Tema 13 La integral definida....

Tema 13 La integral definida. Aplicaciones

1. Integral definida.

Calcula la integral. 4

1

2 )2( dxxx

Calculamos una primitiva de la función :2)( 2 xxxf xxx

dxxxxG 223

)2()(23

2

Según la regla de Barrow:

)1()4()2(4

1

2 GGdxxx

6

115

6

13

3

642

2

1

3

18

2

4

3

4 2323

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para calcular la integral definida, sólo tenemos que rellenar la plantilla que nos da Wiris en Análisis. Una vez

hecho esto, pulsamos igual y obtenemos el resultado.

Figura 1.

Enlace con el ejercicio resuelto en la web:

2. Área bajo una curva.

Calcula el área que determina la curva: con el eje X entre las abscisas -1 y 4. 22 xxy

Matemáticas II – Tema 13 .

2

La función corta al eje X en -2 y en 1. Para calcular el área habrá que calcular por separado el área entre -1 y 1 y

entre 1 y 4, cambiar de signo la negativa y sumarlas.

3

10

6

13

6

72

23)2(

1

1

232

x

xxdxxx

6

135

6

7

3

642

23)2(

1

1

232

x

xxdxxx

Área: 3

10 283,25

6

155

6

135u

Este problema no es el mismo que el anterior, en el que la integral calculada nos da el resultado de restarle al área

sobre el eje X (entre 1 y 4) el área bajo el eje X (entre -1 y 1).

Ahora resolveremos el problema con Wiris:

1. Lo primero que debemos hacer es calcular la primera integral definida de la misma manera que en el ejercicio

anterior:

Figura 2.

2. Ahora calculamos la segunda integral:

Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato

3

Figura 3.

3. Por último sumamos los dos resultados anteriores:

Figura 4.


4

Figura 5.

Figura 6.



5

3. Área bajo una curva. Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el

punto de abscisa x = e.

Resolvemos la ecuación 10ln Xx La curva corta al eje OX en el punto de abscisa x = 1. entre

1 y e no hay raíces.

Primitiva de xxx (por partes). dxxxGxy lnln)(:ln

0ln)(;111ln1)1( eeeeGG

Área = ln x dx G(e) G(1) 0 (1) 1;1

e 21u


1. En este ejercicio empezamos resolviendo una ecuación:

Figura 7.

2. Ahora, el mismo logaritmo, lo integramos:

Figura 8.


6

3. Por último definimos la integral anterior y obtenemos nuestro resultado:

Figura 9.


4. Área limitada por una curva y el eje OX.

Calcula el área entre la curva y el eje X. xxxy 65 23 Hallamos el área sin dibujar el recinto:

Resolvemos la ecuación .06 Las soluciones son x = 0, x = 2 y x = 3. 5 23 xxx

Calculamos una primitiva de la función: 234

23 33

5

465)( x

xxdxxxxxG

Obtenemos el valor de la primitiva en cada uno de los puntos anteriores:

.4

9)3(,

3

8)2(,0)0( GGG

Calculamos la integral en cada tramo:

3

2

2

0

12

5

3

8

4

9)2()3()(

3

8)0()2()(

GGdxxf

GGdxxf

Área: 2

12

37

12

5

3

8u


7

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para obtener la solución de este ejercicio seguimos los pasos del anterior. En primer lugar resolvemos la

ecuación:

Figura 10.

2. Ahora calculamos la integral:

Figura 11.

3. Después la definimos entre 0 y 2:


8

Figura 12.

4. Lo mismo hacemos ahora, pero entre 2 y 3:

Figura 13.

5. Por último, sumamos los dos resultados anteriores, teniendo en cuenta que el segundo es negativo y debe ir en

valor absoluto:


9

Figura 14.

Figura 15.


10

Figura 16.


5. Área entre 2 curvas.

Halla el área limitada por las parábolas .22

22

xyex

y Representa el recinto cuya área se pide.

Representamos las dos parábolas, ,2

2xy de eje vertical e de eje horizontal, y hallamos sus puntos de

corte:

,22 xy

2,022

2

2

xxxy

xy

El área perdida es la comprendida entre las curvas ,22

2

xyex

y que es igual al área comprendida entre la

función diferencia, a la que llamamos h(x), y el eje OX.


11

2/3322

3

22

6

12

2)(;2

2)( xxdxx

xxGx

xxh

6

8

3

8

6

8

3

822

6

8)2(;0)0( GG

2

0;

6

8)0()2()( GGdxxh Área = 22

3

4

6

8uu


1. El primer paso que seguiremos en este ejercicio es calcular el sistema 2,022

2

2

xxxy

xy

para calcular los

puntos donde se cortan las dos curvas. También seria conveniente representar las dos curvas en un único tablero 2. Se representan ambas funciones en el mismo tablero como vemos a continuación:

Figura 17.


12

Figura 18.

3. A continuación calcularemos la siguiente integral:

Figura 19.

4. Por último, definimos la integral entre 0 y 2, y calculamos el resultado:


13

Figura 20.


6. Área entre 2 curvas.

Calcula el área comprendida entre las curvas

:gyf 1275)( 234 xxxxxf

1484)( 234 xxxxxg El área entre estas curvas es igual al área comprendida entre la función diferencia y el eje X.

;2)()( 23 xxxxgxf 1,0,20)()( xxxxgxf

)(xG 234

23

342 x

xxdxxxx

12

5)1(,0)0(,

3

8)2( GGG

2

1

0

0

2

12

37

12

5

5

8

12

5)0()1()()(

3

8)2()0()()(

uÁreaGGdxxgf

GGdxxgf

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Nuestro primer paso es resolver la siguiente ecuación como hemos visto en temas anteriores:


14

Figura 21.

2. Ahora calculamos la integral:

Figura 22.

3. El siguiente paso es calcular dos integrales, una definida entre -2 y 0 y la otra entre 0 y 1:

Figura 23.


15

4. Por último, sumamos (en valor absoluto) los dos resultados anteriores:

Figura 24.


7. Área de un recinto.

Calcula el área del recinto sombreado, donde la ecuación de la parábola es y la de la recta es

12 xy.5 xy

Obtenemos el punto A resolviendo el sistema: importanosNox

x

xy

xy

3

2

5

12

Calculamos el área del recinto ABC como suma de los recintos y . 1R 2R


16

221 6

35uRRÁrea

3

4

3

2

3

2

3)1(

2

12

32

1

x

xdxxR

2

98

2

25

25)5(

5

2

5

2

2

2

xxdxxR

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Lo primero que haremos es resolver el sistema (para ello, pinchamos en Operaciones, y dentro de ella en

Resolver sistema):

Figura 25.

2. Ahora, calcularemos las dos integrales definidas:

Figura 26.


17

2. Por último, representaremos el área, aunque para ello, primero debemos calcularla:

Figura 27.

Figura 28.


18


8. Área de un recinto.

Calcula el área del recinto plano limitado por las rectas y = x, y = 2x y la parábola .2xy

Representamos las rectas y la parábola para identificar el recinto. Puntos de corte:

:02

xxy

xy:

1

02

x

x

xy

xy

2

022

x

x

xy

xy

Descomponemos el recinto OAB en suma de y . 1R 2R

1

0

1

0

2

1 2

1

2)2(

xdxxxR

2

1

2

1

322

2 3

2

3)2(

xxdxxxR

221 6

7

3

2

2

1uRRÁrea

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, comprobaremos los resultados de los sistemas, y para ello, los resolveremos:

Figura 29.


19

2. Ahora calcularemos las integrales definidas como en el ejercicio anterior:

Figura 30.

3. Por último, sumamos los dos resultados:


20

Figura 31.

Figura 32.


21

Figura 33.


9. Volumen.

Halla el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje X la curva: 12

2

x

y entre

las rectas x = -1 y x = 2.

2

1

2)( dxxfV

2

1

22

12

dxx

2

1

352

1

2

24

3201

4x

xxdxx

x

3

2

1

65,760

83

15

94u

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para el cálculo de este ejercicio sólo tenemos que calcular la integral definida:


22

Figura 34.


10. Volumen.

Halla el volumen engendrado por la curva xy al girar alrededor del eje Y entre y = 0 e y = 2. Se hace exactamente igual que al girar en torno al eje X, pero poniendo la función x = g (y). Así:

b

adyygV 2)( : En este caso: 2yxxy : 3

52

0

22

5

32

5)( u

xdyyV

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. De nuevo, para el cálculo del volumen, calculamos la integral definida:

Figura 35.



23

11. Volumen de una esfera.

Calcula el volumen de la esfera engendrada por la semicircunferencia de Centro C( 3, 0) y radio 2 al girar

alrededor del eje OX.

En primer lugar escribimos la ecuación de la circunferencia de centro (3, 0) y radio 2:

0564)3( 2222 yxxyx

Una de las semicircunferencias es: 562 xxy

Los límites de la integración son los puntos donde la curva corta al eje OX:

5

10560 2

x

xxxy

Por tanto el volumen de la esfera es:

3

5

1

2325

1

2

3

32

3

7

3

2553

3)56( uVxx

xdxxxV


1. En primer lugar, resolveremos la ecuación:

Figura 36.

2. Por último, calculamos la integral definida para obtener el volumen:


24

Figura 37.


12. Función integral.

Sea Halla los puntos extremos de dicha función. .)1()(2

1

2 x

dttxF

Por el teorema fundamental del cálculo. Sabemos que; xxxxxF 2221)´( 522

Para ver cuáles son los posibles puntos extremos, hacemos 0)´( xF y obtenemos:

,01 x ,12 x 13 x

0)1´´(

0)1´´(

0)0´´(

210)´´( 4

F

F

F

xxF

Hay un máximo relativo en 01 x y dos mínimos relativos en 12 x y en 13 x . Los valores de estos extremos

son:

3

2

3)1()1()0(

1

0

1

5

32

0

1

2

t

tdttdttF

0)1()0(1

1

2 dttF

0)1()0(1

1

2 dttF


25

Máximo:

3

2,0

Mínimos: y )0,1( )0,1(


1. Para resolver este ejercicio es muy importante que nos aseguremos de escribirlo todo dentro del mismo bloque.

En primer lugar, escribimos la integral y le damos un nombre, en este caso f(x):

Figura 38.

2. Después, calculamos f’(x) para poder calcular el tercer paso:

Figura 39.

3. Ahora, igualamos f’(x) a 0:


26

Figura 40.

4. En este cuarto paso, calculamos f’’(x):

Figura 41.

5. Ahora sustituimos los puntos extremos en f’’(x):


27

Figura 42.

6. Igual que en el paso anterior, utilizamos los puntos extremos, pero esta vez los sustituimos en f(x):

Figura 43.


28

Figura 44.


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