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Tema 2: Sistemas

Sistemas y Circuitos 1

© Francisco J. González, UC3M 2009 1

Tema 2: Sistemas


2.1 Introducción

Un sistema responde con unas determinadas señales a la acción de otras.

• Ejemplo − Tiempo continuo: sistema mecánico

Sistema general (orden 2)

( )y t

sistema

{ }•T{ })()( txTty =)(tx

)()()(2)( 20

202

2

txtydt

tdydt

tyd ωωα =++

2

2

( ) ( ) ( ) ( )d y t dy tM b ky t F tdt dt

+ + =

( )dy tbdt

Tema 2: Sistemas



2.1 IntroducciónUn sistema responde con unas determinadas señales a la acción de otras.

• Ejemplo − Tiempo discreto: Acumulador

sistema

{ }•T{ })()( txTty =)(tx

Acumulador

∑−∞=

n

k

kx ][][nx [ ] [ ]n

ky n x k

=−∞

= ∑

1

[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ]n

k

y n x k x n y n x n−

=−∞

= + = − +∑

][nx

Memoria

][ny

]1[ −nyRetardo


2.2 Interconexión de sistemasSerie

Paralelo

Sistema #1

{ }•1T)(tx Sistema #2

{ }•2TSistema #N

{ }•NT)(ty

{ }{ }{ }{ })()( 121 txTTTTty NN −=

Sistema #1

{ }•1T

)(txSistema #2

{ }•2T

Sistema #N

{ }•NT

{ } { } { })()()()( 21 txTtxTtxTty N+++=

Tema 2: Sistemas



2.2 Interconexión de sistemas

Serie/Paralelo

Sistemas realimentados

• Ejemplo

Sistema #1{ }•1T

)(txSistema #3

{ }•3T

Sistema #N{ }•NT

)(ty

Sistema #2{ }•2T

Sistema #1{ }•1T

)(tx Sistema #2{ }•2T

Sistema #3

)(ty

{ }•3T{ })(3 tyT


2.3 Propiedades de los sistemasSistemas sin/con memoria• Sin memoria: la salida, para cada instante de tiempo (valor de

la variable independiente) depende ÚNICAMENTE de la entrada en ese mismo instante de tiempo− Ejemplos:

• Con memoria:

[ ]nnx][][ nnxny =][nx

)(tx)()( txty =)(tx

Acumulador

∑−∞=

n

k

kx ][][ny][nx ][nx

Memoria

][ny

]1[ −nyRetardo

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2.3 Propiedades de los sistemas

Invertibilidad• Diversas definiciones

− “Un sistema es invertible si al observar la salida se puede determinar entrada”

− “... cuando distintas entradas conducen a distintas salidas”• Si un sistema es invertible, existe un sistema –que

denominaremos inverso- tal que conectado en serie produce el sistema identidad.

Sistema #1

{ }T •)(tx Sistema

inverso{ }INVT •

( )z t( )y t

{ }{ }( ) ( ) ( )INVz t T T x t x t= ≡



Invertibilidad• Ejemplos

−

−

Sistema

{ }T •)(tx Sistema

inverso{ }INVT •

( )z t( )y t

{ }{ }( ) ( ) ( )INVz t T T x t x t= ≡( )[ ] cos [ ]y n x n=

[ ] y [ ] 2 producen la misma salidax n x n π+

[ ] [ ]n

k

y n x k=−∞

= ∑

][nx

Memoria

[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +

]1[ −nyRetardo

[ ] [ ] [ 1]x n y n y n= − −

MemoriaRetardo

][nx

]1[ −ny

[ ]y n

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Causalidad• Un sistema es causal –también denominado “físicamente

realizable”- cuando la salida en un instante de tiempo t0depende ÚNICAMENTE de valores de la entrada en t ≤ t0

• Ejemplos

Sistemacausal

)(tx 0 0( ) ( ( )), 0y t f x t t t= − ≥

[ ]x n ( )[ ] [ ], [ 1], [ 2],y n f x n x n x n= − − …

)(tx ( 2)x t + ( )y t

t0

1)(tx

t0

( )y t

2−

(0) (2)y x=

Sistema NO causal

)(tx ( ) ( 2)x t x t− − ( )y t

t0

1)(tx

t0

( )y t

2

Sistema causal



Estabilidad• Distintas definiciones

− Intuitiva: Sistema que responde con señales acotadas ante entradas acotadas (Bounded Input Bounded Output).

Sistemaestable

)(tx ( )y t

[ ]x n [ ]y n

)(tx [ ]exp ( )x t ( )y t

t0

1

)(tx

t0

( )y te

Sistema estable

Sistema estable ( ), ( )

( )

x

y

x t x t K

y t K

⇒∀ ≤ <∞

⇓

≤ < ∞

][nx

Memoria

[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +

]1[ −nyRetardo

Sistema NO estable

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Estabilidad

• Punto de partida

− ¿Se puede encontrar una cota superior (menor que ∞) a la salida?


][nx

Memoria

[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +

]1[ −nyRetardo

Sistema NO estable

)(tx [ ]exp ( )x t ( )y t

t0

1

)(tx

t0

( )y te

Sistema estable

desigualdad de Schwartz

[ ] [ ] [ ]n n n

xk k k

y n x k x k K=−∞ =−∞ =−∞

= ≤ ≤ = ∞∑ ∑ ∑

[ ] xx n K≤ < ∞

( )( )( ) xx t Kx tyy t e e e K= ≤ ≤ = < ∞

( ) xx t K≤ <∞



Invarianza temporal• Un sistema es invariante con el tiempo si responde ante una

entrada desplazada con una salida igualmente desplazada.

• Interpretación: la respuesta del sistema ante una señal de entrada es independiente del instante en el que ésta se aplica.

Sistemainvariante

)(tx ( )y t

t0

1

t0

0( )x t t−

t0t

1

0

0( )y t t−

t0 0t

Tema 2: Sistemas




Invarianza temporal• ¿Cómo reconocer si un sistema es invariante?

1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)

SI: InvarianteNO: Variante con el tiempo

Sistema

1( )x t

t0

1 1( )y t

t0

2 1 0( ) ( )x t x t t= −

t0t

1

0

2( )y t

t0 0t

2 1 0¿ ( ) ( )?y t y t t= −



Invarianza temporal1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)

Ejemplo: [ ] [2 ]y n x n=

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2.3 Propiedades de los sistemasInvarianza temporal


Ejemplo:

[ ] [ ]n

ky n x k

=−∞

= ∑




Ejemplo: 0

[ ] [ ]n

ky n x k

=

= ∑

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Ejemplo: [ ] [ ]y n nx n=




Ejemplo: [ ] [ ] [ ]y n x n u n=

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Linealidad• Cualidad que define a sistemas que poseen la propiedad de

superposición

− Principio de superposición

Aditividad

Escalado

• Consecuencia intuitiva de la propiedad de escalado− La respuesta de un sistema lineal ante una entrada idénticamente nula

es una salida idénticamente nula.

Sistema1( )x t { }1 1( ) ( )y t T x t=

2 ( )x t { }•T { }2 2( ) ( )y t T x t=

{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x t+ = +

{ } { }1 1( ) ( )T x t T x tα α=

{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x tα β α β+ = +


2.4 Sistemas LIT

SLIT: Sistemas Lineales e Invariantes con el TiempoLinealidad• Supongamos que la señal x(t) se puede expresar como una

combinación lineal de señales más simples ( xi(t) ) y que, ante estas entradas, es fácilmente calculable la salida de un sistema (yi(t) ).

− Entonces, la salida y(t) es:

• Aplicación: − Si conocemos la respuesta de un sistema lineal ante señales básicas

(impulsos, escalones, exponenciales complejas), también conoceremos su respuesta ante combinaciones lineales de esas señales

Ejemplo: señales periódicas.

Sistemalineal

1 1( ) ( ) ( )N Nx t a x t a x t= + +

{ }•T

1 1( ) ( ) ( )N Ny t a y t a y t= + +

Tema 2: Sistemas



2.4 Sistemas LIT

Tiempo discreto• Propiedad: Cualquier señal definida sobre tiempo discreto

puede representarse como una suma de impulsos escalados y desplazados

0]3[]3[ −nx δn21-1 3

0]2[]2[ −nx δ

n2

1-1 3

0]1[]1[ −nx δ

n21-1 3

0][]0[ nx δ

n21-1 3

=0

][nx

n2

1-1 3

][][][ knkxnxk

−=∑∞

−∞=

δ


2.4 Sistemas LIT

Tiempo continuo• Cualquier señal definida sobre tiempo continuo puede

representarse como una integral (suma) de impulsos escalados y desplazados

t0

( )x t

kε

( ) ( )x k t kεε δ ε ε−

( 1)k ε+

( ) ( ) ( )k

x t x k t kεε δ ε ε∞

=−∞

= −∑

)()()( txdtx =−∫∞

∞−

ττδτ

Variable integración

Variable independiente

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2.4 Sistemas LIT

Linealidad

• Si conocemos la respuesta de un Sistema lineal ante δ(t-τ) (óδ[n-k]) podremos conocer la respuesta ante cualquier entrada x(t) (ó x[n])

=0

][nx

n2

1-1 3

][][][ knkxnxk

−=∑∞

−∞=

δ

[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]x n x n x nδ δ δ+ − + + + − +

t0

)(τx

( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞

−∞= −∫

Combinación lineal de δ

τ

)( τδ −t

Señal (depende de t)

coeficiente (no depende de t)


2.4 Sistemas LIT

Linealidad

• Si conocemos la respuesta de un Sistema lineal ante δ(t-τ) (óδ[n-k]) podremos conocer la respuesta ante cualquier entrada x(t) (ó x[n])

][][][ knkxnxk

−=∑∞

−∞=

δ

( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞

−∞= −∫

Sistemalineal

[ ]n kδ −

{ }•T

{ }[ ] [ ]kh n T n kδ= −

( )tδ τ− { }( ) ( )h t T tτ δ τ= −

[ ] [ ] [ ]kk

y n x k h n∞

=−∞

= ∑

( ) ( ) ( )y t x h t dττ τ∞

−∞= ∫

Tema 2: Sistemas



Respuesta al impulso de un canal multitrayecto

( )

1( ; ) ( ; ) ( ( ))

N t

i ii

h t r t t tτ τ δ τ=

= −∑

Dispersión temporal Varianza Temporal

|hτ(t

)|2

t

τ


2.4 Sistemas LIT

Invarianza Temporal

• Conclusión: Si el sistema es lineal e invariante con el tiemponos basta conocer la respuesta al impulso unitario para calcular la respuesta a cualquier entrada arbitraria.

SistemaLineal

Invarianteen el Tiempo

Sistemainvariante

( )tδ ( )h t

0( )t tδ − 0( )h t t−t0

1

t0

t0t

1

0 t0 0t

( )tδ ( )h t

Tema 2: Sistemas



2.4 Sistemas LIT

Linealidad e Invarianza Temporal• Tiempo continuo

( )tδ ( )h t

t0

1

t0SistemaLineal


( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞

−∞= −∫

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ∞

−∞= −∫

0( )t tδ − 0( )h t t−

t0t

1

0 t0 0t

( ) ( )* ( )y t x t h t=Convolución:t0

)(τx

τ

)( τδ −t

( )h t


2.4 Sistemas LIT

Linealidad e Invarianza Temporal• Tiempo discreto

[ ]nδ

n0

1

SistemaLineal


[ ]n kδ −

nk

1

0

Convolución:

0

][nx

n2

1-1 3

][][][ knkxnxk

−=∑∞

−∞=

δ

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

[ ]h n

0 k n-1-2

1α

α2α

α2

[ ]h n k−

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k∞

=−∞

= −∑

[ ] [ ]* [ ]y n x n h n=

[ ]h n

Tema 2: Sistemas



2.5 Convolución

Propiedades de la convolución• Conmutativa:

[ ]* [ ] [ ] [ ]k

x n y n x k y n k∞

=−∞

= −∑

( )* ( ) ( ) ( )x t y t x y t dτ τ τ∞

−∞= −∫

( )* ( ) ( )* ( )x t y t y t x t=

( )( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

td d

x t y t x y t d x t y d y t x t

τ στ σ

τ τ τ σ σ στ στ σ

∞ −∞

−∞ ∞

− ==−

= − = = − − ==−∞→ =∞=∞→ =−∞

∫ ∫

[ ]* [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* [ ]k l

n k lx n y n x k y n k k l x n k y l y n x n

k l

∞ −∞

=−∞ =∞

− == − = =−∞→ =∞ = − =

=∞→ =−∞∑ ∑


Propiedades de la convolución• Asociativa:

− Consecuencia: Interconexión de Sistemas LIT en serie

− Si ahora tenemos en cuenta la conmutatividad

2.5 Convolución

( ) ( )[ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ] * [ ]x n y n z n x n y n z n=

1[ ]h n[ ]x n

2[ ]h n [ ]y n[ ]w n

( ) ( )1 2 1 2[ ] [ ]* [ ] * [ ] [ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ]eqy n x n h n h n x n h n h n x n h n= = =

1 2[ ]* [ ]h n h n[ ]x n [ ]y n

1 2 2 1[ ]* [ ] [ ]* [ ]h n h n h n h n=

( ) ( )1 2 2 1[ ] [ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ] * [ ]y n x n h n h n x n h n h n= =

2[ ]h n[ ]x n

1[ ]h n [ ]y n[ ]z n

Equ

i val

enci

a

Tema 2: Sistemas



Propiedades de la convolución• Distributiva respecto a la suma:

− Consecuencia: Interconexión de Sistemas LIT en paralelo

2.5 Convolución

( ) ( ) ( )[ ]* [ ] [ ] [ ]* [ ] [ ]* [ ]x n y n z n x n y n x n z n+ = +

Sistema #1

1 ( )h t

)(txSistema #2

2 ( )h t

Sistema #N( )Nh t

( )y t Sistema Equiv.

1( ) ( )Nh t h t+)(tx ( )y t


Propiedades de la convolución• Elemento neutro:

− Es una señal y(t) que al convolucionarla con x(t) produce como resultado la misma señal x(t).

− Como ...

− El elemento neutro de la convolución es la función δ(t)

2.5 Convolución

( )* ( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d x tτ τ τ∞

−∞= − =∫

( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞

−∞= −∫

t0

)(τx

τ

)( τδ −t

( )* ( ) ( ); [ ]* [ ] [ ]x t t x t x n n x nδ δ= =

Tema 2: Sistemas



Propiedades de la convolución• Elemento neutro:

2.5 Convolución

0 0

0 0

( )* ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t t t x t t d

x t t d x t t

δ τ δ τ τ

σ δ σ σ

∞

−∞

∞

−∞

− = − −

= − − = −

∫∫

t00t

0( )t tδ −( )x t

t0

0( )x t t−

t0 0t


Hemos representado los SLIT en términos de su respuesta impulsional.

• Por tanto, se pueden conocer las propiedades de un sistema (memoria, causalidad, ...) analizando su respuesta impulsional.

2.6 Propiedades de los SLIT

SistemaLineal


[ ]h n

SistemaLineal


( )h t

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k∞

=−∞

= −∑[ ]x n

( )x t ( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ∞

−∞= −∫

Tema 2: Sistemas



2.6 Propiedades de los SLITSistemas LIT sin/con memoria• Sin memoria: la salida, para cada instante de tiempo (valor de

la variable independiente) depende ÚNICAMENTE de la entrada en ese mismo instante de tiempo.− Sistema Lineal Invariante en el Tiempo:

− Sistema SIN memoria

− Sistema LIT sin Memoria:

[ ]h n][nx [ ] [ ] [ ]

[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]k

y n h k x n k

h x n h x n h x n

∞

=−∞

= −

= + − + + + − +

∑

[ ]h n][nx ( )[ ] [ ] [ 1] [1] [ 2] 0y n f x n h h h= ⇒ − = = − = =

1[ ] [ ]h n C nδ=

n0

1C 2( ) ( )h t C tδ=

t0

2C


2.6 Propiedades de los SLIT

Sistemas LIT causales• Un sistema es causal cuando la salida en un instante de tiempo t0

depende ÚNICAMENTE de valores de la entrada en t ≤ t0− Sistema causal

− Sistema Lineal Invariante en el Tiempo:

− Sistema LIT causal: h(t)=0, t<0 (h[n]=0, n<0)

[ ]h n][nx ( )[ ] [ ], [ 1], [ 2],y n f x n x n x n= − − …

0 1 2 n-1

1

αα2

[ ]h n ( )h t

t0

[ ]h n][nx [ ] [ ] [ ]

[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]

ky n h k x n k

h x n h x n h x n

∞

=−∞

= −

= + − + + + − +

∑

Tema 2: Sistemas



2.6 Propiedades de los SLITSistemas LIT causales

][nx0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n

k k

y n h k x n k x k h n k∞

= =−∞

= − = −∑ ∑0 1 2 n-1

1

αα2

[ ]h n

( )h t

t0

Utilizamos valores de la señal de entrada previos al instante en el que

se calcula la salida (n)

( )x t ( ) 0, 0( ) ( ) ( )

( ) 0,

( ) ( )t

h t ty t x h t d

h t t

x h t d

τ τ ττ τ

τ τ τ

∞

−∞

−∞

= <= − =

− = >

= −

∫

∫Utilizamos valores de la señal de entrada previos al instante

en el que se calcula la salida (t)


2.6 Propiedades de los SLITCausalidad

][nx[ ]y n

0 1 2 n-1

1

αα2

[ ]h n

( )h t

t0

( )x t ( )y t

Causal

Anticausal

0

[ ]h n

n2

1-1 3

][nx[ ]y n No causal

Tema 2: Sistemas



2.6 Propiedades de los SLITEstabilidad• Tiempo discreto

−

− Estabilidad en SLIT

− Los SLIT estables tienen una respuesta impulsional sumable en valor absoluto.

][nx [ ] [ ]* [ ]y n x n h n=[ ]h n

Sistema estable [ ], [ ] [ ]X Yx n x n K y n K⇒∀ ≤ <∞⇒ ≤ <∞

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n h k x n k y n h k x n k∞ ∞

=−∞ =−∞

= − ⇒ = −∑ ∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Xk k k

h k x n k h k x n k K h k∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

− ≤ − ≤∑ ∑ ∑

Si [ ] [ ] [ ]Y Xk k

h k y n K K h k∞ ∞

=−∞ =−∞

< ∞⇒ ≤ =∑ ∑


2.6 Propiedades de los SLITEstabilidad• Tiempo continuo

−

− Estabilidad en SLIT

− Los SLIT estables tienen una respuesta impulsional integrable en valor absoluto.

( )x t ( ) ( )* ( )y t x t h t=( )h t

Sistema estable ( ), ( ) ( )X Yx t x t K y t K⇒∀ ≤ <∞⇒ ≤ <∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d y t x t h dτ τ τ τ τ τ∞ ∞

−∞ −∞= − ⇒ = −∫ ∫

Si ( ) ( ) ( )Y Xh d y t K K h dτ τ τ τ∞ ∞

−∞ −∞≤ ∞⇒ ≤ =∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d x t h dτ τ τ τ τ τ∞ ∞

−∞ −∞= − ≤ −∫ ∫

Tema 2: Sistemas



2.6 Propiedades de los SLITInvertibilidad• Consideremos un sistema LIT y su inverso:

• El sistema inverso ...− ¿es lineal?− ¿es invariante?

( )x t ( )y t( )h t ( )x t( )y t Sistemainverso

( )x t( )y t

( )h t ( )x tINV ( )h t

( ) ( )INV INV

Elemento neutro

( )* ( ) * ( ) ( )* ( )* ( ) ( )x t h t h t x t h t h t x t= =

INV( )* ( ) ( )h t h t tδ=


2.6 Propiedades de los SLITInvertibilidad• Ejemplo:

− Como

[ ]x n [ ]y n[ ]u n [ ]x n[ ]y n Sistemainverso

[ ] [ ] [ 1]n u n u nδ = − − ⇒

0 1 2 n-1-2

1][nu

]1[ −− nu-1

INV[ ]* [ ] [ ]u n h n nδ=

INV[ ] [ ] [ 1]h n n nδ δ= − −

[ ]u nn0 1 2-1-2

1

-1

INV[ ] [ ] [ 1]h n n nδ δ= − −

Tema 2: Sistemas



2.7 Respuesta al escalónPara calcular la salida y las propiedades de un SLIT necesitamos conocer su respuesta impulsional• Tiempo discreto: no hay problema

• Tiempo continuo: ¿cómo generar δ(t)?− Solución: utilizar la respuesta al escalón (fácilmente generable)

− Relaciones entre respuesta impulsional y respuesta al escalón

[ ]nδ [ ]h nSistemaLIT

( )tδ ( )h tSistemaLIT( )u t ( ) ( )* ( ) ( )

ts t u t h t h dτ τ

−∞= = ∫

( ) ( )t

s t h dτ τ−∞

= ∫( )( ) ( ) ds th t s t

dt′= =

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