

ec 2 1 2

0.1z 0.3z zH z

0.1z 0.27z 1.274 0.27z 0.1z



• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.026821• Con filtro inverso: 0.011840• Con filtro Wiener: 0.008910• Mínimo teórico: 0.005954

• Relación Eb/N0 • Sin ecualizar: 5 dB• Con filtro inverso: 4.04 dB• Con filtro Wiener: 4.44 dB


EJEMPLO – Ecualizador por filtro Wiener



• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.256885• Con filtro inverso: 0.217144• Con filtro Wiener: 0.060841• Mínimo teórico: 0.005954

• Relación Eb/N0 • Sin ecualizar: 5 dB• Con filtro inverso: -5.26 dB• Con filtro Wiener: 2.44 dB


Diseños fijos sin restricción - Conclusiones• Ofrecen la mejor solución, desde el punto de

vista matemático al problema planteado.• Dos alternativas

• Filtro inverso: • Se diseña ignorando el ruido.• Solo causal en sistemas de fase no mínima• No es un buen diseño si el ruido es importante

• Filtro Wiener:• Balancea ruido e ISI• Solución no causal al problema de diseño• Mayor complejidad de diseño• Funciona bien en situaciones de ruido elevado• Mejores prestaciones que el filtro inverso


Diseños fijos sin restricción - Conclusiones• Desde el punto de vista de su construcción

(programación) aparecen una serie de inconvenientes:• Se desconoce a priori la longitud de la respuesta

impulsional que se obtendrá como solución • Se ignora la estructura del filtro (realizaciones hard) o

se ignora el coste computacional asociado al ecualizador en realizaciones soft (puede comprometer seriamente la selección de procesador).

• La no causalidad puede suponer retardos de una trama (o más) que pueden ser intolerables en el sistema de comunicaciones.

• La obtención del filtro es un procedimiento complejo (especialmente en el caso del filtro de Wiener).

• Estos inconvenientes son tan serios que han llevado a la búsqueda de otras soluciones diseños restringidos.


Diseños restringidos - Introducción• En los diseños restringidos la estructura del filtro se

establece de antemano.• Se utilizan filtros FIR de una longitud

predeterminada (Lec muestras).

• Motivos:• Estructuras fijas permiten la realización del ecualizador en

circuitos hard o el conocimiento a priori del coste computacional asociado en realizaciones soft.

• Al ser filtros FIR son estructuras intrínsecamente estables• La causalidad implícita de la estructura va a permitir

acotar el retardo máximo.• Los algoritmos de diseño son sensiblemente más sencillos

y fáciles de programar que para sistemas no restringidos.

• El inconveniente es que van a ofrecer prestaciones más moderadas que los diseños sin restricciones.


Diseños restringidos - Planteamiento• El problema de ecualización continua siendo:

donde ahora vamos a forzarhec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}

hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1

hd[n] s[n] r[n]

hec[n]

w[n]

x[n] y[n]


Criterio de minima distorsión de pico• El criterio de mínima distorsión de pico puede

verse como la versión del filtro inverso para el caso restringido.

• Ignorando el ruido trataremos de resolver:s[n] *hd[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]

o lo que es lo mismo:htot[n] = hd[n]*hec[n] ≈ δ[n-n0]

• Desarrollando:

donde no debemos olvidar que la longitud total de htot[n] será Ltot = Ld + Lec - 1

ecL 1

tot ec d 0k 0

h n h k h n k n n


Criterio de mínima distorsión de pico

htot[0] = hec[0]hd[0] + hec[1]hd[-1] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+1] = 0

htot[1] = hec[0]hd[1] + hec[1]hd[0] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+2] = 0

…htot[n0] = hec[0]hd[n0]+hec[1]hd[n0-1]+ … +hec[Lec-1]hd[n0-Lec+1]=1

…htot[Ltot-1] = hec[0]hd[Ltot-1]+hec[1]hd[Ltot-2]+ … +hec[Lec-1]hd[Ltot-

Lec]=0

ecL 1

tot ec d 0k 0

h n h k h n k n n

Ltot ecuaciones

Lec incógnitas


Criterio de mínima distorsión de pico• Vemos que tenemos un sistema de Ltot

ecuaciones con Lec incógnitas, que se puede expresar en forma matricial como:

Hdhec δn0

donde:

d d d ec

d d d ec

d 0 d 0 d 0 ec

d tot d tot d d

h 0 h 1 h L 1

h 1 h 0 h L 2

h n h n 1 h n L 1

h L 1 h L 2 h L 1

ec

ec

ec 0

ec

h 0

h 1

h n

h L 1

0

0

1

0

Ltot filas x Lec columnas Lec filas Ltot filas


Criterio de mínima distorsión de picoHdhec = δn0

Hd = Matriz del canal (Ltot filas x Lec columnas)

hec = Vector representa al ecualizador (incognitas) (Lec filas)

δn0 = Vector de respuesta deseada o de condiciones (0 en todos los valores excepto en n0) (Ltot filas)

• Imposible verificar todas las ecuaciones simultáneamente

• Es necesario seleccionar un criterio y tratar de optimizarlo.

• El criterio que veremos es el denominado Minimax (o de mínima distorsión de pico):

min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0


Criterio de mínima distorsión de pico• Minimax (mínima distorsión de pico)

min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0

• Se podría interpretar como la minimización del valor máximo de la ISI.

• No existe una solución cerrada para el caso general

optimización numérica algoritmos difíciles de llevar a la práctica

• La elección de n0 tiene efecto sobre el resultado final obtenido

sería necesaria una doble optimización(que habitualmente no se hace).

• Nótese que en caso de permitir que Lec ∞ se obtiene el filtro inverso.


Filtro de Wiener (FIR)• Una alternativa a la técnica anterior es la

versión FIR del filtro de Wiener.

donde ahora vamos a forzarhec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}

hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1

e intentar minimizar el criterio MSE = E{|e[n]|2}

hd[n] s[n] r[n]

hec[n]

w[n]

x[n]

d[n]

y[n] e[n]


Filtro de Wiener (FIR)• Buscamos determinar el valor de los Lec

coeficientes del filtro ecualizador hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]

que minimizan el MSE• Para ello lo más sencillo es resolver:

ecec

MSE0 k 0,1, ,L 1

h k

2*

ec ec ec

E e n E e n e nMSE

h k h k h k

* *

*

ec ec ec

e n e n e n e nE E e n e n

h k h k h k


Filtro FIR de Wiener• Teniendo en cuenta que

e[n] = d[n] – y[n]y dado que d[n] es independiente de los coeficientes del ecualizador

tenemos que:

mientras que el término

ec

d[n]0

h k

ecL 1

ecl 0ec ec ec

e[n] y[n]h l r n l r n k

h k h k h k

ec* L 1

* *ec

l 0ec ec ec

e [n] y*[n]h l r n l 0

h k h k h k


Filtro FIR de Wiener• Sustituyendo los resultados anteriores

y como e*[n] = d*[n]-y*[n] tenemos:

por lo que la condición se puede resumir en:

condición que debe satisfacerse para

*ec

ec

MSEE r n k e [n] 0 k 0,1, ,L 1

h k

* * * *E r n k d n y n 0 E r n k y n E r n k d n

* *yr dr yr drk k k k

ecL 1

yr rr ec ec rr drm 0

k k *h k h m k m k

eck 0,1, ,L 1


Filtro FIR de Wiener. Solución• Desarrollando la expresión

se obtiene:

hec[0]rr[0] + hec[1] rr[-1] + … + hec[Lec-1] rr[-Lec+1] = dr[0]

hec[0] rr[1] + hec[1] rr[0] + … + hec[Lec-1] rr[-Lec+2] = dr[1]

…hec[0] rr[Lec-1]+hec[1] rr[Lec-2]+ … +hec[Lec-1] rr[0]= dr[Lec-1]

cuya solución existe (en general ) y es única.

ecL 1

ec rr dr ecm 0

h m k m k k 0,1, ,L 1

Lec ecuaciones

Lec incógnitas


Filtro FIR de Wiener. Solución• Tenemos un sistema de Lec ecuaciones con Lec

incógnitas, que se puede expresar como:rrhec = dr

• El sistema de ecuaciones anteriores se conoce como ecuaciones de Wiener-Hopf y se suele resolver utilizando para ello el denominado algoritmo de Levinson-Durbin, que reduce el coste computacional al explotar la simetría de la matriz.

rr rr rr ec

rr rr rr ec

rr ec rr ec rr

0 1 L 1

1 0 L 2

L 1 L 2 0

ec

ec

ec ec

h 0

h 1

h L 1

dr

dr

dr ec

0

1

L 1

Lec filas x Lec columnas Lec filas Lec filas


Filtro FIR de Wiener. Solución• El valor de rr[m], dr[m] ya se obtuvieron

cuando se analizó el filtro de Wiener sin restricciones.

rr(z) = ss(z)Hd(z)Hd*(1/z*) + ww(z)

dr(z) = z-n0· Hd*(1/z*)·ss(z)

por tanto:rr[m] = ss[m]*rhdhd[m] + ww[m]

dr[m] = hd*[-m] * ss[m-n0]

que en el caso habitual de secuencia de símbolos blanca y ruido blanco se convierte en:

rr[m] = E{|s[n]|2} rhdhd[m] + N0/2[m]

dr[m] = hd*[-m+n0]· E{|s[n]|2}



hd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]

Símbolos transmitidos ±1 E{|s[n]|2} = 1

Eb/N0 = 5 dB = 3.16, n0 = 2

rr[m] = rhdhd[m] + 0.174

dr[m] = hd*[-m+2]

rhdhd[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.1[m]-0.27[m-1]-0.1[m-2]

rr[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.274[m]-0.27[m-1]-0.1[m-2]

dr[m] = δ[-m+2] – 0.3·δ[-m+1]-0.1·δ[-m]

2

b d 0n

E h n 1.1 N 0.348


Filtro FIR de Wiener. Ejemplo• Suponiendo que deseamos construir un

ecualizador de longitud Lec = 3 tendremos:

cuya solución es:

1.274 0.27 0.1

0.27 1.274 0.27

0.1 0.27 1.274

rrΓ

ec

ec

ec

h 0

h 1

h 2

ech

0.1

0.3

1

drγ

0.0356

0.0809

0.7650

ech


Conclusiones• La presencia de ISI limita enormemente las

prestaciones de los sistemas de transmisión digital.

• Posibles soluciones• Cambiar el detector MLSD

• Mejor solución posible teóricamente• Problemas de realizabilidad

• Mantener el detector y añadir un ecualizador• Solución subóptima, pero realizable• Posibilidades de diseño

• Fijos (adaptativos por bloques)• No restringidos (inverso, Wiener, Wiener causal)• Restringidos a una estructura de filtro transversal

(mínima distorsión de pico, filtro FIR Wiener)• Adaptativos


Referencias• Communication Systems, 3rd .ed.

• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.• Páginas 424 a 427 y 448 a 465.

• Digital Communications, 4th ed.• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2000.• Capítulo 10

• An Introducction to Digital Communications• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 1999.• Páginas 143 a 144, cap.10

• Digital Transmission Engineering• John B. Anderson, 1999.• Páginas 318-336

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