COLEGIO LA INMACULADA MATEMÁTICA

Álgebra IV Bimestre Álgebra IV Bimestre

TEMA N° 2: FACTORIZACIÓN. FRACCIONES ALGEBRAICAS CAPACIDAD: RECONOCE EL CASO DE FACTORIZACIÓN QUE TIENE QUE APLICAR PARA CALCULAR VALORES

NUMÉRICOS O SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

FACTORIZAR

Esta nueva habilidad que practicaremos se sustenta en una propiedad de la

multiplicación que la recordamos a continuación.

La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición o

sustracción nos dice:

. . .a ab c ab c ó . . .a ab c ab c

Está propiedad tiene un significado de ida y vuelta lo que quiere decir que

también es cierto:

. . .b ca a ca b ó . . .b ca a ca b

Se entiende por factorización como la habilidad de transformar una expresión

algebraica donde sus elementos se encuentran relacionados con los signos + ó – en una

nueva operación la de multiplicación de ahí el nombre de FACTOR – IZACIÓN:

EJEMPLO: Factorizar el polinomio: 2xyz y z

i) Reconocemos que términos se repiten en cada monomio 2xyz y z

ii) Establecemos el factor común

x yz x yy yz

iii) La suma de monomios se convirtió en el producto de dos factores

(cambiamos suma por producto)

Factorización es el proceso que consiste en expresar un polinomio como el producto de

dos o más factores primos.

Observacón:

1) Se dice que un polinomio está sobre un campo cuando sus coeficientes

pertenecen a ese campo. Los conjuntos numéricos considerados como campo

son los re¿acionales ( ), los reales ( ) y los complejos ( ).

2) Todo polinomio que está sobre los racionales , está sobre los reales, porque

todo número racional es también un número real.

3) Todo polinomio que eatá sobre los reales, está también sobre los complejos ya

que los reales es un subconjunto de los complejos.

4) No todo polinomio que está sobre los reales está sobre los racionales.

CASOS DE FACTORIZACIÓN

A) FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN

- Factor común monomio (FCM)

- Factor común polinomio (FCP)

- Factor común por agrupación de términos

B) FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS

- Diferencia de cuadrados

- Suma de cubos

- Diferencia de cubos

C) FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

- Trinomio cuadrado perfecto (TCP)

- Trinomio de la forma 2 2x bx c y ax bx c

D) FACTORIZACIÓN POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN (quita y pon)

- Cuando el grado del polinomio es par

- Cuando el grado del polinomio es impar

E) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE DOS VARIABLES O EMPLEANDO ASPA

DOBLE.

F) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CON FACTORES x a O MÉTODO DE LOS

DIVISORES BINOMIOS.

Haremos un repaso breve de los tres primeros casos de factorización por haberse

trabajado anteriormente y concentraremos nuestra atención en los tres siguientes con

mayor profundidad.

Iniciamos presentando un conjunto ordenados de ejercicios para reforzar la técnica de

factorización de expresiones algebraicas.

BLOQUE I: Ejercicios de factorización por factor común.

1) Factorizar: 2 4 3 2 312 20a bc a b c

2) Factorizar: 3 2 6 4 5 2 3 5 814 21 35 56x y z xy z x yz x yz

3) Factorizar: 2 3x a b x a b a b

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4) Factorizar: 2 2mx my x y

5) Factorizar: 2x xy xz yz x y

6) Factorizar: 3 2 2 2 1m mn m n m

BLOQUE II: Ejercicios de factorización por factorización de binomios.

1) Factorizar: 2 81a

2) Factorizar: 2 2a b c

3) Factorizar: 2 4 9m p

4) Factorizar: 3 125n

5) Factorizar: 2 5x x

6) Factorizar: 3 3125

216x y z z

CONCLUSIÓN.

- Para factorizar una diferencia de cubos, se hallan las raíces cúbicas de

ambos términos.

BLOQUE III: Ejercicios de factorización por factorización de trinomios.

1) Factorizar: 24 28 49x x

2) Factorizar: 2 225 30 9z xz x

3) Factorizar: 236 12 1x x

4) Factorizar: 225 64 80n nx x

5) Factorizar: 2 24 20

259 3

x y xy

CONCLUSIÓN.

- Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el término central es el doble del

producto de las raíces de los términos cuadráticos.

TAREA WEB: Revisar el siguiente video para reforzar la idea trabajada en clase.

http://www.youtube.com/watch?v=2Wws2Utly40

BLOQUE IV: Ejercicios de profundización diversos de los tres métodos anteriores.

Reconocer que método aplicar en cada uno de los ejercicios.

1) Escribe V si la proposición es verdadera y F si es falso.

a) 24 16z es una diferencia de cuadrados. ( )

b) 5 3 3m n ab m n es una expresión factorización. ( )

c) La expresión 2 25 5y x x tiene dos factores. ( )

d) 2 5m es un factor primo del binomio

2 25x . ( )

e) El factor cuadrático de 38 27z es

22 3 9z z . ( )

2) Factorizar: 2 327 18 36m m mx x x

3) Factorizar: 4 2 4 84 28 49x x y y

4) El área de un terreno cuadrangular está representada por 4 2 2 2 26 9 4 12 4x x y y x z yz z . Escribe la expresión que representa

el lado el cuadrado.

5) Factorizar: 6 4 236 39 12x x m

6) Factorizar: 2 2 22 2 2mx p px nx m n

7) Analiza la siguiente situación y responde a las interrogantes que te propongo:

En una ficha práctica, se solicita la expresión factorizada del binomio:

4 625x , Javier resolvió así: 4 2 2625 25 25x x x

A) ¿Es correcta la igualdad?

B) ¿Por qué su Profesor lo calificó con la mitad del puntaje?

C) ¿Javier puede justificar su procedimiento?

D) ¿Cómo se podría formular la pregunta con mayor claridad?

7) Factorizar: 32 250a

8) Factorizar:

3

278

x

9) Factorizar: 3 0,008x

10) Factorizar: 3 3 2 28n p x x

11) Factorizar: 6 3m x

12) Factorizar: 3 9 3343a b b