TEMA 2 – ONDAS

Carmen Montes - Dpto. Ciencias y Tecnología Página 1 de

COLEGIO NTRA. SRA. DE LA MERCED FÍSICA 2º BACHILLERATO

TEMA 2 – ONDAS

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

Una partícula describe un movimiento periódico cuando el valor de las magnitudes cinemáticas, r, v y a, se repiten cada intervalo constante de tiempo llamado periodo. Es el caso, por ejemplo, del MCU.

Una partícula describe un movimiento vibratorio u oscilatorio cuando se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio con un movimiento periódico.

El movimiento armónico simple MAS es un movimiento vibratorio rectilíneo en el que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional y opuesto al vector posición. Dicha fuerza se origina por tanto cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.

Es el caso del muelle o del péndulo simple.

1. Cinemática del m.a.s.

- Posición de equilibrio (O): posición central del movimiento. La fuerza es nula en esta posición.

- Elongación o posición (x ó y): distancia entre la posición en un momento y la posición de equilibrio. Es la posición del cuerpo considerando como origen del S.R. la posición de equilibrio. (metros)

- Amplitud (A): elongación máxima. (metros) - Período (T): tiempo que tarda en realizarse una oscilación completa. (segundos) - Frecuencia (f): número de oscilaciones realizadas por segundo. T = 1/f Su unidad es el s-1

o Hz

- Pulsación o frecuencia angular (ω): número de oscilaciones de una partícula en 2π segundos.

Su unidad es el rad·s-1 (radián por segundo)

- Fase (ϕ): ángulo que indica el estado de vibración ϕ = ωt + ϕ0 Su unidad es el radián.

- Fase inicial (ϕ0): fase en t = 0. Si ϕ0 = 0, consideramos que el cuerpo inicia su movimiento en la posición de equilibrio en sentido ascendente.

Posición

La ecuación de la posición de la partícula que describe un movimiento armónico simple es:

y(t) = A sen (ωt + ϕ0)

pero también puede expresarse con la función coseno de la forma:

y(t) = A cos (ωt + ϕ0’) siempre que se cumpla: ϕ0’ = ϕ0 - π/2

Su unidad es el metro.

La fase o el ángulo de fase es ϕ = ωt + ϕ0 e indica el estado de vibración de la partícula. El desfase (∆ϕ) o la diferencia de fase es la diferencia entre las fases de dos momentos distintos de una misma vibración: ∆ϕ = ϕ2 – ϕ1 Velocidad Dado que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

ω =2πT= 2πf

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Su unidad es m·s-1

La velocidad varía entre +Aω y –Aω. !!á! = !" cos2 α + sen2 α = 1 ⇒ sen2 (ωt + ϕ0) + cos2 (ωt + ϕ0) = 1

y = A sen ωt + φ! ⇒ sen! ωt + φ! =y!

A!

v = Aω cos(ωt + φ!) ⇒ cos! ωt + φ! =v!

A! · ω!

y!

A!+

v!

A! · ω!= 1 ⇒

y! · ω!

A! · ω!+

v!

A! · ω!= 1 ⇒ y! · ω! + v! = A! · ω!

! = ±! !! − !!

De lo que se deduce que la velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio (y

= 0) y cuando la elongación es máxima (y = A) la velocidad es nula. Aceleración

Dado que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo: Su unidad es m·s-2 La aceleración varía entre +Aω2 y –Aω2. !!á! = !!! y = A sen ωt + φ! a = −Aω! sen ωt + φ!

! = −!!! De lo que se deduce que la aceleración es proporcional a la elongación pero de sentido contrario. La máxima aceleración será en los extremos de la trayectoria (y = A) y en la posición de equilibrio la aceleración es nula.

2. Dinámica del m.a.s.

La fuerza que rige el m.a.s. es una fuerza recuperadora, ya que se origina al separar un cuerpo de su posición de equilibrio, por lo que obedece a la Ley de Hooke:

! = −! · !

Donde k es la constante de recuperación del oscilador armónico Su unidad es el N·m-1

x es el vector posición respecto de la posición de equilibrio

Aplicando la 2ª ley de Newton F = m · a e igualando los módulos de ambas fuerzas:

m · a = K · x ⇒ K =m · ax

De lo obtenido anteriormente a = −xω! , por lo que K = mω2

v =dy(t)dt

=d A sen (ωt + φ!)

dt⇒ ! = !" !"#(!" + !!)

a =dv(t)dt

=d Aω cos (ωt + φ!)

dt⇒ ! = −!!! !"#(!" + !!)

T 2T

y (m)

A

-A



El valor de la constante de recuperación está ligado a la pulsación y el período del movimiento:

ω =Km y como T =

2πω ! = !"

!!

3. Estudio energético del m.a.s.

La fuerza recuperadora del oscilador armónico es una fuerza central y por tanto conservativa. Energía cinética: es la debida a la velocidad del cuerpo.

Ec =12m · v! =

12m · ω!(A! − y!) ⇒ !" =

!!!(!! − !!)

Energía potencial: es la debida a la posición del cuerpo. Al tratarse de una fuerza conservativa se cumple que W = −∆Ep.

!" =!!!!!

Si queremos obtener las expresiones de cada una de las energías en función del tiempo basta con sustituir la x por la ecuación de la posición. Energía mecánica: es la suma de las energías cinética y potencial. Todo oscilador armónico cumple el principio de conservación de la energía mecánica.

Em = Ec + Ep =12K(A! − y!) +

12Kx! ⇒ !" =

!!!!!

Em =12KA! =

12m · ω!A! = m

2π!

T!A! = m2π!f !A!



EL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Un movimiento ondulatorio es una forma de transmisión de energía sin transporte neto de materia, mediante la propagación de una perturbación reversible del medio. Esta alteración del medio y la ecuación matemática que la caracteriza se denomina onda.

Existen por tanto dos movimientos simultáneos que pueden estar en la misma dirección o en direcciones perpendiculares: la vibración de cada una de las partículas sobre su posición de equilibrio y el progreso de dicha vibración a lo largo de una trayectoria rectilínea.

Estudiaremos las denominadas ondas armónicas, generadas cuando la perturbación realiza un movimiento armónico simple (m.a.s.) Consideraremos un m.r.u. para caracterizar el movimiento de propagación.

Según la relación entre las direcciones en que se producen la perturbación y propagación, las ondas pueden ser transversales, cuando ambas son perpendiculares (como las ondas electromagnéticas) o longitudinales, si se producen en la misma dirección (como el sonido).

Las ondas materiales o mecánicas necesitan un medio elástico para que se propague la perturbación. Es el caso del sonido, las ondas producidas al agitar una cuerda, las olas del mar…

Las ondas electromagnéticas no necesitan medio material de propagación, pudiendo propagarse en el vacío. Es el caso de la luz, las ondas de radio y televisión…

1. La formación de las ondas

El foco emisor es el punto donde se inicia la perturbación. El frente de onda es el lugar geométrico de todos los puntos que forma la onda que han comenzado a vibrar en el mismo instante, por lo que tienen la misma fase de vibración (igual elongación e igual velocidad de vibración). Los frentes de onda de ondas bidimensionales serán circunferencias centradas en el foco emisor, y los frentes de onda de ondas tridimensionales serán superficies esféricas también centradas en el foco. Los rayos son las líneas que indican las direcciones de propagación de la onda, son perpendiculares a los frentes de onda y se dibujan como flechas. Christiaan Huygens ideó el método geométrico que explica el avance de los frentes de ondas y permite explicar gran cantidad de fenómenos ondulatorios. El principio de Huygens explica que cada punto del frente de onda actúa como foco de pequeñas ondas llamadas ondas secundarias. La tangente a todos estos nuevos frentes de onda secundarios crea el nuevo frente de la onda primaria.

Frente de onda plano Frente de onda esférico



2. Cinemática del movimiento ondulatorio

- Posición de equilibrio (O): posición central del movimiento. La fuerza es nula en esta posición.

- Elongación (y): distancia entre la posición en un momento y la posición de equilibrio. Es la posición del cuerpo considerando como origen del S.R. la posición de equilibrio. (metros)

- Amplitud (A): elongación máxima. (metros)

- Longitud de onda (λ): distancia mínima entre dos puntos que se hallan en el mismo estado de vibración (en fase). (metros)

- Período (T): tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda, o tiempo que emplea en realizar una oscilación completa un punto afectado por la perturbación.

- Frecuencia (f): número de ondas que pasan por un punto del medio por unidad de tiempo, o número de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza un punto del medio afectado por la perturbación. T = 1/f Su unidad es el s-1 o Hz (hercio)

- Pulsación o frecuencia angular (ω): número de períodos comprendidos en 2π segundos.

Su unidad es el rad·s-1 (radián por segundo)

- Número de onda (k): Es el número de longitudes de onda que caben en 2π metros.

Su unidad es el rad·m-1 (radián por metro)

- Fase (ϕ): ángulo que indica el estado de vibración. Su unidad es el radián.

- Fase inicial (ϕ0): fase en t = 0. Si ϕ0 = 0, consideramos que el cuerpo inicia su movimiento en la posición de equilibrio.

Posición o elongación (y)

La ecuación de la posición de cada partícula que describe un movimiento armónico simple es la ecuación de onda o función de onda. Ahora la vibración se realiza en la dirección del eje Y, ya que se considera que la dirección de propagación es la del eje X en su sentido positivo. Por tanto la vibración en el foco emisor O será:

y = A sen ωt + φ! = A sen 2πTt + φ!

Un punto situado en el eje X (x, 0) tendrá la misma vibración pero con cierto retraso, ya que la onda tarda en llegar a él un tiempo t’ = x/v, siendo v la velocidad de propagación de la onda.

y t, x = A sen 2πT

t − t! + φ! = A sen 2πT

t −xv+ φ! = A sen 2π

tT−xvT

+ φ!

Como T es el tiempo que la onda tarda en recorrer una distancia λ con un m.r.u.: v = λT

! !, ! = ! !"# !"!!−!!+ !!

Si consideramos t = 0 cuando la partícula del foco emisor está en la posición de equilibrio y = 0 e inicia un movimiento ascendente, la fase inicial ϕ0 = 0.

ω =2πT = 2πf

k =2πλ



La ecuación de onda permite conocer el valor de la elongación de una partícula a una distancia x del foco emisor O en un momento dado t, por lo que indica el estado de vibración de cada una de las partículas afectadas por la perturbación. Introduciendo una nueva magnitud, el número de onda (k): ! = !"

!

y t, x = A sen 2πtT−xλ+ φ! = A sen

2πtT−2πxλ

+ φ!

! !, ! = ! !"# !" − !" + !!

Fase (ϕ)

La fase o el ángulo de fase es ahora:

! = !"!!−!!+ !! = !" − !" + !!

También podemos expresar la función de onda como coseno:

! !, ! = ! !"# !"!!−!!+ !′! = ! !"# !" − !" + !′!

siempre que se cumpla: ϕ0’ = ϕ0 - π/2

Si la onda se propaga en el sentido negativo del eje X:

! !, ! = ! !"# !"!!+!!+ !! = ! !"# !" + !" + !!

ya que el estado de vibración de una partícula en –x será el mismo que en x.

El desfase (Δϕ) es la diferencia de fase entre dos momentos o posiciones de la onda.

Δϕ = ϕ2 – ϕ1 = (ωt2 – kx2 + ϕ0) – (ωt1 – kx1 + ϕ0) = (ωt2 – kx2) – (ωt1 – kx1) = ω · Δt – k · Δx

Desfase entre dos puntos en el eje X en el mismo instante (Δt = 0): Δϕ = k · Δx

Desfase entre dos momentos para una misma partícula (Δx = 0): Δϕ = ω · Δt

Velocidad de propagación:

Dado que el movimiento de propagación es un m.r.u., la velocidad es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado:

!! = !!

Velocidad de oscilación o vibración:

Dado que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

v =dydt=ddt

A sen 2πtT−xλ+ φ! ⇒ ! = !

!"! !"# !"

!!−!!+ !!

v =dydt=ddt

A sen ωt − kx + φ! ⇒ ! = !" !"# !" − !" + !!

Por tanto se mantiene la expresión: !!á! = !" y además !!á! = ! !"!



Aceleración de oscilación o vibración:

Dado que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

a =dvdt=ddt

A2πT cos 2π

tT−xλ+ φ! ⇒ ! = −!

!!!

!! !"# !"

!!−!!+ !!

a =dvdt=ddt

Aω cos ωt − kx + φ! ⇒ ! = −!!! !"# !" − !" + !!

La aceleración máxima sigue siendo !!á! = !!! y además !!á! = ! !!!

!!

La función de onda es doblemente periódica: respecto al tiempo (t) y respecto a la posición (x):

Respecto al tiempo, ya que cada partícula, al realizar un m.a.s. repite sus magnitudes cinemáticas cada tiempo T.

y (x, t) = y (x, t + nT) ∀n ∈ N

Respecto a la posición, ya que las partículas que disten entre sí un número enteros de la longitud de onda tienen magnitudes cinemáticas idénticas en el eje Y.

y (x, t) = y (x + nλ, t) ∀n ∈ N

Los puntos que distan entre sí un número entero de la longitud de onda se dice que están en fase, ya que tienen el mismo valor de fase (o sus fases difieren 2πn, n ∈ Ν).

Los puntos que distan entre sí un número impar de semilongitudes de onda (λ/2) se dice que están en oposición de fase (sus fases difieren π n, n ∈ Ν) .

El conjunto de todos los puntos que son afectados por la perturbación en un instante, y por tanto vibran en concordancia de fase, forman el frente de onda.



3. Estudio energético del movimiento ondulatorio

Cuando una partícula del medio es alcanzada por la perturbación que produce la onda, comienza a realizar un m.a.s. La energía mecánica que posee entonces es la estudiada en la página 3, con la matización correspondiente:

Energía cinética: es la debida a la velocidad de la partícula.

Ec =12m · v! =

12m

dydt

!

!" = ! !!!"!

!! !"#! !"

!!−!!+ !! =

!!! !!!! !"#! !" − !" + !!

Energía potencial: es la debida al desplazamiento respecto de su posición de equilibrio. Siendo y la elongación:

!" =!!!!!

Energía mecánica: es la suma de las energías cinética y potencial. Todo oscilador armónico cumple el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica es la cinética máxima:

Em = Ec!á# = 12m · ω!A! = m

2π!

T!A! ⇒ !" = !"!!!!!!

La energía transmitida por la onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. La energía total transmitida será E = n·Em siendo n el número de partículas que forman el frente de la onda. Potencia de la onda (P): es la energía transmitida por unidad de tiempo. Su unidad es J s–1, o bien, W (watio).

! =!∆!

Para cada partícula del frente:

Intensidad de la onda (I): es la energía que atraviesa por unidad de tiempo, una unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Su unidad es J s–1m–2 o bien, W m–2

! =!∆!!

=! !

Las ondas esféricas sufren un fenómeno denominado atenuación que consiste en la disminución de su energía debido a que los nuevos frentes de onda afectan cada vez a mayor número de partículas.

Considerando dos superficies esféricas S = 4πr! a unas distancias r1 y r2 del foco:

I! =E

∆t 4 π r!!=

P4 π r!!

; I! =E

∆t 4 π r!!=

P4 π r!!

y por tanto !!!!= !!!

!!!

Tanto la energía total como la potencia de la onda permanecen constantes (E1 = E2 , P1 = P2 ), lo que varía es la energía y potencia de las partículas.

! =!"!!!!!!

∆!



En la práctica, si la frecuencia permanece constante, esta pérdida de energía se traduce en una disminución de la amplitud de la vibración, siendo su valor inversamente proporcional a la distancia al foco emisor:

I!I!= A!!

A!!= r!!

r!! ⇒

!!!!

=!!!!

Debido al fenómeno de atenuación y a pérdidas de energía por causas como los rozamientos entre las partículas del medio, se demuestra que la intensidad de una onda decrece exponencialmente con la distancia al foco emisor según la expresión:

! = !!!!!·!

Donde I0 es la intensidad inicial de la onda, I es la intensidad a una distancia r del foco emisor, y β es el coeficiente de absorción del medio.

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