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Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:

U = W

Tema 2: TEOREMAS ENERGÉTICOS

ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN

Trabajo externo y energía de deformación La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en el Principio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, We, coincide con laenergía de deformación que almacena dicho sistema, Ui. We = Ui

Trabajo de una fuerza exterior

δ

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas). Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: - donde se dijera fuerza se debería decir momento - donde se dijera desplazamiento se debería decir giro - donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.

ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN

ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos

Esfuerzos en barras: criterio de signos

Energía de deformación en una rebanada: una rebanada en una pieza prismática o barra, es un segmento de la pieza delimitado por dos secciones (normales a la directriz de la pieza) y separadas una distancia ds. La rebanada es el elemento más pequeño que se identifica en la barra.

z

x


DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL

z

x

x

x


DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR

z

x

M M

HIPÓTESIS DE NAVIER

X

tracción

compresión

Z

ZC

Z

ZA

ICGM

IAGM

−=

=

σ

σ

dsICGMds

EdsCD

dsI

AGMdsE

dsAB

Z

ZCCC

Z

ZAAA

===

===

σε

σε

´

´

2

2

dsEIM

CGCB

AGABd

Z

Zz

22===

θ

dsEIMd

Z

Zz =θ

dsEIMdMdU

Z

zzzi

2

21

21

== θ


DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE

z

x TY c

ym

my A

Tds

Gdsdu === ττγ donde

dsGAT

duTdUC

yyyi

2

21

21

==


DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR

z

x

MX

dsGIMd

GIM

dsd θ TT

00

=→== φφ torsión

dsGIMdMdU T

Ti0

2

21

21

== φdsdφθ =

dsdrrdds φγφγ =→=


¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?

dsGIM

EIM

GAT

EAN

UB

A

T

z

f

Ci ∫

+++=

0

2222

21

21

21

21

ds

A

B

La variable “s” del integrando indica que los esfuerzos pueden variar a lo largo de la pieza en función del valor de dicha variables s


Ejemplo: ¿Podríamos calcular los ya desplazamientos en elementos estructurales cargados?

Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales

•Trabajo de una fuerza

∫ ∫∫ =⋅==⇒⋅=2

1

2

1

2

1

cosA

A

A

A

A

A

drFrdFdWWrdFdW θ


• Trabajo de un par (momento)

∫ ∫∫ =⋅==2

1

2

1

2

1

A

A

A

A

MdrdFdWWθ

θ

θ

rMF

=

rMF

=

( )

θθθθ

θ

θθ

Mdrdr

MFrddrFdWdWdW

drFrdFdW

drFdsenrFFdrrdFdW

====+=

=⋅=

≈==⋅=

22

2

22

21

2

1

rd

rd


• Trabajo de un sistema de fuerzas: dado un sistema de fuerzas como el que se muestra en la figura, el trabajo desarrollado por un sistema de fuerzas aplicado sobre una partícula o cuerpo que sufre un desplazamiento es igual al trabajo de su resultante.

rdRrdF

rdFrdFrdF

dWdWdWdW

n

ii

n

n

⋅=⋅

=

=⋅++⋅+⋅=

=+++=

∑=1

21

21

...

...


• PTV para sólidos rígidos:

Una partícula, sistema de fuerzas, desplazamiento virtual rδ

00

...1

21

=→=

⋅=⋅

=⋅++⋅+⋅= ∑

=

WR

rRrFrFrFrFWn

iin

δ

δδδδδδ

“Si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre ella es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula”


• PTV para sólidos rígidos:

UN SÓLIDO RÍGIDO, sistema de fuerzas, movimiento virtual rδSi un sólido rígido está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas, el trabajo virtual total de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero para cualquier desplazamiento virtual del sólido” El principio de los trabajos virtuales es también aplicable a un sistema de sólidos rígidos unidos, si el sistema permanece unido durante el desplazamiento virtual, pues el trabajo de las fuerzas internas es cero.


• PTV para sólidos deformables:

Sistemas de barras y elementos unidimensionales

[ ][ ]εσ

uδ

desplazamientos virtuales deformaciones virtuales

δε

( )δ

δδδδδδ

δ

γτγτγτεσεσεσ

δδ

i

yzxzxyzy

U

dVol

dSupufdVolufW

V yzxzxyzyxx

V V

=

=+++++=

=⋅+⋅=

∫∫∫

∫∫∫∫∫ ΩΩ

( )

δδδδδ

δ δφδθδδδ

iUds

GIMM

EIM

MGAT

TEANN

dsMMuTuNuRuFW

LT

Tz

ff

C

L Tfyxi

n

iii

n

ii

=

+++=

=+++=∆⋅+⋅=

∫

∫∑∑==

0

11

Teoremas energéticos: Teorema de Castigliano

• Coeficientes de influencia: relación entre las fuerzas exteriores y las deformaciones • Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti: dij=dji

•Teoremas de Castigliano

ii

dFU

=∂∂

nn

FdU

=∂∂

Teoremas energéticos: Teorema de Castigliano

• Coeficientes de influencia: relación entre las fuerzas exteriores y las deformaciones • Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti: dij=dji

•Teoremas de Castigliano

ii

dFU

=∂∂

nn

FdU

=∂∂

estructuras

i

B

A i

TT

i

F

z

f

iCi

i

B

A

T

z

f

C

i

ddsF

MGIM

FM

EIM

FT

GAT

FN

EAN

F

dsGIM

EIM

GAT

EAN

FU

=

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂

∂=

=∂

+++∂

=∂∂

∫

∫

0

0

2222

21

21

21

21

Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse

( ) ( )

( ) ( )dsyyEIMdy

GATdx

EANyyuu

dsxxEIMdx

GATdy

EANxxvv

B

AB

B

A cABAAB

B

AB

B

A cABAAB

∫∫

∫∫

−−

++−−=

−+

−+−+=

θ

θ

X

X X

θA(XB-XA) UA

UA


X

( ) ( )

( ) ( )dsyyEIMdy

GATdx

EANyyuu

dsxxEIMdx

GATdy

EANxxvv

B

AB

B

A cABAAB

B

AB

B

A cABAAB

∫∫

∫∫

−−

++−−=

−+

−+−+=

θ

θ

X

dsEAN dy

EANsends

EAN

=⋅ α

dxEANds

EAN

=⋅ αcos


( ) ( )

( ) ( )dsyyEIMdy

GATdx

EANyyuu

dsxxEIMdx

GATdy

EANxxvv

B

AB

B

A cABAAB

B

AB

B

A cABAAB

∫∫

∫∫

−−

++−−=

−+

−+−+=

θ

θ

dyGATsends

GAT

cc

+=⋅−

− α)(

dxGATds

GAT

cc

−=⋅− αcos)( ds

GAT

c

X T

T

0<T


X

X XB

( )dsxxEIM

B−

( )dsyyEIM

B−

( ) ( )

( ) ( )dsyyEIMdy

GATdx

EANyyuu

dsxxEIMdx

GATdy

EANxxvv

B

AB

B

A cABAAB

B

AB

B

A cABAAB

∫∫

∫∫

−−

++−−=

−+

−+−+=

θ

θ


Teoremas energéticos: pieza recta con cargas en su plano

En Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplazamientos y giros debidos a los esfuerzos axil y cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzos sean nulos en la pieza.

X

( ) ( )

∫

∫∫

∫

+=

−+−−+=

+=

B

AAB

B

AB

B

A cABAAB

B

AAB

dxEANuu

dxxxEIMdx

GATxxvv

dxEIM

θ

θθ

Teoremas energéticos: pieza recta en su plano

En Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplazamientos y giros debidos a los esfuerzos axil y cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzos sean nulos en la pieza.

X

( ) ( )

∫

∫∫

∫

+=

−+−−+=

+=

B

AAB

B

AB

B

A cABAAB

B

AAB

dxEANuu

dxxxEIMdx

GATxxvv

dxEIM

θ

θθ

( ) ( )

AB

B

ABABAAB

B

AAB

uu

dxxxEIMxxvv

dxEIM

=

−+−+=

+=

∫

∫

θ

θθ

Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr

EIMdx

EIMdx

EIM AB

B

AAB

B

AAB ==−→+= ∫∫ θθθθ

1er Teorema de Mohr


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )BcdgdEI

MxxvvdxxxEIMxxvv

BcdgdEI

MtdxxxEIMt

ABABAABB

B

AABAAB

ABABB

B

AAB

,

,//

+−+=→−+−+=

=→−=

∫

∫

θθ

2o Teorema de Mohr

x

( )ABA xx −θ

xxdx B −


Piezas con puntos angulosos

DECDBCABEA θθθθθθ +++=−

??? Aθ



( ) ( ) ( ) ( )DE

DE

CD

CD

BC

BC

AB

ABEA

DECDBCABEA

EIM

EIM

EIM

EIM

+−−−=−

+++=−

θθ

θθθθθθ

??? Aθ

0


Piezas con puntos angulosos ??? Aδ

δ



δ

δ

δ



( ) ( ) ( ) ( ) )´,()´,()´,()´,( δδδδδ DEDE

DECD

CD

CDBC

BC

BCAB

AB

ABA gd

EIMgd

EIMgd

EIMgd

EIM

+−−−=



( ) ( ) ( ) ( ) )´,()´,()´,()´,( δδδδδ DEDE

DECD

CD

CDBC

BC

BCAB

AB

ABA gd

EIMgd

EIMgd

EIMgd

EIM

+−−−=

+=⋅−−

Piezas de directriz curva: ARCOS

N=- P cos θ T= P sen θ M=- PR cos θ

Piezas de directriz curva: ARCOS

LEYES DE ESFUERZOS

T

Teoremas energéticos: Cargas térmicas


( ) ( ) LTdsTTdsuA

B

A

BA ∆=∆=∆= ∫∫ αθαθα coscos

“El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección de la directriz de la viga en la dirección u”.

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