Tema 2

Técnicas de Modulación Analógica

MODULACIÓN

EN FRECUENCIA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica

1. Frecuencia de una señal periódica y frecuenciainstantánea.

2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia(FM).

3. Determinación de la frecuencia instantánea para unaseñal modulada en fase y en frecuencia.

4. Expresiones complejas para una señal modulada enfase y en frecuencia.

5. Análisis de una señal modulada en fase y enfrecuencia cuando la modulante es una señalsenusoidal.

6. Espectro de frecuencia de una señal modulada enfrecuencia.

7. Modulación de frecuencia de banda estrecha oangosta: NBFM .

8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM.

9. Generación de señales moduladas en ángulo.

10. Demodulación de FM.

11. Potencia asociada a una señal con modulación deángulo.

12. Sistema de comunicación con modulación angular enpresencia de ruido.

Una señal periódica es aquella que se repite cadaT segundos.

Por ejemplo, se puede representar por laexpresión:

Tf

πfw

twAtg

c

c

1

2

),cos()(

también y

donde

wt [rad]

g(t)

A

-A

T

La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

Es de interés conocer el valor que toma lafrecuencia de la señal f(t) en un instante dado detiempo ti. El valor que toma la frecuencia de laseñal en un instante de tiempo ti , se conocecomo frecuencia instantánea de la función f(t).

Veamos dos ejemplos:w

f(t)

w

f(t)

tt

tt

wo

2wo

wo

2wo

a) b)

T 2T 3T 4TT 2T

Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia

En la modulación AM la información secoloca en la amplitud de la señal portadora. Estoes un inconveniente a la hora de recuperar lainformación pues la misma se contaminafácilmente con el ruido que se agrega en laamplitud. Ante este es posible hacer varia lafrecuencia de la señal y mantener constante laamplitud, dando origen a la FM.

Sea la ecuación: )cos()( twAtg c

Si en la ecuación anterior se considera que elángulo de fase no es constante sino que puedeser considerado como una función del tiempo,se tiene: ))(cos()( ttwAtg c

Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendráuna dependencia del tiempo “t” de la fase de laecuación. Se tiene en este caso una señalmodulada en ángulo.

Consideremos la ecuación:

donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es:

( ) ( )t k m tp

))(cos()( tmktwAtg pCPM

Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

Fase de la señal

El índice de modulación de la señal moduladaen fase se puede determinar como:

El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función

gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP

[radianes] max

)(tmk pmp

Considere ahora que (t) está dado como laintegral de la función m(t), entonces se tiene:

ctte donde

fff k

t

dmk

t

dmkt ,)()()(

))(cos()( ttwAtg c Como vimos previamente:

Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene:

t

dmktwAtg fcFM )(cos)(

Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)

El índice de modulación de la señal moduladaen frecuencia se determina por:

f m f

max

k m d

t

( )

El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la

modulante por el factor de escala kf

En resumen, se tiene que las ecuacionesque definen las técnicas de modulaciónangular y su índice de modulación son:

Técnica EcuaciónÍndice de

Modulación

MODULACIÓN EN FASE

MODULACIÓN EN FRECUENCIA

max

)(

t

dmk fmf

t

dmktwAtg fcFM )(cos)(

))(cos()( tmktwAtg pCPM max

)(tmk pmp

Considérese la ecuación:

))(cos()( ttwAtg c

Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene:

La frecuencia instantánea de la ecuaciónanterior, se define como:

g t A t( ) cos ( )

w td t

dti ( )

( )

Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al

tiempo del ángulo de la función

Aplicando este criterio a la modulación en fasese tiene:

Esta ecuación permite determinar la frecuencia

instantánea para una señal modulada en fase

w td t

dt

d

dtw t k m ti c p( )

( )( )

w t w kd

dtm ti c p( ) ( )

Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima.

Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

Representación gráfica de una

señal modulada en FASE.

De igual forma para la modulación enfrecuencia se tiene:

w td

dtw t k m d

t

i c f( ) ( )

w t w k m ti c f( ) ( )

Esta ecuación permite determinar la frecuencia

instantánea para una señal modulada en

frecuencia.

Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.

Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

Representación gráfica de una

señal modulada en FRECUENCIA

w t w kd

dtm ti c p( ) ( ) w t w k m ti c f( ) ( )

Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones seestablece que en la modulación de fase, lafrecuencia instantánea varía linealmente con laderivada de la señal modulante, mientras que enla modulación en frecuencia, la frecuenciainstantánea varía linealmente con la señalmodulante.

Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

La ecuación para Modulación de fase se puedeescribir utilizando la notación compleja, de estamanera:

g t Ae AePM

j t j w t k m tc p( ) Re Re( ) ( ( ))

][)()(tmjktjw

PMpc eeAtg

Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

t

dmktwj

FM

fc

Aetg))((

)( ]))([

)(

t

dmjktjw

FM

f

c eAetg

Hasta ahora, el análisis matemático para lamodulación en fase y en frecuencia se harealizado en función de una señal modulantegenérica, llamada :

Se considerará a continuación para el análisis,una señal particular y a través de ella, realizar elanálisis espectral correspondiente que permitatener una clara idea de cómo se presenta elespectro de la señal modulada en fase y enfrecuencia.

)()( tmot

Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m

))(cos()( tmktwAtg pCPM :que tiene se Como

twmktwAtg mpcPM coscos)( 0

Reemplazando por la modulante dada, se tiene:

p m pk m 0Como:

Entonces reemplazando, se tiene:

g t A w t w tPM c p m( ) cos cos Ecuación de PM cuando

la modulante es una onda senusoidal

Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m

Reemplazando la modulante, tiene:

Como: g t A t k m d

t

FM c f( ) cos ( )

dwmktwAtg m

t

fcFM coscos)( 0

m

mf

cFMw

tsenwmktwAtg

0cos)(

Al resolver la integral se tiene:

Ya que el máximo valor de m es:

f m

f

m

k m

w

0

La expresión final es:

g t A w t w tFM c f m( ) cos sen

Ecuación de FM cuando la modulante es una

señal senusoidal

Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por:

Si consideramos como modulante la señal:

w w k m ti c f ( )

entonces:

twmtm mcos)( 0

w w k m w ti c f m 0 cos

w w k m w ti c f m0 cos

2 2 0 f f k m w ti c f mcos

Factorizando, se tiene: 2 0 ( ) cosf f k m w ti c f m

El valor máximo que puede tomar el miembroderecho de la ecuación, es kf m0, por tanto:

( )f fk m

i c max

f

0

2

f f fi c m f

MAX

k m d

t

( )Sea, y como

f m

f

m

f m f

k m

ww k m

0

0

Integrando se tiene:

(Ec. 1)

Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:

La ecuación anterior permite determinar ladesviación de frecuencia angular de la señalmodulada en frecuencia cuando la modulante esuna señal senusoidal. Representa el índice demodulación para FM

fw ff m f m

2

2

2

f

m

f

f

Finalmente:modulante frecuencia

frecuencia de desviación

mf

f

Por naturaleza la FM posee un ancho debandaamplio, lo cual se constituye en una limitacióncuando la disponibilidad de ancho banda eslimitada.

Sin embargo, la excelente relación señal a ruidoque posee la hace interesante aún a pesar de lalimitación anterior.

Se han realizado análisis y estudios que permitenreducir el ancho de banda de esta técnica demodulación, logrando salvar esta limitación.

La ecuación de una señal modulada en frecuenciaes:

tsenwtwAtg mfcFM cos)(

FM

j w t w tt Ae c f m( ) Re

( sen

tsenwjtjw

FMmfc eAet

Re)(

En forma compleja se puede escribir:

(Ec. 2)

También la Ec. 2 puede ser reescrita usandoidentidades trigonométricas como:

FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )

(Ec. 3)

Al observar la ecuación 3 se evidencia sucomplejidad para resolverla. Para simplificarla seharán algunas consideraciones.En primer lugar, considérese que los valores de

son pequeños, entonces:

cos( sen ) f mw t 1 tsenwtsenwsen mfmf )(y

Los valores de f usuales para las consideracionesanteriores, pueden ser tomados como menores a0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio enla ecuación 3.

FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )

Así, se tiene que:

NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen

La ecuación 4 representa la ecuación para lamodulación de frecuencia de banda angosta y sedenota como NBFM, donde f es el índice demodulación para FM.

(Ec. 4)

NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen

Señal Portadora

Índice de Modulación

Señal Modulante

En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc

llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal

portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f

Representando la ecuación 4 en forma fasorial, setiene:

(Ec. 5)

NBFM

jw t

f mt Ae j w tc( ) Re ( sen ) 1

NBFM

jw t

f

jw t

f

jw tt Ae e ec m m( ) Re ( )

11

2

1

2

Consideremos una señal modulada en amplitud:

AM c m ct A w t mA w t w t( ) cos cos .cos

AM

jw t

mt Ae m w tc( ) Re ( cos ) 1

AM

jw t jw t jw tt Ae me mec m m( ) Re ( )

11

2

1

2

Escrita en forma fasorial, se tiene:

(Ec. 6)

Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadastomando como referencia el término decada una.

wm

Portadora = 1

Eje real

Eje

Imaginario

Resultante

Eje real

Eje

Imaginario

wm

Eje

Imaginario

-w m

Eje real

1

2me jw tm

1

2me jw tm

Portadora = 1

Eje real

Eje

Imaginario

Eje real

Eje

Imaginario

/ 2 / 2

/ 2

Portadora = 1

b)

Resultante

sen w tm

Eje real

Eje

Imaginario

a)

suma vectorial

suma vectorial

Ae jw tc

Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:

Ambas modulaciones poseen dos bandaslaterales y su ancho de banda es igual a 2wm.

En AM la modulación se agrega en fase con laportadora mientras que en NBFM se hace encuadratura.

La modulación AM proporciona variación deamplitud sin desviación de fase mientras queNBFM da origen a una variación de fase conmuy pequeño cambio de amplitud.

El desfase se puede determinar a partir deltriángulo resultante del diagrama fasorial como:

1)( 1 tsenw

tgt m ( ) tg sent w tm 1

La desviación de la frecuencia instantánearespecto a la frecuencia de la portadora es:

d

dt

d w t

dt

m

tg ( sen )1

twsen

tww

dt

d

m

mm

221

)(cos

122 twsen m que toma se Si twwdt

dmm cos

Angulo de Desfase

La desviación de la frecuencia instantánearespecto a la frecuencia de la portadora es:

d

dt

d w t

dt

m

tg ( sen )1

twsen

tww

dt

d

m

mm

221

)(cos

122 twsen m que toma se Si twwdt

dmm cos

Análisis: Para evitar variaciones en la amplitudde una señal modulada en frecuencia, se deberestringir el valor de .

Según el diagrama fasorial b, la magnitud delvector resultante se puede determinar como:

g t A w t A w tNBFM m m( ) sen sen 1 12 2

2 2

Para que la magnitud de la ecuación 7 semantenga constante, se deben hacer algunasconsideraciones. Si , como sen2wmt≤1 entonces2 < 1, que nos dice que los valores de deben sermenores que uno. En la práctica < 0,3, es una buena aprox.

(Ec. 7)

2 2 1sen w tm

Con las consideraciones anteriores, se garantizaque la amplitud de una señal modulada enfrecuencia sea constante, es decir:

g t A constanteNBFM ( )

NOTA: Para que esto se cumpla, el índice demodulación debe ser muy pequeño.

Considérese una modulante senusoidal:

f t A w tm( ) cos twAkwtw mfci cos)(

twwwtwAkwSi mcif cos)(

De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como:

(Ec. 7)

( ) ( )sen

t w d w tw w t

wi

t

c

m

m

0

m

fw

w pero

tsenwtwt mfc )( :tiene se reemplazar Al

)(Re)( tj

FM Aetg :Como tsenwjtjw

FMmfc eAetg

Re)(

(Ec. 8)

El segundo exponencial de la ecuación 8, se puedeexpandir en una serie exponencial de Fourier,resultando:

e F ej w t

n

jnw t

n

f m m sen

FT

f t e dtT

e e dtn

jnw t

T

j w t jnw t

T

m f m m

1 1

( ).sen

en donde:

f t ej w tf m( )

sen

Si se considera que:

tT

twm

2 :haciendoy

deF

nsenj

nf )(

2

1 tienese do,Reemplanza

(Ec. 9)

d

T

T

ddtdt

Td

22

2

La solución de la integral de la ecuación 9 seobtiene por medio de la función de BESSEL deprimera clase y se indica como , donde n es elorden y es el argumento.

Los valores de se obtienen a partir de lastablas de BESSEL

La función de BESSEL de primera clase y enésimoorden se denota como:

Jn ( )

Jn ( )

J mn ( )

Teoría de las Funciones de BESSELLa expresión matemática para determinar los valores decada uno de los componentes espectrales, está definidacomo:

!3!3

2/

!21!2

2/

!1!1

2/

!

1

2)(

642

nnnnnJ

ffff

fN

Usando la función de BESSEL, se puede expresaruna ecuación en otra forma. Veamos

n

n

nnxmJxm

2cos)()coscos(

El argumento de la primera ecuación, es una funcióntrigonométrica, en la segunda es una funcióntrigonométrica con argumento simple.

Teoría de las Funciones de BESSELNormalmente para trabajar con las funciones deBessel no hay que hacer todos los engorrososcálculos. Al contrario, es muy simple empleandolas tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DEBESSEL.

Propiedades de las funciones de BESSEL:

Elemento Descripción

Son de valor real

Para n PAR

Para n IMPAR

Jn ( ))()( nn JJ

)()( nn JJ

Friedrich Wilhelm Bessel

Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15

FUNCIÓN DE BESSEL

Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN

J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15

0 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~

6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~

7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~

8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~

9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~

10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~

11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01

12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03

13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07

14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12

15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18

f

Representa la Portadora de la señal Modulada

Para este índice de modulación la

portadora se hace CERO !

Desde J1 Hasta J15

representan las

bandas laterales

Índice de Modulación

A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas

Laterales

Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,obteniéndose por ejemplo las siguientes graficaspara valores de n = 0 a n = 4

Retomando el análisis, la ecuación

puede ser reescrita como:

y empleándola en la expresión general para FM:

e F ej w t

n

jnw t

n

f m m sen

e J ej w t

n

jnw t

n

m m sen ( )

g t Ae J eFM

jw t

n

jnw t

n

c m( ) Re ( )

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

Analizando la expresión:

Se puede concluir que el ancho de banda de unaseñal modulada en frecuencia por una onda seno,tiene un número de bandas laterales infinito.

Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandaslaterales tienen magnitud significativas y enconsecuencia el ancho de banda se hace finito.

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.Sea la ecuación de una señal modulada enfrecuencia:

Una banda lateral es significativa si tienemagnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de laportadora no modulada.Esto es:

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

J n ( ) . 0 01

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.

Los valores de Jn() son despreciables para n > .Entonces el ancho de banda para FM se puedeobtener tomando la última banda lateralsignificativa en n = , esto es:

W nw ww

wwm m

m

m 2 2 2

grande es si βwW 2

W w wm 2( ) )1(2 mwW

Para una forma de onda general, se emplea la reglade Carlson para determinar el ancho de banda:

Análisis espectral para una señal modulada en

frecuencia para diferentes índices de modulación.

CONSIDERACIÓN PRELIMINAR

Según los análisis anteriores, la modulaciónangular se produce cuando se hace variar el ángulode fase de una señal portadora de frecuencia wc endependencia de la amplitud de una modulante.

El tipo de modulación obtenida PM o FM dependede que se use la señal modulante directamente o seutilice como modulante la señal después de serintegrada.

))(cos()( tmktwAtg pCPM

t

dmktwAtg fcFM )(cos)(

Generación de NBPM y NBFM.

CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:

analicemos como generarla…. Una alternativa semuestra en la figura siguiente:

g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

Generacion de NBPM:

g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados

para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada

(modulante) señal senwmt. El índice de modulación se puede

controlar por medio de kp. Finalmente la señal de salida de

modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal

portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de

FM de banda estrecha.

Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBFM: Si se integra la función antes deingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos.

Entonces para generar NBFM se tiene:

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

Método Directo

El proceso de demodular una señal de FMinvolucra un método tal que permita convertirlas variaciones de frecuencia en una variaciónde voltaje. Este sistema debe tener unacaracterística de transferencia lineal, llamadodiscriminador de frecuencia.Un circuito con esta característica loconstituye el diferenciador ideal con funciónde transferencia jw.

Método DirectoLa señal de FM es:

g t A w t k m d

t

FM c f( ) cos ( )

g t A J w nw tn c m

n

( ) ( ) cos( )

Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador

ideal se tiene como salida:

(Ec. 48)

g td

dtA w t k m dFM c f

t

, ( ) cos( ( ) )

g t A w k m t w t k m d

t

FM c f c f

, ( ) ( ) sen[ ( ) ] (Ec. 49)

Método DirectoLa señal de FM es:

g t A w k m t w t k m d

t

FM c f c f

, ( ) ( ) sen[ ( ) ] (Ec. 49)

La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en

frecuencia como en amplitud.

La envolvente de la ecuación 49 es:

A w k m tc f[ ( )]cof wmkwComo 0)( tmkw fc

De la ecuación 50, se concluye que la envolvente essiempre positiva, es decir, toma valores por encima del ejedel tiempo, lo cual permite usar detección de envolventepara obtener la señal m(t) (la modulante).

(Ec. 50)

El esquema de un demodulador de FM es entonces:

d

dt

detector

envolvente

A w k m tc f[ ( )]g tFM ( )g tFM ( )

La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si

la amplitud no fuese constante, sino una función del

tiempo, se tendría como envolvente:

A t w k m tc f( )[ ( )]

Esta ecuación indica que la salida del detector de

envolvente es proporcional a A(t)m(t).

De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario

mantener la amplitud constante.

La amplitud se puede mantener constante si se usa un

limitador de pasabanda, el cual posee un limitador

seguido de un filtro pasabanda.

La expresión de la señal modulada en frecuencia

general tiene la ecuación siguiente:

v t w t k m d

w t k m d

w t k m d

c f

t

c f

t

c f

t

0 0

4

1

33

1

55

( ( )) [cos( ( ) )

cos .( ( ) )

cos .( ( ) ) ]

FrecuenciaFundamental

FrecuenciaArmónicas superiores

El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa

banda extrae la señal modulante ubicada en wc .

LIMITADOR

ESTRICTO

FILTRO

PASABANDA

C L

Señal de FM de

amplitud variable

Señal de FM de

amplitud constante

A t w t tc( ) cos[ ( )]4

cos[ ( )]w t tc

Sea

y g t A w t w tFM c m( ) cos( sen ) Ec. 51

Considerando la ortogonalidad de la funcióncoseno, el valor cuadrático medio de la suma esigual a la suma de los valores cuadráticos medios,por lo cual:

g t A J w nw tn c m

n

( ) ( ) cos( )

pero

g tA

JFM n

n

22

2

2( ) ( )

J n

n

2 1( )

Obteniendo finalmente que:

g tA

FM2

2

2( )

El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:

g tA

JFM BL n2

22

2( ) ( )

El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio

si se considera como resistencia R = 1 Ohm.

Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan

pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación

apropiado.

Análisis espectral para una señal modulada en

frecuencia para diferentes índices de modulación.