Tema 2: Cinemática de la Partícula Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica...

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Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.

Tema 2: Cinemática de la partícula.


Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA

Física I-Grupo 3 (Curso 2013/14)

Tema 2: Cinemática de la

Partícula

10/8/2013

Grado en Ingeniería Diseño Industrial y Des. Prod. Doble Gra. en Ing. Diseño Ind. y D.P e Ing. Mecánica

Escuela Politécnica Superior

Universidad de Sevilla





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2.1. Conceptos fundamentales. Descripción del movimiento.

2.2. Vectores de posición, Velocidad, Aceleración.

2.3. Clasificación de los movimientos

2.4. Movimiento en el plano: composición de movimientos.

2.5. Componentes intrínsecas de la aceleración.

2.6. Movimiento circular. Velocidad y aceleración angulares.

2.7. Movimiento relativo. Velocidad y aceleración relativas Tiempo aprox: 6 horas

Contenido

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Objetivos

Objetivos

Definir los conceptos de posición, velocidad y aceleración de una partícula.

Comprender la naturaleza vectorial de la posición, velocidad y aceleración y la forma en que se relacionan entre si.

Aplicar los conceptos aprendidos a problemas de movimiento.

Comprender el significado físico de las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Aplicar los conceptos de movimento relativo al caso de movimento relativo de traslación.

Comprender el movimiento circular y los conceptos de velocidad y aceleración angular.

Comprender el movimiento relativo.






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Bibliografía

Bibliografía General

SEARS, F et al.“Física universitaria. Vol. 1 TIPLER, P. A. et al. “Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1”

Problemas BURBANO, S., BURBANO, E., GRACIA, C.: Problemas de Físca Problemas de los libros anteriores... Tutorial: MasteringPhysics: Ed. PEARSON

Además... los demás libros que aparecen en el programa.

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A continuación encontrarás algunos enlaces de interés, por si quieres profundizar en estos temas: Movimiento de un proyectil

Aceleración de Coriolis y aceleración centrífuga (video) Animación del efecto de Coriolis en la superficie terrestre

Enlaces de interés





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Cinemática: es la parte de la mecánica que estudia los movimientos independientemente de las causas que los producen.

Así, la cinemática describe el movimiento sin ocuparse de las fuerzas que los producen.

El problema fundamental de la cinemática consiste en describir y predecir el movimiento futuro, determinar posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo, condicionados a las características del problema. Esto implica encontrar las respectivas ecuaciones

Cinemática de la partícula: describe el movimiento de la partícula sin atender a las causas que lo producen.

, , , etc.r t v t a t

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/ProjKinematics/ProjKinematics.html

http://es.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc




http://www.classzone.com/books/earth_science/terc/content/visualizations/es1904/es1904page01.cfm




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Punto material o partícula Punto geométrico sin dimensiones, esto es, sin volumen,

dotado de masa finita y distinta de 0 (densidad infinita)

- La partícula es la idealización de un cuerpo de dimensiones pequeñas comparadas con sus desplazamientos, o cuya estructura y movimientos internos son irrelevantes. Ej: un trasatlántico en su movimiento por el océano, la Tierra en su rotación alrededor del Sol, etc...

Partícula = Punto con masa

Cuando la rotación no pueda despreciarse, el sólido no se puede considerar como partícula: Cinemática del sólido rígido.






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Un punto se mueve cuando su posición varía con relación a un sistema de ejes que consideramos fijo.

Si los ejes de referencia están realmente fijos, el movimiento es ABSOLUTO.

Si no lo están, al movimiento se le llama RELATIVO.

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Para determinar cinemáticamente el movimiento hay que establecer la relación entre la posición de la partícula respecto a un determinado sistema de referencia y el tiempo.

Vector posición: Esta expresión constituye la ecuación horaria del movimiento en forma vectorial. Las distintas posiciones del extremo de forman una línea: s(t)

La línea descrita por la partícula en su movimiento en el espacio es su trayectoria.

( )r r t

r

( )r r t

( )s s t

0r

(s representa la distancia medida a lo largo de la trayectoria)

2.2. Vectores de posición, velocidad, aceleración.

2.2.Vectores de posición, velocidad, aceleración.





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Ecuaciones paramétricas de la trayectoria:

( )( ) ( , , )( )

x x ty y t r r x y zz z t

( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k

Una segunda forma de definir el movimiento es, dando la ecuación analítica de la trayectoria en el espacio, que viene determinada por la ecuación de dos superficies, cuya intersección es la curva trayectoria.

Ecuaciones horarias

1

2

( , , ) 0( , , ) 0

f x y zf x y z

Ecuaciones implícitas

Otra forma más de expresar la trayectoria sería: ( , )( , )

x f y zy f x z Ecuaciones explícitas


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x

y

v

r

Ejemplo: Partícula en trayectoria circular:

( ) cos( ) sen ( )

cos sen ( )

x t R ty t R t

r t R t i R t j

Ecuaciones horarias:

Ecuación de la trayectoria 2 2 2 2 2cos senx y R

Eliminando t:

2 2 2x y R

Ejemplo: R = 2 m; = 3t






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Vector desplazamiento: El vector desplazamiento indica el cambio de posición de la partícula al trasladarse de P a P’.

'r r r

Ejemplo: Desplazamiento en el plano.

r

x

y

O

P'P

Trayectoria Se puede expresar también:

y el módulo del vector desplazamiento no coincide con la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria, salvo en el movimiento rectilíneo: r t s


'r t r t r t r t t r t

7





13

Velocidad media: Es la velocidad media a la que se mueve la partícula.

Unidades: [v] = [s]/[t] = LT-1

En el S.I. se mide en m/s.

No da información sobre las posibles variaciones de la velocidad durante el intervalo de tiempo t : durante ese tiempo la velocidad en cada instante ha podido variar.

x

y

z

xvtyvtzvt

mediarvt

Ejemplo en 1D

Componentes cartesianas






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Velocidad instantánea: Es el límite de la velocidad media cuando ∆t se aproxima a cero (intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño).

Vector velocidad en un punto de la trayectoria referido al origen O (velocidad definida por un observador colocado en O) es la derivada del vector de posición de la partícula en el instante considerado, con respecto al tiempo.

La velocidad instantánea nos indica lo que está sucediendo en cada instante de tiempo.

La velocidad instantánea se dirige según la tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto y sentido el del movimiento.

0 0

lim limmediat t

r d rv vt dt

r

v

– Cuál es la velocidad de una partícula en un instante concreto t 2.2. Vectores de posición, velocidad, aceleración.

8





15

La velocidad instantánea vx coincide con la pendiente de la línea tangente a la curva x en función de t :

Si es el vector de posición de la partícula en un instante determinado, las componentes coordenadas del vector velocidad en ese instante serán:

( , , )r x y z

x y zdyd r dx dzv i j k x t i y t j z t k v i v j v k

dt dt dt dt

El módulo de la velocidad será: 2 2 2

x y zv v v v

Ejemplo en 1D 2.2. Vectores de posición, velocidad, aceleración.





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Ejemplo (1D): La gráfica representa la posición de una partícula en función del tiempo. ¿Cuál es su velocidad en el instante t = 2 s?

8,5 m 4 m pendiente tan 1,5 m/s

5 s 2 sv

Dibujando la tangente en ese instante, se obtiene:


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Ejemplo (1D): La posición de una piedra que se deja caer, partiendo del reposo, desde un acantilado viene dada por la ecuación en el S.I.: x 5t2. Calcule la velocidad media durante los primeros 7s y la velocidad a los 7s.

La velocidad para cualquier instante es la tangente de la curva. Ésta se obtiene derivando directamente x(t) respecto del tiempo:

10dx tv t tdt

La velocidad media durante los primeros 7s es:

25 7 0 35 m/s

7 0mediaxvt

La velocidad a los 7s es entonces: 7s 10 7 70 m/sv t






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Aceleración media: Es la variación media de la velocidad.

'

mediav v va

t t

Unidades: [a] = [v]/[t] = LT-2

En el S.I. se mide en m/s2.

Desplazamiento en el plano

Según se mueve la partícula, ∆v se puede calcular de varias formas.

La aceleración media es un vector dirigido según ∆v.


10





19

2

20 0lim limmediat t

v dv d ra at dt dt

Aceleración instantánea: Es el límite de la aceleración media cuando ∆t se aproxima a cero.

Vector aceleración es la derivada del vector velocidad respecto del tiempo o bien la derivada segunda del vector de posición respecto al tiempo.

a

Las componentes cartesianas del vector aceleración son:

x x

y y x y z

x z

a v xa v y a v i v j v k xi ÿ j zka v z






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La gráfica representa la evolución de la velocidad con el tiempo (línea marrón).

La pendiente de la gráfica de la velocidad respecto del tiempo es la aceleración.

— La pendiente de la línea azul es la aceleración media.

— La pendiente de la línea verde representa la aceleración.

La aceleración va a ser distinta de 0 si el vector velocidad varía en cualquier forma, ya sea su módulo, su dirección o ambos.

Así, puede darse que v cte pero , porque varía su dirección.

v0a


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21

El problema fundamental del movimiento de la partícula:

El problema fundamental de la cinemática es determinar la posición, velocidad y aceleración de la partícula, referidas a un sistema de referencia que consideramos fijo, y que están interrelacionadas entre sí.

Conocido el vector posición:

se puede determinar derivando la velocidad y la aceleración:

( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k

dyd r dx dzv i j k xi y j zkdt dt dt dt

x y za v i v j v k xi ÿ j zk Conocido el vector aceleración se puede determinar integrando

la velocidad y la posición en cualquier instante: 2 2

1 1

( )r t

r t

dr v t dt 2 2

1 1

( )v t

v t

dv a t dt






22


Se clasifican según

12





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Casos particulares del movimiento rectilíneo:

(a) Movimiento rectilíneo uniforme: es un movimiento cuya trayectoria es una línea recta y su velocidad, constante.

0x x vt ctev 0a

0 x x vt

ctev






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Movimiento rectilíneo de una partícula es aquel cuya trayectoria es una línea recta. Es por lo tanto un movimiento unidimensional.

Eligiendo el eje x en la dirección del movimiento, las ecuaciones quedan simplemente:

o sus expresiones integrales:

Eliminando entre éstas dt queda una ecuación muy útil en la resolución de problemas:

Movimiento rectilíneo:

( )x x t ( ) ( )x xv v t x t ( ) ( ) ( )x x xa a t v t x t

2 2

1 1

( )x t

xx t

dx v t dt 2 2

1 1

( )x

x

v t

xv tx

dv a t dt

x x xv dv a dx



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Ecuaciones escalares del MRU en tres

dimensiones.

Si no está situado en el eje “x”

v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son

tres constantes.

Entonces r = x · i + y · j + z · k =

= (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k

Y las ecuaciones escalares quedarían:

vx = k1 ; x = x0 + vx· t

vy = k2 ; y = y0 + vy· t

vz = k3 ; z = z0 + vz· t






Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del

movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:

v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía

determinada por r0 = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidad de posición

vx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) m

vy = 4 m/s ; y = 4 t m

vz = –6 m/s ; z = (1 – 6 t) m


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(b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: es un movimiento cuya trayectoria es recta y su aceleración constante

20 0

12

x x v t at ctea 0v v at






Ecuaciones del movimiento. MRUA

a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el tiempo

siempre al mismo ritmo.

dv = a dt. Integrando:

v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)

v = a · t + v0

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt

r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la

ecuación vectorial se expresará como:

r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i


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Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las

siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s

r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de

la velocidad y de la posición.

v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt

v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i

r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt

r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i





Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v =

(4· t + 2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la

aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su

posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t =

2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt =

= (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =

= (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m

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Java-Apple Movimiento con aceleración constante





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(c) Movimiento de caída de los cuerpos sobre la Tierra: todos los cuerpos caen sobre la Tierra, en el vacío, para puntos próximos a su superficie y para pequeñas variaciones de altura comparadas con el radio de ésta (R=6.370 km), con la misma aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad g, con un valor aproximado de 9,81 m/s2.

Si se parte del reposo (v0 0) y representamos h por la altura de caída, entonces:

de las que se deducen las siguientes ecuaciones:

212

h gt 29,8 m/sa g v gt

12

h vt 2v gh


http://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm

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39

Si el objeto cae libremente, pero no parte del reposo, sino que lleva cierta velocidad v0, entonces: 0v v gt

En la fotografía estroboscópica de la derecha (1 disparo cada 1/60 segundos), se deja caer libremente una manzana. Como se puede observar, conforme cae aumenta el espaciado, indicando el aumento de velocidad debido a la aceleración de la gravedad.






40

Una piedra se lanza en línea recta hacia arriba desde el borde la azotea de un edificio de 50 m, a una velocidad inicial de v0 20 m/s. Calcule el tiempo necesario para que la piedra alcance la máxima altura, ésta altura, el tiempo necesario para que vuelva a la altura de la azotea y su velocidad, la velocidad y posición a los 5 segundos, y el tiempo que tarda en llegar al suelo y su velocidad.

20

12B B By v t gt

20

1 02C C Cy v t gt

20

12D D Dy v t gt

Ejercicio: Caída libre

00 Bv gt

0C Cv v gt

0D Dv v gt


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(d) Movimiento de proyectiles:

Lanzamiento de una partícula desde el punto (x0, y0) con velocidad inicial formando un ángulo 0 con el eje horizontal.

La posición en un instante t será:

20 0

1( )2

r t r v t gt

0r0v

La posición final es la suma de los vectores de posición inicial, la posición resultante de la velocidad inicial y la posición resultante de la aceleración.

0v t

r

212

gt

( , )x y

0 0( , ) (0,0)x y






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Diagrama del movimiento de proyectiles:

2

01 0 2 sen2

xi

y i i i

x v tt

y v t gt y vtg

cos seni xi yi

i i i i

v v i v j

v i v j

( ) ( ) ( )

-gtx y

xi yi

v t v t i v t j

v i v j


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43

Rango o alcance y altura máxima de un proyectil: Cuando se analiza el movimiento de un proyectil hay dos

características especialmente interesantes:

– El rango o alcance, R, es la máxima distancia horizontal.

– La altura máxima que alcanza es h.

2

2 2

sen2

sen2

i i

i i

vRg

vhg

Rango y altura para elevaciones inicial y final iguales:






44

Dependencia del alcance con el ángulo:

El máximo alcance se da para un ángulo de lanzamiento de 45º.


20





45

Movimiento de proyectiles no simétrico Ejercicio: Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba formando un ángulo de 30º con la horizontal y una velocidad de 20 m/s. Si la altura del edificio es de 45 m, calcule el tiempo que tarda en llegar al suelo, con qué velocidad lo golpea y la distancia a la que cae.

0 0 0 0 0 0 0cos sen 20cos30º 20sen30ºx yv v i v j v i v j i j

La velocidad inicial es:

La posición de la piedra viene dada por:

0

20

12

x

y

x v t

y v t gt 2145 20sen30º 9,81

2t t

4,22s73,0 m35,9 m/s

txv






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2. 4. Composición de movimientos

Si un cuerpo está sometido simultáneamente a dos movimientos independientes, en un instante determinado t, el movimiento resultante será una combinación de ambos:

– Vector posición: suma de los vectores posición de cada movimiento.

– Velocidad: suma vectorial de las velocidades que imprimen cada movimiento.

– Aceleración: suma de las aceleraciones de cada uno de los movimientos.

1 2r r r

1 2v v v

1 2a a a


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Principio de Galileo: Cuando un cuerpo está dotado de dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de que los movimientos actúen simultánea o sucesivamente.

Se comprueba pues que tienen realmente carácter vectorial, y que por tanto siguen las reglas del álgebra vectorial. Es un hecho experimental que se basa en el:

, y r v a

- De esta manera se podrá descomponer un movimiento complejo en la suma de otros más sencillos






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Considerando un movimiento curvilíneo de una partícula, la velocidad es siempre tangente a la trayectoria, pero la aceleración forma cierto ángulo respecto a ésta.

Una forma de estudiar el movimiento curvilíneo plano de la partícula consiste en analizar las componentes de la velocidad y aceleración instantánea de ésta, según la dirección tangencial y normal a su trayectoria en la posición en que se encuentra, en un determinado instante.


vP

Trayectoria

ta

naa

t

tt

v v u

d udva u vdt dt

R

22





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Freno Acelerador





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Recordando que si es un vector de módulo constante, entonces:

0 0lim lim

tttn n n

t t

ud u d u u u udt dt t t

0

1lim n nt

s vu uR t R


td u

dt Cálculo de la derivada :

22 · 2 · 0d A d AA A cte A A A cte A

dt dt

si y entonces . Luego: d AAdt

0A

A

0d Adt

tt

d uudt

2

t ndv va u udt R

Así, la aceleración queda:

Si representamos la variación de la dirección de : tu 't ttu u u

't

ut

u

t

u

R

ss

R r

1R

tu R

23





54

Así, la aceleración se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria y otra normal a ésta que apuntaría al centro del radio de curvatura de la trayectoria:

2

t n t nt ndv va a u a u u udt R

La aceleración tangencial:

está relacionada con del cambio del módulo de la velocidad. Será positiva o negativa.

t tdva udt

La aceleración normal o centrípeta:

está relacionada con cambio de dirección de la velocidad. Está dirigida siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

2

n nva uR


vP ta

naaR

- Así, la aceleración de una partícula que se mueva con v cte describiendo una trayectoria curva no es cero, salvo en un punto de inflexión (donde R ).





55

vx

vy

a v

C

24





56

Casos particulares:

0n

tt

Ra

a a u v a v a dt dr v dt

2

00t

n

dv drv ctedt dta

va uR

2

00 0 cte

00

0 0

t

n

vdva vvdta

va RR

Reposo

Movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento rectilíneo Acelerado

si además cteta 0

20

12o

v v at

s s v t at

uniformemente

acelerado:

movimiento curvilíneo uniforme

si además 2

cte cte ctenva RR

mov. circular uniforme






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2.6. Movimiento circular. Velocidad y Aceleración angulares.

El movimiento circular de una partícula es aquel cuya trayectoria es una circunferencia.

•Tomando el origen en el punto O (centro de rotación), podemos describir el movimiento mediante magnitudes angulares:


x

y

( )tO

( ) dtdt ( )t d d ( ) dt

dt

Velocidad Angular Aceleración Angular

r sds dv rdt dt

v r (No confundir velocidad angular con pulsación o frecuencia angular)

25





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Vector velocidad angular:

v r

En ciertas situaciones (rotación alrededor de un eje fijo, por ejemplo) es útil pensar en y como vectores.

Se define el vector velocidad angular como un vector dirigido a lo largo del eje de rotación, de módulo d/dt y sentido tal que se verifique que:

cos sen ( )r t r t i t j zk

2.6. Movimiento circular.Velocidad y Aceleración angulares.

(La dirección y sentido de la velocidad angular se puede conocer fácilmente aplicando la regla de la mano derecha cerrando la mano en el sentido de giro que sigue la partícula)





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Vector aceleración angular:

El vector aceleración angular tiene la misma dirección que el vector velocidad angular, y su sentido será el mismo, si está acelerando, o el contrario, si está frenando:

( ) dtdt

Las componentes intrínsecas de la aceleración se pueden expresar en función de la velocidad angular:

Aceleración tangencial: tdv da r rdt dt

Aceleración centrípeta: 2

2n

va rr

Aceleración total: 2t na r u ru


26





60

Si el movimiento se realiza con velocidad angular constante, el movimiento se dice uniforme.

El período, T, es el tiempo necesario para completar una vuelta.

La velocidad de la partícula será la longitud de la circunferencia del movimiento dividida por el período.

Por lo tanto, el período será:

La frecuencia, f, es el número de vueltas por unidad de tiempo, y es la inversa del período:

Entonces, la velocidad angular se puede expresar:

2 2 rTv

Movimiento circular uniforme ( = 0 = cte):

12

fT

2 f






Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

a) 90 vueltas min 2 rad = ————— · ——— · ———— = 3 rad/s min 60 s vuelta

b) rad v = · R = 3 — · 0,75 m = 7,1 m/s s

c) rad = · t = 3 —— · 10 s = 30 rad = 15 vueltas s

27





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Caso general: aceleración angular variable en el tiempo

Movimiento circular no uniforme ( 0): ( )t

0 0

0 0

( )

( )

t

t

dt dtdtdt dtdt

Caso particular: cte 0

0

tt

- En estas expresiones últimas, son realmente las componentes , no sus módulos, por lo que incluyen sus signos correspondientes.

y z z y






Relación entre ecuaciones lineales y angulares (cont.).

MRUA

a = k (constante)

Ecuación v = f(t): v = v0 + a · t

Ecuación e = f(t): s = e0 + v0 t + ½ a ·t2

MCUA

= k (constante)

Ecuación = f(t):

= 0 + · t

Ecuación = f(t): = 0 + 0 t + ½ ·t2

s = · R v = · R at = · R

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Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

a) 5 rad/s – 0 = —— = —————— = 0,083 rad/s2 t 60 s

b) (t = 25 s) = 0 + · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) = · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s

(Continúa en la diapositiva siguiente)





Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

c) at = · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2

an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2

an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2 (an depende de “t”)

d) (t = 1 min) = 0· t + ½ · t2 =

½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas

(Viene de la diapositiva anterior)

29





Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos.





Solución Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos.

v 5 m/s (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s R 5 m

– 0 1 rad/s – 0 = ——— = ————— = 0,2 rad/s2 t 5 s

(t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s

v (t = 2 s) = · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s

30





v2 (2 m/s)2

an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2 R 5 m

at (t = 2 s) = ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2

a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2

v2 (5 m/s)2

an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2 R 5 m

at (t = 8 s) = ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2

a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2





69

( ) cos( ) sen ( )

( )2

x t R ty t R t

hz t

Ejercicio: Una partícula sigue la trayectoria helicoidal dada por las ecuaciones

donde R, h y ω son constantes. Determínese en cualquier instante de tiempo:

a) Las aceleraciones tangencial y normal.

b) El radio de curvatura.

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Nonsymmetric_velocity_time_dilation.gif

31





70

2.7. Movimiento relativo.

2.7. Movimiento relativo. El movimiento es un concepto relativo: puede verse de forma diferente por diferentes observadores.

El movimiento se describe respecto a un sistema particular de referencia: las observaciones hechas en la Tierra se refieren generalmente a un sistema ligado a ella.

Diferentes observadores pueden utilizar sistemas de referencia distintos.

O x

y

z

Suelo

'O 'x

'y

'z

Avión

Ar

Av

''O''x

''y

''zBarco

/A Bv

/A Br

BvBr

/A BA Br r r





71

Relación entre los vectores:

/A BA Br r r /A BA Bv v v /A BA Ba a a

/A B A Br r r /A B A Bv v v /A B A Ba a a


ABSOLUTA ARRASTRE RELATIVA

32





72





73

Posición del mono

Posición del dardo

Velocidad del mono: ( )Mv t gt

Velocidad del dardo: 0( )Pv t v gtVelocidad relativa: / 0 / 0 / 0( )P M P M P Mv t v cte r r v t

El dardo alcanza al mono cuando:

Ejemplo: el mono y el guardabosques.

/ 0 0 0 0 0cos sen tanP M P M M Mr r r v t x i v t x j

20

1tan2M M Mr x i x gt j

20 0 0 0

1cos sen2Pr v ti v t gt j

Posición del dardo vista desde el mono

0 0/

0 0 0

cos 00

sen tan 0M

P MM

v t xr v t x

Movimiento rectilíneo uniforme

0 0cosMxt

v


33





74

Movimiento rectilíneo uniforme: Transformaciones de Galileo

En el caso de dos sistemas de referencia inerciales, esto es, dos sistemas en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme de traslación, los vectores posición, velocidad y aceleración del punto P se relacionan de la siguiente manera:

' 'r r OO '/' O Ov v v '/' O Oa a a

'/' O Ov v v

'a a

'/' O Or r v t

'/' O OOO v t

Suponiendo que en t = 0 los orígenes coinciden:

'O

'x

'y

'z

O x

y

z

'r

r

'/

'O

O

OOv

t

Transformaciones de Galileo

'/O Ov

P






75

Ejemplo: Movimiento relativo

Lanzamiento de la bola en reposo.

Lanzamiento de la bola en movimiento: la bola adquiere la misma velocidad horizontal que el sistema que la lanza, siguiendo una trayectoria parabólica y volviendo al sistema.


Tema 2: Cinemática de la Partícula Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica...

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