Tema 3 5to

Prof. Edwin Cueva

1

TEMA 3: LOGARITMOS

CONCEPTO

Se denomina logaritmo de un número real

positivo, al exponente a que se debe elevar una

base positiva y distinta de la unidad, para obtener

una potencia igual al número propuesto.

Entonces:

LogbN = N = b

DEFINICIÓN

= Logaritmo

R

b = base

b > 0 ; b 1

N = número al cual se le toma logaritmo.

N > 0

Ejemplos:

Log525 = 2 ; por que: 25 = 52

Log1/3

9 = -2 ; por que: 9 = (1/3)-2

Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

De la definición tenemos: = LogbN …………(1)

Tenemos que: b = N ………………(2)

Reemplazando: (1) en (2)

NbNb

Log Identidad Fundamental

x > 0 a R+ - {1}

Ejemplos:

1. 53 53Log

2. 98 9Log8

3. 5)1x( )12x(5Log

2

x R

decimalesaritmoslogllamansearitmoslogdetipoEste

10ogNLNogL

Ejemplos:

1. Log100 x10Log 210

102 = 10x

2. Log1000 x10Log 310

103 = 10x

NdenaturalaritmologcomoconocesearitmologdetipoEste

e NlogLnN

Ejemplos:

1. Ln e xeLoge e1 = ex , x = 1

2. Lne5 = 5

3. Lne6 = 6

Debemos saber:

Log2 0.3 Log10 = 1

Log3 0.47 Log5 0.69

Este sistema fue

implementado por

Briggs, cuya base es 10.

x = 2

x = 3

Este sistema fue

implementado por

Neper cuya base es e

2.718…

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2

PROPIEDADES

a) 01Logb

Ejemplo

Log31 = 0

b) 1bLogb

Ejemplo

Log33 = 1 ; log

55 = 1

c) Logxab = Log

xa + Log

xb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log10

6 = Log10

2 + Log10

3

= 0,3 + 0,47 = 0,77

d) Logx(a/b) = Log

xa - Log

xb (a, b, x R+

Ejemplo

Log10 2

3 = Log

103 - Log

102

= 0,47 - 0,3 = 0,17

e) NLogm

nNLog a

nma

(n R; m R; N > 0)

Propiedad del Sombrero

Ejemplo

1) 3Log3

23Log

52

35

2) 2Log4

32Log

33

43

3) 3Log23Log5

215

4) 2Log2

12Log

31

23

f) bLogaLog

1a

b

Propiedad Inversa

Ejemplo

1) 2Log3Log

13

2

2) 2Log6Log

16

2

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

g) bLog

aLogaLog

x

xb

Ejemplo 1

3Log8Log

3Log

85

5

Ejemplo 2

3Log3

5Log3

2

3Log

5Log

27Log

25Log

2

2

32

232

2

8

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3

5Log9

23

hh)) RReeggllaa ddee CCaaddeennaa

Logba . Log

cb . Log

dc = Log

da

Ejemplo

Log35 . Log

23 . Log

252 = Log

255 = 5Log 2

5

= 2

15Log

2

15

ii)) CCoollooggaarriittmmoo

Se define cologaritmo de un número al

logaritmo del inverso multiplicativo de dicho

número es decir:

CologbN = Log

b(1/N) = -Log

bN

Ejemplo

3Log3

13Log

3

1Log3logCo

31

332727

= 3

1

jj)) AAnnttiillooggaarriittmmoo

Nb

bNaritmologAnti

Ejemplo

Antilog38 = 38

Además:

Ejemplo 1

5553 133

Log53

Log

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

BBLLOOQQUUEE II

1. Determina los siguientes logaritmos.

a) Log10 =

b) Log2

3=

c) Log39 =

d) Log36 =

2. Aplicando la identidad fundamental

determinar el valor de las siguientes

expresiones:

a) 47Log

7 =

b) 5

4Log

43 =

c) 37Log3

7 =

d)

25

Log543 =

3. Determinar el valor de:

E = Log10 + Log1000 + 1

a) 3 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

4. Determinar el valor de:

A = Log104 + Logee5 + Ine

a) 1 b) 2 c) 5

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4

d) 3 e) 10

5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes

logaritmos:

a) Logx25 = 2

b) Logx36 = 2

c) Logx25 =

6. Hallar: “E ”

Si: 3Log2Log

6LogE

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

7. Indicar el valor de:

4

3Log

3

2Log

2

4LogA

222

a) 1 b) 2 c) 0

d) -1 e) 4

8. Si: Log2 = 0,3

Log3 = 0,4

Hallar el valor de: E = Log39 + Log

24 + Log6

a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7

d) 4,9 e) 5,3


a) Log327 =

b) 8Log2

=

c) 325

5Log =

d) 3Log3

=

10. Hallar “x” en:

35

Log5100Logx

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

BBLLOOQQUUEE IIII

1. Calcular:

9

1Log

3,0

a) 1 b) 2 c) 3

d) 0 e) 4

2. Si: L = Log2(Log

2256)

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. Simplificar:

243

32Log

81

50Log

16

75LogG

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Calcular: 12

3

3Log2Log

1E

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Reducir: (Log23 + Log

25) . Log

152

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Calcular: 2LogM64

7. Calcular: 3 2

33LogM


3

1Log27LogE

232/13

a) 4/3 b) 5/2 c) 1/2

d) 3/2 e) 4/5

9. Reducir: )Lne10Log(

3Log

3

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5

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

UUNNMMSSMM -- 8877

10. El valor de “x” en la ecuación:

1)8(Log3

1)16(Log

2

1)x(Log

es:

a) 18 b) 20 c) 10

d) 30 e) 25

11. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

a) 0,5 b) 1 c) -5

d) 2 e) -1/2

12. Calcular: 22LogLog816

a) -1/4 b) 4 c) -4

d) 1/2 e) -8

BBLLOOQQUUEE IIIIII

1. Calcular:

92

3Log

74

3Log

23

37Log

222

a) 4 b) 1 c) 2

d) 5 e) 0

2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):

I) LogN = (LogN

10)-1 ………………………….. ( )

II) Ln10 = 1 ………………………………………………. ( )

III) Logbb2 = 2 …………………………………………. ( )

3. Reducir:

1)32Log(3

4Log

816LogM

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/2

d) 2 e) 1

4. Luego de reducir:

aa

abb

baa bLogaLogR

Se obtiene:

a) bb-1 b) b1-a c) b1-b

d) aab e) aa-1

5. Calcular:

3

57Log

1

10

1Log

15J

a) 2 b) 1 c) -1

d) 8 e) 0

6. Calcular:

E = lne + lne2 + lne3 + …… + lnex+1

a) (x + 1)(x + 2) d) 1

b) 3

)3x)(1x( e)

2

)1x)(1x(

c) 2

)2x)(1x(

7. Calcular:

5

22Log50

5

1Log

32,03

4,0

a) 5/6 b) 1/3 c) 1/2

d) 1/6 e) 5/3

8. Reducir:

85

Log57Log

72

Log2

5Log

25LogA

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9. Si: Log35 = a; Log

32 = b

Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”

a) 2

ba b) 3 + a – b c)

3

ba

d) 3 – a – b e) a – b - 3

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6

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Calcular los siguientes logaritmos:

a) Log864 =

b) Log232 =

c) Log927 =

d) 2Log8

=

e) 3Log

3

1=

2. Hallar “x” en: 2xLog 225

a) 5 b) 125 c) 25

d) 1/5 e) 1

3. Reducir: 3Log3

1Log

22

a) 3 b) 9 c) 1

d) 32 e) 27

4. Reducir: 7

1Log

5

49Log5Log

777

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) 3

5. Hallar: “E”

3

1Log3LogE

99

a) 1 b) 2 c) 3

d) 9 e) 18

6. Reducir: 2

12Log3LogA

169

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) 0

7. Simplificar: 5

2Log

23

a) 81 b) 243 c) 9

d) 1/3 e) 36

8. Hallar “x” en: x88Log 4522

a) 1/8 b) 3/8 c) 16/5

d) 25/8 e) 8/25

9. Hallar “x” en: 53)2x(

3Log

a) 1 b) 3 c) 4

d) 7 e) 8

10. Calcular el logaritmo de 243 en base 27.

a) 5 b) 2 c) 3/2

d) 5/3 e) 2/5

11. Hallar: 9

3Log5

3Log

)3(E

a) 27 b) 45 c) 15

d) 25 e) 9

12. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es:

a) 0,025 b) 0,25 c) 5

d) -4 e) -2

13. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 6 y 5

14. Halle “x” de: 2010 )x2x(Log

a) 4 b) 3 c) 2

d) 5 e) 4 y 5

15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2

a) 1 b) 0 c) 3

d) -2 e) -3

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