Tema 2. Probabilidad -...

Estadística y metodología de la investigaciónCurso 2012-2013

Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro

Tema 2. Probabilidad

1. Introducción 1

2. Experimento aleatorio. Sucesos y espacio muestral 2

3. Operaciones con sucesos 2

3.1. Suceso complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Unión de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3. Intersección de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3.1. Sucesos incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4. Suceso diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.5. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.6. Conjunto exhaustivo. Conjunto completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Asignación de probabilidad 6

4.1. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2. Sucesos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Resultados importantes 9

5.1. Teorema de las Probabilidades Totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Aplicaciones en Ciencias de la Salud 10

6.1. Frecuencia de una enfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2. Validez de pruebas diagnósticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 IntroducciónEn este tema estudiaremos los conceptos fundamentales de la Teoría de la Probabilidad, ilustrándolos desde laperspectiva de la Teoría de Conjuntos. Comenzaremos describiendo datos obtenidos de experimentos aleatorios,que son aquellos en los que interviene el azar, y analizando los sucesos que pueden surgir, a través de operacionesbásicas como la unión o la intersección.

El principal objetivo de un experimento aleatorio suele ser determinar con qué probabilidad ocurre cada uno delos sucesos que lo forman. Las leyes de probabilidad que veremos son fundamentales en el campo de ciencias dela salud, en la evaluación de pruebas diagnósticas. Ya que las pruebas diagnósticas no son infalibles es importanteconocer probabilidad de la presencia o ausencia de una enfermedad en un paciente a partir de los resultados(positivos o negativos) de pruebas o de los síntomas (presentes o ausentes) que se manifiestan.

Trabajaremos en este capítulo con el siguiente ejemplo, que nos servirá para entender los conceptos y resultadosque presentaremos a lo largo del tema.

1

Estadística y metodología de la investigación. Grado en Enfermería Tema 2

Ejemplo 1: Se considera una familia formada por una madre, un padre y dos hijos y se definen los siguientessucesos:

A1 ={la madre tiene la enfermedad E}

A2 ={el padre tiene la enfermedad E}

A3 ={el primer hijo tiene la enfermedad E}

A4 ={el segundo hijo tiene la enfermedad E}

B ={al menos un hijo tiene la enfermedad E}

C ={al menos uno de los padres tiene la enfermedad E}

D ={al menos un miembro de la familia tiene la enfermedad E}

2 Experimento aleatorio. Sucesos y espacio muestralDebemos distinguir entre experimentos deterministas, en los que existe una relación de causa-efecto, y experimentosaleatorios.

Experimento aleatorio: es aquel experimento que, repetido sucesivas veces en condiciones idénticas, produceresultados diferentes e imprevisibles.

Experimento determinista: es aquel experimento que repetido sucesivamente en condiciones idénticas siem-pre produce los mismos resultados. Un experimento determinista puede volverse aleatorio si se introduceun error asociado (por ejemplo, un error de medida).

Para el estudio de los experimentos aleatorios, debemos definir el concepto de espacio muestral y de suceso.

Suceso elemental: es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los sucesos elementales. Se denotará por Ω.

Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. En particular, Ω se denomina suceso seguro,mientras que ∅ (el conjunto vacío) es el suceso imposible.

Al conjunto formado por todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio lo denotamos por A.

3 Operaciones con sucesosA partir de los sucesos elementales de un experimento, se pueden definir otros sucesos derivados a través delsuceso complementario, la unión o la intersección de sucesos.

3.1 Suceso complementarioSea un suceso A ∈ A. El sucesos complementario de A es el que ocurre cuando no ocurre A y se denota porA = Ω − A. En la Figura 1, el suceso A está señalado en color verde, mientras que A es el conjunto de rayas.

En el ejemplo, el complementario de A1 se denota por A1 y significa que la madre no tiene la enfermedad E.Del mismo modo, A2 indica que el padre no tiene la enfermedad E.

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Figura 1: Suceso complementario.

3.2 Unión de sucesosConsideremos A, B ∈ A dos sucesos. El suceso unión se denota por A ∪ B y es lo que ocurre cuando sucede A

o sucede B.

La unión de sucesos es conmutativa (A ∪ B = B ∪ A). Además, si consideramos ∅, el suceso imposible, tenemosA ∪ ∅ = A. Además, A ∪ A = Ω. La unión de los sucesos A y B está representada en la Figura 2.

Figura 2: Unión e Intersección de sucesos.

3.3 Intersección de sucesosSean A, B ∈ A dos sucesos. El suceso intersección se denota como A ∩ B, y es lo que ocurre cuando sucede A

y también sucede B.

La intersección de sucesos es conmutativa (A ∩ B = B ∩ A). Si consideramos el suceso seguro Ω, tenemos queA ∩ Ω = A. Además, A ∩ A = ∅. La intersección de A y B la representamos en la Figura 2.

En el ejemplo. ¿qué significa A1 ∪ A2? ¿y qué significa A1 ∩ A2? A1 ∪ A2 es la unión de los sucesos A1 (lamadre tiene la enfermedad E) y A2 (el padre tiene la enfermedad E). Por tanto A1 ∪ A2 es el suceso en que elpadre o la madre (o ambos) padecen la enfermedad E. También se podría enunciar como:

A1 ∪ A2 = {al menos uno de los padres tiene la enfermedad E}



A1 ∩ A2 es la intersección de A1 con A2 y representa la situación en que los dos sucesos se dan a la vez:

A1 ∩ A2 = {el padre y la madre tienen la enfermedad E}

¿Qué significan A3∪B y A3∩B? En este caso, debemos tener en cuenta que A3 ⊂ B. Es decir, A3 está contenidoen B, ya que el suceso en que el primer hijo tiene la enfermedad E es un caso particular de B: al menos un hijotiene la enfermedad E. Por tanto: A3 ∪ B = B y A3 ∩ B = A3.

3.3.1 Sucesos incompatibles

Sean A, B ∈ A dos sucesos. Se dice que son incompatibles si A ∩ B = ∅. Un ejemplo de sucesos incompatiblesse representa en la Figura 3.

En el ejemplo que hemos planteado, ¿son A3 y A4 incompatibles? Sabemos que dos sucesos son incompatiblescuando su intersección es vacía, o equivalentemente, cuando no pueden darse a la vez. En el caso de los sucesosA3 y A4, la intersección es posible, dado que puede haber familias donde el primer hijo y el segundo hijo tenganla enfermedad E.

3.4 Suceso diferenciaSean A, B ∈ A dos sucesos. El suceso diferencia se define como el que ocurre si sucede A y no sucede B y sedenota por A\B = A ∩ B. En la Figura 3 se representa el suceso diferencia entre A y B. Se puede observar queel suceso complementario se define como la diferencia Ω\A.

Figura 3: Diferencia de sucesos y sucesos incompatibles.

3.5 Leyes de De MorganLas Leyes de De Morgan (Augustus De Morgan, 1806-1871) permiten intercambiar la unión y la intersección através del complementario, y serán útiles en el cálculo de probabilidades de sucesos.

1. Primera Ley de De Morgan (Figura 4):

A ∪ B = A ∩ B, para A, B ∈ A.



2. Segunda Ley de De Morgan (Figura 5):

A ∩ B = A ∪ B, para A, B ∈ A.

Figura 4: Primera Ley de De Morgan: complementario de la unión como intersección de complementarios.

Figura 5: Segunda Ley de De Morgan: complementario de la intersección como unión de complementarios.

Sobre el ejemplo, se pueden hacer distintas representaciones de los sucesos, escribiendo unos en función deotros. Por ejemplo, para expresar C en términos de A1, A2, A3 y A4, el suceso C (al menos uno de los padrestiene la enfermedad E), podemos escribirlo como C = A1 ∪ A2, como se ha visto en la interpretación de la unión.Por otro lado, el suceso D (al menos un miembro de la familia tiene la enfermedad E) se puede escribir comola unión de B (al menos un hijo tiene la enfermedad E) y C (al menos uno de los padres tiene la enfermedadE): D = B ∪ C . Para el complementario de B tendríamos que, como D = B ∪ C , al igual que en el apartadoanterior, por las leyes de Morgan: D = B ∩ C .

3.6 Conjunto exhaustivo. Conjunto completoPara la aplicación de los resultados que introduciremos en las siguientes secciones, es importante considerar dostipos de conjuntos de sucesos: los conjuntos exhaustivos y, dentro de estos, los conjuntos completos.

Conjunto exhaustivo de sucesos: un conjunto de sucesos {A1, . . . , An : Ai ∈ A} es un conjunto exhaustivode sucesos si ∪n

i=1Ai = Ω, es decir, si su unión cubre el espacio muestral.



Conjunto completo de sucesos: un conjunto de sucesos {A1, . . . , An : Ai ∈ A} es completo si es exhaustivoy además Ai ∩ Aj = ∅, para todo i = j . En la Figura 8, los conjuntos {A1, A2, A3, A4} son un conjuntoexhaustivo, que además es completo, ya que sus intersecciones son vacías.

4 Asignación de probabilidadEn el estudio de experimentos aleatorios no es sólo importante conocer los posibles resultados sino también sabercon qué probabilidad ocurre cada uno de ellos. Es por ello que, una vez definidos los posibles sucesos se les debeasignar una probabilidad. En este curso, introduciremos la definición frecuentista y la asignación de Laplace, queserán las que consideraremos desde el punto de vista práctico.

Probabilidad. Definición de Laplace (método clásico). Supongamos que Ω tiene un número finito de sucesosy que todos los sucesos ω ∈ Ω tienen la misma probabilidad. La probabilidad del suceso A, que denotaremospor P(A), se calcula como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

Probabilidad. Definición frecuentista. Si repetimos n veces un experimento aleatorio y nA es el número deveces que ocurre el suceso A, la frecuencia relativa de este suceso se define como f r(A) = nA/n, donde0 ≤ fr(A) ≤ 1. Al hacer n grande, esta frecuencia se estabiliza, y se define la probabilidad del suceso A

como el límite de las frecuencias.

Además, se verifican las siguientes propiedades:

La probabilidad del vacío es nula: P(∅) = 0

La probabilidad del complementario se obtiene como: P(A) = 1 − P(A)

Para dos sucesos cualesquiera, la probabilidad de la unión es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Continuando con el ejemplo, supongamos que en un 10 % de las familias de una determinada población, lamadre tiene la enfermedad E y también en un 10 % de las familias el padre padece dicha enfermedad. El padrey la madre tienen la enfermedad en un 2 % de las familias.

4.1 Probabilidad condicionadaLa probabilidad de un suceso A condicionada a un suceso B es la probilidad de que ocurra A sabiendo que B

sí ha ocurrido. Esta situación se puede ilustrar en experimentos aleatorios que se realizan en dos o más fases:sabiendo lo sucedido en una de las fases, la probabilidad de los sucesos en la otra fase es una probabilidadcondicionada.Sean A, B ∈ A dos sucesos con P(B) > 0. Formalmente, se define la probabilidad del suceso A condicionada alsuceso B como:

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

Si B = Ω, lo que tendremos es P(A|Ω) = P(A ∩ Ω)P(Ω) = P(A), ya que P(Ω) = 1.

En la Figura 6, podemos ver que la probabilidad condicionada va a depender de la intersección entre los sucesosA y B. Así, en el primer gráfico vemos que la ocurrencia de B no aporta información sobre el suceso A, pero estainformación va en aumento cuanto mayor es la intersección entre ambos sucesos, P(A ∩ B).



Figura 6: Probabilidad condicionada (I).

Sin embargo, en la Figura 7, podemos ver que se hace necesario tener en cuenta también la probabilidad delsuceso que condiciona P(B), ya que aunque la intersección es la misma, en el segundo estamos considerando unsuceso B más probable.

Figura 7: Probabilidad condicionada (II).

Como aplicación de la probabilidad condicionada, podemos calcular cuál es la probabilidad de que el padretenga la enfermedad E si la madre la padece.

Observa que el espacio muestral se reduce ahora a las familias donde la madre padece E. Debemos calcular la



siguiente probabilidad condicionada:

P(A2|A1) = P(A2 ∩ A1)P(A1) = P(A1 ∩ A2)

P(A1) = 0′020′1 = 0′2.

En un 20 % de las familias donde la madre sufre la enfermedad E, también el padre la sufre.

¿Cuál es la probabilidad de que el padre tenga la enfermedad E si la madre no la tiene? Partimos en estecaso de que la madre no padece la enfermedad E. Debemos calcular la siguiente probabilidad condicionada:

P(A2|A1) = P(A2 ∩ A1)P(A1)

, (1)

donde P(A1) = 1 − P(A1) = 1 − 0′1 = 0′9 y P(A2 ∩ A1) la podemos obtener de:

P(A1|A2) = P(A1 ∩ A2)P(A2) ⇒ P(A1 ∩ A2) = P(A1|A2) · P(A2) = 0′8 · 0′1 = 0′08

ya que tenemos

P(A1|A2) = 1 − P(A1|A2) = 1 −P(A1 ∩ A2)

P(A2) = 1 −0′020′1 = 1 − 0′2 = 0′8.

Substituyendo en (1), calculamos:P(A2|A1) = 0′08

0′9 = 0′089.

4.2 Sucesos independientesLos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Esto es equivalente a decir que P(A|B) = P(A),si P(B) = 0. Además, si A y B son independientes, entonces los siguientes pares también lo son: A y B; A y B;A y B.

En el ejemplo que hemos planteado, ¿son independientes A1 y A2? Por la definición de independencia, A1 yA2 son independientes si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades. Es decir:P(A1 ∩ A2) = P(A1) · P(A2). Tenemos la siguiente información:

P(A1) = 0′1, P(A2) = 0′1, P(A1 ∩ A2) = 0′02.

En este caso, podemos comprobar que:

P(A1 ∩ A2) = 0′02 = P(A1) · P(A2) = 0′1 · 0′1 = 0′01.

Por tanto, A1 y A2 no son independientes.

Supongamos que la probabilidad de que cada hijo tenga la enfermedad E es 0’2, mientras que en un 10 % de



las familias ambos hijos tienen la enfermedad E. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia al menos un hijotenga la enfermedad E?

La probabilidad de que al menos un hijo tenga la enfermedad E sería:

P(B) = P(A3 ∪ A4) = P(A3) + P(A4) − P(A3 ∩ A4).

Como tenemos las probabilidades: P(A3) = P(A4) = 0′2 y P(A3 ∩ A4) = 0′1 (ambos hijos tienen la enfermedadE), la probabilidad de que al menos un hijo tenga la enfermedad E sería:

P(B) = 0′2 + 0′2 − 0′1 = 0′3.

Podemos concluir que en un 30 % de las familias, al menos un hijo tiene la enfermedad E.

5 Resultados importantes

5.1 Teorema de las Probabilidades TotalesSi {A1, . . . , An} es un conjunto completo de sucesos, con P(Ai) > 0, para todo i = 1, . . . , n y B ∈ A es unsuceso cualquiera, entonces:

P(B) =n∑

i=1P(B|Ai)P(Ai)

Una representación gráfica del resultado podemos verla en la Figura 8, donde podemos ver que el suceso B puederepresentarse como unión de cada una de sus intersecciones con los Ai. Como los Ai son disjuntos, la probabilidadde B puede escribirse como suma de las probabilidades de las intersecciones P(B ∩ Ai), y como P(Ai) > 0 laprobabilidad de cada intersección puede obtenerse a partir de la probabilidad condicionada P(B|Ai).

Figura 8: Teorema de las Probabilidades Totales.

El Teorema de Probabilidades Totales se aplica para conocer la probabilidad de un suceso, cuando tenemosdefinido un conjunto completo de sucesos. Sin embargo, puede ocurrir que conozcamos la probabilidad del sucesoB y que nos interese, a partir de ella, obtener información sobre los sucesos que forman el conjunto completo, esdecir, obtener P(Ai|B). Para ello utilizamos el Teorema de Bayes.



5.2 Teorema de BayesSi {A1, . . . , An} es un conjunto completo de sucesos, con P(Ai) > 0, para todo i = 1, . . . , n y B ∈ A es unsuceso con P(B) > 0, entonces:

P(Aj |B) = P(Aj ∩ B)P(B) = P(B|Aj )P(Aj )∑n

i=1 P(B|Ai)P(Ai)

6 Aplicaciones en Ciencias de la Salud

6.1 Frecuencia de una enfermedadEn el ámbito de la Epidemiología, es fundamental medir la frecuencia de una enfermedad y su relación conlos supuestos factores determinantes así como la frecuencia de otros eventos como la curación, la aplicación detratamientos, etc. Los conceptos estudiados en este tema se pueden relacionar con dos medidas de frecuencia deuna enfermedad: la prevalencia y la incidencia.Prevalencia. Se define como el número de casos de una enfermedad en una población y en un momento dado.Existen dos tipos de prevalencia: prevalencia puntual y prevalencia de período.

Prevalencia puntual: número de individuos que presenta la enfermedad en un momento dado / número totalde individuos de la población en ese momento o edad.

Prevalencia de período: frecuencia (relativa) de una enfermedad, durante el período de tiempo definido.Es una proporción que expresa la probabilidad de que un individuo sea un caso (es decir, presente laenfermedad) en cualquier momento de un determinado período de tiempo. Se calcula como: número decasos identificados durante el período/número total de individuos de la población.

La prevalencia es una proporción (valores entre 0 y 1) y no tiene dimensiones. Se obtiene como aplicacióninmediata de la regla de Laplace que vimos para la asignación de probabilidad (casos favorables: enfermos; casosposibles: población total).Incidencia. La incidencia de una enfermedad es la probabilidad de que un individuo que no ha padecido laenfermedad la desarrolle en un período de tiempo especificado. Se calcula como: número de casos nuevos de laenfermedad / número de personas en riesgo de desarrollar la enfermedad por el tiempo que cada una de ellaspermanece en riesgo.

La incidencia expresa la fuerza que tiene una efermedad para cambiar el estado de salud de una poblaciónal estado de enfermedad por unidad de tiempo, en relación a la población susceptible en ese momento. Es uníndice dinámico que requiere seguimiento en el tiempo de la población de interés. Al igual que la prevalencia,es una proporción y no tiene dimensiones. Su valor depende del tiempo de seguimiento y suele calcularse sobreuna cohorte fija (un grupo de individuos, no permitiendo nuevas entradas en la población durante el período deseguimiento).

6.2 Validez de pruebas diagnósticasAl realizar pruebas diagnósticas aumenta la probabilidad de diagnosticar a un enfermo, pero también aumenta laprobabilidad de considerar como enfermo a uno sano. Es evidente que una buena prueba diagnóstica es la queofrece resultados positivos en enfermos y negativos en sanos. El caso más sencillo que se nos puede plantear esel de una prueba dicotómica, que clasifica a cada paciente como sano o enfermo en función de que el resultadode la prueba sea positivo o negativo.



Sensibilidad: Es la probabilidad de clasificar correctamente a un individuo enfermo, es decir, la probabilidadde que para un sujeto enfermo se obtenga en la prueba un resultado positivo. La sensibilidad es, por lotanto, la capacidad del test para detectar la enfermedad.

P(+|E ) = Sensibilidad.

Especificidad: Es la probabilidad de clasificar correctamente a un individuo sano, es decir, la probabilidadde que para un sujeto sano se obtenga un resultado negativo. En otras palabras, se puede definir laespecificidad como la capacidad para detectar a los sanos o capacidad de descartar a un enfermo.

P(−|S) = Especif icidad.

Falsos positivos: Se produce un falso positivo cuando el individuo está sano pero el resultado de la pruebaes positivo. La probabilidad del falso positivo es:

P(+|S) = 1 − Especif icidad.

Falso negativo: Se produce un falso negativo cuando el individuo está enfermo pero la prueba no detectala enfermedad. La probabilidad del falso negativo es:

P(−|E ) = 1 − Sensibilidad.

La capacidad discriminatoria de una prueba diagnóstica, se puede medir a través de su exactitud o probabilidadde clasificación correcta:

Exactitud = p · P(+|E ) + (1 − p) · P(−|S),

donde p = P(E ). El inconveniente de esta medida es que está influencia por el valor de la prevalencia de laenfermedad p.

Valores predictivos de pruebas diagnósticas. Los conceptos de sensibilidad y especificidad permiten, por lo tanto,valorar la validez de una prueba diagnóstica. Sin embargo, carecen de utilidad en la práctica clínica. Tanto lasensibilidad como la especificidad proporcionan información acerca de la probabilidad de obtener un resultadoconcreto (positivo o negativo) en función de la verdadera condición del individuo con respecto a la enfermedad.Sin embargo, cuando a un paciente se le realiza alguna prueba, el médico carece de información a priori acercade su verdadero diagnóstico, y más bien la pregunta se plantea en sentido contrario: ante un resultado positivo(negativo) en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el paciente esté realmente enfermo (sano)?.

Valor predictivo positivo: Es la probabilidad de padecer la enfermedad si se obtiene un resultado positivoen el test.

V P+ = P(E|+).

Valor predictivo negativo: Es la probabilidad de que un sujeto con un resultado negativo en la prueba estérealmente sano.

V P− = P(S|−).

Eficacia: La eficacia de una prueba se define como la suma de sus valores predictivos y mide cómo laprueba diagnóstica predice el estado de salud/enfermedad:

Ef icacia = V P+ + V P−.

Cuanto más se acerca a 2, mayor es la efectividad.



Diagnóstico verdaderoResultado prueba Enfermo (E ) Sano (S)Positivo Verdaderos positivos (VP) Falsos positivos (FP)

P(+|E ) P(+|S)Sensibilidad

Negativo Falsos negativos (FN) Verdaderos negativos (VN)P(−|E ) P(−|S)

Especificidad

Cuadro 1: Relación entre el resultado de una prueba diagnóstica y la presencia o ausencia de una enfermedad.


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