Tema 2

Tema 2“Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones"

Lic. Ana Laksmy Gamarra Carrasco

Universidad Privada Antenor Orrego

Febrero del 2013

Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones

IntroducciónTodo programa de Computación Algebraica pretende sereficiente en la parte de simplificación de expresionesalgebraicas. Más es difícil obtener una perfección, porque aveces el concepto de simplicidad es algo subjetivo.En esta sección, se introduce los comandos que simplifican,factorizan o expanden una expresión algebraica. Mostraremosaún como resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y ladefinición de una función.


SustituciónEn una expresión algebraica las variables: x , y , ... podemossustituir x por expr1, y por expr2, etc., haciendo uso delcomando:

subs(x=expr1,y=expr2,...,expresión)

Ejemplo

En la expresión algebraica E = x2 + y2 + z2, inicialmentesustituir x por −2. Luego observe que acontece cuandosustituimos x por a, y por b y atribuimos el resultado a E .Finalmente, sustituimos a, b y z por los valores numéricos −1,3, −2, respectivamente.


Figure: Sustituciones


SimplificaciónLa simplificación es fundamental en la representación demuchos resultados. Para eso, el Maple posee comandos:

1 simplify(expresión,opciones)2 combine(expresión,opciones)

donde opciones puede ser usado para hacer suposicionesacerca de las variables que intervienen.


EjemploSimplificar cada expresión:

1 Expr1 = x2−1x−1

2 Expr2 = x6+3x5−3x4−42x3−153x2+3x+11x6−4x5−15x4+56x3+15x2−4x−1

3 Expr3 =1

x2 +1

y21

x2−1

y2+

1x2−

1y2

1x2 +

1y2


Figure: Simplificación


EjemploUsamos el comando combine para escribir un producto defunciones trigonométricas como una suma de funciones:

1 cos(a) cos(b)2 sin(a) sin(b)3 sin(a) cos(b)4 cos(a) sin(b)

Introducción al Maple

Figure: Combine


ExpansiónUna simplificación puede ocurrir no sólo en el sentido dedisminuir el tamaño de una expresión. En algunos casos, esnecesario efectuar productos, y , con eso el tamaño de laexpresión puede aumentar significativamente. El comando deuso general para expander es:

expand(expresión)


EjemploExpander el producto:

1 (x − 3)(x − 4)2 (x − 2)(2x + 5)3 3(2a + b)4 (a + b)2

5 (a− b)2

6 (a + b)3

7 (a− b)3

8 (a + b)6

9 (a− b)6

10 (a− b)(a2 + ab + b2)


Figure: Expansión


EjemploCon una función trigonométrica F , el comando expand puededesarrollar expresiones del tipo F (x + y), F (x − y) o F (nx),usaremos las conocidas fórmulas:

1 cos(x + y)2 cos(x − y)3 cos(2x)4 cos(3x)5 tan(5x)6 sin(2x)


Figure: Expansión


EjercicioUsando los comandos simplify, expand y subs obtener elresultado de la expresión:

y =cos(6x) + cos(4x)sin(6x)− sin(4x)


Figure: Ejercicio


FactorizaciónEl comando factor(expresión,opciones) puede ser usadopara factorizar la expresión dada. Si no fuera conocida ningunainformación adicional a través del parámetro opciones, elMaple entenderá que la factorización deseada es pararesultados con coeficientes enteros.


EjemploFactorizar:

1 x2 − 42 x4 − 163 x5 + x + 14 x3 − 275 x3 + 27


Figure: Ejemplo


Factorización de expresiones racionalesEl comando factor actúa en el numerador y denominador deuna función racional, como sigue:

factor(

P(x)Q(x)

)factor

(P(x)Q(x)

)factor

(P(x)Q(x)

)

EjemploFactorizar las expresiones siguientes:

1 x2+x−2x2−5x+6

2 x4+4x3+10x2+12x+5x4−14x3+67x2−120x+50


Figure: Ejemplo


EjercicioFactorizar:

1 x2 − 22 x3 − 5


Figure: Ejercicio


EjercicioFactorizar:

1 8t3 + 1252 10p2 + 3p − 183 5 + (2x + 3)2 − (3x + 2)(x + 1)4 x4 − 16y4

5 x6 − 8y6


Figure: Ejercicio


EjercicioFactorizar las expresiones racionales siguientes:

1 4w−21−2w

2 x2−10xy+4y2

x2−5xy+4y2

3 x3+6x2+12x+8x3+4x2+4x

4 x2+10x+25x2−25

5 x3+2x2−x−2x2−1


Figure: Ejercicio


EcuacionesUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones.El comando para resolver una ecuación es:

solve(ecuación=0)

El comando solve encuentra soluciones enteras, irracionales ocomplejas.


EjemploResolver:

1 x2 + 4x − 45 = 02 x2 + 4x + 2 = 03 x2 + 4x + 5 = 0


Figure: Ecuaciones


EjerciciosResolver:

1 2x = 162 22x − 52x + 6 = 03 log3(5x + 4)− log3(x)− log3(x − 2) = 14√(x + 6) +

√(x + 1) =

√(7x + 4)


Figure: Ecuaciones


InecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.El comando para resolver una inecuación es:

solve(inecuación>0)

Una inecuación puede ser resuelta de manera semejante queuna ecuación. Normalmente, la respuesta es dada en forma deintervalo de R.

1 El intervalo cerrado [a,b] es representado porRealRange(a,b)

2 El intervalo abierto (a,b) es representado porRealRange(Open(a),Open(b))


EjemploResolver:

1 x2 − 5x + 6 > 02 | x + 5 |≤ 43 3(x − 5)− 4(4− 3x) ≥ 2(7− x)− 3(x − 5)4 x2−10x+9

x2−12x+35 > 0


Figure: Inecuaciones


EjercicioResolver:

1 14s − 3 ≤ 1

8(3 + 2s)2 2(4− 3

5q) < 5

3 (x2−1)(x+3)(x−2)(x−5)(x+7) > 0

4 x−2x+3 < x+1

x

5 xx−1 + x−1

x < 2xx+1


Figure: Ejercicio


Sistemas de ecuacionesUn sistema de ecuaciones puede ser resuelto de formasemejante a las ecuaciones, basta con escribir las ecuacionesdel sistema en forma de conjunto. Si fuera necesario, podemosescribir también las variables en forma de conjunto yproporcionar el comando de resolución como segundoparámetro. Por ejemplo:

solve(ecuación1,ecuación2,...)


EjemploResolver los sistemas lineales siguientes:

1 {3x + 5y = 1

2x + 4y = −9

2 {xy = 16

log2 x = log2 y + 2

3 x2 + y2 + z2 = 1xy + yz + zx = 0x − y + 2z = −1


Figure: Ejemplo


EjercicioResolver los sistemas lineales siguientes:

1 {2(x+1)+3y=13(x+2)-3y=5

2 {5y+3x=15

4(x-1)-3y=20

3 {-2(x+5)+3y=6

-5(-x+3)-4y=10


FuncionesExisten dos maneras de definir una función f (x) en Maple:

1 Como el operador seta:

f := x → expresión en la variable x

2 Como un comando unapply

f := unapply(expresión, x)

Ejemplo

Definir la función f (x) = x2 y calcular: f (−3).


Figure: Ejemplo


Ejercicio1 Si f (x) = x2 + 1, calcule f (3), f (

√3), f (1

5)

2 Si f (x) = 2xx2+1 , calcule f (1), f (0), f (−2)

3 Si h(t) =√

t2 + 2t + 4, calcule h(−4), h(0), h(2)4 Si g(x) = (x + 2)

32 , calcule g(−1), g(0), g(10)

5 Si g(x) = (3x − 1)−32 , calcule g(1), g(5), g(12)


Funciones definidas por varias sentenciasLas funciones definidas por varias sentencias pueden serdefinidas con el comando:

piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)

donde: f1, f2, ..., fN, f − otros son expresiones algebraicas ycond1, cond2, ..., condN son expresiones lógicas.


Ejemplo

Definir la función: f (x) ={

2x − 3 , si x > 56− 3x , si x < 5

Encuentre: f (0), f (7) y f (−2).

Ejemplo

Definir la función: g(x) =

4x + 3 , si −2 < x < 01 + x2 , si 0 < x < 2

7 , si x > 2Evalúe cada uno de los siguientes valores: g(1), g(3), g(−1) yg(0).


Figure: Ejemplo


EjercicioSean las funciones f y g definidas por:

f (x) ={

x2 − 5x , si x < −2| x − 2 | −2x , si x ≥ −2

g(x) ={

2x − 4 , si x > −2x2 + 3x , si x ≤ −2

Hallar: f (0) + g(0), f (1)f (−3), f (√

2) y f (−4)g(−1) .


Composición de funcionesLa composición de funciones se realiza con el operador @. Porejemplo, f@g es la composición f ◦ g. La composición de fconsigo misma, n veces, puede ser abreviada por f@@n.La función inversa de f es una función f@@(−1), mas el Maplesolo consigue calcularla en pocos casos (ln(x), exp(x),funciones trigonométricas o hiperbólicas).


Ejemplo

Dadas las funciones f (x) = 4x + 1 y g(x) = x2 − x , calcular:1 f ◦ g2 g ◦ f3 f ◦ f ◦ f ◦ f4 f ◦ f ◦ g ◦ g ◦ g


Figure: Ejemplo


EjemploCalcular la composición (f ◦ f ◦ ... ◦ f ), 10 veces def (x) =

√1 + x consigo misma.


Figure: Ejemplo


EjercicioHallar las funciones compuestas indicadas:

1 Sean f (x) = 2x2 − 1, g(x) = 4x3 − 3x , x ∈ R, probar quefog = gof .

2 Hallar (fogoh)(x) si f (x) = x2 + 2x + 1, g(x) = x − 2, h(x)=x-3.

3 Dadas las funciones f (x) = x1+x2 y g(x) = 1− x

determinar las composiciones fog y gof .


Racionalización de denominadoresEl comando que racionalize una expresión con radicales en eldenominador se define como:

rationalize(expresión)rationalize(expresión)rationalize(expresión)

Ejemplo

Racionalizar el denominador de 2−√

53+√

5.


Figure: Ejemplo


Ejercicios

1 Simplifique y factorice: (a2−b2)3+(b2−c2)3+(c2−a2)3

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3

2 Muestre que: 3√

2 + 109

√3 + 3

√2− 10

9

√3 es un número

entero.3 Resolver la ecuación:

5√(x − 2)(x − 32)− 4

√(x − 1)(x − 33) = 1

4 Determine todas las raíces complejas de la ecuación:x8 − 13x7 + x6 − 10x4 + 2x2 − 5x + 25 = 0

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