Tema 11: Movimiento oscilatorio - Universidad de...

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Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18 Tema 11: Movimiento oscilatorio FISICA I, 1º, Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla

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Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Tema 11: Movimiento oscilatorio

FISICA I, 1º, Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica

Departamento de Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

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2Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Oscilaciones amortiguadas

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones forzadas: resonancia

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3Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

IntroducciónIntroducción

Movimiento periódico: la posición, velocidad y aceleración del

cuerpo se repiten cada cierto intervalo de tiempo

EjemplosBarca en el mar

Bandera al viento

Péndulo de un reloj

Moléculas en un sólido

Voltaje e intensidad en circuitos de corriente alterna

En general cualquier objeto desplazado ligeramente de una

posición de equilibrio realiza un movimiento periódico

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Movimiento armónico simple (MAS)Movimiento armónico simple (MAS)

El tipo más básico de movimiento periódico es el movimiento

armónico simple (MAS)

¿Por qué interesa estudiar el MAS?Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio

Aproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio

Movimientos oscilatorios más complejos pueden expresarse como la

combinación de varios MAS

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5Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Oscilaciones amortiguadas

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones forzadas: resonancia

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6Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Dinámica del MASDinámica del MAS

Ecuación diferencial del MAS

Fuerza restauradora proporcional al

desplazamiento

Constante del muelle k

Segunda Ley de Newton en una dimensión

Cuerpo unido a un muelle

Si la ecuación de un movimiento tiene esa forma, es un MAS

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7Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS

Problema

Solución general

Ecuación diferencial

Condiciones iniciales

Forma 1

Forma 2

Relación

Forma 2b

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8Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS

Significado físico de las constantes

A es la amplitud

es la frecuencia angular

es la constante de fase

La constante de fase indica cuando “comienza” la función

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9Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

T

T

Período y frecuenciaPeríodo y frecuencia

Período: es el tiempo necesario para completar una oscilación

Frecuencia: número de oscilaciones por

segundo

[T] = s

[f] = Hz = s-1

Frecuencia – frecuencia angular

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10Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Ejemplos: muelle verticalEjemplos: muelle vertical

Muelle de longitud natural

Una masa colgando en equilibrio

Se tira de la masa y se suelta

Problema de movimiento

Solución

La frecuencia no depende de la amplitud ni de la velocidad inicial

MAS

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Aplicaciones del muelleAplicaciones del muelle

El hecho de que la frecuencia no dependa de la amplitud ni la velocidad inicial

tiene aplicaciones interesantes

Medida de masas a partir del período de oscilación

El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa en el segundo viaje del Skylab (1973)

En los instrumentos musicales la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con

que se pulse la cuerda o se apriete la tecla de un piano

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12Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Ejemplos: péndulo simpleEjemplos: péndulo simple

Cuerda ligera

Segunda Ley de Newton

N

Ángulo pequeño

ProblemaMAS

Solución

La frecuencia no depende de la amplitud ni de la masa ni de la velocidad inicial

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13Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Aplicaciones del péndulo simpleAplicaciones del péndulo simple

El hecho de que la frecuencia de oscilación no dependa de la amplitud ni de la

masa tiene aplicaciones interesantes

Técnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad

Medida del tiempo: péndulo de un reloj

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14Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

x

t

0A

0A

Condiciones inicialesCondiciones iniciales

Aplicación de las condiciones iniciales

Representación gráfica

x

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Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración

PosiciónA

-A

2T 3

2TT

-A

A

2T 3

2TT

-A2

A2

2T 3

2TT

Aceleración

Velocidad

Amplitud

máxima:

Velocidad máxima:

Desfase de /2 con la posición

Aceleración máxima:

Desfase de /2 con la velocidad

Desfase de con la posición

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16Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

A

-A

-A

A

-A2

A2

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T

x

x

Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración

x

x

x

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17Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

A

-A

-A

A

-A2

A2

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T

x

x

x

x

x

Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración

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18Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas: resonancia

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19Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Energía: muelleEnergía: muelle

Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante

Energía cinética:

Energía potencial:

Posición y velocidad

Energía mecánica

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20Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle

cE

21

2E kA

No depende de la masa

La energía se trasvasa continuamente de

cinética a transversal y viceversa

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21Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

x

x

x

x

x

Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle

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22Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

x

x

x

x

xcE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

cE

21

2E kA

Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle

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23Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas: resonancia

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24Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

MAS como aproximaciónMAS como aproximación

Péndulo simple

Energía potencial

Energía potencial para ángulo pequeño

Desarrollo de Taylor

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25Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

MAS como aproximaciónMAS como aproximación

Cualquier partícula que se desplaza ligeramente de una posición de equilibrio

(mínimo de la energía potencial) realiza un MAS, pues cualquier curva puede

aproximarse por una parábola cerca de un mínimo

Parábola aproximando U cerca de un punto de equilibrio estable

Curva de energía potencial

Parábola

U(x) para una partícula en el fondo de un cuenco esférico

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Desarrollo de FourierDesarrollo de Fourier

Una función periódica puede expresarse como combinación lineal de varios MAS

de diferentes frecuencias: los modos de Fourier

Una función no periódica puede expresarse

como combinación de MAS usando la

Transformada de Fourier

Ejemplo

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27Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas: resonancia

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28Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilaciones amortiguadasOscilaciones amortiguadas

En sistemas reales el rozamiento hace que las oscilaciones se amortigüen

El rozamiento puede modelarse como una fuerza

Amortiguamiento lineal: valido si la velocidad no es muy grande

Gotas de lluvia cayendo en la atmósfera

Movimiento de células y bacterias

Segunda Ley de Newton

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29Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilaciones amortiguadasOscilaciones amortiguadas

Consideramos el caso de un muelle unidimensional

Segunda Ley de Newton (muelle unidimensional)

Parámetro de rozamiento

Frecuencia propia o natural

Consideramos tres regímenes de movimiento

Amortiguamiento débil : <0

Sobreamortiguado : >0

Amortiguamiento crítico : =0

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30Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilador subamortiguado (Oscilador subamortiguado (<<00))

Solución

Es una oscilación de pseudo-frecuencia y cuya amplitud decae en el

tiempo

La frecuencia de oscilación es

menor que la natural

La amplitud decae más rápido cuanto

mayor sea b ()

Si b=0 (=0) entonces =0

Hay dos tiempos típicos En este caso

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31Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilador sobreamortiguado (Oscilador sobreamortiguado (>>00))

Solución

Es una función decreciente en el tiempo: no hay oscilaciones

Si =0 está críticamente amortiguado, el decaimiento es el más rápido

Tiempos típicosEn el caso sobreamortiguado

Sobreamortiguado

Críticamente amortiguado

Cuanto mayor sea el coeficiente de rozamiento más tarda en pararse

En amortiguamientocrítico

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32Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Representación matemática del MAS

Ejemplos: muelle, péndulo simple

Energía

Otras aplicaciones del MAS

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas: resonancia

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33Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilaciones forzadasOscilaciones forzadas

En un oscilador amortiguado la energía decrece con el tiempo y las oscilaciones

decaen

Para mantener las oscilaciones un agente externo

debe suministrar al sistema la energía que se

pierde

El agente externo ejerce una fuerza sobre el

oscilador, con una frecuencia e

Segunda Ley de Newton en una dimensión

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FasoresOscilaciones forzadasOscilaciones forzadas

no depende del tiempo

Planteamos la ecuación del MAS forzado para los fasores

Buscamos soluciones que oscilen con la misma frecuencia que el término forzador

(régimen permantente)

Ecuación algebraica para

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35Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Resolvemos la ecuación algebraica

Oscilaciones forzadasOscilaciones forzadas

La solución para el fasor puede escribirse

Para recuperar la solución del MAS forzado en régimen permanente

tomamos la parte real

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36Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Si el rozamiento es pequeño la amplitud puede ser muy grande

Al aplicar la fuerza, aparecen soluciones transitorias y permanentesLas transitorias son similares a las del oscilador con rozamiento

Después de un cierto tiempo, la única solución que queda es la del régimen permanente

Oscilaciones forzadasOscilaciones forzadas

La amplitud de la oscilación se hace máxima cuando e se aproxima a 0

=0.5

=0.8

=1.0

=2.0

=0.5

=0.8

=1.0

=2.0

La amplitud de las oscilaciones y el desfase con la fuerza dependen de la frecuencia

de la fuerza forzadora

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37Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Oscilaciones forzadas: resonanciaOscilaciones forzadas: resonancia

Movimiento del oscilador forzado

Estado inicial transitorio

Estado estacionario

Oscila con e y A(e)

La energía es constante (suministrada=disipada)

La resonancia ocurre cuando

El sistema oscila con energía y amplitud máximas

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Resonancia: Bahía de FundyResonancia: Bahía de FundyLa bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima

diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la

bajamar (alrededor de 17 metros)

Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI,

cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía

"Rio Fundo“ (río profundo)

El folklore popular afirma que las mareas son causadas

por una ballena gigante que chapotea en el agua

Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la

resonancia, como resultado de la coincidencia entre el

tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el

fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas

altas (12.4 horas)

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Resonancia: Bahía de FundyResonancia: Bahía de Fundy

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40Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Resonancia: Puente de TacomaResonancia: Puente de Tacoma

El 7 de Noviembre de 1940 el

puente de Tacoma Narrows, en el

estado de Washington, USA,

colapsó

La causa fue la excitación de un

modo de torsión propio por el

viento

Sirvió para entender que es

importante comprender la

interacción entre el viento y el

puente colgante (aerodinámica)

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41Física I, GIERM, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ResumenResumenEl MAS ocurre cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora

proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio

La posición de una partícula que experimenta un MAS varía de forma sinusoidal

La frecuencia depende de los parámetros del sistema (muelle, péndulo simple)

La energía mecánica total es una constante del movimiento

Una función periódica o no puede expresarse como combinación lineal de MAS

Las oscilaciones amortiguadas aparecen cuando hay una fuerza resistiva que se

opone al movimiento

Para compensar la pérdida de energía un agente externo debe ejercer una

fuerza: oscilaciones forzadas

Si la frecuencia de la fuerza externa es próxima a la frecuencia propia del

oscilador aparece la resonancia