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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

CarbónMaterial Referencia Certificado

NIST 3,19 % S (p/p)

S (%) (p/p)

3,29

3,22

3,30

3,23

Media 3,26

s 0,04

Media-MRC= 0,07%

Incertidumbre (errores aleatorios)

Sesgo (errores sistemáticos)

¿La diferencia es achacable

exclusivamente al puro azar (o aleatoriedad) o existe un sesgo (bias)

que causa dicha diferencia?

?

Analizador S

Análisis

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

¿Son significativamente diferentes?

Métodos A y B

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

HIPÓTESIS NULA (H0)

No hay diferencia significativa entre los valores comparadosEl punto centro de la diana y el promedio de nuestros lanzamientos no difieren

HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1)

Si que hay diferencia significativa entre los valores comparadosEl punto centro de la diana y el promedio de nuestros lanzamientos difieren

Coincide el centro de la diana y nuestros lanzamientos ??

Diferencia errores

aleatorios

Diferencia errores no aleatorios

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ser aleatoria (H0) o no ser (H1), esa es la cuestión¿estás seguro?

Se establece una probabilidad

Habitualmente α = 0,05 → 95 %

Ser aleatoria al 95%(H0) o no ser (H1), esa es la cuestión

Diferencia

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

¿Tiene 3% Fósforo?Aplicamos método estándarσ conocida

Somos buenos ¿Por qué nos

rechazas?

3%

α = 0,05

Intervalo de confianza

AnálisisMedia

Se acepta H0 : Ensayo negativo

La vida es injusta

Error tipo I

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Imaginemos que H1 es cierto y nuestra muestra tiene realmente 3,05% (no lo sabemos aún)

¿Tiene 3% Fósforo?

α = 0,05

3%

AnálisisMedia

Ojo!! Nuestra media también tiene su distribución muestral

con la misma s (mismo método)

Se acepta H1 : Ensayo positivo

3,05%

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Imaginemos que H1 es cierto, que nuestra muestra tiene realmente 3,05% (no lo sabemos)

¿Tiene 3% Fósforo?

3% 3,02%

Les engañé, creen que soy de los

buenos

Que pasa si analizamos y no damos 3,05%, sino p.e. 3,02%?

¿H0 o H1?

Podemos tener valores de media que den por negativo un ensayo (H0 verdadero, diferencia por errores aleatorios), cuando en realidad es positivo (H1, existe un bias o sesgo no aleatorio, pertenecen al intervalo de confianza de un µ que no cumple H0) !!

α = 0,05

El lobo con piel de cordero

Error tipo II

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

¿Tiene 3% Fósforo?

3% 4,5%

Ausencia de errores II

3% 3,05%

α = 0,05

Ensayo positivo H1

Cuanto más cerca soy más fuerte y más fácil engaño

Errores II o β

Podemos dar negativo (H0) cuando en realidad es

positivo (H1) !!

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Realidad El test diceProbabilidad de cometer

o no un error I o II

Resumen de posibilidades

Falso positivo Falso negativo

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ensayo negativo H0

Disminuyamos α (P > 95%)

α = 0,05 α = 0,01 Ahora sólo

somos el 1%

Que fácil era, ¿por qué no lo hacemos siempre así ?

(P = 99%)

Se ha reducido al 1% la posibilidad de dar un falso positivo (H1)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ensayo positivo H1 (pero µ y µ0 próximos)

α = 0,05

Gracias, por salvar algunos

angelotes me has hecho más fuerte

Ha aumentado la posibilidad de cometer errores II, dar por negativo (H0) un ensayo que es positivo (H1)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Errores I y II conectados, ojo al manejar α (especialmente cuando µ y µ0 próximos)

Disminuimos α (>P)

Ensayo positivo H1

Menos error IMinimizamos posibilidad de falsos positivos (H1)

Ensayo negativo H0

Más error II (en casos µ y µ0 próximos)Más posibilidad de falsos negativos (H0)

Aumentamos α (<P) Ensayo negativo H0

Más error IMás posibilidad de falsos positivos (H1)

Ensayo positivo H1

Menos error II (en casos µ y µ0 próximos)Menos posibilidad de falsos negativos (H0)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Distribución muestral de medias

Distribución t

n

stx n 1−±

Como podemos hacer los errores tipo II más pequeños sin afectar a los de tipo I ??

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Distribución muestral de medias

Distribución t

n

stx n 1−±

Aumentemos el tamaño de la muestra (>n)

Utilicemos métodos de análisis/equipos más precisos (< s)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Hemos disminuido la posibilidad de

falsos negativos (errores tipo II)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Niveles máximos/mínimos permitidosContaminaciónProducción fábricaDopaje deportistas…Verificación métodosUtilización de patrones certificadosEtc.

Xmedido

µMax.permitido

H0 x=µ Si lo son, diferencia por errores aleatorios H1 x≠µ No lo son, diferencia significativa (sesgo)

¿Son la misma medida?Son pruebas para evaluar la exactitud (detección de un

sesgo)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

s

nxtn 01 µ−=−

Hemos de calcular t real que corresponde a la diferencia x-µ0 ¿Cuanto de alejados están x-µ0 en términos de t?

n

stx n 10 −=− µ

Se busca en tablas que valor de tcrítico para una determinada probabilidad (95%) y n-1 grados de libertad

00 µ=→ xHHipótesis

01 µ≠→ xHHipótesis

Ensayo positivo H1

Ensayo negativo H0critttSi <

critttSi >

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Una cola

α = 0,05Probabilidad 95%

Búsqueda en tabla t de 1 colatcritico

x

tcrítico

tcrítico

x µt

Ensayo positivo H1

tcrítico

x µt

Ensayo negativo H0

críticott >

críticott <

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Dos colas

α = 0,05Probabilidad 95%

Búsqueda en tabla t de 2 colatcritico

x

tcríticotcrítico

tcrítico

xµ

Ensayo positivo H1

críticott >

µ

tcrítico

x µ

Ensayo negativo H0

críticott <

tcrítico

tcrítico

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ejemplo

Patrón certificado selenourea

50 ng/ml = µ

Selenourea (ng/ml)

50,4

50,7

49,1

49,0

51,1

x 50,06

s 0,956

Analizamos

¿Nuestro método es exacto y la diferencia se debe a errores aleatorios?

H0 µ = x

¿O hay un sesgo debido a errores sistemáticos?H1 µ = x

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ejemplo

s

nxtn 01 µ−=−

Calculamos t real

14,0956,0

50,5006,501 =−=−nt

Buscamos t crítico en tablas

α=0,05 P=95%

N grados libertad= n-1 = 4

t crítico = 2,78

tabla t de 2 cola

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ejemplo

Comparemos

crit

crit

ttH

ttH

>

<

1

0

78,214,0 =< critt

Luego se cumple

H0 µ = x 50 ≈ 50,06 ng/ml

El método funciona y analiza con exactitud, no hay contribución de errores sistemáticos y la diferencia se

debe a error aleatorio

tcrítico

50,0650Ensayo negativo H0

críticott <tcrítico

?

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Cuando n > 30

t ≈ z

( ya no depende de n grados de libertad)

Pruebas para evaluar la exactitud (detección de bias)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

a) Hemos de calcular t real (en función de la distancia entre las medias)

El fundamento es el mismo que el utilizado en un contraste de una media con un valor conocido

21

12

21121

nns

xxt nn

+

−=−+

Ojo, Ahora hay dos desviaciones estándar que se componen

)1()1(

)1()1(

21

222

2112

−+−−+−=

nn

snsns

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

b) Hemos de obtener en tablas t el valor tcrítico para n1+n2-2 grados de libertad y la probabilidad P marcada (habitualmente 95%)

221 −+= nnn libertadgrados

El número de grados de libertad con el que buscamos T en tablas también ha

cambiado

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Ensayo positivo H1

Ensayo negativo H0critreal ttSi <

critreal ttSi >

c) Comparamos

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

Ejemplo

Centeno

¿Concentración Cr?

Laboratorio A

Laboratorio B

n= 5x = 1,48 mg/kgS = 0,28 mg/kg

n= 5x = 2,33 mg/kgS = 0,31 mg/kg

¿Estos laboratorios están dando resultados

comparables ?

¿La diferencia se debe a solo a errores

aleatorios?

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

Ejemplo

21

12

21121

nns

xxt nn

+

−=−+

Calculamos t real

1745,0)15()15(

31,0)15(28,0)15( 222 =

−+−−+−=s

S = 0,295

51

51

295,0

48,133,2221

+

−=−+nnt t real=4,56

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Calculamos t crítico

Ejemplo

n1, n2 < 30s1, s2 comparables

8255221 =−+=−+= nnn libertadgrados

t crítico= 2,31

α=0,05 P=95%

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n1, n2 < 30s1, s2 comparables

Ejemplo

Comparamos

crit

crit

ttH

ttH

>

<

1

0 ? 31,256,4 => critt

Ensayo positivo H1

críticott >

Luego se cumple

H1 x1 ≠ x2 1,48 ≠ 2,33 mg/kg

Los laboratorios no están dando valores comparables de análisis

(no nos informa de cual ofrece el valor correcto)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

n1, n2 < 30s1, s2 diferentes

Una vez más, mismo fundamento pero…

2

22

1

21

12

ns

ns

xxt

+

−=ϑ

…Y Hallar El número de grados de libertad es más complicado

][)1(

1][

)1(

11

2

22

1

21

2

22

2

2

22

1

21

1

21

1

ns

ns

ns

n

ns

ns

ns

n+

−+

+−

=ϑ

Las S de cada media ahora no se SIMPLIFICAN…

Cálculo de t real

Tablas con t crítico

Tablas t=f(T,, )P

P se redondea al entero más próximo!!

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Y de nuevo comparamos

Ensayo positivo H1

Ensayo negativo H0critreal ttSi <

critreal ttSi >

X1 = X2

X1 ≠ X2

n1, n2 < 30s1, s2 diferentes

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

¿Por qué emparejados?

La cantidad de muestra disponible a examen es suficiente para sólo una determinación por método

Las muestras a examen pueden presentarse durante un extenso periodo de tiempo por lo que es necesario eliminar los efectos de las variaciones ambientales como temperatura, presión, etc.

Los métodos se van a comparar utilizando una amplia variedad de muestras de diferente procedencia y concentraciones distintas

No es adecuado realizar medias de los valores por

método, tanda o laboratorio

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Lotes de pastillas paracetamol

% (m/m) % (m/m)

¿Los dos métodos están dando resultados comparables ?

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Planteamiento de hipótesisNo tenemos medias calculadas

Ahora trabajamos con diferencias entre par de valores

emparejados

00 =→ dHHipótesis µ01 ≠→ dHHipótesis µ

Hallemos t real (n<30)

88,010570,0

159,01 ==−nt

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Hallemos t crítico (n<30)

Habitualmente probabilidad α=0,05 P=95%

N grados libertad= n-1 ,, siendo n el número de emparejamientos

tabla t de 2 cola

t crítico= 2,31

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Comparemos

Ensayo positivo H1

Ensayo negativo H0critreal ttSi <

critreal ttSi >

00 =→ dHHipótesis µ

01 ≠→ dHHipótesis µ

31,288,0 =< critt Ensayo negativo H0

0159,00 =→HHipótesis

La diferencia de resultados entre ambos métodos no es significativa (errores aleatorios)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Hay que trabajar de similar forma que en los contrastes de exactitud (comparar un F calculado con F crítico de tabla) con la diferencia de que:2.Ahora trabajamos con parámetro F y su tabla

4.Tablas F, en estos casos son de 1 cola

6.F depende de los grados de libertad de cada distribución (dos entradas) y de probabilidad de una cola

critreal FFSi <

critreal FFSi >

Ensayo negativo H0

Ensayo positivo H1

Compara para saber si las varianzas de dos métodos son similares (H0) o un método es más preciso que otro (H1)

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Hay que trabajar de similar forma que en los contrastes de exactitud (comparar un Q calculado con Q crítico de tabla) con la diferencia de que:

3.Ahora trabajamos con parámetro Q y su tabla

5.Tablas Q, en estos casos son de 2 colas

7.Q depende de los grados de libertad del sistema y de probabilidad de dos colas

Compara para saber si una medida pertenece a una distribución normal de valores (H0) o no (H1)

critreal QQSi <

critreal QQSi >

Ensayo negativo H0

Ensayo positivo H1

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Hay algún valor discrepante en el análisis de la muestra de agua debido a un error no aleatorio?

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

7,0308,0410,0

401,0308,0=

−−

=−

−=

menormayor

próximomássospechoso

xx

xxQ

Calculamos Q real

Hallemos Q crítico en tablas

Habitualmente probabilidad α=0,05 P=95%

Q crítico= 0,831

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

Comparemos

831,07,0 =< critQ Ensayo negativo H00,380 no se elimina, pertenece a la misma distribución normal que la

de los demás puntos

InconvenienteEste procedimiento sólo es válido para muestras pequeñas de 4 a 7

medidas, para muestras más grandes se modifica !!

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TEMA 2 Contrastes de significación (I)

s

xxG

sospechoso −=

Cuanto de alejado de x en términos de S se encuentra x

En este casox=x+Gs

Contrastar con la G teórica (G crítica)

Ensayo negativo H0

critreal GGSi <

Ensayo positivo H1

critreal GGSi >

x esta dentro de los valores normales de la

distribución normal. Se acepta

x esta demasiado alejado y no

pertenece a la misma distribución (error no

aleatorio). Se rechaza