TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2....
Transcript of TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2....
![Page 1: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/1.jpg)
TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensional
Material de suport docent de les sessions teòriques elaborat a partir de la bibliografia referenciada al Pla docent de l’assignatura
Estadística econòmica i empresarial I Grau d’Economia Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona
Autora: Elisabet Motellón Corral Professora Associada Departament d’Econometria, Estadística i Economia Aplicada
![Page 2: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/2.jpg)
Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten les principals tècniques d’estadística descriptiva unidimensional que han de permetre a l’estudiant de saber tabular i construir una taula de freqüències a partir d’un conjunt de dades, conèixer les diferents mesures descriptives per sintetitzar la informació, i els avantatges i inconvenients de cadascuna, així com les diferents possibilitats de representació gràfica de les dades. Els conceptes clau d’aquest bloc són els següents: dades agrupades, dades sense agrupar, distribució de freqüències, taula de freqüències, freqüències absoluta, relativa, absoluta acumulada i relativa acumulada, interval, límit inferior, límit superior, marca de classe, amplada, alçada, estadístic, mesura de posició, moda, mediana, mitjana aritmètica, mitjana ponderada, quantils, quartils, decils, percentils, mesura de dispersió, recorregut o rang, recorregut interquartílic, variància, desviació típica o estàndard, coeficient de variació, gràfic de sectors, de barres, d’escala, de caixa («box plot»), de tija i fulles, histograma, mesura de forma, coeficient de simetria, coeficient d’apuntament, coeficient de curtosi, concentració, equidistribució, corba de Lorenz, índex de Gini, transformacions lineals, canvi d’origen, canvi d’escala, tipificació o estandardització”
Pla docent de l’assignatura E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 3: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/3.jpg)
ÍNDEX 2.1. Tabulació
• Presentació de les dades • Ordenació de les dades i concepte de freqüència absoluta • Taula de freqüències amb dades agrupades en intervals i amb dades sense agrupar • Interval: límit inferior i superior, marca de classe, amplada, alçada • Freqüència relativa • Freqüència absoluta i relativa acumulades
2.2. Representació gràfica • Dades qualitatives sense agrupar: diagrama de sectors, de barres, d’escala, de caixa
(box plot) i de tija i fulles • Dades qualitatives agrupades: histograma, polígon de freqüències no acumulades i
polígon de freqüències acumulades
2.3. Mesures de síntesi • Mesures de posició o localització • Mesures de dispersió absolutes i relatives • Concentració versus equidistribució
2.4. Transformacions lineals
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 4: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/4.jpg)
Tema 2.1. Tabulació
• Presentació de les dades
• Ordenació de les dades i concepte de freqüència absoluta
• Taula de freqüències amb dades agrupades en intervals i amb dades sense agrupar
• Interval: límit inferior i superior, marca de classe, amplada, alçada
• Freqüència relativa
• Freqüència absoluta i relativa acumulades
(veure Conceptes bàsics 2.pdf)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 5: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/5.jpg)
2.1. Tabulació. Taula de freqüències
Ordenació, classificació i agrupació de sèries estadístiques Objectiu:
Facilitar la interpretació i l’anàlisi de les dades obtingudes pel mesurament o observació de variable o atribut
Construcció de distribució de freqüències
Primera fase del descriptiu, desprès de l’obtenció de dades (2a etapa de l’anàlisi estadístic)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 6: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/6.jpg)
Variable: Gènere → 2 valors (modalitats): H = Home D = Dona
D H H D D H D D D H H H H H D D D D D D
Gènere Freqüència
Absoluta (nre.) Relativa (%)
Home 4 4/10=0,4=40%
Dona 6 6/10=0,6=60%
Mida mostra 10
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Dades desordenades i ordenades
Mostra
Equival
![Page 7: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/7.jpg)
En funció(≠ valors q pot prendre variable i nre. d'observacions) X (variable) ; xi (observació) ; N (nre. total d’observacions)
Tipus I: reduït nombre d’observacions amb valors tots diferents x1, x2, …, xN-1, xN
Tipus II: nombre elevat d’observacions amb nre. reduït de valors. Treballarem amb dades individuals (nivell educatiu dels ocupats)
x1, x2, …, xk on k<N
Tipus III: nombre elevat d’observacions i de valors. Treballarem amb dades agrupades (salari dels ocupats)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Tipus de taules de freqüències
![Page 8: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/8.jpg)
OBSERVACIONS
POQUES MOLTES
VALO
RS POCS Dades individuals Dades individuals
MOLTS (sense sentit) Dades agrupades
Habitualment variables discretes
variables discretes o continues
Tipo I Tipo II
Tipo III
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Tipus de taules de freqüències
![Page 9: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/9.jpg)
OBSERVACIONS
POQUES MOLTES
VALO
RS POCS Dades individuals Dades individuals
MOLTS (sense sentit) Dades agrupades
Construcció de taula de freqüències formalment diferent, encara que la metodologia és la mateixa
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Tipus de taules de freqüències
![Page 10: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/10.jpg)
� Freqüència Absoluta (ni)
� Freqüència Relativa (fi)
� Freqüència Absoluta Acumulada (Ni)
� Freqüència Relativa Acumulada (Fi)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Freqüències
![Page 11: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/11.jpg)
1a. Etapa: Ordenació dels diferents valors de la variable X
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 12: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/12.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
Exemple: Taules de freqüències
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 13: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/13.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
• Variable a analitzar: “nombre de patents” (X) • 20 observacions (N) • Variable X (nre. de patents) pot prendre 5 valors diferents (k = 5)
0,1, 2, 3, 4
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
Exemple: Taules de freqüències
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 14: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/14.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
Exemple: Taules de freqüències
X
0
1
2
3
4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 15: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/15.jpg)
2a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Absoluta (ni) Nombre de vegades q es repeteix un valor d’una variable
o una modalitat d’un atribut
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
![Page 16: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/16.jpg)
X
ni
0 5
1 5
2 4
3 3
4 3
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat.. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
El valor “0” apareix 5 vegades: Freqüència absoluta de valor “0” = 5
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
El valor “4” apareix 3 vegades: Freqüència absoluta de valor “4” = 3
![Page 17: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/17.jpg)
2a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Absoluta (ni) Nombre de vegades q es repeteix un valor d’una variable
o una modalitat d’un atribut
Propietats:
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
ni = n1 + n2 +…+ nk = Ni=1
K
∑
Nombre de valors diferents de la variable X
Freqüència absoluta (valor xi o modalitat ai apareix ni vegades)
Total d’observacions (grandària de la mostra o població)
![Page 18: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/18.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
X
ni
0 5
1 5
2 4
3 3
4 3
20
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
5+5+4+3+3=20=N
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Interpretació de la Freqüència Absoluta (ni): n1: Del total d’empreses enquestades, hi ha 5 q no han fet cap patent. n2: 5 empreses q només han patentat una innovació. Aquestes categories són les que més vegades és presenten a la mostra donat que són les que tenen una major freqüència absoluta
![Page 19: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/19.jpg)
3a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Relativa (fi) Freqüència absoluta entre el total de les observacions
€
fi =niN
i =1,...,k
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
![Page 20: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/20.jpg)
X
ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
f1 =n1N=520
= 0.25
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 21: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/21.jpg)
€
fi = f1 + f2 + ...+ fk =n1N
+n2N
+ ...+ nkN
=i=1
K
∑
=n1 + n2 + ...+ nk
N⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
=NN
= 1
3a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Relativa (fi) Freqüència absoluta entre el total de les observacions Propietat:
€
fi =niN
i =1,...,k
€
fi = 1i=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
Propietat de la Freqüència Absoluta
![Page 22: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/22.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
0.25+0.25+0.2+0.15+0.15=1
X
ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
![Page 23: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/23.jpg)
3a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Relativa (fi) Freqüència absoluta entre el total de les observacions Propietat:
€
fi =niN
i =1,...,k
€
fi = 1i=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
• Facilita comparació amb altres distribucions • És una mesura de la probabilitat
![Page 24: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/24.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
X
ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
Quin % d’empreses han registrat 4 patents?
Resultat: 15%
Quina probabilitat hi ha que en escollir una empresa a l'atzar de la nostra mostra aquesta hagi registrat 4 patents?
Resultat: 15 %
![Page 25: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/25.jpg)
3a. Etapa: Càlcul de la Freqüència Relativa (fi) Freqüència absoluta entre el total de les observacions Propietat:
€
fi =niN
i =1,...,k
€
fi = 1i=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
• Facilita comparació amb altres distribucions • És una mesura de la probabilitat • Per calcular fi , N ha de ser prou gran • N<50 + adequat donar ni (nre. de casos)
![Page 26: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/26.jpg)
4a. Etapa: Càlcul de la Freqüències Acumulades 4.1. Freqüència Absoluta Acumulada (Ni) Nombre d’observacions o dades amb un valor ≤ al valor considerat
€
Ni = n1 + n2 + ...+ ni i = 1,...,k
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
![Page 27: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/27.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
10=5+5 → N2= n1+n2
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
X
ni fi Ni
0 5 0.25 5
1 5 0.25 10
2 4 0.20 14
3 3 0.15 17
4 3 0.15 20
20 1
![Page 28: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/28.jpg)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes) 4a. Etapa: Càlcul de la Freqüències Acumulades 4.1. Freqüència Absoluta Acumulada (Ni) Nombre d’observacions o dades amb un valor ≤ al valor considerat
Propietats
€
Ni = n1 + n2 + ...+ ni i = 1,...,k
€
N1 = n1
€
Nk = n1 + n2 + ...+ nk = N
Per a la 1r valor/categoria de la variable (x1): Freqüència absoluta acumulada = Freqüència absoluta
Per al darrer valor/categoria de la variable (xk): Freqüència absoluta acumulada = Total observacions
![Page 29: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/29.jpg)
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
X
ni fi Ni
0 5 0.25 5
1 5 0.25 10
2 4 0.20 14
3 3 0.15 17
4 3 0.15 20
20 1
N1= n1
Nk= N
![Page 30: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/30.jpg)
4a. Etapa: Càlcul de la Freqüències Acumulades 4.2. Freqüència Relativa Acumulada (Fi) → 2 opcions:
• Freqüència absoluta acumulada entre el total d’observacions • Suma de les freqüències relatives dels valors ≤ al valor considerat
€
Fi =Ni
N= fii + f2 + ...+ fk i =1,...,k
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
![Page 31: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/31.jpg)
F2=0.50=10/20=N2/N
F2=0.50=0.25+0.25= f1+f2
X
ni fi Ni Fi
0 5 0.25 5 0.25
1 5 0.25 10 0.50
2 4 0.20 14 0.70
3 3 0.15 17 0.85
4 3 0.15 20 1
20 1
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 32: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/32.jpg)
4a. Etapa: Càlcul de la Freqüències Acumulades 4.2. Freqüència Relativa Acumulada (Fi) → 2 opcions:
• Freqüència absoluta acumulada entre el total d’observacions • Suma de les freqüències relatives dels valors ≤ al valor considerat
Propietats:
Fk =1€
Fi =Ni
N= fii + f2 + ...+ fk i =1,...,k
€
F1 = f1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
1r valor/categoria de la variable (x1): Freqüència relativa acumulada = Freqüència relativa
Darrer valor/categoria de la variable (xk): Freqüència absoluta acumulada = 1
![Page 33: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/33.jpg)
4a. Etapa: Càlcul de la Freqüències Acumulades 4.2. Freqüència Relativa Acumulada (Fi) → 2 opcions:
• Freqüència absoluta acumulada entre el total d’observacions • Suma de les freqüències relatives dels valors ≤ al valor considerat
Propietats:
Fk =1€
Fi =Ni
N= fii + f2 + ...+ fk i =1,...,k
€
F1 = f1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
1
1
21
121
===+++
=
==+++= ∑=
NN
NN
NnnnF
ffffF
kkk
k
iikk
…
…
![Page 34: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/34.jpg)
X
ni fi Ni Fi
0 5 0.25 5 0.25
1 5 0.25 10 0.50
2 4 0.20 14 0.70
3 3 0.15 17 0.85
4 3 0.15 20 1
20 1
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
F1= f1
Fk= Nk/N = 1
![Page 35: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/35.jpg)
X
ni fi Ni Fi
0 5 0.25 5 0.25
1 5 0.25 10 0.50
2 4 0.20 14 0.70
3 3 0.15 17 0.85
4 3 0.15 20 1
20 1
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Resultat: 50%
Quin % d’empreses han realitzat com a màxim una patent?
Resultat: 50%
Quina probabilitat hi ha que en escollir una empresa a l'atzar de la nostra mostra aquesta hagi registrat 1 o menys patents?
![Page 36: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/36.jpg)
X
ni fi Ni Fi
0 5 0.25 5 0.25
1 5 0.25 10 0.50
2 4 0.20 14 0.70
3 3 0.15 17 0.85
4 3 0.15 20 1
20 1
Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
Exemple: Taules de freqüències
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
I la probabilitat de haver registrat tres o més patents?
Resultat: 30%
F3=0.7 (realitzar 0,1 o 2 patents)
1 - 0.7 = 0.3 = 30%
![Page 37: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/37.jpg)
X ni fi Ni Fi
x1 n1 f1 N1=n1 F1=f1
x2 n2 f2 N2=n1+n2 F2=f1+f2
x3 n3 f3 N3=n1+n2+n3 F3=f1+f2+f3
… … … … …
xk nk fk Nk=n1+n2+n3+…+nk=N Fk=f1+f2+f3+…+fk=1
N 1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
![Page 38: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/38.jpg)
X ni fi Ni Fi
x1 n1 f1 N1=n1 F1=f1
x2 n2 f2 N2=n1+n2 F2=f1+f2
x3 n3 f3 N3=n1+n2+n3 F3=f1+f2+f3
… … … … …
xk nk fk Nk=n1+n2+n3+…+nk=N Fk=f1+f2+f3+…+fk=1
N 1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació de taules de freqüències (etapes)
Fins ara hem treballat amb dades individuals pq la variable d’estudi prenia pocs valors diferents
Què passa si la nostra variable pren un nombre elevat de valors?
Elaboració d’una taula de freqüències amb dades agrupades en intervals
![Page 39: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/39.jpg)
Consideracions inicials
1. Objectiu: agrupar els valors de la variable en un nre. d'intervals que no sigui excessivament gran
2. Perdem informació. Només sabrem en nre. d'observacions q hi ha en cada interval però no el valor exacte d'aquestes observacions
3. Intervals creats de forma artificial per l’investigador/a pq les dades es recullen de forma individualitzada
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Dades agrupades
![Page 40: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/40.jpg)
1. Decisió sobre el nre. de classes (intervals) No existeix cap regla, però es suggereix emprar:
€
2 N
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
Però si N=100 tindríem q fer 20 intervals i és excessiu. Què s’entén per un nombre excessiu? En general 15 intervals com a màxim. Per tant, és una decisió ad hoc (segons la circumstància).
![Page 41: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/41.jpg)
1. Decisió sobre el nre. de classes (intervals) No existeix cap regla, però es suggereix emprar:
2. Amplada de l’interval (ai) ⟶
€
ai =rang
nºde classes€
2 N
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
Rang (Recorregut) = (valor +gran de X) – (valor +petit de X)
ReX = MaxX – MinX
• Si nombre intervals predefinits, tenim automàticament ai
• Si ai predefinida, tenim automàticament nombre intervals
![Page 42: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/42.jpg)
1. Decisió sobre el nre. de classes (intervals) No existeix cap regla, però es suggereix emprar:
2. Amplada de l’interval (ai) ⟶
3. Interval definit pels seus extrems ⟶
€
ai =rang
nºde classes€
2 N
(Li−1,Li ] ]Li−1,Li ]
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
Extrem superior (obert)
Extrem inferior (tancat)
(a,b] = ]a,b] a fora del interval i b sí pertany
![Page 43: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/43.jpg)
1. Decisió sobre el nre. de classes (intervals) No existeix cap regla, però es suggereix emprar:
2. Amplada de l’interval (ai) ⟶
3. Interval definit pels seus extrems ⟶
4. ai pot ser constant o variable. Per tant,
€
ai =rang
nºde classes€
2 N
€
(Li−1,L1] ]Li−1,L1]
€
ai = Li − Li−1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
Exemple:
En estudi de Wmensual poques observacions entre 5500€ i 12000€.
Útil: (5500-12000], independentment de la grandària de la resta d’intervals
![Page 44: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/44.jpg)
1. Decisió sobre el nre. de classes (intervals) No existeix cap regla, però es suggereix emprar:
2. Amplada de l’interval (ai) ⟶
3. Interval definit pels seus extrems ⟶
4. ai pot ser constant o variable. Per tant,
5. Marca de classe (ci): Punt representatiu (mitjà) de l’interval
€
ai =rang
nºde classes€
2 N
€
(Li−1,L1] ]Li−1,L1]
€
ai = Li − Li−1
ci =Li + Li−12
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
![Page 45: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/45.jpg)
6. Alçada d’un interval (hi). Important quan l'amplitud dels intervals és variable per la realització de gràfics.
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
hi =niai
; hi =fiai
Superfície del rectangle de l'histograma, coincideixi amb la freqüència absoluta
Superfície del rectangle de l'histograma, coincideixi amb la freqüència relativa
![Page 46: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/46.jpg)
6. Alçada d’un interval (hi). Important quan l'amplitud dels intervals és variable per la realització de gràfics.
7. Selecció punt inicial (L0). Límit inferior de l'interval +petit (el primer).
Recomanació: Valor mínim de X o preveure valor inferior
8. Selecció punt final. Límit superior de l’interval + gran (l’ últim)
Recomanació: Incloure valor màxim de X o preveure valor superior
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Creació d’intervals
hi =niai
; hi =fiai
![Page 47: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/47.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
• Variable a analitzar: “despesa en innovació” (X) • 20 observacions (N) • Variable X: Variable continua discretalitzada
• Amplitud de l’interval (ai) constant i igual a 20
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 48: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/48.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X
(L0,L1]
(L1,L2]
(L2,L3]
(L3,L4]
(L4,L5]
(L7,L6]
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 49: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/49.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X
(0,20]
(20,40]
(40,60]
(60,80]
(80,100]
(100,120]
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 50: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/50.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni
(0,20]
(20,40]
(40,60]
(60,80]
(80,100]
(100,120]
8
24, 32, 36, 38, 39
42, 47, 51, 59
64, 71, 73, 74, 76
83, 91, 92
108, 109
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 51: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/51.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni
(0,20] 1
(20,40] 5
(40,60] 4
(60,80] 5
(80,100] 3
(100,120] 2
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
?
![Page 52: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/52.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni
(0,20] 1
(20,40] 5
(40,60] 4
(60,80] 5
(80,100] 3
(100,120] 2
N=20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Empresa amb despesa de 40.000 €?
?
![Page 53: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/53.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi (0,20] 1 0.05
(20,40] 5 0.25
(40,60] 4 0.20
(60,80] 5 0.25
(80,100] 3 0.15
(100,120] 2 0.1
N=20 1
€
fi =niN
1/20
5/20
4/20
5/20
3/20
2/20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
?
![Page 54: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/54.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni
(0,20] 1 0.05 1
(20,40] 5 0.25 6
(40,60] 4 0.20 10
(60,80] 5 0.25 15
(80,100] 3 0.15 18
(100,120] 2 0.1 20
N=20 1
N1=n1=1
N2=n1+n2=6
N3=n1+n2+n3=10
N4=n1+n2+n3+n4=15
N5=n1+n2+n3+n4+n5=15
N6=n1+n2+n3+n4+n5+n6=20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 55: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/55.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi
(0,20] 1 0.05 1 0.05
(20,40] 5 0.25 6 0.30
(40,60] 4 0.20 10 0.50
(60,80] 5 0.25 15 0.75
(80,100] 3 0.15 18 0.90
(100,120] 2 0.1 20 1
N=20 1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Fi =Ni
N= f1 + f2 ++ fi
F1=N1/N=f1
F2=N2/N=f1+f2
F3=N3/N=f1+f2+f3
F4=N4/N=f1+f2+f3+f4
F5=N5/N=f1+f2+f3+f4+f5
F6=N6/N=f1+f2+f3+f4+f5+f6
Propietats
![Page 56: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/56.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi ci
(0,20] 1 0.05 1 0.05 10
(20,40] 5 0.25 6 0.30 30
(40,60] 4 0.20 10 0.50 50
(60,80] 5 0.25 15 0.75 70
(80,100] 3 0.15 18 0.90 90
(100,120] 2 0.1 20 1 110
N=20 1
Estadística econòmica i empresarial I
ci =Li−1 + Li2
c1=(0+20)/2
c2=(20+40)/2
c3=(40+60)/2
c5=(80+100)/2
c6=(100+120)/2
c4=(60+80)/2
Propietats
![Page 57: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/57.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi ci ai
(0,20] 1 0.05 1 0.05 10 20
(20,40] 5 0.25 6 0.30 30 20
(40,60] 4 0.20 10 0.50 50 20
(60,80] 5 0.25 15 0.75 70 20
(80,100] 3 0.15 18 0.90 90 20
(100,120] 2 0.1 20 1 110 20
N=20 1
Estadística econòmica i empresarial I
ai = Li + Li−1c1=20-0
c2=40-20
c3=60-40
c4=80-60
c5=100-80
c6=120-100
![Page 58: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/58.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi ci ai
(0,20] 1 0.05 1 0.05 10 20
(20,40] 5 0.25 6 0.30 30 20
(40,60] 4 0.20 10 0.50 50 20
(60,80] 5 0.25 15 0.75 70 20
(80,100] 3 0.15 18 0.90 90 20
(100,120] 2 0.1 20 1 110 20
N=20 1
Estadística econòmica i empresarial I
• Quina probabilitat hi ha que en escollir una empresa a l'atzar de la nostra mostra tingui una despesa en innovació inferior a 40.000€?
Resultat: 30%
• Quina probabilitat hi ha que en escollir una empresa a l'atzar hagi realitzat una despesa en innovació entre 80.000 i 100.000 €?
Resultat: 15%
![Page 59: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/59.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi ci ai
(0,20] 1 0.05 1 0.05 10 20
(20,40] 5 0.25 6 0.30 30 20
(40,60] 4 0.20 10 0.50 50 20
(60,80] 5 0.25 15 0.75 70 20
(80,100] 3 0.15 18 0.90 90 20
(100,120] 2 0.1 20 1 110 20
N=20 1
Estadística econòmica i empresarial I
hi
0.05
0.25
0.20
0.25
0.15
0.10
€
hi =niai
![Page 60: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/60.jpg)
Interessats en l’estudi de la despesa en innovació que va realitzar al darrer trimestre les empreses de la mostra (dades en milers d’euros)
Exemple: Taules de freqüències amb dades agrupades
73 76 38 59 108 8 71 63 32 39
92 47 51 83 91 74 42 109 24 36
X ni fi Ni Fi ci ai
(0,20] 1 0.05 1 0.05 10 20
(20,40] 5 0.25 6 0.30 30 20
(40,60] 4 0.20 10 0.50 50 20
(60,80] 5 0.25 15 0.75 70 20
(80,100] 3 0.15 18 0.90 90 20
(100,120] 2 0.1 20 1 110 20
N=20 1
Estadística econòmica i empresarial I
hi
0.0025
0.0125
0.0100
0.0125
0.0075
0.0050
€
hi =f iai
![Page 61: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/61.jpg)
Qualitatives nominals (Observacions només és poden classificar)
• Taules amb dades individuals o Normalment poques categories o No és poden agrupar en intervals
• No calcular les freqüències acumulades (ni absolutes ni relatives)
Qualitatives ordinals (classificació + ordenació)
• Taules amb dades individuals i agrupades • És poden calcular freqüències acumulades (absolutes i relatives)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Dades qualitatives
![Page 62: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/62.jpg)
Determinar distribució de freqüències necessitem:
• Diferents valors q pren la variable (xi)
• Total d’observacions (N)
• Qualsevol de les freqüències (ni, fi, Ni, Fi)
X ni fi Ni Fi
0 5 =5/20 =5 =(5/20)
1 5 =5/20 =5+5 =(5+5)/20
2 4 =4/20 =5+5+4 =(5+5+4)/20
3 3 =3/20 =5+5+4+3 =(5+5+4+3)/20
4 3 =3/20 =5+5+4+3+3 =(5+5+4+3+3)/20
20 E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Comentaris addicionals
€
fi =niN
![Page 63: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/63.jpg)
Determinar distribució de freqüències necessitem:
• Diferents valors q pren la variable (xi)
• Total d’observacions (N)
• Qualsevol de les freqüències (ni, fi, Ni, Fi)
X ni fi Ni Fi
0 =20*0.05 0.05
1 =20*0.25 0.25
2 =20*0.20 0.20
3 =20*0.25 0.25
4 =20*0.15 0.15
20 E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Comentaris addicionals
€
fi =niN→ ni = N ⋅ f i
![Page 64: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/64.jpg)
Determinar distribució de freqüències necessitem:
• Diferents valors q pren la variable (xi)
• Total d’observacions (N)
• Qualsevol de les freqüències (ni, fi, Ni, Fi)
X ni fi Ni Fi
0 =5 5
1 =10-5 10
2 =14-10 14
3 =17-14 17
4 =20-17 20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Comentaris addicionals
n1 = N1ni = Ni − Ni−1 ∀i = 2,3,…,n
![Page 65: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/65.jpg)
Determinar distribució de freqüències necessitem:
• Diferents valors q pren la variable (xi)
• Total d’observacions (N)
• Qualsevol de les freqüències (ni, fi, Ni, Fi)
X ni fi Ni Fi
0 =0.25*20 0.25
1 =0.50*20 0.50
2 =0.70*20 0.70
3 =0.70*20 0.85
4 =1*20 1
20 E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.1. Tabulació. Comentaris addicionals
Fi =NiN→ Ni = Fi ⋅N
![Page 66: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/66.jpg)
Tema 2.2. Representació gràfica • Dades quantitatives sense agrupar: diagrama de sectors, de
barres, d’escala, de caixa (box plot) i de tija i fulles
• Dades quantitatives agrupades: histograma, polígon de freqüències no acumulades i polígon de freqüències acumulades
(veure Conceptes bàsics 2.pdf)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 67: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/67.jpg)
Representació gràfica proporciona de forma ràpida i visual una idea aproximada de l’aspecte que s’estudia.
Auxiliars de la interpretació, i les conclusions s’haurien d’obtenir de l’estudi de la taula estadística
Representació gràfica en funció de la tipus de dades � Quantitatives discretes o continues � Qualitatives nominals o ordinals
� Dades sense agrupar � Dades agrupades
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.2. Representació gràfica. Introducció
![Page 68: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/68.jpg)
• Dades quantitatives sense agrupar 1. Sectors 2. Barres 3. Escala 4. Diagrama de caixa (Box-Plot) 5. Tall i fulles
• Dades quantitatives agrupades 6. Histograma 7. Polígon de freqüències no acumulades 8. Polígon de freqüències acumulades
2.2. Representació gràfica. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 69: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/69.jpg)
Nota: Adequat per variable qualitatives nominals
Cercle apareix dividit en sectors de manera que els angles i, per tant, les àrees respectives siguin proporcionals a les freqüències (absolutes o relatives)
0
12
3
4Patents registrades
Gràfic amb freqüències absolutes
= Gràfic amb freqüencies relatives
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
1. Gràfic de sectors
X ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 70: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/70.jpg)
Sobre l’eix horitzontal els valors de la variable X, aixecar sobre cadascun dels punts una barra l’alçada de la qual sigui igual a la seva freqüència (absoluta o relativa). Buit entre barres per indicar els valors que no són possibles
Patents registrades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
2. Gràfic de barres
X ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1 0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
Gràfic de barres amb freqüències absolutes
Nota: Adequat per variable qualitatives E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 71: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/71.jpg)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 1 2 3 4
Sobre l’eix horitzontal els valors de la variable X, aixecar sobre cadascun dels punts una barra l’alçada de la qual sigui igual a la seva freqüència (absoluta o relativa). Buit entre barres per indicar els valors que no són possibles
Patents registrades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
2. Gràfic de barres
X ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
Gràfic de barres amb freqüències relatives
Nota: Adequat per variable qualitatives E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 72: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/72.jpg)
Representació de les freqüències acumulades. Pren forma d’una escala integrada per graons que pugen des del nivell zero de les freqüències fins al màxim (N per absolutes i 1 per relatives).
Patents registrades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
3. Gràfic d’escala
X ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
Gràfic d’escala amb freqüències absolutes acumulades
0
4
8
12
16
20
0 1 2 3 4 Nota: Adequat per variable qualitatives ordinals
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 73: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/73.jpg)
Representació de les freqüències acumulades. Pren forma d’una escala integrada per graons que pugen des del nivell zero de les freqüències fins al màxim (N per absolutes i 1 per relatives).
Patents registrades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
3. Gràfic d’escala
X ni fi
0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
20 1
Gràfic d’escala amb freqüències relatives acumulades
Nota: Adequat per variable qualitatives ordinals 0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 1 2 3 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 74: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/74.jpg)
Sintetitza en un gràfic diverses mesures estadístiques
4. Diagrama de caixa (Box-Plot)
EDAD
20,00
40,00
60,00
80,00
Mediana = Q2(0,5)
Valors atípics (outliers)
1,5RI
1,5RI
Valor màxim no atípic
RI =Q3-Q1
Valor mínim no atípic
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
Q3(0,75)
Q1(0,25)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 75: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/75.jpg)
4. Diagrama de caixa (Box-Plot)
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
Simetria Asimetria dreta
Asimetria esquerra
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 76: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/76.jpg)
5. Gràfic tall i fulles
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
Procediment semi-gràfic + útil quan la mostra no és molt gran. Avantatge: - arbitrari que histograma i + senzill de construir
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 77: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/77.jpg)
5. Gràfic tall i fulles
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives sense agrupar
Procediment semi-gràfic + útil quan la mostra no és molt gran. Avantatge: - arbitrari que histograma i + senzill de construir
1 10 8 31 10 9 31 10 9 31 10 9 3
Tall Valor Tall FullesCasos per
fulles18 18 1819 19 1919 19 1919 19 19
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 78: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/78.jpg)
6. Histograma
Conjunt de rectangles juxtaposats amb les següents característiques:
• Eix horitzontal escala adequada i uniforme
• Punt central de base = marca de classe
• Amplada rectangle = amplada interval
• Àrea proporcional a ni de classe
Nota: Si els intervals tenen amplades diferents (ai) s’ha de calcular l’alçada (hi) pq les superfícies coincideixin amb les freqüències.
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
0
2
4
6
8
10
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
Histograma de la despesa en innovació (ni)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 79: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/79.jpg)
6. Histograma
Conjunt de rectangles juxtaposats amb les següents característiques:
• Eix horitzontal escala adequada i uniforme
• Punt central de base = marca de classe
• Amplada rectangle = amplada interval
• Àrea proporcional a ni de classe
Nota: Si els intervals tenen amplades diferents (ai) s’ha de calcular l’alçada (hi) pq les superfícies coincideixin amb les freqüències.
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Histograma de la despesa en innovació (fi)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 80: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/80.jpg)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
Unint els punts mitjos (marca de classe de l’interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüències absolutes)
7. Polígon de freqüències no acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències absolutes de la despesa en innovació
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 81: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/81.jpg)
Unint els punts mitjos (marca de classe de l’interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüències relatives)
7. Polígon de freqüències no acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències absolutes de la despesa en innovació
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 82: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/82.jpg)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
Unint els punts mitjos (marca de classe de d'interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüència absoluta acumulada)
8. Polígon de freqüències acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències acumulades de la despesa en innovació
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 83: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/83.jpg)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
Unint els punts mitjos (marca de classe de d'interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüència absoluta acumulada)
8. Polígon de freqüències acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències acumulades de la despesa en innovació
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 84: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/84.jpg)
Unint els punts mitjos (marca de classe de d'interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüència relativa acumulada)
8. Polígon de freqüències acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències acumulades de la despesa en innovació
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 85: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/85.jpg)
Unint els punts mitjos (marca de classe de d'interval) situats a la part superior del rectangles de d'histograma (freqüència relativa acumulada)
8. Polígon de freqüències acumulades
2.2. Representació gràfica. Dades quantitatives agrupades
Polígon de freqüències acumulades de la despesa en innovació
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120]
Freq
üènc
ia
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 86: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/86.jpg)
Tema 2.3. Mesures de síntesi • Mesures de posició o localització • Mesures de dispersió absolutes i relatives
• Mesures de forma • Concentració versus Equidistribució
• Transformacions lineals
(veure Conceptes bàsics 2.pdf)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 87: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/87.jpg)
• La utilització d’estadístics (valors numèrics que calculem a partir de les dades, si és possible abans d’agrupar-les) permet evitar alguna de les arbitrarietats de taules i gràfics.
• Normalment es treballa amb diferents estadístics que recullen característiques d’interès dels fenòmens analitzats.
• Per exemple, estadístics de: – posició: central i localització – dispersió: absoluta i relativa – forma (simetria i curtosi) i concentració
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 88: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/88.jpg)
• Estadístic, mesura d’interès q serà operativa si compleix tres condicions: 1. En la seva determinació intervenen tots el valors de X
2. Sempre calculable 3. Única per cada distribució de freqüències
• Mesures referides a la mostra: contrastar-les i inferir-les a la població
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
![Page 89: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/89.jpg)
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 90: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/90.jpg)
• Mesures de tendència central • Mitjana aritmètica, mediana i moda • Relació entre mitjana aritmètica, mediana i moda
• Mesures de tendència no central • Quartils • Decils • Percentils
• Moments
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.1 Mesures de posició o localització
![Page 91: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/91.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Tendència central
Tendència no central
Mitjana aritmètica Mediana Moda Mitjana geomètrica Mitjana harmònica Mitjana quadràtica
Quartils Decils Percentils
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 92: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/92.jpg)
x =xini
i=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica
![Page 93: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/93.jpg)
Exemple: Mitjana aritmètica Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
X ni fi 0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
N=20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 94: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/94.jpg)
Propietats (I)
1. La suma de les desviacions de totes les observacions de la variable respecte a la mitjana és 0
R Pq mitjana és el veritable valor central de la distribució: centre de gravetat i punt
d’equilibri de la distribució
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
(xi − x ) =i=1
N
∑ xi − x =i=1
N
∑i=1
N
∑ xi − Ni=1
N
∑ x = xi − Ni=1
N
∑xi
i=1
N
∑N
= xi − xi = 0i=1
N
∑i=1
N
∑
![Page 95: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/95.jpg)
Exemple: Mitjana aritmètica Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
X ni fi 0 5 0.25
1 5 0.25
2 4 0.20
3 3 0.15
4 3 0.15
N=20
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Propietat 1
![Page 96: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/96.jpg)
Propietats (I)
1. La suma de les desviacions de totes les observacions de la variable respecte a la mitjana és 0
2. L’expressió matemàtica que representa la mitjana aritmètica coincideix amb el moment ordinari (o respecte l’origen) de 1r ordre “a1”
xa =1
(xi − x ) =i=1
N
∑ xi − x =i=1
N
∑i=1
N
∑ xi − Ni=1
N
∑ x = xi − Ni=1
N
∑xi
i=1
N
∑N
= xi − xi = 0i=1
N
∑i=1
N
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
![Page 97: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/97.jpg)
Exemple: Mitjana aritmètica Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
X ni a=2 b=4
0 5 2 4
1 5 3 5
2 4 4 6
3 3 5 7
4 3 6 8
N=20
Propietat 2
![Page 98: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/98.jpg)
Propietats (II) 3. La mitjana aritmètica queda afectada pels canvis d’origen. Si a tots els valors que
pren una variable li sumem (restem) una constant a, la mitjana aritmètica queda augmentada (disminuïda) en aquesta constant
!xi = xi + a
!x =!xi
i=1
N
∑N
=xi + a( )
i=1
N
∑N
=xi + a
i=1
N
∑i=1
N
∑N
=xi
i=1
N
∑N
+a
i=1
N
∑N
=
=xi
i=1
N
∑N
+N ⋅aN
= x + a
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 99: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/99.jpg)
Exemple: Mitjana aritmètica Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
X ni a=2 b=4
0 5 2 4
1 5 3 5
2 4 4 6
3 3 5 7
4 3 6 8
N=20
Propietat 3
![Page 100: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/100.jpg)
Propietats (III) 4. La mitjana aritmètica queda afectada pels canvis d’escala. Si a tots els valors que
pren una variable li vam multipliquem (dividim) una constant a, la mitjana aritmètica queda multiplicada (dividida) en aquesta constant
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
!xi = axi
!x =!xi
i=1
N
∑N
=axi( )
i=1
N
∑N
=a xii=1
N
∑N
= ax
x =xini
i=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
![Page 101: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/101.jpg)
Propietats (IV) 5. En base a les propietats 3 i 4:
si
i definim: , llavors baxx ii +=ʹ
N
nx
xx
N
iii
i
∑==→ 1
x = axi + b
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 102: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/102.jpg)
Propietats (V) 6. Si una variable pren sempre el mateix valor, la mitjana aritmètica serà igual a aquest
valor constant
X = edat = 20;20;20;20;20N = 5Llavors :
x =xi
i=1
N
∑N
=20+ 20+ 20+ 20+ 20
5= 20
x =xini
i=1
K
∑N
=20 ⋅55
= 20
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 103: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/103.jpg)
Propietats (VI) 7. Si el total d'observacions està dividit en subgrups de diferents grandàries, Ni, tal
que , dels quals es coneix la seva corresponent mitjana aritmètica. La mitjana aritmètica del total d'observacions es pot calcular a partir de les mitjanes aritmètiques parcials ponderades per les seves respectives grandàries mostrals.
NN...NNdondeN
xN...xNxNx ZBAZZBBAA =+++
+++=
Ni = N∑
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 104: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/104.jpg)
Exemple: Mitjana aritmètica Interessats en l’estudi del nombre de patents que realitza un sector determinat. Seleccionem 20 empreses i obtenim les següents dades
0 1 1 2 3 0 0 4 4 2
2 3 1 0 3 2 1 1 0 4
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Propietat 7 X ni
0 5
1 5
2 4
3 3
4 3
N=20
XA nj
0 5
1 5
2 4
NA=14
XB nl
3 3
4 3
NB=6
![Page 105: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/105.jpg)
Propietats (VI) 7. Si el total d'observacions està dividit en subgrups de diferents grandàries, Ni, tal
que , dels quals es coneix la seva corresponent mitjana aritmètica. La mitjana aritmètica del total d'observacions es pot calcular a partir de les mitjanes aritmètiques parcials ponderades per les seves respectives grandàries mostrals.
NN...NNdondeN
xN...xNxNx ZBAZZBBAA =+++
+++=
x =xini
i=1
k
∑N
=(x1n1)+...+ (x jnj )"# $%+ (x j+1nj+1)+...+ (xknk )"# $%
N
NNN BA =+Demostració:
Ni = N∑
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 106: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/106.jpg)
Propietats (VII) 8. La mitjana aritmètica d’una suma és la suma de mitjanes aritmètiques.
9. La mitjana aritmètica és la quantitat que fa mínima la suma del quadrat de les desviacions respecte a un valor
z =zini
i=1
k
∑N
=xi + yi( )ni
i=1
k
∑N
=xini
i=1
k
∑N
+yini
i=1
k
∑N
= x + y
(xi − a)2 és mínim si a = x
i=1
k
∑
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 107: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/107.jpg)
Exemple: Propietats mitjana
Heu contractat una empresa per realitzar una campanya de publicitat. L'empresa contractada us dóna un pressupost on s'especifica que el salari mensual d'un publicista novell és de 850€ i el salari d'un publicista qualificat de 1350€. Al final del projecte l’empresa de publicitat ha pagat un salari mitjà de 966.07 €. Quants publicistes novells han emprat en la vostra campanya i quants publicistes qualificats han participat en ella?
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 108: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/108.jpg)
Avantatges • Considera tots els valors de la variable • És una mesura calculable tant en escales d'interval com de raó • Pren sempre un valor únic • Representa el centre de gravetat de la distribució • Sol ser la mesura de posició central més adequada per a
distribucions en escala d'intervals o de proporcions
Inconvenients • Es veu afectada pels valors extrems que poden distorsionar el seu
valor fent-ho poc representatiu
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica x =
xinii=1
k
∑N
= xi fii=1
K
∑
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 109: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/109.jpg)
Exemple: mitjana i valors extrems
Es disposa del W mensual del 9 treballadors en dos centres de treball. Calcula la mitjana aritmètica i comenta els seus resulta
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 600 900 1200 850 2100 600 2300 790 4800
Y 600 900 1200 850 2100 600 2300 790 1900
![Page 110: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/110.jpg)
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == K
ii
k
iiii
N
ii
N
iii
w
nwx
w
wx
x
1
1
1
1
2.3.1 Mesures de posició central. Mitjana aritmètica ponderada
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 111: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/111.jpg)
Exemple: Mitjana ponderada
En procés de selecció d'una empresa es fan quatre proves puntuades del 0 a 10 cadascuna d'elles. Si un aspirant ha obtingut un 9 a la Prova1, un 6 a la Prova2, a 8 en la Prova3 i a la Prova4 un 6.
1. Quin és la nota mitjana de l'aspirant? 2. Si la prova 2 i 3 puntuen el doble que la resta i la quarta el triple.
Canvia la nota mitjana?
1) La nota mitjana de l’aspirant és 7.25 punts 2) La incorporació de les ponderacions a les diferents proves suposa una
modificació de la seva nota mitjana que ara és de 6.87 punts
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Nota 9 6 8 6
Pes (w) 1 2 2 3
![Page 112: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/112.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Tendència central
Tendència no central
Mitjana aritmètica Mediana Moda
Quartils Decils Percentils
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 113: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/113.jpg)
Valor que ocupa el centre de la distribució. Valor tal q, ordenades les dades de forma creixent o decreixent, deixa per damunt i per sota el mateix nombre d'observacions. Me té associada una Ni = N/2 Dades tipus I • N senar, valor de la variable que ocupa posició (N+1)/2:
• N par, mitjana aritmètica de dos valors centrals:
Dades Tipus II: primer valor de la variable que ocupa el lloc Ni ≥ N/2
Dades Tipus III: detectar el interval medià (acumula la freqüència N/2)
Me = Li−1 +
N2− Ni−1
ni·ai
Me =xN /2 + x(N /2)+1
2
Me = x(N+1)/2
2.3.1 Mesures de posició central. Mediana
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 114: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/114.jpg)
Propietats: 1. Fa mínima la suma de totes les desviacions absolutes
2. No l’afecta l'existència de valors extrems/atípics (era la gran inconveniència de la mitjana aritmètica)
3. Es pot calcular (té sentit) per dades qualitatives ordinals
⟶ Mitjana aritmètica i mediana diferiran molt quan les distribucions siguin molt asimètriques (suggereix q dades són heterogènies)
x i−ki=1
N
∑ mínima si k = Me
2.3.1 Mesures de posició central. Mediana
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 115: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/115.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Tendència central
Tendència no central
Mitjana aritmètica Mediana Moda
Quartils Decils Percentils
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 116: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/116.jpg)
Valor de la variable amb major freqüència (absoluta o relativa). Aquell q més vegades és repeteix. Al diagrama de barres, la barra amb més alçada.
Casos particulars: Distribucions sense moda, bimodals, trimodals o, amb caràcter general, multimodals
Avantatges: Donat q per calcular-la no requereix l'ordenació de la variable, és la mesura de posició més representativa (i única) de les variables qualitatives nominals
Inconvenients: • En el seu càlcul no intervenen totes les observacions de la variable • La dificultat de obtenir-la en variables continues.
Mo ≈ 3Me− 2x
2.3.1 Mesures de posició central. Moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 117: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/117.jpg)
1. Tres mesures de posició (tendència central) que persegueixen sintetitzar la informació que disposem (observacions) en un únic valor
2. No tenen perquè coincidir
3. Proporcionen informació complementaria, no substitutives
4. En f(relació entre elles) podem analitzar la simetria de la distribució
x =Me =Mo→ Distribució simètrica
Mo <Me < x→ Distribució asimètrica a la dreta ( positiva)
Mo >Me > x→ Distribució asimètrica a l 'esquerra (negativa)
2.3.1 Mesures de posició central. Relació entre mitjana, mediana i moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 118: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/118.jpg)
El valor que més es repeteix (Moda), també deixa el 50% d'observacions a cada costat (Mediana) i és el centre de gravetat de la distribució (Mitjana aritmètica)
x = Me = Mo→ Distribució simètrica
ni
Xi
ni + elevada
x50% observacions 50% observacions
Centre de gravetat
2.3.1 Mesures de posició central. Relació entre mitjana, mediana i moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 119: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/119.jpg)
La Mitjana aritmètica i la Mediana estan a la dreta de la Moda, llavors la distribució presenta asimetria a la dreta o positiva
ni
Xi Me50% observacions 50% observacions
Centre de gravetat
ni + elevada
xMo
Mo < Me < x → Distribució asimètrica a la dreta (positiva)
2.3.1 Mesures de posició central. Relació entre mitjana, mediana i moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 120: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/120.jpg)
La Mitjana aritmètica i la Mediana estan a l’ esquerra de la Moda, llavors la distribució presenta asimetria a l’esquerra o negativa
ni
Xi Me
50% observacions 50% observacions
Centre de gravetat
ni + elevada
x Mo
Mo > Me > x → Distribució asimètrica a l 'esquerra (negativa)
2.3.1 Mesures de posició central. Relació entre mitjana, mediana i moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 121: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/121.jpg)
ni
X xMe
MoMo
Per a corbes de freqüències unimodals lleugerament asimètriques, es té la següent relació empírica entre la mitjana, la mediana i la moda:
(Mitjana-Moda)=3(Mitjana-Mediana)
Inconvenients (exemple)
2.3.1 Mesures de posició central. Relació entre mitjana, mediana i moda
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 122: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/122.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Tendència central
Tendència no central
Mitjana aritmètica Mediana Moda
Quartils Decils Percentils
2.3. Mesures de posició. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 123: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/123.jpg)
Són els quantils que són valors de la variable que divideixen la distribució en parts amb igual nombre d’observacions.
En f(percentatge en la partició) els quantils més utilitzats són: • Quartils • Decils • Percentils
Nota: ordenar el conjunt de dades
2.3.1 Mesures de posició no central. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 124: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/124.jpg)
Els 3 valors de la variable (Q1,Q2,Q3) que permeten dividir la distribució en 4 parts iguals (contenen el 25% dels valors de la distribució)
• Q1 ocupa el lloc N/4
• Q2 ocupa el lloc 2N/4 (mediana=N/2)
• Q3 ocupa el lloc 3N/4
Valor q el 25% de les dades són anteriors a ell i el 75% són posteriors
Valor q el 75% de les dades són anteriors a ell i el 25% són posteriors
2.3.1 Mesures de posició no central. Cuartils
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 125: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/125.jpg)
Són els 9 valors de la variable que divideixen la distribució en 10 parts iguals (contenen el 10% dels valors de la distribució)
• D1 ocupa el lloc N/10
• D2 ocupa el lloc 2N/10
• ..........
• D9 ocupa el lloc 9N/10
Valor q el 20% de les dades són anteriors a ell i el 80% són posteriors
2.3.1 Mesures de posició no central. Decils
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 126: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/126.jpg)
Són els 99 valors de la distribució que divideixen la distribució en 100 parts iguals (contenen el 1% dels valors de la distribució)
• P1 ocupa el lloc N/100
• P2 ocupa el lloc 2N/100
• ..........
• P99 ocupa el lloc 99N/100
Valor q el 1% de les dades són anteriors a ell i el 99% són posteriors
Valor q el 99% de les dades són anteriors a ell i el 1% són posteriors
2.3.1 Mesures de posició no central. Percentils
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 127: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/127.jpg)
Moments (I)
• Valors que caracteritzen totalment a una distribució
• 2 distribucions són iguals si tenen tots els seus moments igual
• Es calculen com a potencies successives de la variable observada
• Expressió general:
• Dos tipus:
– Respecte al origen (ordinaris)
– Respecte a la mitjana aritmètica (centrals)
N
nOxM
k
ii
rti
r
∑=
⋅−= 1
)(
Sent: xi: valors de la variable Ot: origen arbitrari r: ordre del moment (0,1,2,3,...) ni: freqüència absoluta de xi N: Total d’observacions
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 128: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/128.jpg)
1. Respecte al origen (ar)à Origen (Ot) = 0
...2,1,0)(
11 =∀⋅
=⋅−
=∑∑== rN
nx
N
nOxa
k
ii
ri
k
ii
rti
r
111
0
0 ===⋅
=∑∑==
NN
N
n
N
nxa
k
ii
k
iii
xN
nx
N
nxa
k
iii
k
iii
=⋅
=⋅
=∑∑== 11
1
1
N
nxa
k
iii∑
=
⋅= 1
2
2
El moment ordinari (a1), o respecte al origen, d’ordre 0 és sempre la mitjana aritmètica
El moment ordinari (a0), o respecte al origen, d’ordre 0 és sempre 1
Moments (II)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 129: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/129.jpg)
1. Respecte a la (mr)à Origen (Ot) =
( )...2,1,0
)(11 =∀
⋅−=
⋅−=
∑∑== r
N
nxx
N
nOxm
k
ii
rii
k
ii
rti
r
( )111
0
0 ===⋅−
=∑∑==
NN
N
n
N
nxxm
k
ii
k
iiii
m1 =xi − x( )1 ⋅ni
i=1
k
∑N
=xi − x( ) ⋅ni
i=1
k
∑N
= 0 El moment central (m1), o respecte a la mitjana, de ordre 1 és sempre 0
El moment central (m0), o respecte a la mitjana, de ordre 0 és sempre 1
x x
m2 =xi − x( )2 ⋅ni
i=1
k
∑N
Aquesta és l'expressió de la variància (estadístic de dispersió)
Moments (II)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 130: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/130.jpg)
m1 =xi − x( )1 ⋅ni
i=1
k
∑N
=xi − x( ) ⋅ni
i=1
k
∑N
= 0
1. Propietat de la mitjana: suma de les desviacions dels valors de la variable respecte a la mitjana es sempre 0
2. d
xi − x( ) = 0i=1
N
∑ → xi − x( )ni = 0i=1
k
∑ →m1 =0N= 0
xi − x( )nii=1
k
∑N
=xini
i=1
k
∑N
−xni
i=1
k
∑N
=xini
i=1
k
∑N
− xni
i=1
k
∑N
= x − x = 0
Demostració
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 131: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/131.jpg)
Propietats 1. Tots els moments d’ordre 0 (ordinaris i centrals) són igual a la unitat
2. Tots els moments centrals (mr) es poden expressar en funció dels moments ordinaris o respecte l'origen
mr = ir⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
i=0
r
∑ a1i ar−i (−1)
i
m0 =1 / a0 =1M0 =1
Exemple
Moments (IV)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 132: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/132.jpg)
núm. combinatori “r sobre i”
Recordatori:
Exemple 2a propietat dels moments
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 133: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/133.jpg)
Exemple 2a propietat dels moments
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 134: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/134.jpg)
Exemple 2a propietat dels moments
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 135: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/135.jpg)
• Mesures de dispersió absoluta • Recorregut o rang, recorregut inerquartílic, variància, desviació
típica o estàndard
• Mesures de dispersió relativa • Coeficient de variació de Pearson
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.2 Mesures de dispersió
![Page 136: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/136.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Tendència central
Tendència no central
Mitjana aritmètica Mediana Moda
Quartils Decils Percentils
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 137: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/137.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Absoluta Relativa
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 138: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/138.jpg)
Fins a quin punt són representatius els estadístics de tendència central? ⟶ Dades + agrupades (- dispersió)⇒ + representativa
DISPERSIÓ (variabilitat): • Major o menor separació dels valors de la variable respecte a un
altre que sigui la seva síntesi
• no suficient: necessitem saber si es representativa de la distribució
x
x
Mesures de dispersió (estadístics q quantifiquen el grau de dispersió
de X entorn de la seva tendència central)
2.3.2 Mesures de dispersió. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 139: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/139.jpg)
1. Mesures de dispersió ABSOLUTES (unitats de mesures) • Recorregut (rang): màxim-mínim • Rang interquartilic: tercer quartil (Q3) – primer quartil (Q1) • Variància • Desviació estàndard • etc.
2. Mesures de dispersió RELATIVES (indicadors adimensionals) • Coeficient de variació • etc.
2.3.2 Mesures de dispersió. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 140: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/140.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Absoluta Relativa
RecorregutRang InterquartílicVariància Desviació Estàndard
Coeficient de variació (de Pearson)
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 141: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/141.jpg)
Diferència entre el valor màxim i mínim de la variable Dades tipus III (agrupades):
Avantatge: • La forma més senzilla d’indicar la dispersió
Inconvenients: • Molt simple, només utilitza dos valors de la variable • Molt sensible als valors extrems (outliers) • Només recomanable si els valors és distribueixen uniformement
Re = Max xi −Min xi i =1,...,n
Re = Lk − L0
2.3.2 Mesures de dispersió. Recorregut o rang (Re)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 142: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/142.jpg)
Diferència entre el primer quartil (Q1) i el tercer quartil (Q3) Quant menor és el recorregut interquartílic, menor dispersió presenta la variable
Indica q en un interval de longitud RI estan compreses el 50% de les observacions centrals (+ representatiu q Re pq no està afectat per la presencia de valors extrems)
13 QQRI −=
2.3.2 Mesures de dispersió. Rang interquartílic (RI)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 143: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/143.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Absoluta Relativa
RecorregutRang InterquartílicVariància Desviació Estàndard
Coeficient de variació (de Pearson)
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 144: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/144.jpg)
• Mesura l'error que cometem en triar a la mitjana aritmètica com valor representatiu de la distribució
• Mesura el grau de variabilitat de les dades de la distribució d’una variable quantitativa respecte a la mitjana aritmètica
• ∆ valor ⇒ ∇ pèrdua de representativitat de la (valors + allunyats d’aquesta mesura de posició central)
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2
2)(
x
2.3.2 Mesures de dispersió. Variància (S2)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 145: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/145.jpg)
Formes alternatives d'expressar-la:
1.
2.
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2
2)(
S2 =(xi − x )
2
i=1
N
∑N
=(x
i
2 − 2xix + x2 )
i=1
N
∑N
=
=xi
2
i=1
N
∑N
− 2xxi
i=1
N
∑N
+x 2
i=1
N
∑N
=xi
2
i=1
N
∑N
− 2xx + Nx2
N=
=xi
2
i=1
N
∑N
− x 2 =xi
2 − Nx 2i=1
N
∑N
∑∑∑
=
== −=−=−
=k
iii
k
ii
k
iii
fxxxN
nx
N
nxxS
i
1
221
2
1
2
2 )()(
2.3.2 Mesures de dispersió. Variància (S2)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 146: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/146.jpg)
Característiques: 1. Mesura de la variabilitat o dispersió de les dades
d’una variable respecte a la mitjana aritmètica
2. Coincideix amb el moment central de 2n ordre (m2)
3. Si xi=k ∀1=1,2,...,k , llavors S2=0 4. S2≥0
5. No li afecten els canvis d'origen
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2
2)(
22
22
2
ii
ii
i
xxii
xxii
xi
SSkxx
SSkxx
Sx
=→−=ʹ́
=→+=ʹ
→
ʹ́
ʹSi a tots els valors de la variable els sumem (restem) una constant
2.3.2 Mesures de dispersió. Variància (S2)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 147: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/147.jpg)
Propietat 5 de S2. No li afecten els canvis d'origen
Demostració
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 148: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/148.jpg)
Característiques: 1. Mesura de la variabilitat o dispersió de les dades
d’una variable respecte a la mitjana aritmètica
2. Coincideix amb el moment central de 2n ordre (m2)
3. Si xi=k ∀1=1,2,...,k , llavors S2=0 4. S2≥0
5. No li afecten els canvis d'origen
6. Sí li afecten els canvis d'escala
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2
2)(
22
22
2
ii
ii
i
xxii
xxii
xi
SSkxx
SSkxx
Sx
=→−=ʹ́
=→+=ʹ
→
ʹ́
ʹ
2
22
222
2
kS
Skxx
kSSkxx
Sx
i
i
ii
i
xx
ii
xxii
xi
=→=ʹ́
⋅=→⋅=ʹ
→
ʹ́
ʹSi a tots els valors de la variable els multipliquem (dividim) per una constant
2.3.2 Mesures de dispersió. Variància (S2)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 149: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/149.jpg)
Propietat 6 de S2. Sí li afecten els canvis d’escala
Demostració
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 150: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/150.jpg)
Inconvenients:
• Donat q utilitza les desviacions al quadrat , la seva unitat de mesura és la de la variable original al quadrat.
• Dificulta la seva interpretació
Solució: DESVIACIÓ ESTÀNDARD
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2
2)(2.3.2 Mesures de dispersió.
Variància (S2)
2)( xxi −
N
nxxSS
k
iii∑
=
−+=+= 1
2
2)(
u.m. X = u.m. x = u.m. S
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 151: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/151.jpg)
Característiques: 1. No pot ser negativa:
2. Igual que la variància, el valor més petit que pot prendre és 0
3. Igual que la variància, també es pot obtenir a partir dels moments ordinaris
4. No li afecten els canvis d’origen 5. Sí li afecten els canvis d’escala
N
nxxS
k
iii∑
=
−= 1
2)(
02 ≥+= xx SS
2122 aamS −==
kS
kS
SkS
Skxx
kSkSSkSSkxx
SSSx
ii
i
i
i
iiiii
iii
xxx
xx
ii
xxxxxii
xxxi
==→=→=ʹ́
=⋅=→⋅=→⋅=ʹ
=→→
ʹ́ʹ́
ʹʹ
2
2
2
22
22222
22
2.3.2 Mesures de dispersió. Desviació Estàndard (S)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 152: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/152.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Absoluta Relativa
RecorregutRang InterquartílicVariància Desviació Estàndard
Coeficient de variació (de Pearson)
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 153: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/153.jpg)
• Quocient entre la desviació estàndard i la mitjana aritmètica
• Habitualment s’expressa en %
interpretació: variació del x% respecte a la mitjana
CV =Sx
CV =Sx·100
2.3.2 Mesures de dispersió. Coeficient de variació de Pearson (CV)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 154: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/154.jpg)
Propietats: 1. És una mesura adimensional 2. Representa en nre. de vegades que la S conté la 3. Mesura q utilitza tota la ! de la variable 4. Cota inferior és 0 (màxima representativitat de la mitjana) 5. Quan no és significatiu 6. Sí li afecten els canvis d’origen 7. No li afecten els canvis d’escala
x
0=x
2.3.2 Mesures de dispersió. Coeficient de variació de Pearson (CV)
CV =Sx
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 155: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/155.jpg)
• Asimetria – Simetria • Coeficient de Fisher • Coeficient de Pearson
• Apuntament – curtosis • Coeficient de curtosis
2.3.3 Mesures de forma
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 156: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/156.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Simetria Curtosis
Coeficient de Pearson Coeficients de Fisher
Coeficient de curtosis
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 157: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/157.jpg)
Mesuren grau de simetria o d’asimetria d’una distribució sense representar-la gràficament
Simetria Hi ha un nombre igual de valors a ambdós costats d’un eix perpendicular que la divideix.
2.3.3 Mesures de forma. Mesures d’asimetria
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 158: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/158.jpg)
Indicador adimensional per distribucions unimodals i campaniformes
• Si Ap= 0 Distribució simètrica • Si Ap> 0 Distribució asimètrica positiva (esbiaixada a la dreta) • Si Ap< 0 Distribució asimètrica negativa (esbiaixada a l’esquerra)
ü Relació empírica entre Mitjana, Mediana i Moda:
Ap =x −MoS
Ap =3 x −Me( )
S
x −Mo ≅ 3 x −Me( )
I si la distribució no és unimodal i campaniforme?
2.3.3 Mesures de forma. Mesures d’asimetria. Coeficient de Pearson
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 159: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/159.jpg)
Indicador adimensional aplicable a totes les distribucions estadístiques • Si g1= 0 Distribució simètrica
• Si g1> 0 Distribució asimètrica positiva (esbiaixada a la dreta)
• Si g1< 0 Distribució asimètrica negativa (esbiaixada a l’esquerra)
Estadística econòmica i empresarial I
g1 =1S3·
xi − x( )3i=0
K
∑ ni
N= m3
S3
Mo = Me = x
Mo < Me < x
Mo > Me > x
2.3.3 Mesures de forma. Mesures d’asimetria. Coeficient de Fisher
E. Motellón
![Page 160: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/160.jpg)
g1 =1S3·
xi − x( )3i=0
K
∑ ni
N= m3
S3
g1 =1S3·
x13
i=0
K
∑ ni
N−
xii=0
K
∑ ni
N·
x12
i=0
K
∑ ni
N+ 2
xii=0
K
∑ ni
N
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
g1 =1S3· a3 − 3a1a2 + 2a1
3( )Estadística econòmica i empresarial I
2.3.3 Mesures de forma. Mesures d’asimetria. Coeficient de Fisher
E. Motellón
![Page 161: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/161.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Simetria Curtosis
Coeficient de Pearson Coeficients de Fisher
Coeficient de curtosis
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 162: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/162.jpg)
2.3.3 Mesures de forma. Mesures de curtosis (g2)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 163: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/163.jpg)
Indicador adimensional que mesura les deformacions en sentit vertical (apuntament) respecte a la normal. • Si g2= 0 Distribució mesocúrtica (normal) • Si g2> 0 Distribució leptocúrtica (apuntada) • Si g2< 0 Distribució platicúrtica (aplanada)
g2 =1S4·
xi − x( )4i=0
K
∑ ni
N− 3 = m4
S4− 3
xi − x( )4
i=0
K
∑ ni
N= 3·S 4
2.3.3 Mesures de forma. Mesures d’asimetria
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 164: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/164.jpg)
2.3.4 Mesures de concentració
• Concentració versus equidistribució • Corba de Lorenz • Índex de Gini
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 165: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/165.jpg)
Estadístics
Posició Dispersió Forma Concentració
Índex de Gini Corba de Lorenz
2.3. Mesures de síntesi. Introducció
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 166: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/166.jpg)
En estadística, CONCENTRACIÓ relacionada amb el grau d’igualtat o d’equitat en el repartiment d’una variable
Concentració NO com a antònim de dispersió
Molt rellevant en C. Socials • Igualtat en distribució salaris, rendes, etc. • Equitat en repartiments inversions, ajuts, etc.
X molt concentrada: pocs individus es queden amb la majoria del repartiment de la variable (renda, salaris, inversions, ajuts, etc.)
pi: com es reparteix la població en categories (= Fi) qi: com es reparteix la variable
2.3.4 Mesures de concentració. Introducció. Concentració vs Equidistribució
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 167: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/167.jpg)
Objectiu: mesurar el grau de repartiment del valor total d’una variable
Exemple: Disposem de la distribució W de N individus (ordenada)
Situacions extremes: 1. Concentració màxima: 1 individu percep tota la massa salarial
2. Concentració mínima: Tots els individus reben el mateix salari
nxxxxx ≤≤≤≤≤ ...4321
nxxxxx ===== ...4321
0014321 ≠====== − nn xx...xxxx
2.3.4 Mesures de concentració. Introducció. Concentració vs Equidistribució
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
➞ equidistribució
![Page 168: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/168.jpg)
1. Ordenar els valors (xi) de menor a major i calcular les Ni 2. Calcular el total de la variable que rep el grup d’individus amb ni
ui=xi·ni
3. Suma de tot el repartiment de la variable Uk (en exemple W seria la massa salarial)
4. Dos opcions:
a. Calcular el repartiment de la variable en termes acumulats: Ui = ui-1+ui
b. Relativitzar la xifra de ui à si = ui/Uk 5. Calcular pi: Freqüència relativa acumulada expressada en % (pi=(Ni/N)·100)
6. Calcular qi: Proporció acumulada del valor total de la variable per als diferents grups, expressada en %
1) qi = Ui/Uk
2) qi = si-1+si
Ui= Salari acumulat del grup i-èsim Uk= Total massa salarial
2.3.4 Mesures de concentració. Càlcul de pi i qi
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 169: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/169.jpg)
xi ni Ni ui=xi·ni Ui= ui+ui-1 pi=(Ni/N)·100 qi=(Ui/U)·100
18700 21 21 392700 392700 14.00 6.84
20400 25 46 510000 902700 30.67 15.73
28000 30 76 840000 1742700 50.67 30.37
32500 17 93 552500 2295200 62.00 40.00
45000 15 108 675000 2970200 72.00 51.76
50000 18 126 900000 3870200 84.00 67.45
62000 14 140 868000 4738200 93.33 82.57
100000 10 150 1000000 5738200 100.00 100.00
150 5738200 Com es reparteixen els treballadors en grups
(Fi)
Com es reparteixen els salaris
2.3.4 Mesures de concentració. Càlcul de pi i qi
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 170: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/170.jpg)
xi ni Ni ui=xi·ni Ui= ui+Ui-1 pi=(Ni/N)·100 qi=(Ui/Uk)·100
x1 n1 N1 u1=x1·n1 U1= u1 p1=(N1/N)·100 q1=(U1/Uk)·100
x2 n2 N2 u2=x2·n2 U2= u2+u1 p2=(N2/N)·100 q2=(U2/Uk)·100
… … … … … … …
… … … … … … …
xi ni Ni ui=xi·ni Ui= ui+ui-1+…+u1 pi=(Ni/N)·100 qi=(Ui/Uk)·100
… … … … … … …
… … … … … … …
xk nk Nk uk=xk·nk Uk= uk+uk-1+…+u1 100 100
pk=(Nk/N)·100 qk=(Uk/Uk)·100
2.3.4 Mesures de concentració. Càlcul de pi i qi
Estadística econòmica i empresarial I E. Motellón
![Page 171: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/171.jpg)
xi ni ui=xi·ni si=(ui/Uk)·100 Ui= ui+Ui-1 qi=(Ui/U)·100 qi=qi-1+si
18700 21 392700 6.84 392700 6.84 6.84
20400 25 510000 8.89 902700 15.73 15.73
28000 30 840000 14.64 1742700 30.37 30.37
32500 17 552500 9.63 2295200 40.00 40.00
45000 15 675000 11.76 2970200 51.76 51.76
50000 18 900000 15.68 3870200 67.45 67.45
62000 14 868000 15.13 4738200 82.57 82.57
100000 10 1000000 17.43 5738200 100.00 100.00
150 5738200
Amb l’opció b) dels punts 4 i 6
2.3.4 Mesures de concentració. Càlcul de pi i qi
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 172: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/172.jpg)
Representació gràfica del repartiment de la variable. Compara pi (com es reparteix la població) amb qi (com es reparteix la variable)
Procés:
1. Dibuixem quadre (costats dividits en una escala que va del 0 al 100)
2. Costat inferior eix d’ordenades (vertical): valors de qi
3. Costat esquerre eix d’abscisses (horitzontal): valors de pi
4. Projectar, en aquest eixos, punts formats per les coordenades que marquen els punts de concentració: pi i qi
5. Unim punts formant una corba poligonal (corba de Lorenz)
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 173: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/173.jpg)
pi qi 14.00 6.84 30.67 15.73 50.67 30.37 62.00 40.00 72.00 51.76 84.00 67.45 93.33 82.57
100.00 100.00 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 174: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/174.jpg)
pi qi 14 0 30 0 50 0 62 0 72 0 84 0 90 0 93 0 95 0 96 0 97 0 98 0 99 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 175: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/175.jpg)
pi qi 14.00 14.00 30.67 30.67 50.67 50.67 62.00 62.00 72.00 72.00 84.00 84.00 93.33 93.33
100.00 100.00 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 176: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/176.jpg)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
1. Corba situada necessàriament per sota de la bisectriu (recta ), atès q la distribució està ordenada de menor a major
2. Per ordenació de menor a major, la corba tindrà sempre una tendència creixent, partint del punt de l’origen (0,0) fins arribar al màxim (100,100)
3. Corba de concentració mínima (equidistribució) coincideix amb la bisectriu , donat que qi = pi
4. La corba de concentració màxima formada pels costats del quadre
5. + a prop corba de Lorenz de la bisectriu à + equitativa (- concentració)
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz
OB
nxxxxx ≤≤≤≤≤ ...4321
⇒ Sempre s’ha de complir que qi ≤ pi
OBABOA
OB
O A
B
corba q representa distribució + equitativa (- concentració)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 177: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/177.jpg)
Expressió numèrica de l’anàlisi de concentració:
• Índex de Gini pren valors compresos entre 0 i 1: 0 ≤ Ig ≤ 1
– Ig = 0 ⇒ Concentració mínima (equidistribució) à qi = pi
– Ig = 1 ⇒ Concentració màxima
• Sí li afecten els canvis d’origen
• No li afecten els canvis d’escala
nxxxxx ===== ...4321
%)100(0,1,...,2,1,00... 14321
=≠−=∀=
≠===== −
kki
nn
qqikiqxxxxxx
( )
∑
∑−
=
−
=
−= 1
1
1
1k
ii
k
iii
p
qpIg
2.3.4 Mesures de concentració. Índex de Gini (Ig)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 178: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/178.jpg)
Exemple: Índex de Gini xi ni Ni pi qi pi-qi
18700 21 21 14.00 6.84 7.16
20400 25 46 30.67 15.73 14.94
28000 30 76 50.67 30.37 20.30
32500 17 93 62.00 40.00 22.00
45000 15 108 72.00 51.76 20.24
50000 18 126 84.00 67.45 16.55
62000 14 140 93.33 82.57 10.76
100000 10 150 100.00 100.00 ---
150 67,406
1
1
=∑−
=
k
iip ( ) 94,111
1
1
=−∑−
=
k
iii qp
( )2753,0
67,40694,111
1
1
1
1 ==−
=
∑
∑−
=
−
=k
ii
k
iii
g
p
qpI
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 179: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/179.jpg)
Ig proper a 0 ⇒ corba de Lorenz + a prop de diagonal (bisectriu)
Ig proper a 1 ⇒ corba de Lorenz + a lluny de diagonal
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
O A
B
O A
B
O A
B
Ig < Ig
Major concentració (distribució + equitativa)
Ig = 0
Concentració mínima (equidistribució)
Ig = 1
Concentració màxima
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz i Índex de Gini
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 180: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/180.jpg)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
O A
B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
O A
B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
O A
B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p i
qi
O A
B
Ig= superfície OB / superfície OAB
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.3.4 Mesures de concentració. Corba de Lorenz i Índex de Gini
![Page 181: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/181.jpg)
Tema 2.4. Transformacions lineals
• Canvis d’escala
• Canvis d’origen
• Estandarització i tipificació
(veure Conceptes bàsics 2.pdf)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 182: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/182.jpg)
Situació: X analitzada experimenta algun tipus de transformació
Objectiu: Establir els valors dels estadístics de la variable transformada sense repetir tots els càlculs
Transformacions: • Canvis d’origen. Si a tots els valors que pren una variable
li sumem (restem) una constant a
• Canvis d’escala. Si a tots els valors que pren una variable els multipliquem (dividim) per una constant b
Xi + a = ʹXi
Xi ·b = ′′Xi
2.4 Transformacions lineals. Canvis d’origen i canvis d’escala
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 183: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/183.jpg)
Situació: X analitzada experimenta algun tipus de transformació
Objectiu: Establir els valors dels estadístics de la variable transformada sense repetir tots els càlculs
Transformacions: • Canvis d’origen. Si a tots els valors que pren una variable
li sumem (restem) una constant a
• Canvis d’escala. Si a tots els valors que pren una variable els multipliquem (dividim) per una constant b
Xi + a = ʹXi
Xi ·b = ′′Xi
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
Afecten aquestes transformacions
als estadístics analitzats?
Com?
2.4 Transformacions lineals. Canvis d’origen i canvis d’escala
![Page 184: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/184.jpg)
Afecta No afecta
Canvis d’origen
Canvis d’escala
g
Kr
ICV
QMeMox /,,,
21
2
,,,,,
ggASSRR
p
xxeI
xxIe
Kr
SSRRQMeMox,,,
,,,2
/
g
p
IggA
CV
21,,
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.4 Transformacions lineals. Canvis d’origen i canvis d’escala
![Page 185: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/185.jpg)
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.4 Transformacions lineals. Canvis d’origen i canvis d’escala
![Page 186: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/186.jpg)
Situació: Comparar valors de diferents variables que estan expressades en distintes u.m. o també les posicions relatives que ocupen determinats valors
Objectiu: Generar nova variable (Z), a partir dels valor de la variable (X), que presenti les següents característiques:
1. 2.
Com?
z = 0SZ2 =1 , SZ =1
Zi =Xi − xSX
Variable estandaritzada, normalitzada, tipificada
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
2.4 Transformacions lineals. Canvis d’origen i canvis d’escala
![Page 187: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/187.jpg)
Resultat: � Centrem les variables al mateix punt (= centre de gravetat)
i les dotem de la mateixa escala (desviació típica)
� Valors tipificats: perden la unitat de la variable (Z adimensional)
Zi =Xi − xSX
Propietat: fer comparable individus q pertanyen a distintes distribucions (fins i tot expressades en ≠ u.m.)
2.4 Transformacions lineals. Estandarització o tipificació
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 188: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/188.jpg)
Dos graduats en economia en el mateix sector d’activitat.
- Individu A guanya 30.000€ i treballa a l’Empresa T
- Individu B guanya 35.000€ i treballa a l’Empresa P
En ambdues situacions WGraduat > WMitjà. Però, quin graduat ocupa una millor posició relativa dintre de la seva empresa?
Exemple estandarització o tipificació
Solució: En termes absoluts el graduat B guanya més que l’A, Però, en relació al conjunt dels empleats de cada ESA l'individu A ocupa millor posició
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I
![Page 189: TEMA 2. Estadística descriptiva unidimensionaldiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/124391/1/Tema 2. Estadística descriptiva...Objectiu del Tema 2: “En aquest bloc temàtic es presenten](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040105/5e4446b1b1f231173e0ee10b/html5/thumbnails/189.jpg)
Com a RECORDATORI final ...
� Aquest material s’utilitza com a guia per realitzar les sessions presencials a l’aula. NO són els apunts de l’assignatura.
� Reviseu amb atenció el document “Conceptes bàsics 2” penjat al campus, en ell trobareu un major detall de la informació referida al tema 2 publicada al Pla docent (contingut, objectius, conceptes claus, bibliografia, etc.)
� No oblideu ampliar els coneixements. Trobareu la bibliografia recomanada a la biblioteca de la Facultat, conjuntament amb un ampli ventall de manuals d’estadística també interessants.
E. Motellón Estadística econòmica i empresarial I