Tema 11 eso pols 2º eso

237� MATEMÀTIQUES 1r ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Nombres naturals1INTRODUCCIÓ

L’estudi dels nombres naturals implica el coneixementi la comprensió del sistema de numeració decimal queactualment fem servir. A través d’exemples senzills iquotidians, farem reflexionar els alumnes sobre elsavantatges de fer-lo servir.

Amb les operacions bàsiques de suma, resta,multiplicació i divisió aprendran a treballar amb agilitatamb nombres naturals. Estudiaran, també, lapotenciació i en reflexionaran sobre la utilitat perrepresentar de manera abreujada càlculs matemàtics.

Hem de parar especial atenció a la utilització correctade la jerarquia i les propietats de les operacions i lesregles d’ús del parèntesi en operacions escrites, jaque, juntament amb la resolució de problemesmatemàtics, són els conceptes més complexos per alsalumnes.

També aprendran a fer servir la calculadora perresoldre operacions aritmètiques, però s’ha d’inculcarals alumnes una actitud crítica i d’anàlisi respecte alsresultats obtinguts.

RESUM DE LA UNITAT

• El sistema de numeració decimal fa servir les xifresdel 0 al 9. És un sistema posicional, perquè el valorde cada xifra en el nombre depèn del lloc i la posicióque hi ocupa.

• Amb els nombres naturals fem sumes, restes,multiplicacions i divisions.

• Les operacions combinades les hem de fer enaquest ordre: primer els parèntesis; després lesmultiplicacions i divisions, en l’ordre en quèapareixen, d’esquerra a dreta, i, finalment, lessumes i restes.

• Amb la calculadora podem fer totes les operacionsaritmètiques, però s’ha d’adoptar una actitud críticai d’anàlisi respecte als resultats obtinguts.

• La potenciació permet expressar el producte dediversos factors com un únic nombre format per una base i un exponent.

• Per multiplicar potències amb la mateixa basedeixem la mateixa base i en sumem els exponents.

1. Conèixer l’estructura del sistema de numeraciódecimal.

2. Fer operacions amb nombres naturals.

3. Reconèixer les tecles de la calculadora.

4. Comprendre el concepte de potència.

• Sistema de numeració decimal.

• Ordre, equivalència i posició dels nombres.

• Lectura, escriptura, ordenació i comparació de nombres naturals.

• Identificació dels diferents ordres d’unitats i valor posicional de cada xifra.

• Suma i resta.

• Multiplicació i divisió.

• Operacions combinades.

• Identificació dels elements de les operacions.

• Aplicació de les relacions entre suma i resta.

• Aplicació de les relacions entre multiplicació i divisió.

• Calculadora elemental.

• Identificació de les tecles numèriques, d’operacions i de memòria de la calculadora.

• Càlcul d’operacions combinades amb la calculadora.

• Potenciació: producte de factors iguals.

• Base i exponent.

• Potències de base 10.

• Identificació dels elements d’una potència.

• Lectura i escriptura de potències.

• Simplificació de l’escriptura de nombres mitjançant la potenciació.

OBJECTIUS CONTINGUTS

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 237

238 � MATEMÀTIQUES 1r ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

NOM: CURS: DATA:

OBJECTIU 1

CONÈIXER L’ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL

El sistema de numeració decimal té dues característiques:

1a És decimal: 10 unitats d’un ordre formen una unitat de l’ordre següent.

2.a Ea És posicional: el valor de cada xifra depèn de la posició que ocupi en el nombre.

MILIONS (de milió)

Centenade milió

C. de milió

D. de milió

U. de milió

CM DM UM C D U

Desenade milió

Unitatde milió

Centenade miler

Desenade miler

Unitatde miler Centena Desena Unitat

MILERS (M) UNITATS (U)

F

1

⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

� 1� 1�

Fixa’t en el nombre següent i completa:1

Expressa amb xifres els nombres i col·loca’ls en ordre.

a) Tres milions quatre-cents cinc mil cent vint.

b) Cinquanta mil vuit-cents trenta-nou.

c) Mil sis.

d) Dos-cents vuit mil cinc-cents setanta-set.

e) Disset mil nou-cents cinquanta-dos.

f) Tres mil cinc-cents cinquanta-set.

g) Dotze.

h) Set-cents trenta-dos.

2

.................. unitats

U de milió CM DM UM C D U

.................. unitats

Ho llegim ...................................................................................................

U de milió CM DM UM C D U

8 7 0 6 2 6 5

F

F

1831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 238


1

ORDRE D’UNITATS HO LLEGIMNOMBRE VALOR

15.728

NOMBRES DESCOMPOSICIÓ POLINÒMICA

432.100 400.000 + 30.000 + 2.000 + 100

234.912

3.432.000

32.111.120

1.540.003

533

Centenes 700 Quinze mil set-cents vint-i-vuit

Setanta-quatre mil cent cinquanta-sis

1.967

87.003

415

Vuitanta-set mil tres

Quaranta-cinc

Completa la taula. Indica-hi l’ordre de les unitats i el valor de la xifra 7 en cada nombre.3

Esscriu la descomposició polinòmica dels nombres següents:4

Escriu el nombre que representa cada descomposició polinòmica.5

NOMBREDESCOMPOSICIÓ POLINÒMICA

5.000.000 + 300.000 + 70.000 + 8.000 + 100 + 50 + 6

700.000 + 9.000 + 500 + 40 + 1

10 U milió + 80 CM + 40 DM + 1 UM

4 DM + 5 UM + 8 C + 6 D + 1 U

7 UM + 0 C + 4 D + 1 U

23 D milió + 15 U milió + 1 CM + 10 DM + 4 UM

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 239


Per ordenar una sèrie de nombres els col·loquem de més gran a més petit, o a l’inrevés.

Fem servir els símbols:

> més gran que 75.460 > 56.123 318 > 316

< més petit que 08.937 < 8.990 24 < 27

Escriu 4 nombres anteriors i posteriors a 8.475.6

Forma 6 nombres de 4 xifres amb els nombres de les figures següents.Ordena’ls de més petit a més gran (<).

7

Col·loca els nombres següents al lloc que els correspon:8

En 8 dies han passat per un aeroport els nombres de passatgers següents:

24.789, 33.990, 17.462, 26.731, 30.175, 28.430, 31.305, 19.853

Ordena els nombres de passatgers per ordre creixent, de més petit a més gran.

9

Anteriors

...................

...................

...................

...................

Nombres:

Ordenació:

17.630 7.478

15.080

15.080 51.498 5.478 7.500

8.475 Posteriors

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

............... < ............... < ............... < ............... < ............... < ...............

............ < ............ < ............ < ............ < ............ < ............

1831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 240


1

SUMA O ADDICIÓ

Els elements de l’addició s’anomenen sumands.

El resultat és la suma o total.

En una piscifactoria, s’hi introdueixen un dia 24.350 truites; un altre dia, 18.812, i un tercer dia,9.906. Quantes truites hi ha?

RESTA O SUBTRACCIÓ

Els elements de la subtracció s’anomenen minuend i subtrahend.

El resultat és la resta o diferència.

Prova de la restaPer comprovar si una resta és correcta, la suma del subtrahend i la diferència han de donar el minuend.

subtrahend + diferència = minuend

F

F

F

F

SUMANDS

SUMA o TOTAL

DM UM C D U

2 4 3 5 0

1 8 8 1 2

+ 9 9 0 6

5 3 0 6 8

EXEMPLE

Una piscina té una capacitat de 15.000 litres d’aigua. Hi han sortit esquerdes i se n’han perdut 1.568 litres. Quina capacitat té, ara?

Comprovació:

EXEMPLE

F

F

F

MINUEND

SUBTRAHEND

RESTA o DIFERÈNCIA

DM UM C D U

1 5 0 0 0

− 1 5 6 8

1 3 4 3 2

F

F

F

SUBTRAHEND

RESTA o DIFERÈNCIA

MINUEND

DM UM C D U

1 5 6 8

+ 1 3 4 3 2

1 5 0 0 0

OBJECTIU 2

FER OPERACIONS AMB NOMBRES NATURALS

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 241


Fes les operacions següents.

a) 23.612 + 915 + 1.036 = b) 114.308 + 24.561 + 37 =

Completa amb les xifres corresponents.

a) b)

Completa les operacions i escriu dues restes per a cada suma.

a) 5.665 + 1.335 = b) 777 + 11.099 =

La multiplicació és la suma de diversos sumands iguals.

Els elements de la multiplicació s’anomenen factors. El resultat final és el producte.

Completa.

a) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 50 ⋅ =

b) 415 + 415 + 415 + 415 + 415 + 415 = ⋅ =

Fes les multiplicacions.5

4

3

2

1

×

7

5

8

15

20

80 65 12 10 ×

10

100

1.000

10.000

100.000

5 10 20 25

En una regata de vaixells de vela hi ha 20 vaixells amb 4 tripulants cadascun.Quants tripulants hi participen, en total?

4 + 4 + 4 + 4 + … + 4 20 vegades → 4 ⋅ 20 = 80 tripulants

EXEMPLE

1 4 4 3

+ 5 7

6 9 1 0 3 5

6 3

− 1 2 8 4

4 1 5 6 4 2

La suma i la resta són operacions inverses.

3.058 + 819 = 3.877 3.877 − 819 = 3.058

3.877 − 3.058 = 819

1831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:09 Página 242


1

La multiplicació de dos o més nombres es pot fer de maneres diferents sense que el resultat variï. Són les propietats commutativa i associativa.

Per una carretera circulen 6 camions que transporten 10 cotxes cadascun. Quants cotxes són?

Commutativa6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 ⋅ 10 = 60 cotxes

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 ⋅ 6 = 60 cotxes

El resultat no varia:6 ⋅ 10 = 10 ⋅ 6

Si cada cotxe té 4 rodes, quantes rodes hi ha en total?

Associativa(6 ⋅ 10) ⋅ 4 = 60 ⋅ 4 = 240 rodes 6 ⋅ (10 ⋅ 4) = 6 ⋅ 40 = 240 rodes

El resultat no varia:(6 ⋅ 10) ⋅ 4 = 6 ⋅ (10 ⋅ 4)

EXEMPLE

Completa.

a) 8 ⋅ 9 = 9 ⋅ .................. = .........

b) ........ ⋅ 15 = 15 ⋅ .................. = .........

c) ......... ⋅ ......... = ......... ⋅ .................. = .........

d) ......... ⋅ 6 = ......... ⋅ .................. = 48

6

Completa.

a) 12 ⋅ 4 ⋅ 2 = 12 ⋅ (4 ⋅ 2) = 12 ⋅ 8 = 96

12 ⋅ 4 ⋅ 2 = (12 ⋅ 4) ⋅ 2 = ......... ⋅ 2 = .........

b) 7 ⋅ 10 ⋅ 3 = 7 ⋅ (10 ⋅ 3) = ......... ⋅ ........ = .........7 ⋅ 10 ⋅ 3 = (7 ⋅ 10) ⋅ 3 = ......... ⋅ ........ = .........

c) 11 ⋅ 5 ⋅ 6 =

11 ⋅ 5 ⋅ 6 =

d) 3 ⋅ 5 ⋅ 10 =

3 ⋅ 5 ⋅ 10 =

7

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 243


Dividir és repartir una quantitat en parts iguals.

Els elements de la divisió s’anomenen dividend, divisor, quocient i residu.

– Dividend: quantitat que es reparteix (D).

– Divisor: nombre de parts que es fan (d).

– Quocient: quantitat que correspon a cada part (q).

– Residu: quantitat que queda sense repartir (r).

En Joan ha portat a classe 450 llaminadures. Les reparteix entre els 25 companys. Quantes en toquen a cadascun?

Dividend: D = 450Divisor: d = 25Quocient: c = 18Residu: r = 0

A totes les divisions es compleix que:

D = d ⋅ c + r (propietat fonamental de la divisió)

La divisió pot ser:

• Exacta. El residu és zero: r = 0No sobra cap quantitat.

• Inexacta. El residu no és zero: r � 0 i r < dS’anomena divisió entera.

EXEMPLE

EXEMPLE

Quantes garrafes de 50 litres es poden omplir amb el contingut de cadascun d’aquests bidons?8

450

2000

25

18 llaminadures per a cada company.

288

480

24

12

Exacta

garrafa bidó bidó

288 = 24 ⋅ 12

r = 0

96

21

25

3

Inexacta

96 = 25 ⋅ 3 + 21

r = 21 y 21 < 25

50 litres3.300litres

4.150litres

1831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 244


1

725 − (60 ⋅ 7 + 10) = 725 − (420 + 10) = 725 − 430 = 295

(15 ⋅ 2) : (17 − 12) = 30 : 5 = 6

EXEMPLE

Fes les divisions següents. Digues quines són exactes i quines són inexactes. Fes servir la propietat fonamental de la divisió.

a) 609 : 3 = c) 1.046 : 23 =

b) 305 : 15 = d) 16.605 : 81 =

9

Completa aquestes taules:10

Els 2.700 alumnes d’un col·legi van de campament. Hi poden anar en autobusos de 55 places sense que en sobri cap? I en autobusos de 30 places? Raona les respostes.

11

DIVIDEND

350 5

54 9

4 30

DIVISOR QUOCIENT DIVIDEND

3 45

150 30

500 10

DIVISOR QUOCIENT

OPERACIONS COMBINADES

Per resoldre operacions combinades (sumes, restes, multiplicacions i divisions...) hem de seguir un ordre:

1r Traiem els parèntesis.

2n Fem les multiplicacions i divisions (en l’ordre en què apareixen).

3r Resolem les sumes i restes (en l’ordre en què apareixen).

Fes les operacions combinades següents:

a) 450 − (75 ⋅ 2 + 90) = 450 − (150 + 90) = 450 − 240 = 210

b) 350 + (80 ⋅ 6 − 150) =

c) 600 : 50 + 125 ⋅ 7 =

d) 8 ⋅ (50 − 15) : 14 + (32 − 8) ⋅ 5 =

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 245


OBJECTIU 3

RECONÈIXER LES TECLES DE LA CALCULADORA. OPERACIONS

D’una calculadora bàsica, ens interessa conèixer-ne les tecles següents:

• Tecles numèriques: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Tecles d’operacions: +, −, ×, ÷, =.

• Tecles de memòria: les fem servir per fer operacions combinades.

– Suma un nombre a la memòria (l’emmagatzema).

– Resta un nombre a la memòria (l’emmagatzema).

– Recupera el nombre que té emmagatzemat.

– Esborra un nombre que hi ha a la memòria.

• Altres tecles: ON (encesa), OFF (apagada).

Fes les operacions següents amb la calculadora:

a) 775 + 150 = c) 2.350 − 1.500 = e) 1.736 : 31 =

b) 60 ⋅ 22 = d) 125 : 25 = f) 100 ⋅ 25 =

1

Fes les operacions combinades amb la calculadora:2

Fes les operacions amb la calculadora. Què hi veus, als exercicis a) i b), i a c) i d)?

a) (150 : 15) + 35 = c) 95 ⋅ (81 − 57) =

b) 150 : (15 + 35) = d) 95 ⋅ 81 − 57 =

3

Un quiosc de premsa té 1.300 diaris. Al matí se n’han venut 745 i, a la tarda, 350. Quants diaris queden al final del dia?

a) Expressa l’operació combinada amb les xifres i els signes corresponents.

b) Resol el problema amb la calculadora i escriu la seqüència d’operacions.

4

a) 35 + 12 ⋅ 6 35 12 ⋅ 6 = 72 Resultat = 63

b) (15 ⋅ 5) − (10 ⋅ 4) 15 ⋅ 5 = 75 10 ⋅ 4 Resultat =

c) 150 + 7 ⋅ 6

d) 18 − 17 : 50

F

F

F

F

M+

M−

MR

MC

M+ M+ MR

M−

1NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 246


1

Una potència és la manera abreujada d’escriure una multiplicació de factors iguals.

Una potència està formada per una base i un exponent.

Així doncs: 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4.

Al gimnàs del col·legi hi ha 4 caixes de cartró, cadascuna de les quals conté 4 xarxes amb 4 pilotes a cada xarxa. Quantes pilotes hi ha en total?

4 caixes, 4 xarxes i 4 pilotes 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 216 pilotes

Aquesta operació la podem expressar de la manera següent:

43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 443 és una potència.

EXEMPLE

OBJECTIU 4

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE POTÈNCIA

Fes les operacions amb la calculadora. Què hi veus, als exercicis a) i b), i a c) i d)?

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54 d) 6 ⋅ 6 =

b) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = e) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 =

c) 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = f) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 =

2

F

F

Base: factor que es repeteix. Exponent: nombre de vegades que s’hade multiplicar la base per ella mateixa.

Ho llegim: «Quatre elevat al cub.»43 FF

Completa la taula següent:1

POTÈNCIA

35 Tres (elevat) a la cinquena

Cinc (elevat) a la sisena

64

10 3

BASE EXPONENT HO LLEGIM

Escriu com un producte de factors iguals.

a) 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 d) 105 =

b) 63 = e) 74 =

c) 82 = f) 55 =

3

Calcula el valor de les potències següents:

a) 32 = 3 ⋅ 3 = 9 d) 103 =

b) 43 = e) 92 =

c) 24 = f) 53 =

4

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 247

POTÈNCIES DE BASE 10

• Les potències de base 10 i qualsevol nombre natural com a exponent són un cas especial de potències.

• Les fem servir per expressar nombres molt grans: distàncies espacials, habitants d’un país, etc.

� MATEMÀTIQUES 1r ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Escriu amb números.

a) Sis elevat al quadrat = c) Vuit elevat al quadrat =

b) Tres elevat al cub = d) Deu elevat a la quarta =

5

Expressa els nombres següents com a potències:

a) 25 = 5 ⋅ 5 c) 81 = e) 100 =

b) 49 = d) 64 = f) 36 =

7


NOMBRES

Elevat al quadrat 1 49 100

8 125Elevat a la cub

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

POTÈNCIA

102 10 ⋅ 10 100 Cent

103 10 ⋅ 10 ⋅ 10 1.000 Mil

104 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10.000 Deu mil

105 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 100.000 Cent mil

106 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 1.000.000 Un milió

EXPRESSIÓ NOMBRE HO LLEGIM

Expressa en forma de potència de base 10 els productes següents:

a) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = c) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =

b) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = d) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =

8

Completa. 9

NOMBRE

2.000 2 ⋅ 1.000 2 ⋅ 103

25.000 25 ⋅

15 ⋅ 100

4 ⋅ 106

13.000.000

33 ⋅ 10.000

PRODUCTES DE DOS NOMBRES POTÈNCIA DE BASE 10

248

1831073 _ 0237-0248.qxd 12/6/07 16:10 Página 248


Divisibilitat2INTRODUCCIÓ

El concepte de divisibilitat requereix dominar lamultiplicació, la divisió i la potenciació de nombresnaturals. És fonamental dedicar el temps necessari a la pràctica de la descomposició d’un nombre enfactors primers, aplicant els criteris de divisibilitatexplicats i aprenent a distingir entre nombres primers i compostos.

L’ús de la tècnica de la descomposició en factorsprimers d’un nombre donat ens permet obtenir elsmúltiples i divisors d’aquest nombre. El càlcul delmàxim comú divisor i del mínim comú múltiple dediversos nombres serà el pas següent. Aquest procésno serà complicat, ja que es tracta d’aplicar, pas a pas,cadascun dels conceptes que s’han vist durant la unitat.

Tots els conceptes que es tracten en la unitat són moltútils, ja que ens serveixen per transmetre i interpretarinformacions relacionades amb l’entorn: el nombre de rajoles necessàries per enrajolar una habitació, com es reparteix una quantitat de litres en garrafes dediferent capacitat...

En resoldre problemes de la vida real, els alumnesaplicaran d’una manera pràctica els conceptesexplicats en la unitat, per la qual cosa és fonamentalque els entenguin i que els practiquin.

RESUM DE LA UNITAT

• Un nombre natural a és múltiple d’un altre b si la divisió a : b és exacta. Es diu també que bés divisor de a i que a és divisible per b.

• Un nombre és divisible per 2 si acaba en 0 o en xifra parell. És divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 3. És divisible per 5 quan acaba en 0 o 5. I és divisible per 10quan acaba en 0.

• Nombre primer és aquell que només és divisible per ell mateix i per la unitat. Els nombres que no són primers s’anomenen compostos.

• La descomposició en factors primers permetexpressar un nombre com a producte de diversosnombres primers elevats a potències.

• El màxim comú divisor (m. c. d.) de dos nombres és el major dels divisors comuns de tots dos. S’obtédescomponent cada nombre en producte de factorsprimers i multiplicant els factors comuns elevats al menor exponent.

• El mínim comú múltiple (m. c. m.) de dos nombresés el menor dels múltiples comuns. S’obtédescomponent cada nombre en producte de factorsprimers i multiplicant els factors comuns i nocomuns elevats al major exponent.

1. Identificar els múltiples i divisors d’un nombre.

2. Comprendre i aplicar els criteris de divisibilitat.

3. Diferenciar entre un nombreprimer i un nombre compost.Descomposició en factorsprimers.

4. Obtenir múltiples i divisorscomuns de diversos nombres.

• Càlcul dels múltiples i divisors d’un nombre.

• Relació de divisibilitat.

• Càlcul dels múltiples i divisors d’un nombre.

• Criteris de divisibilitat per 2, 3, 5 i 10.

• Aplicació dels criteris de divisibilitat.

• Expressió en forma de taula d’aquests criteris.

• Nombres primers i compostos.

• Descomposició en factors primers.

• Identificació de nombres primers i compostos.

• Relació de divisibilitat entre dos nombres.

• Escriptura d’un nombre com a producte de factors primers.

• Obtenció dels múltiples i divisors comuns de diversos nombres.

• Ús del m. c. d. i el m. c. m. en la resolució de problemes.

• Càlcul dels divisors i múltiples comuns de diversos nombres.

• Aplicació dels conceptes estudiats a problemes quotidians.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 249


OBJECTIU 1

IDENTIFICAR ELS MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE

En una botiga d’esports les pilotes de tennis es venen en pots de 3 unitats. Quantes pilotes puc comprar?

3 pilotes 6 pilotes 9 pilotes 12 pilotes 15 pilotes …

3 ⋅ 1 = 3 3 ⋅ 2 = 6 3 ⋅ 3 = 9 3 ⋅ 4 = 12 3 ⋅ 5 = 15 …

Es poden comprar 3, 6, 9, 12, 15... pilotes.

Els nombres 3, 6, 9, 12, 15… són múltiples de 3.

EXEMPLE

Els múltiples d’un nombre són aquells que s’obtenen multiplicant aquest nombre per 1, 2, 3, 4, 5..., és a dir, pels nombres naturals.

Múltiples de 4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…

Fixa’t en la seqüència següent i completa-la:1

Completa les taules següents:2

• 3 és múltiple de 3 perquè 3 = 3 ⋅ 1




• 15 és múltiple de 3 perquè 15 = 3 ⋅ ........

• ........ és múltiple de 3 perquè ........ = 3 ⋅ ........




• ........ és múltiple de 3 perquè ........ = 3 ⋅ 10

24

21Són nombres. ........................F

F

×

1

3

5

7

9

1 2 3 4

4

14

35

70

5 6 7 8 9 10

F

2NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 250


2

×

2

4

6

8

10

1 2 3 4

24

16

32

90

5 6 7 8 9 10

Escriu els nombres que falten (en alguns apartats hi pot haver diverses solucions).

a) 28 és múltiple de 4 perquè 28 = 4 ⋅ .......

b) 35 és múltiple de ....... perquè ....... = ....... ⋅ 7

c) ....... és múltiple de ....... perquè ....... = ....... ⋅ .......

d) ....... és múltiple de 8 perquè ....... = 8 ⋅ .......

e) 30 és múltiple de 10 perquè 30 = 10 ⋅ .......

f) 54 és múltiple de ....... perquè ....... = ....... ⋅ .......

3

Troba mentalment quatre múltiples de:

a) 3 c) 9 e) 6

b) 5 d) 11 f) 8

4

Escriu els nombres que siguin:

a) Múltiples de 3 menors que 36.

b) Múltiples de 4 menors que 60.

c) Múltiples de 100 menors que 1.000.

d) Múltiples de 7 que estiguin compresos entre 30 i 90.

5

En Joan va a uns grans magatzems i observa que alguns articles es venen de la manera següent:

• Les cintes de vídeo, en paquets de 3 unitats.

• Els llapis, en bosses de 2 unitats.

• Els disquets, en caixes de 10 unitats.

• Els CD, en grups de 5 unitats.

Quantes unitats de cada article podria comprar?

6

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 251

Una divisió exacta és aquella en la qual en dividir dos nombres entre si la seva resta és zero.

Els divisors d’un nombre són els que divideixen aquest nombre un nombre exacte de vegades.

6 i 8 són divisors de 24 perquè divideixen de manera exacta el nombre 24.


Vull guardar 18 llapis en bosses, de manera que cadascuna contingui la mateixa quantitat de llapis sense que en sobri cap. He d’ordenar-los i agrupar-los de les maneres següents:

• Els nombres 1, 2, 3, 6, 9, 18 són divisors de 18.

• Els llapis estan agrupats en bosses dins de les quals n’hi ha la mateixa quantitat.

• La divisió és exacta, no sobra res:

– 1 és divisor de 18 perquè 18 : 1 = 18 i la resta és 0.






EXEMPLE

24

0

6

4 vegades

24

4

5

4

24

0

8

3 vegades

24

3

7

3

1 bossa de 18 llapis 2 bosses de 9 llapis 3 bosses de 6 llapis

6 bosses de 3 llapis 9 bosses de 2 llapis 18 bosses d’1 llapis

18

080

1

18

18

0

2

9

18

0

3

6

18

0

6

3

18

0

9

2

18

0

18

1

2831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 252


2


Ratlla els nombres que no siguin:

Divisors de 5 = 1, 3, 5 Divisors de 25 = 1, 3, 5, 10, 20, 25

Divisors de 9 = 1, 2, 3, 6, 9 Divisors de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48

Divisors de 11 = 1, 3, 9, 11 Divisors de 100 = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100

8

Indica si són veritables o falses les afirmacions següents i raona la resposta.El nombre 15 és:

a) Múltiple de 5 o perquè 5 ⋅ ......... = .........

b) Divisor de 10 o perquè ............................

c) Múltiple de 6 o perquè ............................

d) Divisor de 45 o perquè ............................FV

FV

FV

FV

9

Troba tots els divisors de:

a) 18 d) 20

b) 22 e) 16

c) 15 f) 14

10

12 : 1 12 : 2 12 : 3 12 : 4 12 : 5 12 : 6 12 : 7 12 : 8 12 : 9 12 : 10 12 : 11 12 : 12

Divisió

Quocient

Resta

A la classe d’Educació Física hi ha 24 alumnes. De quantes maneres es podran formar grups iguals d’alumnes sense que en sobri cap? Raona la resposta.

11

Per calcular tots els divisors d’un nombre, el dividim entre els nombres naturals menors i iguals que ell. Els nombres que fan que la divisió sigui exacta són els seus divisors.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 253

Múltiple i divisor són dos conceptes relacionats entre si. En una divisió exacta de dos nombres hi ha una relació anomenada divisibilitat.

• El nombre més gran és múltiple del més petit.

• El nombre més petit és divisor del més gran.

48 : 8 = 6 48 és múltiple de 8 perquè 48 = 8 · 6.8 és divisor de 48 perquè 8 divideix 48 un nombre exacte de vegades (6 vegades).

48 : 6 = 8 48 és múltiple de 6 perquè 48 = 6 · 8.6 és divisor de 48 perquè 6 divideix 48 un nombre exacte de vegades (8 vegades).


Completa amb la paraula adequada, múltiple o divisor.

a) 25 és ...................... de 5. d) 11 és ........................ de 33.

b) 60 és ...................... de 120. e) 100 és ...................... de 25.

c) 16 és ...................... de 8. f) 7 és ......................... de 63.

12

Donats els nombres 15, 10, 1, 25, 5, 8, 20, 45, 2, 12, indica quins són:

a) Divisors de 50.

b) Múltiples de 3.

13

Observa aquests nombres: 9, 25, 15, 20, 48, 100, 45, 5, 2, 22, 3.Forma-hi, almenys, 4 parelles que verifiquin la relació de divisibilitat.

14

F

F

2831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 254


2

Un atleta recorre una distància en salts de 2 metres.

0 2 4 6 8 10 12 14 …

Una granota recorre una distància en salts de 3 metres.

0 3 6 9 12 15 18 21 …

Una garsa recorre una distància en salts de 5 metres.

0 5 10 15 20 25 30 35 …

Un cangur recorre una distància en salts de 10 metres.

0 10 20 30 40 50 60 70 …

• Els salts de l’atleta tenen alguna cosa en comú: en dividir-los entre 2, la divisió és exacta: la resta és zero;són múltiples de 2 i la distància entre l’un i l’altre és la mateixa, 2 metres.

Els nombres que acaben en 0, 2, 4, 6 i 8 són divisibles per dos. Aquesta és la regla de divisibilitat per 2.

• Els salts de la granota tenen alguna cosa en comú: en dividir-los entre 3, la divisió és exacta: la resta és zero; són múltiples de 3 i la distància entre l’un i l’altre és la mateixa, 3 metres.

Observa que si en sumem les xifres, el nombre obtingut és múltiple de 3. Aquesta és la regla de divisibilitat per 3.

3, 12, 21... Les seves xifres sumen 3, que és múltiple de 3.

6, 15, 24... Les seves xifres sumen 6, que és múltiple de 3.

9, 18, 27... Les sees xifres sumen 9, que és múltiple de 3.

• Els salts de la garsa tenen alguna cosa en comú: en dividir-los entre 5, la divisió és exacta: la resta és zero; són múltiples de 5 i la distància entre l’un i l’altre és la mateixa, 5 metres.

Els nombres que acaben en 0 o en 5 són divisibles per 5. Aquesta és la regla de la divisibilitat per 5.

• Els salts del cangur tenen alguna cosa en comú: en dividir-los entre 10, la divisió és exacta: la resta és zero; són múltiples de 10 i la distància entre l’un i l’altre és la mateixa, 10 metres.

Els nombres que acaben en 0 són divisibles per 10. Aquesta és la regla de la divisibilitat per 10.

EXEMPLE

OBJECTIU 2

COMPRENDRE I APLICAR ELS CRITERIS DE DIVISIBILITAT

Els criteris de divisibilitat són una sèrie de normes que permeten saber si un nombre és divisible per 2, 3, 5, 10…

Aquesta és també una manera fàcil de realitzar divisions exactes. A continuació trobarem aquests criteris.

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 255


Indica quin dels nombres compleix els criteris de divisibilitat de la taula (alguns nombres poden ser divisibles per diversos).

1

Dels nombres 230, 496, 520, 2.080, 2.100, 2.745 i 455, digues:

a) Quins són múltiples de 2?

b) I múltiples de 3?

c) Quins són múltiples de 5?

d) I múltiples de 10?

2

Completa les xifres que falten en cada nombre perquè es compleixi el criteri de divisibilitat que s’indica (hi pot haver diverses solucions).

3

DIVISIBLE PER 2 DIVISIBLE PER 3 DIVISIBLE PER 5 DIVISIBLE PER 10

18

35

40

84

100

150

1.038

480

1.002

5.027

36.... 364 369 365

No pot ser. No acaba en 0

ni en...

No pot ser. No acaba en 0

ni en 2...

360

35.02....

9....6

1.4....0

8.8....5

43....79

DIVISIBLE PER 2 DIVISIBLE PER 3 DIVISIBLE PER 5 DIVISIBLE PER 10

2831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 256


2

Els 5 jugadors d’un equip de bàsquet volen saber de quantes maneres poden formar grups iguals per fer els seus entrenaments.

Es poden agrupar en conjunts d’1 i de 5 jugadors.

El nombre 5 només té dos divisors: 5 i 1 (ell mateix i la unitat). Es diu que és un nombre primer.

Passa el mateix amb els 7 jugadors d’un equip d’handbol.

El nombre 7 només té dos divisors: 7 i 1. És un nombre primer.

Tinc 8 llibres per col·locar en una prestatgeria. Quants grups iguals en puc formar?

Els puc col·locar en grups d’1, 2, 4 i 8 llibres.

El nombre 8 té diversos divisors. Es diu que és un nombre compost.

EXEMPLE

5

0

1

5

5

1

2

2

5

2

3

1

5

1

4

1

5

0

5

1

8

0

1

8

8

0

2

4

8

2

3

2

8

0

4

2

8

3

5

1

8

2

6

1

8

1

7

1

8

0

8

1

Troba els nombres primers que hi ha des de 70 fins a 100 (escriu-los en vermell).1

70 71 72 80

81 85

97 100

Classifica els nombres en primers o compostos: 6, 15, 7, 24, 13, 2, 20, 11 i 10.

a) Nombres primers:

b) Nombres compostos:

2

Un equip de futbol té 11 jugadors.

a) De quantes maneres es poden col·locar formant grups iguals de jugadors?

b) Si s’uneix a l’entrenament un altre jugador, com s’agruparien?

3

OBJECTIU 3

NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS. DESCOMPOSICIÓ EN FACTORS PRIMERS

Nombre primer: només té dos divisors, ell mateix i la unitat.

Nombre compost: té més de dos divisors.

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 257


Determina els divisors de 36.

1r Descomponem en factors primers el nombre 36.

– Col·loquem el nombre.

– Tracem una línia vertical a la seva dreta.

– Comencem a dividir entre els nombres primers successius: 2, 3, 5, 7...

– Acabem de dividir quan l’últim nombre és un nombre primer (quocient 1).

36 2 – El primer nombre primer pel qual és divisible 36 és 2: 36 : 2 = 18




1

Podem expressar el nombre 36 com a producte d’altres nombres primers:

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9

2n Col·loquem en fila l’1 i les potències successives del primer factor primer.

En aquest cas, seria des de 2 fins a 22 = 4.

1 2 4

3r Multipliquem cada nombre de la fila anterior pel factor primer següent, 3.

1 2 4

3 6 12

4t Multipliquem cada nombre de la primera fila per la potència de 3 següent.

En aquest cas, seria 32 = 9.

1 2 4

3 6 12

9 18 36

5è Ordenant els nombres, els divisors de 36 són: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

EXEMPLE

DIVISORS D’UN NOMBRE

• Per obtenir tots els divisors d’un nombre, el dividim entre els nombres naturals més petits i iguals que ell, i aquells nombres amb els quals obtinguem una divisió exacta seran els seus divisors.

• Si els nombres són molt grans, hi ha una manera més senzilla de fer-ho: consisteix a descompondreel nombre en producte de nombres primers, i expressar-ne els divisors mitjançant la combinació d’aquests nombres (anomenats factors).

2831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 258


2

Descompon el nombre 45 en factors primers.4

Descompon com a producte de factors primers els nombres 50 i 60.5

Vull guardar 40 llaunes en caixes iguals sense que en sobri cap. De quantes maneres ho puc fer?6

La Maria vol distribuir l’aigua d’una garrafa de 12 litres en envasos que continguin el mateix nombre de litres.

a) Quines capacitats tindran els recipients?

b) Quants en necessitarà en cada cas?

7

60 2

30 5

60 = 2 ⋅ ....

1r 45 3 – El primer nombre primer pel qual és divisible 45 és 3: 45 : 3 = 15



1

Podem expressar el nombre 45 així: 45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 32 ⋅ 5 = 9 ⋅ 5.

2n Col·loquem en fila l’1 i les potències successives del primer factor primer.

En aquest cas seria des de 3 fins a 32 = 9.

1 3 9

3r Multipliquem cada nombre de la fila anterior pel factor primer següent, 5.

1 3 9

5 15 45

4t Ordenant els nombres, els divisors de 45 són: ................................

3 litres

12 litres

Garrafa12 litres

4 litres

6 litres1 litre

2 litres

F

F

F F

F

F

50 2

25 5

50 = 2 ⋅ 5

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 259


OBJECTIU 4

DIVISORS COMUNSEn Joan té 12 locomotores de joguina i en Pere, 18 avions. Volen fer grups de manera que tinguin el mateix nombre de joguines en cada un.

En Joan i en Pere poden ajuntar les seves joguines en grups iguals d’1, 2, 3 i 6.

1, 2, 3 i 6 són els divisors comuns de tots dos nombres.

6 és el grup més gran que tots dos poden formar amb el mateix nombre de locomotores i avions.

6 és el més gran dels divisors comuns, i s’anomena màxim comú divisor (m. c. d.).

OBTENIR DIVISORS I MÚLTIPLES COMUNS DE DIVERSOS NOMBRES

EXEMPLE

18 29 33 301 3

18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 9

12 26 23 31 3

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3

En Joan podrà fer els grups següents:

En calcularem els divisors:

1 2 4

3 6 12

En calcularem els divisors:

1 2

3 6

9 18

En Pere podrà fer els grups següents:

LOCOMOTORES

1 grup de 12 locomotores

2 grups de 6 locomotores




12 grups d’1 locomotora

AVIONS

1 grup de 18 avions

2 grups de 9 avions

3 grups de 6 avions

6 grups de 3 avions

9 grups de 2 avions

18 grups d’1 avió

Troba els divisors comuns de:

a) 25 i 30 c) 15 i 20

b) 9 i 12 d) 16 i 24

1

Calcula el més gran dels divisors comuns de cada parella de nombres de l’exercici anterior, és a dir, el màxim comú divisor (m. c. d.).

2

2NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 260


2

MÚLTIPLES COMUNS

L’Anna va a nedar al poliesportiu cada 2 dies i l’Eva hi va cada 3. Cada quant temps coincideixen al poliesportiu?

Anna

Eva

L’Anna hi va els dies 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

L’Eva hi va els dies 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21...

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20... són els múltiples de 2.

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21... són els múltiples de 3.

6, 12, 18... són els múltiples comuns de 2 i 3.

6 és el més petit dels múltiples comuns, i s’anomena mínim comú múltiple (m. c. m.).

EXEMPLE

Troba els 5 primers múltiples comuns de:

a) 5 i 10 c) 10 i 25

b) 4 i 6 d) 12 i 15

3

Calcula el més petit dels múltiples comuns de cada parell de nombres de l’exercici anterior, és a dir, el mínim comú múltiple (m. c. m.).

4

Un vaixell surt d’un port cada 4 dies; un altre, cada 5, i un tercer, cada 7 dies. Quan tornen a coincidir els tres vaixells al port?

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 261

� MATEMÀTIQUES 1r ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �262

Quina de les sèries està formada per múltiples de 4? I per múltiples de 5? I per múltiples de 39?

a) 1, 4, 9, 16, 25…

b) 0, 5, 10, 15, 20…

c) 1, 8, 27, 64…

d) 0, 8, 16, 24, 32, 40…

e) 0, 39, 78, 117, 156…

6

Completa la taula indicant SÍ o NO.7

Troba el m. c.d. dels nombres següents:

a) 24 i 36 d) 6 i 14 g) 25 i 50 j) 28 i 35

b) 12 i 14 e) 9 i 10 h) 14 i 42 k) 42 i 28

c) 16 i 18 f) 5 i 15 i) 6 i 15 l) 4 i 6

8

Troba el m. c. m. dels nombres següents:

a) 24 i 36 d) 6 i 14 g) 25 i 50 j) 28 i 35

b) 12 i 14 e) 9 i 10 h) 14 i 42 k) 42 i 28

c) 16 i 18 f) 5 i 15 i) 6 i 15 l) 4 i 6

9

DIVISIBLE PER 2 DIVISIBLE PER 3 DIVISIBLE PER 5

640

1.876

2.987

345

876

2831073 _ 0249-0262.qxd 11/6/07 12:13 Página 262


Fraccions3INTRODUCCIÓ

Amb l’ús de les fraccions s’observa la utilitat delsconceptes estudiats com, per exemple, les operacionsbàsiques amb nombres naturals o el càlcul del mínimcomú múltiple i el màxim comú divisor.

Recordar les diferents interpretacions d’una fracció(com a part d’un total, com a mesura i com a operadord’un nombre) és el primer pas per comprendrel’estructura del conjunt dels nombres racionals.

Així mateix, representar les fraccions en la recta real o mitjançant figures geomètriques permet comprendreconceptes com la relació d’equivalència entrefraccions, obtenir fraccions equivalents a una fracciódonada, comparar fraccions i trobar fraccionscompreses entre dues fraccions.

La realització d’operacions amb fraccions no presentagaire dificultat i utilitza tècniques ja conegudes d’altrescursos.

A més, conceptes com l’equivalència de fraccions i la fracció com a expressió decimal seran la base per a l’estudi de la proporcionalitat numèrica.

RESUM DE LA UNITAT

• Una fracció és un nombre, escrit de la forma , enquè a és el numerador i b, el denominador.

• Una fracció pot interpretar-se com a part d’un total,com a mesura i com a operador d’un nombre.

• Una fracció pròpia és la que té el numerador méspetit que el denominador. Una fracció impròpia té el numerador més gran que el denominador. Totafracció impròpia es pot expressar com a nombremixt, és a dir, com un nombre natural més unafracció pròpia.

• Les fraccions es representen mitjançant dibuixosgeomètrics i/o en la recta real. Es divideix la figura o la recta en tantes unitats com indiqui eldenominador, i se’n senyalen tantes com senyali el numerador.

• Les fraccions equivalents a una fracció donadas’obtenen multiplicant o dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre.

• Per sumar (o restar) fraccions es redueixen primer acomú denominador i després se’n sumen (o resten)els numeradors.

a

b

1. Comprendre el concepte de fracció. Identificar-ne els termes.

2. Diferenciar els tipus defraccions. Representació en la recta real.

3. Comprendre el significat de fracció equivalent.

4. Realitzar operacions amb fraccions.

• Concepte de fracció: numerador i denominador. Lectura de fraccions.

• Interpretació gràfica.

• Significats de la fracció: unitat, part decimal i part d’un total.

• Identificació dels termes d’una fracció i les seves diferentsinterpretacions: numèricament i gràficament.

• Fraccions pròpies, impròpies i iguals a la unitat.

• Interpretació en la recta real.

• Determinació de fraccions en una gràfica i el seu valor en la recta real.

• Fracció equivalent.

• Comparació i obtenció de fraccions equivalents.

• Reconeixement de fraccions equivalents mitjançant la representaciógràfica, l’amplificació i la simplificació.

• Suma i resta de fraccions d’igual i diferent denominador.

• Producte i divisió de fraccions. Divisió d’una fracció entre un nombre.

• Resolució de problemes mitjançant operacions amb fraccions.

• Ús de dibuixos explicatius i càlcul mental.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 263

• Per expressar una quantitat d’alguna cosa que és incompleta o bé parts d’un total sense fer servir nombreso expressions numèriques, utilitzem les fraccions.

• Exemples de frases en les quals fem servir fraccions: «Dóna’m la meitat de...», «només ens falta fer laquarta part del recorregut», «es va inundar l’habitació d’aigua en dues cinquenes parts...», «els dos terçosdel barril estan buits...», «m’he gastat la tercera part de la paga...».

• Una fracció és una expressió matemàtica que consta de dos termes, anomenats numerador i denominador,separats per una línia horitzontal que s’anomena ratlla de fracció.

En general, si a i b són dos nombres naturals (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...), una fracció s’escriu així:

Ratlla de Numeradorfracció Denominador

a

b


OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE FRACCIÓ. IDENTIFICAR-NE ELS TERMES3

SIGNIFICAT DELS TERMES D’UNA FRACCIÓ: PART DE LA UNITAT

• Numerador (a). Nombre de parts que agafem de la unitat.

• Denominador (b). Nombre de parts iguals en les quals es divideix la unitat.

• Ratlla de fracció (—). Indica partició, part de, quocient, entre, divisió.

En Joan obre una capsa de formatgets que té 8 porcions i se’n menja 3. Com ho expressaries?

En Joan es menja 3 porcions (parts que agafa de la capsa) Numerador

La capsa té 8 porcions (parts iguals de la capsa) Denominador

Com es llegeixen les fraccions?

Si el denominador és més gran que 10, es llegeix el nombre seguit del terme –è:

Per tant, podem dir que en Joan s’ha menjat els tres vuitens de la capsa.

Així: es llegeix «tres setens». es llegeix «sis novens».

es llegeix «vuit onzens». es llegeix «cinc desens».5

10

8

11

6

9

3

7

3

8

EXEMPLE

FF

F

F

F

Si el numerador és

Es llegeix

1

u

2

dos

3

tres

4

quatre

5

cinc

6

sis

7

set

8

vuit

9

nou

Si el denominador és

Es llegeix

2

mitjos

3

terços

4

quarts

5

cinquens

6

sisens

7

setens

8

vuitens

9

novens

10

desens

Si el denominador és

Es llegeix

11 12 13 14 15 16 17 18 19

onzens dotzens tretzens catorzens quinzens setzens dissetens divuitens dinovens

NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 264


3

Escriu com es llegeixen les fraccions següents:

a) c) e)

b) d) f)8

15

12

20

5

12

9

10

2

17

3

5

1

Escriu les fraccions següents:

a) Sis desens = c) Deu vint-i-tresens = Dos onzens =

b) Tres vuitens = d) Dotze catorzens = Quinze dinovens =

2

La Maria s’ha menjat 2 trossos d’un pa de pessic dividit en 6 parts iguals.

a) Quina fracció representa el que s’ha menjat la Maria?

b) Representa-ho mitjançant quatre tipus de gràfics.

3

Escriu la fracció que representa la part acolorida de cada un dels gràfics.

a) c) e)

b) d) f)

4

Per dibuixar i/o representar gràficament fraccions, seguim aquests passos:

1r Escollim el tipus de dibuix: cercle, rectangle, quadrat o triangle (normalment és una figura geomètrica).

2n Dividim la figura en tantes parts iguals com ens indica el denominador.

3r Pintem, marquem o assenyalem les parts que ens indiqui el numerador.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 265

ALTRES SIGNIFICATS DE LES FRACCIONS

Com a quocientEn dividir el numerador entre el denominador, s’obté un nombre decimal.

Aquest nombre és el valor numèric de la fracció.

Si vull repartir 7 plàtans entre 2 ximpanzés , quants en corresponen a cadascun?

• Li tocarien 3 plàtans complets (enters) a cada ximpanzé.

• Sobra un plàtan, que es repartirien 2 ximpanzés: mig plàtan (0,5) per a cadascun.

72

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟



S’ESCRIU ES REPRESENTA SE LLEGEIX

4

7 Quatre .....................

Sis onzens

9

10

Indica les fraccions que representen cada situació mitjançant un dibuix.

a) D’una rajola de xocolata dividida en 15 trossos ens en mengem 6.

b) Parteixo una pizza en 8 parts iguals i n’agafo 5.

c) Un paquet de pa de motlle conté 24 llesques i en faig servir 8.

d) D’un total de 20 cromos de segells n’he canviat 12.

a) b) c) d)

6

Tres amics s’han endarrerit un quart d’hora (15 minuts), tres quarts d’hora (45 minuts) i 20 minuts, respectivament. Dibuixa’n les fraccions corresponents, suposant que cada cercle representa una hora.

7

710

0

23,5

3831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 266

FRACCIÓ D’UNA QUANTITAT

La Teresa ha de fer una carrera de 200 m. Al cap de poca estona s’atura, i el seu entrenador li diu:«Ànim, que ja has recorregut les tres quartes parts de la distància». Quants metres ha recorregut fins llavors?

• S’ha de calcular el que valen de 200, és a dir, la fracció d’una quantitat.

• Seguim algun d’aquests passos:

– Es multiplica la quantitat pel numerador i es divideix entre el denominador.

– Es divideix la quantitat entre el denominador i es multiplica pel numerador.

(200 ⋅ 3) : 4 = 600 : 4 = 150 m ha recorregut la Teresa.de 200

(200 : 4) ⋅ 3 = 50 ⋅ 3 = 150 m ha recorregut la Teresa.

3

4

3

4


3

F

F

Troba l’expressió decimal de les fraccions següents:

a) = c) = e) − =

b) = d) = f) =15

20

10

20

12

15

5

10

9

4

4

5

8

Calcula les expressions següents de la fracció d’una quantitat utilitzant les dues formes d’operar:

a) de 45 =

b) de 18 =

c) de 35 =1

5

2

3

4

5

9

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 267

FRACCIONS AMB VALOR MÉS PETIT QUE LA UNITAT: < 1

• S’anomenen fraccions pròpies.

• El numerador és més petit que el denominador: a < b• El quocient entre a i b és més petit que la unitat.

En l’exemple anterior, en Joan es va menjar els de la capsa de formatgets.

• 3 és més petit que 8 3 < 8

• = 3 : 8 = 0,375 0,375 < 1

En Joan es va menjar 3 de les 8 porcions de la capsa, és a dir, menys d’una capsa.

Son fraccions pròpies: .45

67

1015

912

, , ,

F3

8

F

3

8

ab


Escriu fraccions que tinguin un valor igual a la unitat.

a) = 6 : 6 = 1 c) e)

b) d) f)

6

6

2

Escriu fraccions pròpies i troba’n el valor decimal.

a) = 9 : 15 = 0,6 c) e)

b) d) f)

9

15

1

OBJECTIU 2

TIPUS DE FRACCIONS. REPRESENTACIÓ EN LA RECTA REAL

FRACCIONS AMB VALOR IGUAL A LA UNITAT: = 1

• El numerador és igual que el denominador: a = b.

• El quocient entre a i b és igual a la unitat.

En l’exemple anterior, en Joan es va menjar els de la capsa de formatgets.

• 8 és igual que 8 8 = 8

• = 8 : 8 = 1

En Joan es va menjar les 8 porcions de la capsa, és a dir, la capsa sencera (la unitat).

Són fraccions pròpies: .44

77

1515

99

, , ,

8

8

F

8

8

ab

3NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 268

FRACCIONS AMB VALOR MÉS GRAN QUE LA UNITAT: > 1

• S’anomenen fraccions impròpies.

• El numerador és més gran que el denominador: a > b.

• El quocient entre a i b és més gran que la unitat.

En Joan es menja un dia els de la capsa de formatgets i un altre dia, els d’una altra capsa.

1 capsa sencera + d’una altra

• En Joan s’ha menjat 11 porcions d’una unitat que en conté 8: , és a dir, 11 > 8.

• = 8 : 8 = 1 més = 3 : 8 = 0,375, que és igual a 1,375 > 1.

= més = 1 + = 1

Aquesta expressió es coneix per a nombre mixt i es compon d’una fracció i d’un nombre natural.

Són fraccions impròpies: .95

1510

72

2518

, , ,

3

8

3

8

3

8

8

8

11

8

3

8

8

8

11

8

3

8

3

8

8

8

ab


3

Escriu fraccions impròpies i troba’n el valor decimal.

a) = 15 : 8 = 1,875 c) e)

b) d) f)

15

8

3

Escriu les fraccions següents com un nombre mixt. Fixa’t en l’exemple.

a) c) =

b) = d) =7

4

20

16

12

9

15

8

8

8

7

81

7

81

7

8= + = + =

4

Representa gràficament les fraccions .

Exemple: 5

3

3

3

2

3= +

32

74

158

107

, , ,5

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 269

REPRESENTACIÓ DE FRACCIONS EN LA RECTA REAL

• Les fraccions es representen mitjançant dibuixos, i com que tenen un valor numèric, encara que sigui decimal, es poden representar en la recta real.

• En la recta real, els nombres estan ordenats, començant pel zero: 0, 1, 2, 3, 4, 5...

• Quan escrivim aquests nombres en el quadern, per exemple, sempre hem de mantenir la mateixa distància entre l’un i l’altre, perquè els separa exactament una unitat.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …


Representa en una recta els nombres: 3, 6, 9, 14, 15, 10, 19, 8.6

Representa les fraccions en aquestes rectes:

a) b) = 2 c) 1 =11

6

5

6

1

4

9

4

7

6

7

0 1 2 3

0 1 2 3

Per representar fraccions en la recta, seguim aquests passos:

1r Dibuixem una recta en el quadern.

2n Fixem les unitats. Com que el quadern és quadriculat, podem estendre les unitats amb amplitud perquèens sigui més senzill representar els punts numèrics.

3r Dividim la unitat en parts com ens indiqui el denominador i agafem (marquem) les que ens indiqui el nu-merador (la fracció com a part de la unitat).

Recorda que si la fracció és:

1r Pròpia: el seu valor estarà entre 0 i 1.

2n Igual a la unitat: el seu valor serà 1.

3r Impròpia: el seu valor serà superior a 1.

3831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 270

FRACCIÓ EQUIVALENT

• Equivalent és sinònim de «igual», és a dir, que té un valor igual i que representa la mateixa quantitat.

Així, i són fraccions equivalents.

• Tenen el mateix valor: = 2 : 5 = 0,4 = 6 : 15 = 0,4

• Representen la mateixa quantitat:

• En general, per comprovar si dues fraccions són equivalents les multipliquem en creu, i obtenim el mateix resultat:

2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6 =

2 ⋅ 15 = 30

5 ⋅ 6 = 30

6

15

2

5F6

15

2

5

6

15

2

5

6

15

2

5

6

15

2

5


3OBJECTIU 3

COMPRENDRE EL SIGNIFICAT DE FRACCIÓ EQUIVALENT

FF

Comprova si són equivalents les fraccions següents:

a) b) c) d) e)4

9

20

45i

8

7

14

15i

3

4

9

11i

4

7

12

21i

3

5

6

10i

1

Comprova gràficament si les fraccions següents són equivalents:

a) b) c) d)4

5

5

4i

1

2

1

3i

1

4

3

12i

2

3

6

9i

3

Troba el terme que falta perquè les fraccions siguin equivalents.

a) b) c) d)2

5 20

6= =

2

8

16 32= =

8 6

9=

10

15

2=

2

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 271

COMPARACIÓ DE FRACCIONS

En Jordi, l’Alícia i en Lluc han comprat el mateix nombre de cromos. Després en Jordi ha enganxat els dosterços dels cromos, l’Alícia n’ha enganxat la meitat i en Lluc, els tres quarts. Qui ha enganxat més cromos?

Seguim aquests passos:

1r Obtenim fraccions equivalents amb el mateix denominador.

2n Comparem les fraccions mitjançant els numeradors. La fracció que tingui un numerador més gran serà la més gran.

1r Jordi: Fraccions equivalents: …

Alícia: Fraccions equivalents: …

Lluc: Fraccions equivalents: …

són les fraccions que representen en Jordi, l’Alícia i en Lluc.

Totes aquestes fraccions tenen el mateix denominador.

2n Les ordenem de més gran a més petita (fem servir el símbol «més gran que», >):

En Lluc va ser qui va enganxar més cromos; després, en Jordi i per acabar, l’Alícia.

9

12

8

12

6

12

9

12

2

3

1

2> > > >;

8

12

6

12

9

12, i

6

8

12

16= =

912

3

4

2

4

3

6

4

8

5

10

7

14= = = = =

612

1

2

4

6

6

9

10

15= = =

812

2

3

OBTENCIÓ DE FRACCIONS EQUIVALENTS EN UNA FRACCIÓ DONADA

• Si es multipliquen o divideixen el numerador i el denominador d’una fracció per un mateix nombre, obtenim una fracció equivalent.

=

• Si multipliquem, s’utilitza el terme amplificar.

• Si dividim, s’utilitza el terme simplificar.

2

5

6 3

15 3

:

:

6

15

6

15

2 3

5 3

⋅⋅

2

5


Escriu fraccions equivalents a:

a) c)

b) d)3

2= = = =

5

7= = = =

2

5= = = =

1

3

2

6

3 4

36= = = = =

4

Escriu fraccions equivalents mitjançant la simplificació (dividint el numerador i el denominador entre el mateix nombre).

a) b) c)15

25=

24

32

12= = =

30

40

15

20

3= =

5

FF

FF

FF

3831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 272


3

Ordena, de més petita a més gran, les fraccions següents: 4

108

106

105

101

109

103

101010

, , , , , , , .6

Ordena, de més gran a més petita, les fraccions següents, numèricament i gràficament:23

38

46

12

, , , .8

L’Andreu s’ha menjat de pizza i l’Àngela, . Qui ha menjat més pizza?

Comprova-ho numèricament i gràficament.

13

14

7

Escriu més gran que (>), més petita que (<) o igual que (=) segons el que correspongui.

a) c) e)

b) d) f)1

4

7

8

6

6

7

7

3

4

2

3

4

7

7

5

12

20

3

5

5

7

4

7

9

Indica quines de les fraccions següents són pròpies i quines són impròpies:

a) b) c) d) e)

Pròpies: Impròpies:

13

13

13

12

15

13

12

15

13

15

10

Troba dues fraccions equivalents a i representa-les en la recta numèrica per comprovar

que el punt associat és el mateix (totes dues fraccions són el mateix nombre).

86

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 273

SUMAR I RESTAR FRACCIONS AMB EL MATEIX DENOMINADOR

Per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador, se’n sumen o resten els numeradors i se’n manté el denominador.

7

8

2

8

7 2

8

5

8− =

−=

5

8

2

8

5 2

8

7

8+ =

+=


OBJECTIU 4

REALITZAR OPERACIONS AMB FRACCIONS

Calcula.

a) c) e)

b) d) f)4

12

7

12 12

15+ + =

4

10

1

10

2

10+ + =

12

5

8

5− =

3

11

2

11 11

9+ + =

6

9

1

9

2

9+ + =

3

15

2

15+ =

1

+ =

− =

D’una pizza, l’Anna en pren dos vuitens per berenar, en Pep, tres vuitens i la Maria, un vuitè.

a) Quanta pizza han menjat entre tots tres?

b) Si l’Eva va arribar tard al berenar, quanta pizza va poder menjar?

Expressa el problema de manera numèrica i gràfica.

2

SUMAR I RESTAR FRACCIONS AMB DIFERENT DENOMINADOR

1r Busquem fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador.

2n En sumem o restem els numeradors i en deixem el mateix denominador.

Observa que 12 és el mínim múltiple comú de 4 i 3 (m. c. m.).

Observa que 20 és el mínim múltiple comú de 5 i 4 (m. c. m.).

7

5

3

4

7

5

14

10

21

15

35

25− =

= = = =Equivalents a2820

…

Equivalents a …3

4

6

8

9

12

12

16= = = =

⎧

⎨

⎪⎪

1520

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− = − =−7

5

3

4

28

20

15

20

28 115

20

13

20=

1

4

2

3

1

4

2

8

4

16

5

20+ =

= = = =Equivalents a …

Eq

312

uuivalents a …2

3

4

6

6

9

10

15= = = =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ 812⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+ = + =+

=1

4

2

3

3

12

8

12

3 8

12

11

12

3NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 274


3

Completa i fes les operacions següents:

a) c) e)

b) d) f)3

10

4

5

2

5+ − =

2

7

1

8+ =

5

3

2

6− =

1

4

2

4

2

3+ + =

8

9

5

6 18 18− = + =

6

5

1

4 20 20+ = + =

3

Calcula.

a) c)

b) d)2

3

1

4

3

5

2 1 3⋅ ⋅ =

⋅ ⋅=

2

7

3

5⋅ =

5

6

2

3⋅ =

2

3

4

10

2

10⋅ =

⋅⋅

=

6

En Pep menja parts d’un pa de pessic dividit en 10 parts. Després el seu gos es menja la meitat

del pa de pessic . En quedarà cap part, del pa de pessic? Expressa-ho numèricament i gràficament.

12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

25

4

En una bossa de bales, els són de color blau, i els d’aquestes bales blaves són transparents.

Quina fracció del total representen les bales blaves transparents?

3

4

2

5

3

5de =

⋅⋅

=

34

25

5

Representa gràficament.

a) b)2

3

3

4de

3

4

1

2de

7

PRODUCTE DE FRACCIONS

El producte de dues o més fraccions és una altra fracció que té com a numerador el producte dels numeradors, i com a denominador, el producte dels denominadors (producte en paral·lel).

4

5

2

3

4 2

5 3

8

15⋅ =

⋅⋅

=

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 275


Un cas especial de divisió de fraccions és quan dividim una fracció entre un nombre. Per exemple, si volem repartir tres quartes parts d’una capsa de llaminadures entre 5 amics. Quina part de fracció li correspon a cadascun?

dividit entre és:3

45

3

4

5 3 1

4

3: := =

⋅⋅

=5

1

3

4

8

Calcula.

a) c) e)

b) d) f)5

34: =

2

5

3

4: =

5

62: =

2

33: =

4

6

2

5: =

4

5

8

12

4 12

5 8: =

⋅⋅

=

9

Suma i simplifica el resultat si es pot.

a) b) c)5

6

9

6

3

8+ + =

3

2

5

7

7

6+ + =

2

7

3

7+ =

11

Fes les operacions següents:

a) c)

b) d)1

81 000de . =

3

4120de =

2

5100de =

2

312de =

10

Fes aquestes multiplicacions i divisions de fraccions i simplifica’n el resultat:

a) b) c) d)4

53: =

7

83⋅ =

3

4

5

7: =

4

3

1

4⋅ =

12

3

4

3

20: 5 =

DIVISIÓ DE FRACCIONS

Dividir fraccions és trobar una altra fracció el numerador i el denominador de la qual siguin el productecreuat dels termes de les fraccions donades (producte en creu).

4

5

2

3

4 3

5 2

12

10: =

⋅⋅

=

3831073 _ 0263-0276.qxd 12/6/07 16:39 Página 276


Nombres decimals4INTRODUCCIÓ

L’estudi dels nombres decimals comença recordant el sistema de numeració decimal, que és la base del’expressió escrita dels nombres decimals, formats per una part entera i una part decimal.

Les representacions gràfiques de fraccions, ja siguinen la recta real o mitjançant figures geomètriques,tornen a aplicar-se en aquesta unitat. A travésd’aquestes es comparen i ordenen els nombresdecimals. Aprendrem també la relació que hi ha entreuna fracció i un nombre decimal, i com podem passar de l’una a l’altra.

La realització de sumes, restes, multiplicacions i divisions amb nombres decimals té com a base els nombres naturals. S’aplica la propietat fonamentalde la divisió, ja estudiada en els nombres naturals, i es distingeixen els diferents casos que es puguindonar, segons que es tracti de divisió decimal denombres naturals o de decimals. Es treballaran tant la multiplicació com la divisió de la unitat seguida de zeros.

RESUM DE LA UNITAT

• Un nombre decimal consta de part entera i partdecimal, separades per una coma.

• Una fracció decimal és aquella el denominador de la qual és una potència de 10.

• Cada xifra decimal té un valor segons la posició queocupa després de la coma decimal.

• Per comparar dos nombres decimals s’escriuenamb el mateix nombre de xifres decimals, es treu la coma i es comparen els nombres resultants.

• Per sumar o restar es col·loquen els nombres en fila,amb la coma situada a la mateixa columna, sesumen o resten els nombres de la mateixa columnai es posa la coma al lloc corresponent.

• Per multiplicar es fa com si fossin nombres naturals.Després es col·loca la coma en el resultat, separanttantes xifres com decimals tinguin en total els dosfactors.

• Les divisions de nombres decimals es resolencadascuna de manera diferent.

1. Comprendre el concepte denombre decimal. Reconèixerl’ordre de les unitats i el valorde posició de les xifres.

2. Comparar i ordenar nombresdecimals. Relació entre fracciói nombre decimal.

3. Fer sumes i restes ambnombres decimals.

4. Fer multiplicacions i divisionsamb nombres decimals.

• Nombre decimal. Dècimes, centèsimes i mil·lèsimes. Posició i ordre del sistema decimal.

• Representació gràfica.

• Identificació de nombres decimals: lectura i escriptura amb nombres i lletres.

• Reconeixement de nombres decimals en un gràfic i el seu valor a la recta numèrica.

• Comparació de nombres decimals.

• Representació a la recta numèrica.

• Fracció i nombre decimal.

• Comparació i ordenació de nombres decimals, numèricament igràficament.

• Suma i resta de nombres decimals.

• Reducció d’operacions amb nombres decimals: suma i resta.

• Multiplicació i divisió de nombres decimals per la unitat seguida de zeros.

• Càlcul mental de multiplicacions i divisions de nombres decimals per la unitat seguida de zeros.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 277

El sistema de numeració decimal té dues característiques:

1a És decimal: 10 unitats d’un ordre formen 1 unitat de l’ordre següent.

2a És posicional: el valor de cada xifra depèn de la seva posició en el nombre.

• Si dividim una unitat en 10 parts iguals, cada part s’anomena dècima.

= 0,1

• Si dividim una unitat en 100 parts iguals, cada part s’anomena centèsima.

= 0,01

• Si dividim una unitat en 1.000 parts iguals, cada part s’anomena mil·lèsima.

= 0,001

1 unitat = 10 dècimes = 100 centèsimes = 1.000 mil·lèsimes

1 d = 100 m1

1 000.

1 d = 10 c1

100

1 U = 10 d1

10


OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE NOMBRE DECIMAL

PART ENTERA PART DECIMAL

Centena Desena Unitat Dècima Centèsima Mil·lèsima

C D U d c m

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5

1,46 1,461 1,462 1,463 1,464 1,465 1,466 1,467 1,468 1,469 1,47

Escriu amb xifres.

a) Cinc dècimes. c) Onze mil·lèsimes. e) Deu centèsimes.

b) Una dècima. d) Quinze centèsimes. f) Cent catorze mil·lèsimes.

1


NOMBRE PART ENTERA PART DECIMAL ES LLEGEIX

15,6

3,27

0,9

15

23

6

35

Quinze unitats sis dècimes

Nou unitats trenta-set centèsimes

4NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 278


4

0 1 2 3

Representa els nombres en una recta numèrica.

a) 2,5 b) 1,9 c) 0,4 d) 2,8 e) 1,3 f) 0,2

3

C D U

4 3 0 ,

,

,

,

,

5 0 9

7 4 5

d c m

5 8 1

0 3 2

3 0 3

DESCOMPOSICIÓ

400 + 30 + 0,5 + 0,08 + 0,001

600 + 50 + 4 + 0,1 + 0,03 + 0,007

80 + 9 + 0,4 + 0,03 + 0,005

2,3 2,4 2,5 2,6

Representa els nombres següents en una recta numèrica:

a) 2,35 b) 2,59 c) 2,55 d) 2,43 e) 2,48 f) 2,33

4

Acoloreix en cada cas el nombre que s’indica.

a) 25 centèsimes. b) 9 dècimes. c) 49 centèsimes. d) 125 mil·lèsimes.

5

Quin és el valor de la xifra 7 en cada nombre?

a) 37,98 b) 43,07 c) 91,75 d) 70,51 e) 52,347

7

Fes la descomposició dels nombres següents:8

Completa les expressions següents:

a) 3 dècimes = 30 centèsimes. d) 20 unitats = ............ décimals.

b) 5 centèsimes = ............ mil·lèsimes. e) 7 dècimes = ............ mil·lèsimes.

c) 15 unitats = ............ mil·lèsimes. f) 4 centèsimes = ............ mil·lèsimes.

6

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 279


Ordena, de més petit a més gran, els nombres decimals següents:

6,22; 5,67; 4,98; 5,07; 4,99; 5,81; 6,01; 7,34; 5,73; 5,91; 6,30; 6,28; 7,11

1

Situa en una recta numèrica els nombres 5,92; 5,50; 5,67; 5,25; 5,73; 5,81.2

Les alçades (en m) de 10 alumnes de 1r ESO són les següents:

1,45; 1,59; 1,52; 1,49; 1,50; 1,48; 1,55; 1,61; 1,58; 1,60

Ordena-les, de més gran a més petita, i representa-les a la recta numèrica.

3

OBJECTIU 2

A la classe d’Educació Física fan proves de llançament de pes. Els millors resultats han estat: l’Albert, 2,95 m; l’Anna, 3,16 m, i l’Elena, 3,17 m. Qui ha llançat més lluny?

1r Part entera:

2,95 és més petit que 3,18 i 3,17. 2 < 3

3,18 i 3,17 tenen la mateixa part entera. 3 = 3

2n Part decimal:

3,17 és més gran que 3,16. Dècimes Centèsimes

1 = 1 7 > 6

Per tant: 3,17 > 3,16 > 2,95.

Podem veure l’ordre a la recta numèrica.

EXEMPLE

2,9

2,95

3 3,1

3,173,16

F FF

ORDENAR NOMBRES DECIMALS. FRACCIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL

Per comparar nombres decimals s’han de seguir els passos següents:

1r N’observem la part entera.

• És més gran el nombre que té la part entera més gran.

• Si les parts enteres són iguals, es fa el pas següent.

2n N’observem la part decimal.

• Se’n comparen les parts decimals, començant per les dècimes, després les centèsimes, mil·lèsimes...

4NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 280

FRACCIONS I NOMBRES DECIMALS

• En dividir el numerador entre el denominador s’obté un nombre decimal.

• Si la resta és zero, el nombre decimal és exacte.

= 7 : 2 = 3,5 3,5 és un nombre decimal exacte.

• Si la resta no és zero, el nombre decimal és periòdic (si continuem dividint sempre es repetirà un factor).

= 7 : 3 = 2,3333… 2,333… és un nombre decimal periòdic.7

3

7

2


4

Escriu >, <, =, segons correspongui.

a) 13,56 ...... 13,65 c) 34,908 ...... 34,910 e) 2,45 ...... 2,44

b) 11,8 ...... 11,80 d) 6,08 ...... 6,07 f) 0,355 ...... 0,35

4

Escriu un nombre decimal comprès entre:

a) 1,3 i 1,4 b) 4,8 i 4,86 c) 2,405 i 2,426 d) 0,76 i 0,79

............... ............... ............... ...............

5

Ordena, de més gran a més petit: 2,3; 2,33; 2,03; 2,303; 2,033; 2,33.

............... > ............... > ............... > ............... > ............... > ...............

6

En Joan fa 179 cm d’alçada; el seu germà Marc, 108 cm, i el pare de tots dos, 178 cm. Ordena les tres alçades de més gran a més petita.

7

7

1010

2

3,5

7

10110111011111011111

3

2,33

• Un nombre decimal es pot expressar com a fracció.

Per fer-ho, es col·loca el nombre sense la coma en el numerador, i en el denominador, la unitat seguida de tants zeros com xifres hi ha a la dreta de la coma.

0,5 = − 45,78 = 15,379 =15 379

1 000

.

.

4 578

100

.5

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 281


Indica si les fraccions donen com a resultat un nombre decimal exacte o periòdic.

a) = c) = e) =

b) = d) = f) =25

50

6

9

11

33

9

10

1

3

24

50

8

Troba el nombre decimal que correspon a cada fracció.

a) = c) = e) =

b) = d) = f) =29 525

1 000

.

.

6

100

35

100

19 065

10 000

.

.

398

100

24

10

10

Escriu un nombre decimal comprès entre 4,7 i 4,8 i que sigui més petit que 4,75.11

Escriu un nombre decimal comprès entre 8 i 9 i que sigui més gran que 8,5.12

Expressa en forma de nombre decimal les fraccions.

a) = 0,....... c) = 1.000,....... e) =

b) = d) = f) =5

100

12 560

1 000

.

.

5 200

10

.

53 204

10 000

.

.

100 003

100

.13

10 000.

13

Escriu en forma de fracció els nombres decimals següents:

a) 21,08 = c) 123,7 = e) 5,01 =

b) 7,007 = d) 15,15 = f) 211,809 =

1 237.2 108

100

.

14

Expressa en forma de fracció decimal els nombres següents:

a) 36,78 = c) 0,75 = e) 73,06723 =

b) 130,9 = d) 2,801 = f) 0,30675 =

9

4831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 282


4OBJECTIU 3

FER SUMES I RESTES AMB NOMBRES DECIMALS


a) 73,987 + 20,621 + 0,34 + 23,96 = c) 0,702 + 11,8 + 238,4945 + 9,2 =

b) 234,76 − 155,3 = d) 74,78 − 7,831 =

1

Una casa té 30,56 m d’alçària. El quart pis està situat a 15,3 m del terra. Quina distància hi ha des d’aquest pis fins al terrat?

2

En un carrer hi ha 4 vehicles estacionats. Tenen una llargada (en m) de:3,8 – 4,17 – 10,23 – 5,1. Quina llargada de carrer ocupen?

En un carrer hi ha 2 camions estacionats: un fa 12,98 m de llargada i l’altre, 16,3 m.Quina diferència de llargada hi ha entre els dos vehicles?

EXEMPLE

3 , 8 0

4 , 1 7

1 0 , 2 3

+ 5 , 1 0

2 3 , 3 0

S’hi afegeixen zeros perquè totes les xifrestinguin el mateix nombre de decimals.

m ocupen els vehicles.

FF

1 6 , 3 0

− 1 2 , 9 8

3 , 3 2

S’afegeixen zeros perquè totes les xifres tinguinel mateix nombre de decimals.

m hi ha de diferència.

F

• Per sumar o restar nombres decimals, col·loquem els sumands en columna, de manera que coincideixinles parts enteres i les parts decimals de cada nombre: centenes amb centenes, desenes amb desenes,unitats amb unitats, comes amb comes, dècimes amb dècimes, centèsimes amb centèsimes, mil·lèsimesamb mil·lèsimes, etc.

• A continuació se suma o es resta com si fossin nombres naturals i es manté la coma en el lloccorresponent.

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 283


OBJECTIU 4

FER MULTIPLICACIONS I DIVISIONS AMB NOMBRES DECIMALS

Fes les operacions.

a) 34,5 ⋅ 1,2 = c) 71,23 ⋅ 4 =b) 654 ⋅ 12,7 = d) 108,24 ⋅ 9,6 =

1


a) 534,235 ⋅ 100 = d) 3,56 ⋅ 10 =b) 98,381 ⋅ 1.000 = e) 5,7 ⋅ 100 =c) 0,78 ⋅ 100 = f) 10,840 ⋅ 1.000 =

3

Un poble tenia 13.568 habitants el 1970. El 1988 la població es va multiplicar per 1,5 i el 2001 es va multiplicar per 2,25 en relació amb el 1988. Quants habitants hi havia l’any 2001?

2

Per folrar-me els llibres i les carpetes d’aquest curs he necessitat 2,75 m de folre. El preu del metre de folre és 1,30 €. Quant m’ha costat en total?

EXEMPLE

2 , 7 5

× 1 , 3

8 2 5

2 7 5 5

3 , 5 7 5 € m’ha costat en total.

MULTIPLICACIÓ DE NOMBRES DECIMALS

Per multiplicar dos nombres decimals:

1r Es multipliquen com si fossin nombres naturals, sense tenir en compte la coma.

2n En el resultat obtingut s’hi col·loca la coma. Per fer-ho, es compten des de la dreta tants llocs com xifresdecimals tinguin els dos factors.

Per multiplicar un nombre decimal per 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a la dreta tants llocs com zerostingui la unitat: 1, 2, 3...

7 8 , 5 6 2 ⋅ 1 . 1 = 7 . 8 2

4 , 7 3 9 ⋅ 1 = 4 . ..7 3 9. 0 0 0

5 6 ,0 0

4NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 284

Per multiplicar un nombre decimal per un nombre natural seguit de zeros:

1r Es multiplica el nombre decimal només pel nombre natural sense els zeros.

2n El producte obtingut es multiplica per la unitat seguida dels zeros que tingui el nombre natural.


4

Calcula els productes següents:

a) 9,45 ⋅ 200 = c) 12,4 ⋅ 300 =b) 3,41 ⋅ 4.000 = d) 18,5 ⋅ 5.000 =

6

Si saps que 364 ⋅ 123 = 44.772, col·loca la coma decimal en aquests productes:

a) 3,64 ⋅ 1,23 = 44772 c) 3,64 ⋅ 1.230 = 44772

b) 36,4 ⋅ 12,3 = 44772 d) 36,4 ⋅ 1,23 = 44772

7

Fes les operacions següents combinades amb nombres decimals.Si et cal, recorda l’ordre: parèntesis, multiplicacions, sumes i restes.

a) (73,4 ⋅ 2,5) − (56,7 + 3,8) =

b) (12,72 − 11,04) ⋅ (58,7 + 0,99) =c) 2,56 ⋅ (23,98 + 41,07) =d) 1,3 ⋅ (28,5 ⋅ 20) =

8

Indica, en cada cas, la unitat seguida de zeros per la qual s’ha multiplicat.

a) 19,45 ⋅ ............... = 1.945 d) 4,8 ⋅ ................ = 48.000

b) 34,820 ⋅ ............. = 348,2 e) 0,658 ⋅ ............. = 6.580

c) 1,4 ⋅ .................. = 14 f) 437,1 ⋅ ............. = 43.710

5

Un ciclista s’entrena en un circuit de 62,35 m de longitud. Quants metres haurà recorregut si fa 10 voltes al circuit? I si en fa 100? I 1.000?

4

8,56 ⋅ 2008,56 ⋅ 2 = 17,12

17,12 ⋅ 100 = 1.712

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 285


Divisió exacta Divisió no exacta

EXEMPLE

Dividend decimal i divisor natural Dividend natural i divisor decimal

Dividend i divisor decimals

EXEMPLE

3 5 2

0 3 20

1 6

2 2

1 2 5

0 5

2 0

6

1 2 5

1 0 5 01 0 1 0 01 0 0 0 0

2 0

6 , 2 5

F

F

F

F

8 , 5

3 , 5

0

5

1 , 7

1 , 2 8 0 , 2

4 4 1 3 , 6

1 2 8

1 0 8 0

1 0 0 0

2 0

6 , 4

3 6

1 2 2 , 5

4 4 1 0

0 8 1

0 0 9 0

0 0 1 8 0

0 0 0 0 0

F

F

DIVISIÓ DECIMAL DE DOS NOMBRES NATURALS

1r Si la divisió és exacta, la resta és zero, r = 0. (Recorda que D = d ⋅ c + r.)

2n Si la divisió no és exacta, la resta és diferent de zero i més petita que el dividend, r � 0 i r < d.

3r Es pot continuar dividint, baixant un zero a la resta i posant una coma decimal en el quocient fins ques’obtingui una divisió amb resta zero, o aproximar-s’hi amb una, dues, tres o més xifres decimals.

DIVISIÓ DE NOMBRES DECIMALS

Hi ha tres casos:

1r Dividend decimal i divisor natural. Es divideix com si fos una divisió normal, però quan es baixa la primera xifra decimal es posa la coma en el quocient.

2n Dividend natural i divisor decimal. Se suprimeix la coma del divisor i s’afegeixen tants zeros al dividend com xifres decimals tingui el divisor.

3r Dividend i divisor decimals. Se suprimeix la coma del divisor i es desplaça la coma del dividend tants llocs a la dreta com xifres decimals té el divisor. Si cal, s’afegeixen zeros al dividend.

4831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 286


4

Calcula:

a) 3.480 : 2 = c) 524 : 20 = e) 5.855 : 25 =

b) 1.505 : 5 = d) 1.006 : 80 = f) 6.435 : 35 =

9

En una festa d’aniversari hi ha 9,5 ¬ de refresc de cola. Si els gots tenen una capacitat de 0,25 ¬, quants se n’ompliran?

11

Un ciclista ha fet 25 voltes en un circuit durant un entrenament. Ha recorregut un total de 235 km. Quina longitud té el circuit?

12

Fes les divisions següents:

a) 253,35 : 25 = c) 0,52 : 0,2 =

b) 9.680 : 12,5 = d) 158,75 : 1,25 =

10

Per dividir un nombre decimal entre 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a la dreta tants llocs com zeros tingui el divisor: 1, 2, 3...

8 3 4 , 7 : 1 = 8 7 0 0

0 0 1 8 , 3 : 1 = 0 3, 0 1 8. 0 0 0

, 3 40 0

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 287


Fes aquestes operacions:

a) 534,235 : 100 = d) 30,56 : 10 =

b) 98,381 : 1.000 = e) 5,7 : 100 =

c) 4,78 : 10 = f) 7.108,40 : 1.000 =

13

Una carretera té una llargada de 3.500 km. Es volen posar telèfons d’emergència cada 10 km. Quants telèfons s’hi podran instal·lar? I si es posen gasolineres cada 25 km, quantes se n’hi instal·laran?

14

L’Antoni, en Tomàs, la Joana i la Montse han reunit 156,34 € per comprar material esportiu. Si tots han posat la mateixa quantitat, què ha aportat cadascú?

15

4831073 _ 0277-0288.qxd 8/6/07 10:17 Página 288


Nombres enters5INTRODUCCIÓ

El concepte de nombre enter negatiu implica la inclusió en el sistema numèric d’uns nombres quesuperen el concepte de quantitat que mostraven els nombres naturals. Mitjançant exemples senzills i quotidians, s’ensenyarà a l’alumnat la necessitatd’utilitzar-los.

Cal consolidar la representació numèrica dels nombresenters, l’existència de signes que els precedeixen,l’ordre i la possibilitat de fer comparacions.

Mitjançant conceptes com afegir, tenir, sobre, mésque, i altres com reduir, menys que, deure, les reglesdels signes i l’ús dels parèntesis, farem operacionsbàsiques amb nombres enters.

RESUM DE LA UNITAT

• Els nombres enters són els nombres naturalsprecedits dels signes + i −.

• El més gran de dos nombres enters és el que estàsituat més a la dreta a la recta numèrica.

• El valor absolut d’un nombre enter és el nombrenatural que resulta després d’eliminar-ne el signe.

• Per sumar dos nombres enters del mateix signe se’nsumen els valors absoluts i s’hi posa el mateix signe.Si tenen signe diferent, se’n resten els valorsabsoluts i s’hi posa el signe del nombre més gran.

• Per restar dos nombres enters se suma al primerl’oposat del segon.

• Per multiplicar dos nombres enters se’nmultipliquen els valors absoluts. S’hi afegeix el signe + si tots dos factors tenen el mateix signe, i el signe − si tenen signes diferents.

1. Comprendre el significat dels nombres enters: positius i negatius.

2. Representar, ordenar i comparar nombres enters.

3. Fer sumes i restes ambnombres enters.

4. Fer multiplicacions i divisionsamb nombres enters.

• Nombres negatius i positius.

• Nombres enters.

• Identificació dels nombres enters en diversos contextos i situacions de la vida real.

• Recta numèrica. Representació i comparació de nombres enters.

• Valor absolut.

• Oposat d’un nombre.

• Representació i comparació de nombres enters a la recta numèrica.

• Comparació de nombres enters a partir del seu valor absolut.

• Suma i resta de nombres enters.

• Operacions combinades.

• Realització d’operacions de suma i resta de nombres enters.

• Ús correcte dels signes i parèntesis.

• Multiplicació i divisió de nombres enters.

• Regla dels signes.

• Realització d’operacions de multiplicació i divisió de nombres enters.

• Ús de la regla dels signes per agilitar les operacions.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 289

NOMBRES POSITIUS

D’altra banda, també observem, llegim i diem expressions del tipus:

a) La roba texana és a la tercera planta.b) La gavina vola a cinquanta metres sobre el nivell del mar.c) Quina calor! Estem a trenta graus sobre zero. d) Tinc 160 € al banc.

Des del punt de vista matemàtic, i a la pràctica, s’expressen així:

a) La roba texana és a la planta + 3. Es llegeix «més tres».b) La gavina vola a + 50 m. Es llegeix «més cinquanta».c) Quina calor! Estem a + 30 °C. Es llegeix «més trenta».

+3, +50, +30, +160 són nombres positius.

Expressen quantitats, situacions o mesures amb un valor més gran que zero.

Els precedeix el signe més (+).S’associen amb expressions del tipus: més que, tinc, sobre, augmentar o afegir.


OBJECTIU 1

SIGNIFICAT DELS NOMBRES ENTERS: POSITIUS I NEGATIUS

Expressa amb nombres negatius.

a) La cova és a cinquanta-cinc metres de profunditat.b) La secció de joguines és al tercer soterrani.c) La temperatura és d’un grau sota zero.

1

Escriu situacions que representin aquests nombres negatius:

a) −2: .........................................................................................................................b) −5: .........................................................................................................................c) −10: .......................................................................................................................

2

NOMBRES NEGATIUS

A la nostra vida diària observem, llegim i diem expressions del tipus:

a) Hem deixat el cotxe aparcat al segon soterrani.b) El submarí és a cent vint metres sota el nivell del mar.c) Fa una temperatura de quatre graus sota zero.d) Tens el compte en números vermells, i deus 160 €.

Des del punt de vista matemàtic, i a la pràctica, s’expressen així:

a) El cotxe és a la planta − 2. Es llegeix «menys dos».b) El submarí és a − 120 m. Es llegeix «menys 120».c) Fa una temperatura de − 4 °C. Es llegeix «menys quatre».

−2, −120, −4, −160 són nombres negatius.

Expressen quantitats, situacions o mesures amb un valor més petit que zero.

Els precedeix el signe menys (−).S’associen amb expressions del tipus: menys que, deure, sota, disminuir o restar.

5NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 290


5

Expressa amb nombres positius les expressions següents:

a) Estem a trenta-dos graus sobre zero.

b) L’avió vola a mil cinc-cents metres sobre el nivell del mar.

c) La muntanya té una altitud de vuit-cents metres.

d) L’estel pot volar a vuitanta metres.

3

Expressa amb un nombre enter aquestes situacions:

a) L’helicòpter vola a 150 m.

b) Estic surant al mar.

c) El termòmetre marca 4 graus sota zero.

d) L’Everest fa 8.844 m d’altitud.

e) L’Anna té un deute de 46 €.

f) T’espero a la planta baixa.

5

Representa amb un dibuix els botons de l’ascensor d’un edifici que té 7 plantes, una planta baixa i 4 plantes per aparcar.

6

Un termòmetre ha marcat les temperatures següents (en °C) durant una setmana.Expressa amb nombres enters.

7

Escriu situacions que representin aquests nombres positius:

a) +3: ........................................................................................................................b) +10: .......................................................................................................................c) +45: .......................................................................................................................

4

DILLUNS DIMARTS DIMECRES DIJOUS DIVENDRES DISSABTE DIUMENGE

Dos sobre zero Cinc sobre zero Zero graus Tres sota zero Dos sobre zero U sota zero Cinc sobre zero

Els nombres positius, negatius i el zero formen el conjunt dels nombres enters.

Positius: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … (naturals amb signe +)

Negatius: −1, −2, −3, −4, −5, −6, …

Zero: 0

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 291

REPRESENTACIÓ DELS NOMBRES ENTERS. ORDRE A LA RECTA NUMÈRICA

Ja coneixem la recta en què es representen els nombres naturals, incloent-hi el zero.Ara hi representarem els nombres enters.

1r Dibuixem una recta.

2n Assenyalem l’origen 0, que és el valor 0.

3r Dividim la recta en segments iguals (unitats), a la dreta i a l’esquerra del zero.

4t A la dreta de l’origen col·loquem els nombres enters positius.

5è A l’esquerra de l’origen col·loquem els nombres enters negatius.

Observa que els nombres estan ordenats:


OBJECTIU 2

REPRESENTAR, ORDENAR I COMPARAR NOMBRES ENTERS

−7 −6 −5

Nombres enters negatius Nombres enters positius

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ……

Representa en una recta els nombres enters següents: +8, −9, +5, 0, −1, +6, −7, +11, −6.1

Representa en una recta numèrica els nombres −5 i +5.

a) Assenyala amb vermell els nombres enters entre −5 i 0.

b) Assenyala amb blau els nombres enters entre +5 i 0.

c) Què observes?

2

Considera els nombres següents: −7, +8, +3, −10, +6, +4, −2.

a) Representa’ls a la recta numèrica.

b) Quin és el més allunyat de l’origen?

c) I quin hi és més proper?

d) Escriu, per a cada un, un altre nombre situat a la mateixa distància de l’origen.

3

En una ciutat el termòmetre va oscil·lar entre les temperatures següents:

Màxima: +3 °C Mínima: −4 °C

a) Representa tots dos valors en una recta numèrica.

b) Indica si es van poder marcar aquestes temperatures: −2 °C, +4 °C, −5 °C, +1 °C, 0 °C, +2 °C.

c) Representa les temperatures a la recta numèrica.

4

144444444424444444443 144444444424444444443

5NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 292

COMPARACIÓ DE NOMBRES ENTERS

Hem estudiat que a la recta es representen els nombres enters ordenats.

1r Aquest ordre suposa una col·locació determinada a la recta numèrica.

2n Un nombre enter positiu és més gran que qualsevol nombre enter negatiu.

3r Entre diversos nombres enters, sempre és més gran el que està situat més a la dreta de la recta.

4t Utilitzem els símbols més gran que (>) i més petit que (<).

+5 > −3 −6 < −3 +7 < +11 −4 > −8

…, −7 < −6 < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7, …

…, +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > −1 > −2 > −3 > −4 > −5 > −6 > −7, …


5

−7 −6 −5


−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7…

Ordena, de més petit a més gran, els nombres següents:+11, −2, +8, 0, −1, +5, −6, +3, −3, +7, −4, −9, +17

5

Ordena, de més gran a més petit, aquests nombres:−8, −16, +5, −2, +13, +3, −4, −9, +9, 0, +18, −10

6

Representa i ordena, de més petit a més gran, els nombres −5, +3, −8, +4, −2, +7, −1.7

Escriu el signe que correspongui (> o <) entre cada parell de nombres enters.

a) +5 −2 c) −1 0 e) +11 +15 g) −7 −4

b) −0 +8 d) −4 +1 f) +10 −9 h) +5 −11

8

Escriu tots els nombres enters que siguin:

a) Més grans que −4 i més petits que +2.

b) Més petits que +3 i més grans que −5.

c) Més petits que +1 i més grans que −2.

d) Més grans que 0 i més petits +3.

e) Més petits que −3 i més grans que −6.

9

…144444444424444444443 144444444424444444443

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 293

VALOR ABSOLUT D’UN NOMBRE ENTER

• El valor absolut d’un nombre enter és la distància (en unitats) que el separa del zero a la recta numèrica.

• A la pràctica s’escriu entre dues barres | | i resulta el mateix nombre sense el signe.

Valor absolut de −3 s’escriu ⏐−3⏐ i és 3.

Valor absolut de +5 s’escriu ⏐+5⏐ i és 5.

Observa que:⏐+5⏐ = 5 i ⏐−5⏐ = 5

• Els nombres +5 i −5 són a la mateixa distància de l’origen: 5 unitats.

• Es diu que són nombres oposats i s’escriuen així:

op (+5) = −5 op (−5) = +5

• Dos nombres oposats tenen el mateix valor absolut.



VALOR ABSOLUT RESULTAT ES LLEGEIX

⏐+10⏐

⏐−8⏐

⏐−9⏐

10

7

7

El valor absolut de −10 és 10.

El valor absolut de −15 és 15.

Representa a la recta numèrica els nombres enters següents:

a) +7 i −7 b) +4 i −4 c) −6 i +6 d) +10 i −10

Què hi observes? Com són aquests nombres?

11

Per a cada nombre enter, troba’n el nombre oposat i representa’l en una recta numèrica.

a) −3 b) −12 c) +9 d) +8

12

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 …

…

…

F F

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7…

F F

5831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 294


5

+7 > +3 perquè: ⏐+7⏐ = 7 i ⏐+3⏐ = 3 7 > 3

−4 > −6 perquè: ⏐−4⏐ = 4 i ⏐−6⏐ = 6 4 unitats són més a prop del zero que 6 unitats.

EXEMPLE

Escriu el signe que correspongui, < o >, per als nombres següents:

a) +7 +10 c) −5 0 e) −10 −8 g) +11 0

b) +9 +5 d) −16 +20 f) +13 −11 h) +3 −3

13

Compara els parells de nombres enters següents i representa’ls a la recta numèrica:

a) +13 i −2 b) −5 i −7 c) +4 i +1 d) −5 i 0

16

Cal trobar el valor absolut per comparar dos nombres si un és positiu i l’altre, negatiu? Per què? Posa’n un exemple.

17

Ordena els nombres enters, de més grans a més petits, i representa’ls a la recta numèrica:

−5, −3, −9, −11, −10, −8, −6, −4

14

Ordena aquests nombres, de més grans a més petits, i representa’ls a la recta numèrica:

+5, +3, +9, +11, +10, +8, +6, +4

15

COMPARACIÓ DE DOS O MÉS NOMBRES ENTERS A PARTIR DEL VALOR ABSOLUT

• Entre dos o més nombres enters positius és més gran el de valor absolut més gran.

• Entre dos o més nombres enters negatius és més gran el de valor absolut més petit (es troba a menys distància de l’origen 0, valor zero).

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 295


OBJECTIU 3

FER SUMES I RESTES AMB NOMBRES ENTERS

(+3) + (+2) (+3) + (+2) = +5

(−4) + (−1) (−4) + (−1) = −5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐−4⏐ = 4 ⏐−1⏐ = 14 + 1 = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐+3⏐ = 3 ⏐+2⏐ = 23 + 2 = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EXEMPLE

(+5) + (−1) (+5) + (−1) = +4

(−3) + (+5) (−3) + (+5) = +2

(−3) + (+5) = +2 (+5) + (−1) = +4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐−3⏐ = 3 ⏐+5⏐ = 55 − 3 = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐+5⏐ = 5 ⏐−1⏐ = 15 − 1 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EXEMPLE

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5

F F

+5

F F F

−5

−1

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5

F

Fes les sumes següents:

a) (+5) + (+10) = c) (−5) + (−10) = e) (+7) + (−2) =

b) (−4) + (+4) = d) (−7) + (+11) = f) (−8) + (+6) =

1

Representa aquestes sumes a la recta numèrica:

a) (−3) + (−1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (−2) d) (−2) + (−5) e) (+4) + (−4)

2

Per sumar dos nombres enters del mateix signe, se’n sumen els valors absoluts i es posa el signe dels sumands.

Per sumar dos nombres enters de signe diferent, se’n resten els valors absoluts i es posa el signe del sumand més gran.

5NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 296


5

Un submarí és a 100 m de profunditat. Si puja 55 m, en quina posició es troba ara? Expressa el problema numèricament.

4

Fes les restes següents:

a) (+10) − (+5) = (+10) + (−5) = d) (−15) − (+7) =

b) (+8) − (−12) = e) (−1) − (−1) =

c) (−18) − (+10) = f) (−15) − (−10) =

3

(+5) − (+2) = (+5) + (−2) = +3 op (+2) = −2 5 − 2 = 3

(−6) − (−1) = (−6) + (+1) = −5 op (−1) = +1 6 − 1 = 5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐−6⏐ = 6⏐+1⏐ = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⏐+5⏐ = 5⏐−2⏐ = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EXEMPLE

(+7) + (+2) = 7 + 2 = 9

(−4) + (−1) = −4 − 1 = −5

+ (−5 + 3 −2 + 7) = −5 + 3 − 2 + 7 = −7 + 10 = +3

+ (−5 + 3 −2 + 7) = −5 + 3 − 2 + 7 = + 7 = + 7 = +3

− (−5 + 3 −2 + 7) = +5 − 3 + 2 − 7 = 7 − 10 = −3

− (−5 + 3 −2 + 7) = +5 − 3 + 2 − 7 = − 7 = − 7 = −34+2 + 2

−4−2 − 2

EXEMPLE

Per restar dos nombres enters, cal sumar al primer sumand l’oposat del segon.A continuació s’aplica la regla de la suma de nombres enters.

OPERACIONS COMBINADES DE SUMES I RESTES DE NOMBRES ENTERS

Per agilitar les operacions, cal tenir en compte una sèrie de regles:

• En les sumes es prescindeix del signe + de la mateixa suma.

• Quan el primer sumand és positiu s’escriu sense el signe.

• Un parèntesi amb nombres a l’interior:

– Sempre es fa en primer lloc.– Engloba tots els nombres que hi ha a dins.– El signe que el precedeix afecta tots els nombres de l’interior.– Signe + Manté els signes dels nombres de l’interior.– Signe − Canvia els signes dels nombres (els transforma en els seus oposats).

• Podem operar de dues maneres:

– Sumar per separat els enters positius i els enters negatius i trobar la resta de tots dos.– Fer les operacions en l’ordre en què apareixen.

FF

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 297


Fes les operacions següents utilitzant les regles anteriors:

a) (+11) + (−2) = 11 − 2 = 9 d) (+10) − (+2) =

b) (+7) + (+1) = e) (−11) − (−10) =

c) (−15) + (−4) = f) (−7) + (+1) =

5

Calcula.

a) 7 − 5 = d) −3 + 8 =

b) 11 − 4 + 5 = e) −1 + 8 + 9 =

c) −9 − 7 = f) −10 + 3 + 7 =

6

Fes les operacions.

a) 5 − 7 + 19 − 20 + 4 − 3 + 10 =

b) −(8 + 9 – 11) =

c) 9 − 11 + 13 + 2 − 4 − 5 + 9 =

d) −(20 + 17) − 16 + 7 − 15 + 3 =

7

Opera de les dues maneres explicades.

a) 8 − (4 − 7) =

b) −4 − (5 − 7) − (4 + 5) =

c) −(−1 − 2 − 3) − (5 − 5 + 4 + 6 + 8) =

d) (−1 + 2 − 9) − (5 − 5) − 4 + 5 =

e) (−1 − 9) − (5 − 4 + 6 + 8) − (8 − 7) =

f) −4 − (4 + 5) − (8 − 9) + 1 + 6 =

8

5831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 298


5

(+5) ⋅ (−3) = −15

(−5) ⋅ (−3) = +15

(+5) ⋅ (+3) = +15 5 ⋅ 3 = 15

El resultat és + 15, ja que són del mateix signe (positiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 ⋅ 3 = 15

El resultat és + 15, ja que són del mateix signe (negatiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 ⋅ 3 = 15

El resultat és −15, ja que són de signe diferent (positiu i negatiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EXEMPLE

(+20) : (−4) = −5

(−20) : (−4) = +5

(+20) : (+4) = +5 20 : 4 = 5

El reesultat és + 5, ja que són del mateix signe (positiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

20 : 4 = 5

El resultat és + 5, ja que són del mateix signe (negatiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

20 : 4 = 5

El resultat és −5, ja que són de signe diferent (positiu i negatiu).

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EXEMPLE

OBJECTIU 4

FER MULTIPLICACIONS I DIVISIONS AMB NOMBRES ENTERS

MULTIPLICACIÓ DE NOMBRES ENTERS

Per multiplicar dos nombres enters se segueixen aquests passos:

1r Se’n multipliquen els valors absoluts (a la pràctica, els nombres entre si).

2n Al resultat hi col·loquem el signe + si tots dos nombres són del mateix signe, i el signe − si són de signes diferents.

DIVISIÓ DE NOMBRES ENTERS

Per dividir dos nombres enters se segueixen aquests passos:

1r Se’n divideixen els valors absoluts (a la pràctica, els nombres entre si i sempre que la divisió sigui exacta).

2n Al resultat hi col·loquem el signe + si tots dos nombres són del mateix signe, i el signe −si són de signes diferents.

Per agilitar les operacions de multiplicació i divisió de nombres enters, s’utilitza la regla dels signes:

Multiplicació Divisió

(+) ⋅ (+) = + (+) : (+) = +(−) ⋅ (−) = + (−) : (−) = +(+) ⋅ (−) = − (+) : (−) = −(−) ⋅ (+) = − (−) : (+) = −

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 299



a) (+7) ⋅ (+2) =

b) (+12) ⋅ (−3) =

c) (−10) ⋅ (+10) =

d) (−5) ⋅ (+8) =

e) (−1) ⋅ (−1) =

f) (+5) ⋅ (+20) =

1

Calcula.

a) (+16) : (+2) = d) (−100) : (+10) =

b) (−8) : (−1) = e) (+12) : (−3) =

c) (−25) : (+5) = f) (+45) : (+9) =

2

Fes les operacions aplicant la regla dels signes.

a) (+12) ⋅ (−3) = g) (−1) ⋅ (−18) =

b) (−20) : (−10) = h) (−77) : (−11) =

c) (+6) ⋅ (−6) = i) (+10) ⋅ (+4) =

d) (+80) : (−8) = j) (−9) ⋅ (+8) =

e) (−9) : (−3) = k) (+35) : (+5) =

f) (−100) : (+25) = l) (−12) ⋅ (+5) =

3

Completa amb els nombres enters corresponents.

a) (+9) ⋅ ........ = −36

b) (−7) ⋅ ........ = +21

c) ........ ⋅ (−8) = −40

d) ........ ⋅ (+10) = −100

e) (−30) ⋅ ........ = +30

f) (+6) ⋅ ........ = 0

4

Completa amb els nombres enters corresponents.

a) (+42) : ........ = −7 d) (−20) : ........ = −20

b) (−8) : ........ = +1 e) ........ : (−6) = +5

c) ........ : (−9) = +6 f) (+9) : ........ = −9

5

5831073 _ 0289-0300.qxd 11/6/07 12:42 Página 300


Iniciació a l’àlgebra6INTRODUCCIÓ

Tot i que l’alumnat ja ha estudiat el llenguatge numèrici algebraic, en aquesta unitat es presenten per primeravegada situacions en què s’apliquen de manera directaaquest tipus d’expressions. Aquest fet suposarà unesforç significatiu en el raonament abstracte delsalumnes; per tant, s’ha d’introduir gradualment l’ús de lletres per nombres i aproximar-se a aquestsconceptes amb exemples senzills i de la vidaquotidiana fins que es generalitzi el procediment.

Fer amb agilitat les operacions aritmètiques ambnombres naturals i enters servirà de suport per sumar,restar, multiplicar i dividir monomis. Mètodes com araels d’assaig i error i el càlcul mental reforçaran lesoperacions amb monomis.

La resolució d’equacions de primer grau és un delsobjectius de la unitat. Primer es resoldran equacionssenzilles per tempteig i, posteriorment, s’utilitzaran lesregles bàsiques per resoldre equacions méscomplexes.

RESUM DE LA UNITAT

• El llenguatge numèric expressa la informaciómatemàtica només amb nombres.

• El llenguatge algebraic expressa la informaciómatemàtica mitjançant nombres i lletres.

• Una expressió algebraica és un conjunt de nombresi lletres units pels signes de les operacionsaritmètiques.

• El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre que s’obté en substituir les lletres per nombres i operar.

• Els monomis són expressions algebraiques formadesper productes de lletres i nombres. El grau d’unmonomi és la suma dels exponents de les lletresque el formen.

• Un polinomi és la suma algebraica de monomis.

• Una equació és una igualtat algebraica que noméses verifica per a algun valor de les lletres.

• Una equació de primer grau amb una incògnita ésuna equació que té una sola incògnita i el seu graués 1.

1. Diferenciar entre llenguatgenumèric i algebraic.

2. Utilitzar i comprendre lesexpressions algebraiques.Obtenir el valor numèric d’unaexpressió algebraica.

3. Identificar monomis. Distingirentre monomis i polinomis. Feroperacions amb monomis.

4. Comprendre el significatd’igualtat, identitat i equació.

5. Resoldre equacions senzillesde primer grau.

• Llenguatge numèric i algebraic. Substitució de lletres per nombres.

• Expressió de situacions de la vida quotidiana mitjançant el llenguatgealgebraic.

• Expressions algebraiques.

• Valor numèric d’una expressió algebraica.

• Lectura i comprensió d’expressions algebraiques.

• Obtenció del valor numèric d’expressions algebraiques.

• Monomis. Nomenclatura. Monomis semblants.

• Polinomis.

• Operacions amb monomis: suma, resta, multiplicació i divisió.

• Identificació i reconeixement de monomis i polinomis.

• Càlcul d’operacions aritmètiques amb monomis.

• Concepte d’igualtat, identitat i equació.

• Termes i nomenclatura.

• Identificació i diferenciació d’igualtats, identitats i equacions.

• Les equacions i la seva estructura. Nomenclatura.

• Resolució d’equacions per tempteig i regles pràctiques.

• Determinació dels membres, la incògnita i la solució d’una equació.

• Ús de regles pràctiques per resoldre equacions.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 301

• Potència és la forma abreujada d’escriure una multiplicació de factors iguals.

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a (n vegades) 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4

• Perímetre d’un polígon és la mesura del seu contorn, és a dir, la suma dels costats.

Rectangle: P = a + b + a + b Quadrat: P = a + a + a + a

• Àrea d’un polígon és la mesura de la seva superfície.

Rectangle: A = b ⋅ a Quadrat: A = a ⋅ a = a2 Triangle: A =

El llenguatge que fem servir habitualment s’anomena llenguatge usual, i l’emprem quan escrivim i/o parlem.També fem servir el llenguatge numèric, en què utilitzem nombres i signes aritmètics.

b h⋅2


OBJECTIU 1

DIFERENCIAR ENTRE LLENGUATGE NUMÈRIC I ALGEBRAIC

a

a

bb

b a

a

b

a

a

aa

Expressa les frases següents amb llenguatge numèric:

a) El triple de dos és sis.b) Vint dividit entre cinc és quatre.c) Quinze menys vuit és set.d) El cub de dos és vuit.e) La quarta part de dotze és tres.f) La suma d’onze més nou és vint.g) Catorze entre dos és set.

1

h

Llenguatge usual Llenguatge numèric

La suma de dos més quatre és sis. 2 + 4 = 6

Deu menys tres és set. 10 − 3 = 7

Vuit dividit entre dos és quatre. 8 : 2 = 4

El quadrat de tres és nou. 32 = 9

La meitat de dotze és sis.12

26=

EXEMPLE

• A més del llenguatge escrit i el llenguatge numèric, s’utilitzen lletres, normalment minúscules, per designar un nombre qualsevol i per substituir nombres.

• El llenguatge que utilitza lletres en combinació amb nombres i signes s’anomena llenguatge algebraic.La part de les Matemàtiques que estudia la relació entre nombres, lletres i signes rep el nom de Àlgebra.

• Les lletres més usuals són: x, y, z, a, b, c, m, n, t, r, s, i representen qualsevol nombre.

6NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 302


6

LLENGUATGE USUAL LLENGUATGE ALGEBRAIC

El doble d’un nombre

Un nombre disminuït en tres unitats

La meitat d’un nombre

El quadrat d’un nombre

El triple d’un nombre

Un nombre augmentat en cinc unitats


EXPRESSIÓ LLENG. NUMÈRIC LLENG. ALGEBRAIC S’EXPRESSA

La suma de 15 i 20 Sí No 15 + 20

La diferència entre a i b

El quadrat de c

La diferència entre 15 i 9

El doble de 6

El triple de y

El doble de x més dues unitats

Escriu amb llenguatge numèric o algebraic, segons correspongui.3

EXPRESSIÓ LLENG. NUMÈRIC LLENG. ALGEBRAIC S’EXPRESSA

La diferència entre a i b és igual a 10 No Sí a − b = 10

Tres elevat al quadrat és igual a 9

La quarta part de x és 6

La suma de deu i nou és dinou

El triple de deu vegades y és igual a dotze

El doble de nou és 18

La teva edat fa quatre anys

La teva edat d’aquí a quatre anys

Escriu les frases en llenguatge numèric o algebraic, segons correspongui.4

Llenguatge usual Llenguatge numèric

La suma de dos nombres. a + b

Un nombre augmentat en quatre unitats. x + 4

El triple d’un nombre. 3 ⋅ m

EXEMPLE

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 303


OBJECTIU 2

OBTENIR EL VALOR NUMÈRIC D’UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

• L’àrea d’un quadrat s’obté multiplicant la mesura dels costats:

A = l ⋅ l = l2

• El perímetre d’un camp de futbol és la suma dels costats (bandes):

P = x + y + x + y

EXEMPLE

a + b 2 ⋅ a

+ 1 x2 + 1

3 ⋅ (a + b) x + y − 5

x

3

EXEMPLE

EXPRESSIÓ ESCRITA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

El doble de la suma de dos nombres

L’àrea d’un quadrat de costat dos

El quadrat d’un nombre més quatre unitats

El perímetre d’un camp de bàsquet (llarg b i ample a)

El producte de tres nombres qualssevol

La meitat d’un nombre

El doble d’un nombre més tres unitats

2 ⋅ (x + y)

Utilitza expressions algebraiques per expressar les informacions següents:1

EXPRESSIÓ ESCRITA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

a + bx

4

m + 2

3 ⋅ (a ⋅ b)

x

32+

2 ⋅ (x − y)

Inventa frases per a aquestes expressions algebraiques:2

Una expressió algebraica és el conjunt de lletres i nombres combinats amb els signes de les operacions aritmètiques: suma, resta, multiplicació, divisió i potenciació.

6NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 304


6

Troba el valor numèric de l’expressió 3 ⋅ x − 5 quan x pren els valors següents:

a) x = 0 c) x = 1 e) x = −1

3 ⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5

b) x = 2 d) x = −2 f) x = −3

3

Calcula el valor de les expressions per a aquests valors:4

Valor de x 3 ⋅ x − 2 x 2 + 1

x = 1−

x = 2−

x = −1

x = 0−

x = −2

3 ⋅ 1 − 2 == 3 − 2 = 1

12 + 1 == 1 + 1 = 2

Valor de a i b 5 ⋅ a − 2 ⋅ b (a + b)2

a = 0

b = 1

a = 1

b = 2

a = −1

b = −2

a = 2

b = 3

a = −2

b = −3

5 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 == 0 − 2 = −2

(0 + 1)2 == 12 = 1

Troba el valor numèric de l’expressió 2 ⋅ x + 1 per a x = 1.Primer cal substituir la x de l’expressió pel valor que s’indica: 1.

2 ⋅ 1 + 1

Fem l’operació i n’obtenim el resultat, el valor numèric:

2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3

EXEMPLE

El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre que resulta de substituir les lletres per nombres i fer les operacions que s’indiquen.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 305

REGLES PER ESCRIURE MONOMIS

1a El factor 1 no es posa.

1 ⋅ x ⋅ y és igual que x ⋅ y.

2a L’exponent 1 no s’indica:

−3 ⋅ x1 ⋅ y2 és igual que −3 ⋅ x ⋅ y2.

MONOMISUn monomi és l’expressió algebraica més simple i està formada per productes de lletres i nombres.

• Els nombres s’anomenen coeficients.

• Les lletres s’anomenen part literal.Exemples de monomis: 2 ⋅ x; 5 ⋅ x2; −x; x; −3 ⋅ y2; 3 ⋅ a ⋅ b


Completa les taules següents:1

MONOMI COEFICIENT PART LITERAL

−5ab

x3

−5


4xyz

−3ab2c

−5


2 ⋅ x 2 x


−3 ⋅ a ⋅ b −3 a ⋅ b


VALOR DE x COEFICIENT PART LITERAL GRAU EXPLICACIÓ DEL GRAU

2x

−4a2bc3

3x3

2 x 1

3a El signe de multiplicació no es posa ni entre elsnombres ni entre les lletres:

2 ⋅ a ⋅ b2 és igual que 2ab2.

OBJECTIU 3

IDENTIFICAR MONOMIS. FER OPERACIONS AMB MONOMIS

EXEMPLE

MONOMI GRAU EXPLICACIÓ

2x 1 L’exponent de x és 1.

−4x2y 3 La suma dels exponents de x2y1 és 3.

−5ab 2 La suma dels exponents de a1b1 és 2.

GRAU D’UN MONOMIEls monomis es classifiquen per graus. El grau d’un monomi és el nombre que resulta de sumar tots els exponents de la part literal del monomi.

6NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 306


6

Per a cada monomi escriu-ne dos que siguin semblants i les seves parts literals.3

MONOMI SEMBLANT SEMBLANT PART LITERAL

3x

−2a2b

−5x3

−y2z3


POLINOMI TERMES T. INDEPENDENT GRAU DEL POLINOMI

−2x2 + 3x − 1

4ab − 2a2b

6x3 − 5x2 + 2x − 4

7xy + 2y

EXEMPLE

MONOMIS PART LITERAL SÓN SEMBLANTS?

2x 3x

4x2y 2xy2

x

x2y

x

xy2

Sí

No

EXEMPLE

POLINOMI TERMES

3x3 + 5x − 4

−2ab + 4b

3x3 5x −4

−2ab 4b

T. INDEPENDENT

−4

No en té

GRAU DEL POLINOMI

El grau de x3 és 3

El grau de a1b1 és 2

MONOMIS SEMBLANTSDos o més monomis són semblants quan tenen la mateixa part literal.

POLINOMISUn polinomi és una expressió algebraica formada per sumes i/o restes de dos o més monomis no semblants.

• Cada un dels sumands s’anomena terme.

• Un terme pot tenir coeficient i part literal, o només coeficient i/o part literal.

• Hi ha termes que només tenen nombres. Són els termes independents.

• Els polinomis també es poden classificar per graus.

El terme de grau més gran determina el grau del polinomi sumant-hi els exponents de la seva part literal.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 307


Escriu un polinomi de grau 3 que tingui dos termes i un altre amb tres termes.5

Indica el grau dels monomis i polinomis següents:

a) 4x + 3x2 + 1 c) x3 − 1

b) 4x2y d) 3x + 4x2 − 2x3 − 8

6


a) x + x + x + x + x + x = d) 5a − 2a − 4a =

b) x2 + x2 = e) 2x3 − x3 =

c) 5ab + 3ab − 2ab = f) 6p + 2p + 5p =

7

Escriu dos monomis semblants i suma’ls.

a) x + ........ + ........ = c) ........ + 2x3 + ........ =

b) ........ + ........ + 3a = d) ........ + ........ + 3xy =

8

Escriu un altre monomi semblant i resta’ls.

a) 6x − ........ = c) 8ab − ........ =

b) ........ − 5x2 = d) ........ − 3xy =

9

Redueix les expressions següents:

a) x2 + 4x + 5x2 + x = 6x2 + 5x

b) 6x2 − 7x + 2x2 − x =

c) 3x3 − 2x + 5x2 − x3 + 4x2 =

d) 7ab + 5ab − ab + 6ab − 2ab =

e) 3xy − xy + 2xy + 5x − 2y + y + x =

f) 2a − 5a + 4a − a + 10a − 6a =

10

SUMA I RESTA DE MONOMIS

• La suma o resta de monomis es poden fer si són semblants, és a dir, si tenen la mateixa part literal.

• El resultat és un altre monomi que té com a coeficient la suma o resta dels coeficientsi la mateixa part literal.

+ = � Són monomis semblants.3p + 2p = 5p La part literal és p.

− = � Són monomis semblants.5p − 2p = 3p La part literal és p.

+ = � Són monomis no semblants.3p + 2g = 3p + 2g La suma es deixa indicada.

6831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 308


6


a) 3a ⋅ 2a = c) 2x ⋅ 3x ⋅ 4x = e) x ⋅ x ⋅ x =

b) 5a ⋅ (−5a2) = d) (−3a) ⋅ (−4a2) = f) (−4x ) ⋅ (3x2) =

11

Opera i redueix, eliminant els parèntesis. Fixa’t en l’exemple.

Exemple: 2 ⋅ (2x − 3) = 2 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3 = 4x − 6

a) 2 ⋅ (x + 1) = c) 2 ⋅ (x − 2) =

b) 3 ⋅ (x 2 + x) + 5x = d) −4 ⋅ (x 2 − x) − 2x =

12

FF

Calcula.

a) b) c) d)15

3

2

2

x

y=6

2

4

3

a

a=−

=3

5

4

2

x

x

x

x

3

=

13

2x ⋅ 3x 2 −4x 2 ⋅ 5x 3

� 2x ⋅ 3x2 = 6x3 � −4x2 ⋅ 5x3 = −20x5−4 ⋅ 5 = −20x2 ⋅ x3 = x5

2 ⋅ 3 = 6x ⋅ x2 = x3

EXEMPLE

− = −4 ⋅ 1 = −4

8 : 2 = 4; x 2 : x = x2−1 = x −12 : 3 = −4; x 5 : x 5 = x5−5 = x0 = 1

123

5

5

xx

= − ⋅12

3

5

5

x

x

82

2xx

= ⋅ =8

24

2x

xx

EXEMPLE

MULTIPLICACIÓ DE MONOMIS

• La multiplicació entre monomis és un altre monomi que té:

– Com a coeficient, el producte dels coeficients (nombres).

– Com a part literal, el producte de les parts literals (lletres).

• Recorda el producte de potències de la mateixa base, la multiplicació de nombres enters i la regla dels signes.

+ ⋅ + = + + ⋅ − = −x2 ⋅ x3 = x2+3 = x5 − ⋅ − = + − ⋅ + = −

DIVISIÓN DE MONOMIOS

• La divisió de dos monomis és un altre monomi que té:

– Com a coeficient, el quocient dels coeficients.

– Com a part literal, el quocient de les parts literals.

• Recorda la divisió de potències de la mateixa base, la divisió de nombres enters i la regla dels signes.

+ : + = + + : − = −x5 : x 2 = x5−2 = x3 − : − = + − : + = −

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 309


x + x = 2x a + b = b + a

Si x = 1: 1 + 1 = 2 ⋅ 1; 2 = 2 Si a = 1, b = 2: 1 + 2 = 2 + 1; 3 = 3

EXEMPLE

Escriu tres igualtats numèriques i tres més d’algebraiques.

Numèriques Algebraiques

1

Indica si les igualtats següents són certes o falses. Raona les respostes.

a) (3 ⋅ 7) + 21 = 15 + 10

b) 22 − 10 = 8 ⋅ 2

c) (6 ⋅ 4) − 5 = (7 ⋅ 2) + 7

d) 25 : 5 = (10 ⋅ 5) − (9 ⋅ 5)

2

Comprova que les identitats es compleixen; dóna valors i verifica’n la igualtat.

a) 2x + x = 3x b) a ⋅ b = b ⋅ a

3

Digues si són certes o falses les identitats següents:

a) a + b = b + a c) a − b = b − a e) x + x = x2

b) x + x = 2x d) x ⋅ x = x2 f) x ⋅ x = 2x

4

OBJECTIU 4

COMPRENDRE EL SIGNIFICAT D’IGUALTAT, IDENTITAT I EQUACIÓ

IDENTITATUna identitat és una igualtat algebraica (nombres i lletres) que es compleix per a qualsevol valor de les lletres.

IGUALTATUna igualtat és una expressió matemàtica separada per un signe igual (=).

Les igualtats poden ser:

• Numèriques, si només hi apareixen nombres.

5 + 2 = 7 o certa

5 + 2 = 8 o falsa

• Algebraiques, si hi apareixen nombres i lletres.

10 + x = 13

6NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 310


6

Indica quines de les expressions són igualtats, identitats o equacions.5

Troba mentalment el valor x en les equacions següents:6

EXPRESSIÓ TIPUS

6 + 5 = 11

3 + x = 15

a + b = b + a

7 + 3 = 10

20 − x = 4

x + x + x = 3x

EXPRESSIÓ VALOR DE x RAONAMENT

5 + x = 7

11 − x = 6

9 − x = 1

10 − x = 3

x + 1 = 1

10 − 2x = 4

x = 2 5 + 2 = 7

Completa els buits per verificar les equacions.

a) ........ + 5 = 15 c) ........ − 6 = 11 e) ........ + 8 = 12

b) 3 − ........ = 3 d) 17 + ........ = 20 f) 22 − ........ = 12

7

x + 2 = 8 Només es compleix quan x pren el valor 6 : 6 + 2 = 8.F

EXEMPLE

EQUACIÓUna equació és una igualtat algebraica que només es compleix per a determinats valors de les lletres.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 311


EQUACIÓ PRIMER MEMBRE SEGON MEMBRE TERMES INCÒGNITA GRAU

7 + x = 20

18 = 2x

5x = 12 + x

14 − 3x = 8 + x

Indica la solució de les equacions.

a) 7 + x = 20 c) 3x = 6

b) 15 − x = 12 d) 18 = 2x

2

RESOLUCIÓ D’EQUACIONSResolució per tempteigAquest mètode utilitza el raonament i la intuïció per provar valors numèrics en enunciats senzills i obtenir-ne la solució.

• En l’equació: x + 5 = 12, la pregunta seria: Quin nombre sumat a 5 dóna 12?

• Solució: x = 7, ja que 7 + 5 = 12.


OBJECTIU 5

RESOLDRE EQUACIONS SENZILLES DE PRIMER GRAU

LES EQUACIONS I LA SEVA ESTRUCTURAMembresUna equació és una igualtat algebraica que està separada per un signe igual (=).

Aquest signe diferencia dues parts de l’equació, anomenades membres, que contenen termes formats per nombres i/o lletres.

Primer membre = Segon membre

5 + x = 12

Terme: 5, x Terme: 12

IncògnitesLa incògnita és el valor que desconeixem i volem trobar. És un valor numèric i es representa habitualment per les lletres x, y, z, a, b.

• En l’equació 5 + x = 12, x és la incògnita, el valor que desconeixem.

• El terme x té grau 1, x = x1, i per tant aquestes equacions s’anomenen equacions de primer grau amb una incògnita.

SolucióLa solució és el valor numèric que hem de trobar perquè es verifiqui una equació.

• En l’equació 5 + x = 12, x = 7 és la solució de l’equació.

• Si substituïm la incògnita pel seu valor es verifica l’equació: 5 + 7 = 12.

6NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 312


6

Resol l’equació 5 + x = 12.1r 5 + x = 12. Observem que la incògnita és al primer membre.

2n No hi ha termes semblants per reduir.

3r 5 + (−5) + x = 12 + (−5). Aïllem x. Transposem 5, i sumem l’oposat (-5) a tots dos membres.

4t 0 + x = 12 − 5. Reduïm termes semblants.

5è x = 7. Aïllem i trobem el valor numèric de la incògnita.

EXEMPLE

Completa la taula.3

EQUACIÓ PREGUNTA SOLUCIÓ COMPROVACIÓ

x + 8 = 11

x − 6 = 9

18 = 2x

x2 = 4

Quin nombre sumat a 8 dóna 11? x = 3 3 + 8 = 11

Calcula la solució per tempteig.4

EQUACIÓ SOLUCIÓ

x + 1 = 7

14 = 2xx

63=

x2 = 9

Resol les equacions següents:

a) x + 10 = 16 b) 12 = 6 + x c) x − 7 = 3

x + 10 = 16

x + 10 + (−10) = 16 + (−10)

x + 0 = 16 − 10

x = 4

5

REGLES PRÀCTIQUES PER RESOLDRE EQUACIONSL’objectiu de resoldre equacions és trobar la incògnita. Per fer-ho, hem d’aconseguir «deixar-la sola», aïllar-la i trobar el valor numèric que verifica la igualtat.

1r Observem l’equació. Detectem en quin membre o membres hi ha la incògnita o incògnites.

2n En cas que n’hi hagi, reduïm termes que siguin semblants (nombres i/o lletres).

3r Per aïllar la incògnita, hem de transposar els termes que acompanyen les incògnites mitjançant operacions aritmètiques.

Si en els dos termes d’una equació es fa la mateixa operació (suma, resta, multiplicació o divisió), la igualtat no varia, i se n’obté una altra d’equivalent.

4t Reduïm termes semblants (nombres i/o lletres).

5è Aïllem la incògnita i en trobem el valor numèric.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 313


Resol aquestes equacions:

a) 3x + 2 + x = 8 + 2x b) x + 8 = 3x − 6 c) 5x − 3x = 20 + x

7

Completa la resolució de les equacions, donant prioritat a les operacions entre parèntesis.

a) 3(x − 3) = 5(x − 1) − 6x b) 3x + 8 − 5x − 5 = 2(x + 6) − 7x3x − 9 = 5x − 5 − 6x −2x + 3 = 2x + 12 − 7x

8

Troba la solució de les equacions.

a) 4x − 7 = 3 − x

4x − 7 + (+7) + x = 3 − x + (+7)

4x − 7 + 7 = 3 − x + 7

4x = 10x4x + (+x) = 10 − x + (+x)

4x + x = 10

5x = 10

x = 2

b) 6x − 2x = 8 c) 8x − 5x = 12

5

5

10

5

x=

6

Les incògnites són en el primer i el segon membre.

No hi ha termes semblants per reduir.

Agrupem les incògnites i els nombres per separat.

Transposem −7 sumant l’oposat (+7) en tots dos membres.

Reduïm termes semblants.

Transposem −x sumant l’oposat en tots dos membres.

Reduïm termes semblants.

Transposem 5 dividint entre 5 en tots dos membres.

Reduïm termes.

Aïllem la incògnita i en trobem el valor numèric.

6831073 _ 0301-0314.qxd 8/6/07 10:20 Página 314


Sistema Mètric Decimal7INTRODUCCIÓ

El coneixement del sistema de numeració decimal, la potenciació i les operacions de multiplicació i divisióper la unitat seguida de zeros ens introduiran enl’estudi de les magnituds i les unitats de mesura.

En aquesta unitat caldrà que l’alumnat facimesuraments i càlculs a l’aula, al laboratori o al’exterior. L’ús dels principals instruments de mesuraha de ser reforçat per operacions i comprovacionsaritmètiques a l’aula. Dibuixar un metre quadrat alterra, construir un metre cúbic, fer el decímetre cúbicamb retallables i utilitzar mesures de capacitat i volumsón accions que ajuden a comprendre el concepte de mesura.

Gradualment, es pot aconseguir la comprensió en les equivalències de les unitats i la seva pràctica real,sobretot en el cas de litre / decímetre cúbic /quilogram. La resolució de problemes senzillscontribuirà a l’assoliment dels objectius de la unitat.

RESUM DE LA UNITAT

• El sistema mètric decimal és el sistema de mesuraacceptat universalment, les unitats del qual estanrelacionades mitjançant potències de 10.

• El metre (m) és la unitat principal de longitud en el sistema mètric decimal.

• El quilogram (kg) és la unitat principal de massa en el sistema mètric decimal.

• El litre (¬ ) és la unitat principal de capacitat en el sistema mètric decimal.

• Per passar d’una unitat a una altra immediatamentinferior o superior, es multiplica o es divideix per 10,respectivament.

• Una mesura en forma complexa s’expressa en una sola unitat, i en forma incomplexa, en mésd’una unitat.

• Per sumar o restar mesures, aquestes han d’estarexpressades en la mateixa unitat.

• El metre quadrat (m2) és la unitat principal desuperfície, i és la superfície que té un quadrat d’1 m de costat.

• El metre cúbic (m3) és la unitat principal de volum, i és el volum que té un cub d’1 m d’aresta.

1. Conèixer les unitats de longitud, massa i capacitat.Fer canvis d’unitats.

2. Conèixer les unitats de superfície i volum. Fercanvis d’unitats.

3. Comprendre la relació entreunitats de volum, capacitat i massa.

• Unitats de longitud, massa i capacitat.

• Múltiples i submúltiples.

• Instruments de mesura.

• Identificació de magnituds.

• Diferenciació dels múltiples i els submúltiples de les unitats de longitud, massa i capacitat. Equivalències.

• Resolució de problemes.

• Identificació i utilització dels instruments de mesura.

• Unitats de superfície. Coneixement de les unitats agràries.

• Unitats de volum. Múltiples i submúltiples.

• Àrees del quadrat i el rectangle. Volum del cub.

• Identificació de magnituds.

• Diferenciació de múltiples i els submúltiples de les unitats de superfíciei volum.


• Identificació i utilització dels instruments de mesura.

• Equivalències principals entre les unitats de volum, capacitat i massa.

• Conversió d’unitats aplicant les equivalències.



PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 315


OBJECTIU 1

CONÈIXER LES UNITATS. FER CANVIS D’UNITATS

Uneix cada magnitud amb la unitat corresponent.1


a) 34,56 ⋅ 100 = d) 0,71 ⋅ 1.000 = g) 139 ⋅ 10 =

b) 0,198 ⋅ 100 = e) 3.528 ⋅ 10 = h) 7 ⋅ 10.000 =

c) 18,2 ⋅ 1.000 = f) 0,1 ⋅ 10 = i) 84.002 ⋅ 100 =

2

Calcula.

a) 987 : 1.000 = d) 0,37 : 10 = g) 23.600 : 100 =

b) 15,37 : 100 = e) 0,9 : 10 = h) 253,6 : 1.000 =

c) 46 : 10 = f) 61.302 : 10.000 = i) 47,05 : 100 =

3

L’aigua d’un embassament

La capacitat d’una llauna de refresc

La capacitat d’una piscina

La velocitat d’un ciclista

El pes d’un sac de patates

La longitud d’un bolígraf

L’àrea d’un camp de gira-sols

La distància entre dos pobles

El pes d’un camió

L’alçària d’un gratacel

36 quilòmetres per hora

7.450 metres quadrats

45 quilograms

12.000 litres

4.500 quilograms

350 metres

33 centilitres

15 centímetres

145 hectòmetres cúbics

25 quilòmetres

• Una magnitud és una qualitat, característica... d’un objecte que podem mesurar.

Exemple: longitud, massa, capacitat, superfície, volum, velocitat...

• Les magnituds s’expressen en unitats de mesura:

Exemple: metres, quilòmetres, quilograms, grams, centilitres, metres quadrats, metres cúbics, quilòmetres per hora...

• El sistema mètric decimal és un sistema de mesura decimal perquè les unitats es relacionen entre si mitjançant potències de 10.

• Per multiplicar un nombre per 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a la dreta tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

3,47 ⋅ 100 = 347 589 ⋅ 1.000 = 589.000

• Per dividir un nombre entre 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a l’esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

25,87 : 100 = 0,2587 29 : 10 = 2,9

7NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 316

UNITATS DE LONGITUD

• El metre és la unitat principal de longitud. Abreujadament s’escriu m.

• Els múltiples (unitats més grans) i els submúltiples (unitats més petites) del metre són:

• Cada unitat, a la vida real, s’utilitza per mesurar:

– Grans distàncies com carreteres, vies fèrries: mam, km, hm.

– Distàncies intermèdies com carrers, altures: dam, m.

– Mesures petites com fotografies, mobiliari: dm, cm.

– Mesures reduïdes com agulles de cap, insectes: mm.

• Per transformar una unitat de longitud en una altra, es multiplica o es divideix per 10.


7

Associa una unitat de longitud amb cada exemple.

a) L’alçària d’una casa. d) La distància entre dues ciutats. g) Una finestra.

b) La longitud d’una formiga. e) El tauler del teu pupitre. h) Una agulla imperdible.

c) La teva alçada. f) L’amplada d’un carrer. i) La teva habitació.

4

Ordena les mesures de més petita a més gran (<). Pren com a referència el metre i passa totes les mesures a aquesta unitat.

1.500 cm – 3,5 m – 94,7 dm – 0,15 km – 0,03 dam – 6.341 mm – 1,3 m – 2,04 km – 1.000 m

5


MÚLTIPLES DEL METRE UNITATPRINCIPAL SUBMÚLTIPLES DEL METRE

10.000 mmiriametre

mam

1.000 mquilòmetre

km

100 mhectòmetre

hm

10 mdecàmetre

dam

metrem

0,1 mdecímetre

dm

0,01 mcentímetre

cm

0,001 mmil·límetre

mm

mam km hm dam m dm cm mm

F

⋅ 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10F

⋅ 10F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

km hm dam m dm cm mm

2,1

0,33

9,35

34

13.472

7.749

54

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 317

INSTRUMENTS DE MESURA DE LONGITUD


NOM ALÇÀRIA (en m) ALÇÀRIA (en hm) ALÇÀRIA (en km)

Everest

Mont Blanc

Mulhacén

Teide

Almanzor

Aneto

8.844

4.810

3.482

3.718

2.592

3.404

Expressa les alçàries següents en hectòmetres i quilòmetres:7

NOM

Tajo

LONGITUD (en km)

1.120

Ebre 1.927

Duero 1.913

Guadiana 1.743

Guadalquivir 1.680

Xúquer 1.535

Segura 1.341

Miño 1.340

LONGITUD (en hm) LONGITUD (en m)

Expressa la longitud d’aquests rius en hectòmetres i metres:8

Completa.

a) 5,5 km = ........ m c) 6,7 dam = ........ m e) 785 cm = ........ m

b) 34,5 mm = ........ m d) 12 km = ........ m f) 1,60 dm = ........ m

9

Roda mètrica Regle

Metre de fuster

Flexòmetre

Metre de sastreCinta mètrica

7831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 318

UNITATS DE MASSA

• El quilogram i el gram són les unitats principals de massa. Abreujadament s’escriuen kg i g.

• Els múltiples (unitats més grans) i els submúltiples (unitats més petites) del gram són.

• Per mesurar masses grosses s’utilitzen:

Exemples: càrrega d’un avió, enviaments d’aliments, massa d’un camió, etc.

• Per transformar una unitat de massa en una altra, es multiplica o es divideix per 10.


7

Ordena les mesures següents de més gran a més petita (>). Pren com a referència el gram o el quilogram i passa totes les mesures a la unitat que triïs.

27 dag – 27 dg – 56 g – 0,23 hg – 1,02 kg – 8,34 cg – 345 mg – 0,5 t – 1,1 q

10

MÚLTIPLES DEL GRAM UNITATPRINCIPAL SUBMÚLTIPLES DEL GRAM

10.000 gmiriagram

mag

1.000 gquilogram

kg

100 ghectogram

hg

10 gdecagram

dag

gramg

0,1 gdecigram

dg

0,01 gcentigram

cg

0,001 gmil·ligram

mg

Unitats Símbol

Tona mètrica

Quintar mètric

t

q

Equivalències (en kg)

1.000 kg

100 kg

Equivalències (en g)

1.000.000 g

100.000 g

t q mag kg hg dag g dg cg mg

F

⋅ 10

F

⋅ 10F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10F

: 10

F

: 10


t q kg g dg cg mg

0,5

0,31

9

65

31.872

1.749

59

Completa.

a) 2,5 kg = .......... g c) 0,7 dag = .......... g e) 587 cg = .......... g

b) 5.345 mg = .......... kg d) 1.258 g = .......... kg f) 6,6 dg = .......... kg

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 319

UNITATS DE CAPACITAT

• El litre és la unitat principal de capacitat. Abreujadament s’escriu ¬.

• Els múltiples (unitats més grans) i els submúltiples (unitats més petites) del litre són:

• Per transformar una unitat de capacitat en una altra, es multiplica o es divideix per 10.

INSTRUMENTS DE MESURA DE MASSA


MÚLTIPLES DEL LITRE UNITATPRINCIPAL SUBMÚLTIPLES DEL LITRE

10.000 ¬mirialitre

mal

1.000 ¬quilolitre

kl

100 ¬hectolitre

hl

10 ¬decalitre

dal

litre¬

0,1 ¬decilitre

dl

0,01 ¬centilitre

cl

0,001 ¬mil·lilitre

ml

mal kl hl dal ¬ dl cl ml

F

⋅ 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

Ordena les mesures següents de més petita a més gran (<). Pren com a referència el litre i passa totes les mesures a aquesta unitat.

250 cl – 1.500 ml – 2,5 ¬ – 0,005 kl – 0,7 dal – 19 dl – 7 hl – 30 ¬ – 450 cl

13

Balança granatària

Balança de Roverbal

BàsculaDinamòmetres

Balança de cuina

7831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 320

INSTRUMENTS DE MESURA DE CAPACITAT


7

Completa.

a) 8,5 kl = .......... ¬ c) 0,7 dal = .......... ¬ e) 785 cl = .......... ¬

b) 3.295 ml = .......... ¬ d) 36,5 hl = .......... ¬ f) 9,6 dl = .......... ¬

15

Calcula les quantitats següents i expressa el resultat en litres:

a) 1/4 de 500 hl = c) 3/4 de 1.000 kl =

b) 2/5 de 2.500 cl = d) 1/8 de 450 ml =

16

La capacitat d’una piscina és de 75 kl. Actualment conté 300 hl. Quants litres falten perquè s’ompli?

17

Volem omplir de vi una bóta, que té 5 dal de capacitat, amb recipients de 10 ¬. Quants recipients de 10 ¬ necessitarem?

18


kl hl dal ¬ dl cl ml

1,5

3,5

14

6

50

400

5.600

Gerres i vasos graduats

Mesures

Cassons Provetes

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 321

UNITATS DE SUPERFÍCIE

• El metre quadrat és la unitat principal de superfície. S’escriu m2.

• Un metre quadrat és la superfície d’un quadrat que té 1 metre de costat.

• Els múltiples (unitats més grans) i els submúltiples (unitats més petites) del m2 són:

• Per mesurar superfícies d’objectes grans s’utilitzen:

• Per mesurar superfícies grans, com extensions agràries o terrestres, es fan servir altres unitats:


OBJECTIU 2

CONÈIXER UNITATS DE SUPERFÍCIE I VOLUM. FER CANVIS D’UNITATS

Si 1 m2 és la superfície d’un quadrat d’1 m de costat, expressa:

a) 1 dm2 b) 1 cm2 c) 1 mm2 d) 1 dam2 e) 1 hm2 f) 1 km2

1

Indica quina unitat de mesura utilitzaries per expressar les superfícies següents:

a) Una calculadora de butxaca. d) Un camp de futbol.

b) El terrat d’una casa. e) Un botó.

c) Un cap de gira-sols. f) El terra de l’aula.

2

MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO UNITATPRINCIPAL

SUBMÚLTIPLES DEL METRE QUADRAT

1.000.000 m2

quilòmetre quadrat

km2

10.000 m2

hectòmetre quadrat

hm2

100 m2

decàmetre quadratdam2

metrequadrat

m2

0,01 m2

decímetrequadrat

dm2

0,0001 m2

centímetrequadrat

cm2

0,00001 m2

mil·límetrequadrat

mm2

Unitats Símbol

Hectàrea

Àrea

Centiàrea

ha

a

ca

Equivalència

1 hm2

1 dam2

Equivalència (en m2)

10.000 m2

100 m2

1 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

F

⋅ 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100F

: 100

F

: 100F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

Ordena, de més petita a més gran (<), les mesures següents. Pren com a referència el metre quadrat ipassa totes les mesures a aquesta unitat.

25,4 km2 – 610 m2 – 34.000 dm2 – 157.530 cm2 – 2,4 hm2 – 2 dam2 – 234.971 mm2

3

1 m2

7NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 322


7


km2 ha hm2 a dam2 m2

0,25

0,5

30

43

625

2.500

Completa.

a) 850 dm2 = .......... m2 c) 7 m2 = .......... dm2 e) 785 cm2 = .......... dm2

b) 3.295 mm2 = .......... m2 d) 36,5 cm2 = .......... mm2 f) 6,9 dm2 = .......... mm2

5

L’àrea d’un quadrat és el producte de costats, A = l ⋅ l. Calcula l’àrea d’aquests quadrats en cm2 i dm2. Fixa’t en l’exemple i dibuixa les figures.

a) l = 5 cm b) l = 3 cm c) l = 4 cm

6

l = 5 cm

l = 5 cm

L’àrea d’un rectangle és el producte de base per altura, A = b ⋅ a. Calcula l’àrea d’aquests rectangles en cm2 i dm2. Fixa’t en l’exemple i dibuixa les figures.

a) b = 5 cm a = 3 cm b) b = 4 cm a = 2 cm c) b = 6 cm a = 4 cm

7

a = 3 cm

b = 5 cm

El terra d’una pista de gimnàstica és un quadrat amb un costat que fa 20 m. Determina’n l’àrea.8

Un camp de futbol té les mesures següents: 100 m de banda i 70 m de fons. Troba’n l’àrea total i expressa el resultat en m2 i a.

9

A = l ⋅ l = 5 cm ⋅ 5 cm = 25 cm2 = 25 cm2 : 100 = 0,25 dm2

A = b ⋅ a = 5 cm ⋅ 3 cm = 15 cm2 = 15 cm2 : 100 = 0,15 dm2

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 323

UNITATS DE VOLUM

• El metre cúbic és la unitat principal de volum. S’escriu m3.

• Un metre cúbic és el volum d’un cub que té 1 metre d’aresta.

• Els múltiples del m3 són cubs que tenen d’aresta múltiples del metre:

– 1 decàmetre cúbic, dam3, és un cub que té d’aresta 1 dam.

– 1 hectòmetre cúbic, hm3, és un cub que té d’aresta 1 hm.

– 1 quilòmetre cúbic, km3, és un cub que té d’aresta 1 km.

• Els submúltiples del m3 són cubs que tenen d’aresta submúltiples del metre:

– 1 decímetre cúbic, dm3, és un cub que té d’aresta 1 dm.

– 1 centímetre cúbic, cm3, és un cub que té d’aresta 1 cm.

– 1 mil·límetre cúbic, mm3, és un cub que té d’aresta 1 mm.

• Per transformar una unitat de volum en una altra, es multiplica o es divideix per 1.000.

• Principals equivalències: 1 hm3 = 1.000 dam3 = 1.000.000 m3

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3

1 dm3 = 1.000 cm3 = 1.000.000 mm3


km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3F

F F F F F F

: 1.000

F F F F

Indica quina unitat de mesura utilitzaries per expressar els volums següents:

a) Una piscina. d) Un embassament.

b) Un dau de parxís. e) La teva aula.

c) Un bric de llet. f) El maleter d’una furgoneta.

10

Ordena, de més gran a més petita (>), les mesures següents. Pren com a referència el metre cúbic i passa totes les mesures a aquesta unitat.

0,4 km3 – 61 dam3 – 54.000 m3 – 3.157.530 cm3 – 3,4 hm3 – 2,01 hm3 – 23.234.971 mm3

11

Completa.

a) 950 dm3 = .......... m3 c) 5 m3 = .......... dm3 e) 385 cm3 = .......... dm3

b) 3.295 mm3 = .......... cm3 d) 9,65 cm3 = .......... mm3 f) 0,369 dm3 = .......... mm3

12

G F1 dm

1 m

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

F

7831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 324


7

Hi ha figures geomètriques que tenen una forma semblant a la del cub.

Per exemple, una piscina, la teva aula, una capsa de llumins o un gratacel.Calcular-ne el volum és molt senzill: les seves arestes no són iguals (a, b i c) i la fórmula és:

V = a ⋅ b ⋅ c

Aquestes figures s’anomenen ortoedres, i són prismes geomètrics les cares dels quals són totes rectangles.

Una capsa de llumins té les dimensions següents: 5 cm, 4 cm i 2 cm.Troba’n el volum.

V = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30 cm3

Calcula el volum d’una piscina de dimensions: 10 m de llarg, 8 m d’ample i 2 m d’alt.

15

Calcula el volum d’un cub l’aresta del qual mesura 3 cm.

El volum d’un cub és igual a: llarg ⋅ ample ⋅ alt = a ⋅ a ⋅ a = a3

Vc = a3

El volum d’un cos és la quantitat d’espai que ocupa. Sabem que 1 dm3 = 1.000 cm3, és a dir, que en un cub d’1 dm (10 cm) d’aresta hi caben 1.000 cubs d’1 cm d’aresta.

13

Si cada cub mesura 1 cm3, calcula el volum de les figures.

a) b) c) d) e)

14

a = 3 cm

1 cm31 dm3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1.000 cm3

G FaG F

G F

a

a

G F5 cm G F3 cm

G F2 cm

G F5 cm G F3 cm

G F2 cm P

RO

PO

STE

S P

ER

A

L’A

DA

PTA

CIÓ

CU

RR

ICU

LAR

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 325

• Si agafem un recipient d’aigua d’1 ¬ de capacitat i l’aboquem en 1 dm3 obert, observem que hi cap exactament.

1 litre és el volum d’un cub que té 1 dm d’aresta, és a dir, la capacitat d’1 dm3.

Per tant, 1 ¬ = 1 dm3.

• Si agafem un recipient d’aigua d’1 ml de capacitat i l’aboquem en 1 cm3 obert, observem que hi cap exactament.

1 mil·lilitre és el volum d’un cub que té 1 cm d’aresta, és a dir, la capacitat d’1 cm3.

Per tant, 1 ml = 1 cm3.


Recorda les unitats de capacitat i volum, i estableix l’equivalència entre m3, dm3, ¬ i kl.

1 m3 = ............. dm3 = ............. ¬ = ............. kl

1

1 m3

Expressa en ¬.

a) 4 m3 = .......... ¬b) 2.000 mm3 = .......... ¬c) 50 dm3 = .......... ¬d) 3,5 kl = .......... ¬e) 3.000 cm3 = .......... ¬f) 0,5 m3 = .......... ¬

2

Expressa en dm3.

a) 55 ¬ = .......... dm3 d) 0,35 m3 = .......... dm3

b) 35 dl = .......... dm3 e) 0,25 kl = .......... dm3

c) 10 dal = .......... dm3 f) 5.000 ml = .......... dm3

3

OBJECTIU 3

RELACIÓ ENTRE LES UNITATS DE VOLUM, CAPACITAT I MASSA

1 ¬

1 dm

1 ml

1 cm3

1 dm3

1 cm

G F

G F

7NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 326

TAULA D’EQUIVALÈNCIES

1 ¬ = 1 dm3 = 1 kg

• Si agafem un recipient amb aigua destil·lada d’1 ¬ de capacitat (que ocupa 1 dm3) i el pesem en una balança,aquesta s’equilibraria exactament amb un pes d’1 kg.

1 kg és la massa que té 1 dm3 d’aigua destil·lada.

Per tant, 1 kg = 1 ¬.

• I si agafem un recipient amb aigua destil·lada d’1 ml de capacitat (que ocupa 1 cm3) i el pesem en una balança, aquesta s’equilibraria exactament amb un pes d’1 g.

1 g és la massa que té 1 cm3 d’aigua destil·lada.

Per tant, 1 g = 1 cm3.


7

Expressa en quilograms els següents volums i capacitats d’aigua destil·lada:

a) 45 ¬ = .......... kg c) 0,5 kl = .......... kg e) 3.000 cm3 = .......... kg

b) 20 dm3 = .......... kg d) 3,5 kl = .......... kg f) 0,5 m3 = .......... kg

4

Expressa en grams aquests volums i capacitats d’aigua destil·lada:

a) 55 ¬ = .......... g c) 1 dal = .......... g e) 0,25 cl = .......... g

b) 35 dl = .......... g d) 0,357 m3 = .......... g f) 5.000 ml = .......... g

5

Un embassament conté 95 hm3 d’aigua. Calcula:

a) La seva capacitat en m3.

b) La seva capacitat en litres.

c) Si fos aigua destil·lada, quina en seria la massa en tones i en quilograms?

6

UNITATS DE VOLUM

UNITATS DE CAPACITAT

UNITATS DE MASSA

m3

kl

t

hl

q

dal

mag

dm3

¬

kg

dl

hg

cl

dag

cm3

ml

g

1 dm3

d’aiguadestil·lada

1 kg

1 cm3

d’aiguadestil·lada

1 g

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 327


Considera que l’aula de la teva classe té les dimensions següents: 0,9 dam de llargada, 6 m d’ampladai 300 cm d’alçària. Calcula:

a) El volum de la classe expressat en m3.

b) La capacitat en litres si s’omplís totalment d’aigua.

c) El pes en kg i t de l’aigua.

7

Ordena, de més petita a més gran, les mesures següents:

37,4 hm – 134 cm – 1,25 m – 0,45 km

8


1,34 m2 – 435 dm2 – 1.784 mm2 – 3.284 cm2

10


0,003 m3 – 3.200 dm3 – 0,000002 m3

11

Les mesures d’una pista de tennis són 24 m de llarg i 8 m d’ample.Quants centímetres quadrats té la pista? I hectàrees?

12

Completa amb les unitats adequades.

a) 25 hm = 250 .......... = 25.000 ..........

b) 3,7 km = 0,37 .......... = 370 ..........

c) 5,28 m = 52,8 .......... = 0,0528 ..........

d) 34,57 dam = 3.457 .......... = 0,3457 ..........

9

Una piscina mesura 50 m de llarg, 20 m d’ample i 3 m de profunditat.

a) Si un nedador fa 10 llargs de piscina, recorre més o menys d’un km?

b) Quin és el volum de la piscina en dm3?

c) Quants litres d’aigua són necessaris per omplir la piscina?

d) Quina és la massa en quilograms de l’aigua de la piscina?

13

7831073 _ 0315-0328.qxd 11/6/07 12:44 Página 328


Proporcionalitat numèrica8INTRODUCCIÓ

La proporcionalitat numèrica és un concepte queresulta complex i difícil de comprendre a l’alumnat si no s’ha adquirit soltesa en aspectes com lesoperacions de multiplicació i divisió de nombres entersi per la unitat seguida de zeros, l’equivalència de fraccions, la fracció com a expressió decimal i d’una quantitat i el percentatge.

Mitjançant la comprensió dels conceptes de magnitud,proporció, raó i constant de proporcionalitat, s’apliquenles proporcions i els seus mètodes de resolució de problemes a situacions de la vida quotidiana.

Les relacions entre magnituds inversamentproporcionals plantegen un grau més alt de dificultat, i s’estudiaran mitjançant relacions entre proporcions.

Així mateix, s’introdueixen els conceptes de percentatges, que fan possible expressarnumèricament situacions de la vida real.

En aquesta unitat també presentem la resolució de problemes amb percentatges, augments i disminucions percentuals.

RESUM DE LA UNITAT

• Raó és el quocient entre dos nombres

o quantitats . El nombre a s’anomena antecedent

i b és el consegüent.

• Proporció és la igualtat entre dues raons.

• En una proporció, el producte de mitjos és igual al producte d’extrems.

• Dues magnituds són directament proporcionalssi la raó entre dues quantitats corresponents de totes dues és sempre la mateixa.

• Dues magnituds són inversament proporcionalsquan, en augmentar-ne o disminuir-ne una,disminueix o augmenta l’altra en la mateixaquantitat.

• Els percentatges són quantitats d’una magnitudcorresponents a 100 unitats de l’altra magnitud.

a

b

1. Identificar la relació deproporcionalitat entre duesmagnituds.

2. Reconèixer magnitudsdirectament proporcionals.

3. Reconèixer magnitudsinversament proporcionals.

4. Comprendre el concepte depercentatges. Fer operacions i resoldre problemes de percentatges.

• Concepte de magnitud.

• Proporcionalitat. Constant de proporcionalitat.

• Sèries de raons iguals. Propietats.

• Identificació de relacions de proporcionalitat.

• Realització de taules de valors proporcionals.

• Magnituds directament proporcionals.

• Identificació de magnituds directament proporcionals.

• Magnituds inversament proporcionals.

• Identificació de magnituds inversament proporcionals.

• Concepte de percentatge.

• Resolució de problemes mitjançant l’ús del tant per cent.

OBJECTIUS CONTINGUTSP

RO

PO

STE

S P

ER

A

L’A

DA

PTA

CIÓ

CU

RR

ICU

LAR

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 329

• Per multiplicar un nombre per 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a la dreta tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

3,47 ⋅ 100 = 347 589 ⋅ 1.000 = 589.000

• Per dividir un nombre entre 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a l’esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

25,87 : 100 = 0,2587 29 : 10 = 2,9

• En dividir el numerador entre el denominador d’una fracció, s’obté un nombre decimal. És el valor numèric de la fracció.

7 : 2 = 3,5

• Dues fraccions són equivalents si els seus productes creuats són iguals.

2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6; 30 = 306

15

2

5

2

5

6

15=

7

2=


OBJECTIU 1

IDENTIFICAR LA RELACIÓ DE PROPORCIONALITAT ENTRE MAGNITUDS

FF

Indica si són magnituds o no.

a) El pes d’un sac de patates.

b) L’afecte.

c) Les dimensions de la teva taula.

d) La bellesa.

e) Els litres d’aigua d’una piscina.

f) El riure.

1

Indica dues unitats de mesura per a cada magnitud.

a) El preu d’una bicicleta.

b) La distància entre dos pobles.

c) El pes d’una bossa de taronges.

d) El contingut d’una ampolla.

e) L’aigua d’un embassament.

f) La longitud de la banda d’un camp de futbol.

2

CONCEPTE DE MAGNITUD

• Una magnitud és una qualitat o una característica d’un objecte que podem mesurar.

Exemple: longitud, massa, nombre d’alumnes, capacitat, velocitat, etc.

• Les magnituds s’expressen en unitats de mesura.

Exemple: metres, quilòmetres, quilograms, grams, nombre de persones, litres, centilitres, quilòmetres perhora, metres per segon, etc.

• Per a cada una d’aquestes mesures hi ha diferents quantitats d’aquesta magnitud.

Exemple: un regle d’1 metre, una caixa de 2 quilograms, una bóta de 5 litres, 95 km/h, etc.

8NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 330

PROPORCIONALITAT

En un menjador escolar cada alumne es menja 2 croquetes. Dos alumnes mengen 4 croquetes; 3 alumnes, 6 croquetes; 4 alumnes, 8 croquetes... Quantes croquetes mengen 9 alumnes? I 12 alumnes?I 15 alumnes?

• Les sèries de nombres de les dues magnituds, el nombre d’alumnes i el de croquetes, són proporcionalsentre si, perquè es pot passar d’una sèrie a una altra multiplicant o dividint pel mateix nombre (2).

• Diem que entre les magnituds, el nombre d’alumnes i el nombre de croquetes que es mengen, hi ha proporcionalitat.

• La relació entre les magnituds s’expressa mitjançant una taula anomenada taula de proporcionalitat.


8

Esbrina el nombre pel qual s’ha de multiplicar i/o dividir per passar d’una sèrie a una altra, tenint en compte que tots dos nombres han de ser proporcionals.

a) c)

b) d)

3

En un mercat, 1 kg de pomes costa 1,50 €. Elabora una taula de proporcionalitat amb les magnituds: massa de pomes (d’1 a 10 kg) i el preu corresponent.

4

1 2 3 4 5 6

10 15 30

3 4 5 6 7 8 9

18

1 2 6 7

3 6 9 15

1 10 100 10.000

10 100 10.000

PES (kg)

PREU (€/kg)

1

1,50

RAÓ ENTRE DOS NOMBRES O QUANTITATS

• Una raó és el quocient entre dos nombres qualssevol o quantitats que es poden comparar.

• Si a i b són dos nombres, la raó entre aquests és .

• No s’ha de confondre raó amb fracció:

– En una raó, els nombres a i b poden ser nombres naturals i/o decimals.

Per tant, són raons.

– En una fracció, els nombres a i b són nombres naturals, i són fraccions.2

5

4

3

10

25, ,

2 5

5

4

3 5

10

25

,

,, ,

a

b

NOMBRE D’ALUMNES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30NOMBRE DE CROQUETES

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 331

Recordem l’exemple dels alumnes i les croquetes:

• Podem expressar les raons dels valors de cada magnitud de la manera següent:

Són raons de les magnituds, nombre d’alumnes i croquetes.

• Observem que:

= 0,5 = 0,5 = 0,5 = 0,5 … = 0,5 … = 0,5 … = 0,5

Formen una sèrie de raons iguals. Tenen el mateix valor: 0,5.

• La igualtat de dues raons forma una proporció:

• El quocient de les raons d’una proporció s’anomena constant de proporcionalitat (0,5).

9

18

12

240 5= = ,

3

6

4

80 5= = ,

1

2

2

40 5= = ,

15

30

12

24

9

18

4

8

3

6

2

4

1

2

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

9

18

12

24, , , , , ... , , ... , , ... ,

15

30


Indica si aquests quocients són fraccions o raons:

a) b) c) d) e)4

8

3 5

9

,5

10

0 5

7

,2

5

5

Completa aquestes sèries de raons iguals:

a) c)

b) d)3

7

9

21

27

63= = = = =

2

5

6

15

12

30= = = = =

5

3

10

6

15

9= = = = =

1

3

2

6

5

15= = = = =

6

Completa les taules, forma raons iguals, escriu les proporcions i indica la constant de proporcionalitat.

a) b)

7

NOMBRE D’ALUMNES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

2

4

3 6 15 100 1

10

3 5 6

NOMBRE DE CROQUETES

8831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 332


8

Comprova les propietats de les raons iguals de l’exercici 7.8

Una entrada de cinema costa 5 €. Quant costaran 2, 4, 6, 8 i 10 entrades?

a) Forma la taula de valors.

b) Escriu les raons iguals.

c) Calcula la constant de proporcionalitat.

d) Comprova les propietats de raons iguals.

9

PROPIETATS DE LES RAONS IGUALS

1a La suma dels antecedents dividida entre la suma dels consegüents és igual a la raó de proporcionalitat.

2a En una una proporció, el producte d’extrems és igual al producte de mitjos. Recorda el concepte de fraccions equivalents i els productes creuats.

a ⋅ d = b ⋅ c 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 8 = 6 ⋅ 43

6

4

8=

1

2

2

4=

a

b

c

d=

1

2

2

4

3

6

4

8

1 2 3 4

2 4 6 8

10

200 5= = = =

+ + ++ + +

= = ,a

b

c

d

e

f

a c e

b d f= = =

+ ++ +

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 333

En un estable amb 6 kg de pinso s’alimenten 10 vaques; amb 12 kg, 20 vaques; amb 18 kg, 30 vaques;amb 24 kg, 40 vaques; amb 30 kg, 50 vaques...

Formem la taula de valors de les dues magnituds:

Observem que:

1r En augmentar els quilos de pinso (doble, triple...), augmenta el nombre de vaques en la mateixa propor-ció (doble, triple...).

En disminuir una magnitud (meitat, terç...), l’altra disminueix de la mateixa manera (meitat, terç...).

2n La raó entre dos valors qualssevol de quilos de pinso i nombre de vaques

forma una proporció:

3r La constant de proporcionalitat de dos o més valors de quilos de pinso i nombre de vaques és la mateixa:

Per tant, les magnituds, pinso i nombre de vaques, són directament proporcionals.

6

10

12

20

18

30

24

40

30

500 6= = = = = ,

6

10

30

50=

18

30

24

40=

6

10

12

20=


Indica si les magnituds següents són directament proporcionals:

a) El pes de taronges (en quilograms) i el seu preu.

b) La velocitat d’un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància.

c) El nombre d’operaris d’una obra i el temps que triguen a acabar-la.

d) El nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.

e) El preu d’una tela i els metres que se’n compraran.

f) L’edat d’un alumne o alumna i la seva alçada.

1

En un supermercat hi trobem la informació següent:

«1 ampolla de refresc de cola costa 3,50 €; 2 ampolles, 6 €; 4 ampolles, 11 €; 6 ampolles, 16 €.»

Indica si les magnituds, el nombre d’ampolles de refresc i el preu que se’n paga, són directament proporcionals. Raona la resposta.

2

Completa les taules perquè els valors siguin directament proporcionals. Comprova-ho aplicant les propietats anteriors.

a) b)

3

3

4

6 12 24 48 4

1

8 12 16 4.820

OBJECTIU 2

RECONÈIXER MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

PINSO (kg)

NOMBRE DE VAQUES

6 12 18 24 30

10 20 30 40 50

8NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 334


8

Si 3 retoladors costen 6 €, quant costaran 7 retoladors?

• Hi intervenen dues magnituds, el nombre de retoladors i el preu, que són directament proporcionals: com més retoladors comprem, més diners costaran.

• Coneixem tres quantitats d’aquestes magnituds:

2 quantitats de retoladors: 3 i 7.

1 quantitat de preu: 6 €, que correspon a 3 retoladors.

• Desconeixem una quarta quantitat: el que costen 7 retoladors.

Es resol de la manera següent.

Són magnituds directament proporcionals:

3 ⋅ x = 7 ⋅ 6 3x = 42 x = 14

7 retoladors costaran 14 €.

3

3

42

3

x=

3

7

6=

x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Si 3 retoladors costen 67 retoladors costaran x

EXEMPLE

Dos quilos de taronges costen 1,50 €. Quant costaran 5 kg? I 12 kg?4

En una obra, dos obrers fan una rasa de 5 m. Si mantenen el mateix ritme de treball, quants metres de rasa obriran si s’incorporen a la feina 3 obrers més?

5

El preu de 12 fotocòpies és de 0,50 €. Quant costarà fer 30 fotocòpies?6

Un ciclista recorre 75 km en 2 hores. Si manté sempre la mateixa velocitat, quants quilòmetres recorrerà en 5 hores?

7

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 335


Un túnel de rentatge neteja 12 cotxes en una hora (60 minuts). Quant temps trigarà a rentar 25 cotxes? I 50 cotxes?

8

Deu barres de pa costen 4,75 €. Quant costaran 18 barres? I 24 barres?9

El preu de 9 bitllets d’autobús és 10 €. Quin serà el preu de 12 bitllets? I de 15 bitllets?

10

Si 5 ampolles de llet costen 3,75 €, quant en costarà una caixa de 12 ampolles? I una caixa de 36 ampolles?

11

8831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 336


8OBJECTIU 3

RECONÈIXER MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Una aixeta aboca 3 ¬ d’aigua cada minut i triga 15 minuts a omplir una bóta. Si augmentem el cabal a 6 ¬ per minut, trigarà 7,5 minuts a omplir-la. Si l’augmentem a 9 ¬ per minut, l’omplirà en 5 minuts. Si l’augmentem a 12 ¬, trigarà 3,75 minuts, etc.

• Distingim dues magnituds: el cabal d’aigua (en litres per minut) i el temps (en minuts) a omplir la bóta.

– En augmentar el nombre de litres per minut, disminueix el temps en què s’ompliria la bóta.

– Si disminueix el cabal, augmenta el temps.

– Són magnituds inversament proporcionals.

• Veiem que en les raons de les proporcions s’inverteix l’ordre.

• En multiplicar (o dividir) un dels valors, el valor corresponent queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre.

12

6

7 5

3 752= =

,

,3

9

5

150 3= = ,

3

6

7 5

150 5= =

,,

EXEMPLE

Indica si les magnituds següents són inversament proporcionals o no:

a) La velocitat d’un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància.

b) El nombre de netejadors d’un edifici i el temps que triguen a fer la feina.

c) El nombre de maons d’una paret i la seva alçària.

d) El pes de la fruita i els diners que costa.

e) La velocitat d’un corredor i la distància que recorre.

f) El nombre d’aixetes d’un dipòsit i el temps que triga a omplir-se.

1

3

3

15

6

7,5

9

5

12

3,75

15

6

7,5

3

15

12

3,75

3

15

9

5

F

F

: 2

F

F

⋅ 4⋅ 2

: 4

F

F

⋅ 3

: 3

CABAL (litres/minut)

TEMPS (minuts)

Magnituds inversament proporcionals

• Dues magnituds són inversament proporcionals quan:

– En augmentar una magnitud el doble, el triple..., l’altra disminueix el doble, el triple...

– En disminuir una magnitud la meitat, la tercera part..., l’altra augmenta la meitat, la tercera part...

• En multiplicar (o dividir) un dels valors d’una magnitud per un nombre, el valor corresponent de l’altramagnitud queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre.

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 337


Deu paletes triguen 45 dies a construir una paret. Si es vol acabar l’obra en 15 dies, quants paletes faran falta?

• Les magnituds són el nombre de paletes i els dies de feina.

• Són inversament proporcionals: si volem fer l’obra en menys temps, s’hauria d’augmentar el nombre de paletes.

Ho resolem de la manera següent:

→ 10 ⋅ 45 = x ⋅ 15 → 450 = 15x →

→ x = 30

Farien falta 30 paletes per acabar la feina en 15 dies.

450

15

15

15=

x

10 15

45x=

EXEMPLE

Completa les taules de valors següents:

a) c)

b) d)

2

5 10 20 4

60 30 25 5

1 2 4

36 12 6 4

6 3 21 7 1

7 1

8 3 1 6

3 12 4

Esbrina el nombre de paletes que farien la feina anterior si es vol acabar en 5 dies.

Un dipòsit d’aigua s’omple en 18 hores amb una aixeta de la qual surten 360 litres per minut.

a) Quant trigaria a omplir-se el dipòsit si en sortissin 270 litres per minut?

b) I si en sortíssin 630 litres per minut?

4

3

8831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 338


8

EXEMPLE

% SIGNIFICAT

L’equip va guanyar el 85 % dels partits.

85 85 de cada 100

FRACCIÓ

85

100

VALOR

0,85

0,09

ES LLEGEIX

85 per cent

9 per centEl 9 % de l’alumnat supera els 13 anys.

9 9 de cada 1009

100

Completa la taula següent.1

Expressa la fracció i el tant per cent que representa la zona acolorida.

2

%

7

0,15

4 de cada 100

a)

38

100

SIGNIFICAT FRACCIÓ VALOR ES LLEGEIX

FRACCIÓ

%

b) c)

OBJECTIU 4

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE PERCENTATGE. FER OPERACIONS I PROBLEMES

SIGNIFICAT DEL PERCENTATGE, TANT PER CENT (%)

• Fixa’t en les frases següents:

• «L’equip va guanyar aquest any el 85 % dels partits.»

• «El 9 % de l’alumnat de la classe supera els 13 anys.»

• En la vida diària s’utilitzen els nombres mitjançant expressions de percentatge.

• Expressar un tant per cent determinat (85 %, 9 %) d’una quantitat (partits, alumnes) consisteix a dividiraquesta quantitat en 100 parts i agafar, prendre, indicar, assenyalar... la xifra indicada.

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 339


Expressa els nombres en percentatges.

a) 0,16 = c) 0,03 = e) 0,625 =

b) d) f) 0,25 =7

8=

4

5=

3

Calcula el 37,5 % de 50.4

El nombre de nois del total d’alumnes de 1r ESO és el 80 % del nombre de noies. Si hi ha 30 noies, quants nois hi ha?

Fixa’t en el raonament:

Els nois són el 80 % de les noies, és a dir, el 80 % de 30.

80 % de 30 = de 30 = ⋅ 30 =80

100

80

100

5

EXEMPLE

Després de fer el descompte al preu de les sabatilles, quant va haver de pagar l’Enric?Una vegada fet el descompte, es resta a la quantitat el que valia l’article.

60 − 9 = 51 € Per tant, l’Enric va pagar 51 € per les sabatilles.

EXEMPLE

Un cas particular dels tants per cent d’una quantitat són els augments i disminucions percentuals, que consisteixen a sumar o restar, respectivament, el tant per cent a la quantitat a la qual s’aplica.

PERCENTATGE D’UNA QUANTITAT

Si recordem el concepte de fracció d’una quantitat, el tant per cent d’una quantitat es pot calcular de dues maneres:

1a Multiplicant la quantitat pel tant per cent i dividint entre 100.

2a Dividint la quantitat entre 100 i multiplicant pel tant per cent.

L’Enric ha comprat unes sabatilles a les rebaixes. Les sabatilles marcaven un preu de 60 €, però li han fet un descompte del 15 % en l’article. Quants euros li han rebaixat del preu inicial?

15 % de 60

= 9 € li han descomptat.

⋅ 15 = 0,6 ⋅ 15 = 9 = 9 € li han descomptat.60

100

( )15 60

100

900

100

⋅=�

8831073 _ 0329-0340.qxd 8/6/07 10:25 Página 340


Angles i rectes9INTRODUCCIÓ

Al nostre voltant trobem rectes i angles que influeixenen els nostres moviments: carrers, avingudes, plànols,etc.

El coneixement dels instruments de traçat i mesuralineal, així com de l’obertura i el tipus d’angles queexisteixen, permet a l’alumnat traslladar aquestsconceptes i les seves aplicacions a l’àmbit professionali personal.

És fonamental que l’alumnat aprengui a fer servir ambsoltesa els diferents instruments de mesura i hipractiqui fins que domini les construccions gràfiques.

El coneixement i l’aplicació de la mesura del temps en situacions quotidianes, i les equivalències entre les seves unitats, comporten la valoració del temps en la vida diària.

En la unitat l’alumnat aprendrà a estimar els diferentstemps respecte de la seva quantitat i duració, i aplicarla suma i la resta de temps per resoldre diferentsproblemes i situacions quotidianes.

RESUM DE LA UNITAT

• Una recta està definida per dos punts.

• Una semirecta és una recta limitada per un punt,anomenat origen.

• Un segment és la porció de recta limitada per dospunts, anomenats extrems.

• Dues rectes són secants si tenen un punt en comú.Dues rectes són paral·leles si no tenen cap punt encomú.

• Un angle és la part del pla limitada per duessemirectes amb el mateix origen. Per mesurarangles s’utilitza el transportador d’angles.

• L’escaire, el cartabó i el compàs són instruments de mesura que ens permeten trobar la mediatriud’un segment i la bisectriu d’un angle.

• La mediatriu és la recta perpendicular que divideixun segment en dues parts iguals.

• La bisectriu d’un angle és la recta que passa pelvèrtex i el divideix en dues parts iguals.

• Per mesurar el temps i els angles s’utilitza el sistemasexagesimal. Les unitats de temps són hora, minut isegon. Les unitats angulars són grau, minut i segon.

1. Comprendre els conceptes derecta, semirecta i segment.Diferenciar els tipus de rectes.

2. Comprendre el concepte de angle. Distingir els tipusd’angles.

3. Conèixer i utilitzar instrumentsde mesura per dibuixar i trobargràficament conceptes lineals.

4. Expressar la mesura del tempsmitjançant les seves unitats.

• Recta, semirecta i segment.

• Rectes paral·leles, perpendiculars i secants.

• Traçat de rectes, semirectes i segments.

• Identificació de rectes paral·leles, perpendiculars i secants.

• Concepte d’angle i característiques.

• Transportador.

• Tipus d’angles segons l’obertura i la posició.

• Identificació i comparació d’angles.

• Ús del transportador.

• Ús i característiques del regle, el compàs, l’escaire i el cartabó.

• Traçat de rectes paral·leles i perpendiculars.

• Mediatriu i bisectriu.

• Utilització dels instruments de mesura.

• Traçat i construcció de la mediatriu i la bisectriu.

• Unitats de mesura del temps: hores, minuts i segons.

• Equivalències. Suma i resta de mesures de temps.

• Identificació i aplicació de les equivalències entre les unitats de temps.

• Realització de sumes i restes amb unitats de temps.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 341

• Per un punt A passen infinites rectes.

• Dos punts delimiten una recta.

• Per representar rectes utilitzem un regle graduat en mil·límetres i centímetres.

RECTA

• Una recta és una línia contínua formada per infinits punts que no té ni principi ni fi.

• Per anomenar una recta se solen fer servir lletres minúscules.

G F

SEMIRECTA I SEGMENT

• Una semirecta és una recta que té principi (origen) però no fi.

• Un punt qualsevol d’una recta delimita dues semirectes.

El punt A és l’origen de les semirectes r i s.

• Un segment és la porció o part d’una recta delimitada per dos punts.

M i N delimiten el segment MN de la recta t.


OBJECTIU 1

SEMIRECTA I SEGMENT. DIFERENCIAR ELS TIPUS DE RECTES

G

F

G

F

G F

G

F

G

F

A

r

r

BA

Asemirecta r semirecta s

Dibuixa un punt P i traça quatre rectes que hi passin.1

Assenyala dos punts qualssevol, M i N, i traça una recta t que hi passi.2

G F

tG F

M N

9NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 342

TIPUS DE RECTES

• Rectes paral·lelesSón rectes que no es tallen mai, que no tenen cap punt en comú.

• Rectes secantsSón rectes que es tallen en un punt.

• Rectes perpendicularsSón rectes que es tallen en un punt i formen 4 angles rectes (90°).


9

r r s

s

r

r

rs

s90°

s

P

r s

P

Assenyala un punt qualsevol P i dibuixa dues semirectes, a i b, que passin per P.3

Dibuixa els segments següents:

a) AB = 3 cm b) MN = 7 cm c) FG = 10 cm

4

Defineix aquestes figures: recta, semirecta o segment.

a) c) e)

b) d) f) • •G •G F

G F• •• F

5

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 343


Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin:

a) Paral·leles horitzontalment. c) Paral·leles verticalment.

b) Secants. d) Perpendiculars.

6

Dibuixa una recta qualsevol m i traça:

a) Dues rectes perpendiculars a m. c) Dues rectes paral·leles a m.

b) Dues rectes secants a m. d) Una recta paral·lela a m i una altra de perpendicular.

8

Observa el grup de rectes següent i contesta:

a) r i t són rectes ...................................

b) r i s són rectes ...................................

c) t i s són rectes ...................................

d) r i u són rectes ...................................

e) r i v són rectes ...................................

f) u i v són rectes ...................................

g) t i u són rectes ...................................

h) t i v són rectes ...................................

i) Si allarguéssim la recta u, s i u serien rectes ...................................

7

G

F

G

F

G FG

FG

F

r

s

u

v

t

9831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 344

TRANSPORTADOR D’ANGLES• Per mesurar angles fem servir el transportador d’angles.

• És un instrument de plàstic transparent de forma semicircular, dividit en 180 parts iguals.

• Cada part correspon a una unitat de mesura d’angles: el grau (1º).

• Per mesurar angles seguim aquests passos:

ANGLE• Un angle és la regió que formen dues semirectes que tenen el mateix origen.

• En un angle distingim:

− Vèrtex O: origen de les semirectes.

− Costats A i B: cares de l’angle, semirectes.

− Amplitud: obertura de l’angle.


9

Mesura amb el transportador els angles següents:

a) b) c) d)

1

Amb l’ajuda del transportador, dibuixa aquests angles:

a) 60º b) 45º c) 150º d) 90º e) 180º

2

120°

1r Es col·loca el transportador de manera que el centrecoincideixi amb el vèrtex del’angle; i l’eix, amb un costatde l’angle traçat prèviament.

2n A continuació es busca en el transportador el valor del’angle en qüestió i es marcaun traç en el paper a prop deltransportador.

3r Finalment es treu eltransportador i s’uneix el vèrtex de l’angle amb la marca feta.

• F

F

OB

A

OBJECTIU 2

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE ANGLE. DISTINGIR ELS TIPUS D’ANGLES

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 345

TIPUS D’ANGLES SEGONS L’OBERTURA

Rectes: 90° Aguts: menys de 90° Obtusos: més de 90°

Plans: 180° (2 de rectes) Complets: 360° (4 de rectes)

TIPUS D’ANGLES SEGONS LA POSICIÓ

Complementaris: sumen 90º. Suplementaris: sumen 180º.

Consecutius: vèrtex i costat en comú. Oposats pel vèrtex: vèrtex comú.


Indica, segons l’obertura, el tipus d’angles de l’exercici 1.3

Dibuixa i indica en aquestes esferes de rellotge el tipus d’angle que formen les agulles en marcar les hores:

a) Les tres en punt.

b) Tres quarts de sis.

c) Les sis en punt.

d) Les set en punt.

e) Un quart de sis.

f) L’esfera sense agulles.

4

a) c) e)

b) d) f)

26° 116°

64°64°

90° − 64° = 26°

9831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 346


9

Indica, segons la posició, el tipus d’angles.

a) b) c) d)

5

Calcula l’obertura de l’angle que falta. Digues de quin tipus d’angles es tracta.

a) b)

6

Troba l’obertura de l’angle que falta. Digues de quin tipus d’angles es tracta.

a) b)

7

Determina l’obertura de l’angle que falta. Digues de quin tipus d’angles es tracta.

a) b)

8

32°

130°

29°

50°

40°

45°

ANGLE 35°

55°

89° 25° 45° 60°

COMPLEMENTARI

SUPLEMENTARI


Fent servir el transportador, dibuixa:

a) Un angle complet (360°). c) Dos angles consecutius de 20° i 30°.

b) Dos angles consecutius de 45°. d) Dos angles consecutius de 90°.Què hi observes? Què hi observes?

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 347

INSTRUCCIONS PER TRAÇAR RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS

Regle• Està graduat en mm i cm, i és de plàstic

transparent i de forma rectangular. S’utilitzaprincipalment per mesurar magnituds lineals.

Escaire• És una plantilla de plàstic transparent

i de forma triangular.

• És un triangle isòsceles, amb dos costatsiguals que formen un angle recte, de 90°; i els altres dos de 45°.

Compàs• És un instrument que serveix

per transportar magnituds i traçararcs i cercles. Consta de dosbraços articulats, un amb unaagulla de centrat, i un altre, méscurt, per a accessoris de pintura:mina, llapis, tinta, etc.

Cartabó• És un complement de l’escaire,

i té el mateix material i la mateixa forma.

• És un triangle escalè: té els tres costats desiguals.

• Els angles aguts són de 30°i 60°, i l’altre, de 90°.


OBJECTIU 3

INSTRUMENTS DE MESURA PER DIBUIXAR. CONCEPTES LINEALS

1r Es tracen diverses rectesparal·leles entre si.

2n Es gira l’escaire perquè l’altre catet recolzisobre el cartabó.

3r Per acabar, es tracen les rectes perpendiculars a les anteriors.

Sobre una recta vertical, s, dibuixa amb l’escaire i el cartabó quatre rectes paral·leles i quatre més de perpendiculars.

1

s

45°

45°90° 90°

30°

60°

a

a

9NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 348


9

Dibuixa dues rectes perpendiculars, m i n. Traça una recta perpendicular r a m i una altra recta sque sigui perpendicular a n. Com són entre si les rectes r i s?

2

Traça amb el compàs una circumferència de centre O (el braç amb agulla), i de radi, l’amplitud del compàs (4 cm), que pots prendre de referència amb el regle.

1r Inclina lleugerament el compàs en el sentit del traçat.

2n Subjecta amb fermesa l’agafador del compàs.

3r Gira fent pressió amb els dits polze i índex.

3

Dibuixa un segment AB de 6 cm i divideix-lo en 6 parts iguals. Assenyala a la meitat del segment el punt O. Amb el compàs fixa el braç de l’agulla en O i el radi, en el punt A, i traça l’arc corresponent.

a) En quin punt l’arc talla el segment?

b) Quin tipus d’angle s’ha format?

c) Quina obertura té?

4

m

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 349

MEDIATRIU D’UN SEGMENT

Mediatriu és la recta perpendicular a un segment que el divideix en dues parts iguals.

1r Amb centre en A, obrim el compàs una mica més de la meitat del segment i tracem un arc.

2n Es fa la mateixa operació amb el centre a B. Tots dos arcs es tallen en dos punts.

3r Amb el regle tracem la recta que passa pels dos punts. Aquesta recta és la mediatriu del segment.


Traça un segment MN de 5 cm de longitud. Dibuixa’n la mediatriu.5

Dibuixa un segment de 9 cm. Quant mesuren els segments que es formen en traçar-ne la mediatriu?

6

D’un dels extrems d’un segment a la seva mediatriu hi ha 3,5 cm. Quant mesura el segment complet?

7

1 2 3

A B B BA A

9831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 350

BISECTRIU D’UN ANGLE

Bisectriu d’un angle és la recta que passa pel vèrtex i el divideix en dues parts iguals.

1r Amb centre en el vèrtex, tracem un arc que talla en dos punts els costats de l’angle.

2n i 3r Amb centre en tots dos punts i la mateixa obertura, tracem dos arcs que es tallen en un punt.

4t Amb el regle s’uneix el vèrtex amb el punt obtingut. Aquesta recta és la bisectriu de l’angle.


9

Dibuixa un angle recte (90°), un d’agut (< 90°) i un altre d’obtús (> 90°). Traça’n les bisectrius i comprova la mesura dels angles obtinguts amb el transportador.

a) Angle recte b) Angle agut c) Angle obtús

8

Dibuixa un angle pla (180°) i traça’n la bisectriu. Què hi observes?9

2

4

1

3Bisectriu

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 351

Unitats per mesurar el temps són el mil·lenni (1.000 anys), el segle (100 anys), el lustre (5 anys), l’any, el mes,la setmana, el dia, l’hora, el minut i el segon.

• Per mesurar períodes de temps més petits que el dia utilitzem l’hora, el minut i el segon.

– 1 hora equival a 60 minuts. 1 h = 60 min

– 1 minut equival a 60 segons. 1 min = 60 s

– 1 hora equival a 3.600 segons (60 ⋅ 60). 1 h = 3.600 s

• Les hores, els minuts i els segons formen un sistema sexagesimal, perquè cada unitat és 60 vegades més gran que la unitat inferior.


OBJECTIU 4

EXPRESSAR LA MESURA DEL TEMPS MITJANÇANT LES SEVES UNITATS

hora minut segon

F

⋅ 60

F

: 60

F

⋅ 60

F

: 60

HORES MINUTS SEGONS

7

10

12

24

48

7 ⋅ 60 = 420


Expressa en segons:

a) 2 h i 30 min = c) 3 h i 10 min =

b) Dos quarts d’hora = d) 1 h i 15 min =

2

Expressa en hores:

a) 120 min = c) 420 min =

b) 240 min = d) 600 min =

4

L’horari de classes a l’institut comença a les 8.30 del matí i acaba a les 14.00. Calcula:

a) Les hores que passa l’alumnat a l’institut.

b) Els minuts que passa l’alumnat a l’institut.

3

9NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 352


9

Expressa en hores, minuts i segons:

a) 5.370 s b) 6.400 s c) 4.042 s d) 6.000 s

a) Dividim 5.370 entre 60 per passar els segons a minuts:

Dividim 89 entre 60 per obtenir els segons; el quocient és el nombre d’hores, i la resta, els minuts del resultat final.

b) c) d)

5

Un ciclista va entrenar 3 h 45 min 5 s al matí i 1 h 50 min 15 s a la tarda.

a) Quina diferència de temps hi ha entre l’entrenament del matí i el de la tarda?

b) Quant de temps va durar en total el seu entrenament?

a)

b)

6

5370

0570

0030 s

60

89 min

89

20 min5.370 s = 1 h 20 min 30 s

60

1 h

3 h 45 min 5 s

− 1 h 50 min 15 s

Com que a 45 no es pot restar 50, passem 1 hora a minuts.

3 h 45 min 5 s

− 1 h 50 min 15 s

2 h 105 min 5 s

− 1 h 50 min 15 s

1 h = 60 min

60 + 45

Com que a 10 no es pot restar 15, passem 1 minut a segons.

�

2 h 105 min 5 s

− 1 h 50 min 15 s

2 h 104 min 5 s

− 1 h 50 min 15 s

2 h 104 min 65 s

− 1 h 50 min 15 s

1 h 54 min 50 s

1 min = 60 sRestem normalment.

El ciclista va entrenar 1 h 54 min 50 s més al matí que a la tarda.

60 + 5�

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 353



a) 5 h 13 min 44 s + 1 h 30 min 25 s b) 1 h + 2 h 20 min 13 s

7

La Júlia va treballar al matí 3 hores i 15 minuts, i a la tarda, 2 hores i mitja. Quant de temps va treballar al matí més que a la tarda?

8

Un vaixell va estar aturat 18.770 segons i un altre vaixell ho va estar 13.348 segons. Quant de temps (h/min/s) va estar aturat el primer vaixell més que el segon? Resta el temps en segons i passa el resultat a h/min/s.

9

En Sergi ha fet una feina durant 1 hora, 35 minuts i 50 segons. Si tenia previst trigar 2 hores, quant de temps li ha sobrat?

10

9831073 _ 0341-0354.qxd 11/6/07 12:46 Página 354


Polígons i circumferències10INTRODUCCIÓ

Ens introduïm en l’estudi dels polígons, recordantcontinguts treballats per l’alumnat a primària i partintde l’estudi del polígon i els elements que elcaracteritzen.

L’estudi del triangle és bàsic per a la comprensió de relacions entre figures geomètriques.

Pel que fa al teorema de Pitàgores, el més importantés comprendre’l i saber-lo desenvolupararitmèticament.

A continuació s’introdueixen els quadrilàters i s’incideixen la classificació segons la posició dels costats.

Convé tenir en compte també que l’alumnat ja coneixel concepte de polígon regular.

La circumferència i el cercle són figures que l’alumnatja ha estudiat en els últims cursos de primària i que,per tant, coneix.

RESUM DE LA UNITAT

• Un polígon és la part del pla limitada per una líniapoligonal tancada.

• Segons els costats, els triangles es classifiquen en:equilàters, isòsceles i escalens. Segons els angles,els triangles es classifiquen en: rectangles,obtusangles i acutangles.

• La mitjana és la recta que uneix cada vèrtex amb elpunt mitjà del costat oposat. Es tallen en el baricentre.

• L’altura és la recta perpendicular a cada costat quepassa pel vèrtex oposat. Es tallen en l’ortocentre.

• El quadrilàter és un polígon de quatre costats.

• La circumferència és una línia corba tancada i planatots els punts de la qual estan situats a la mateixadistància del centre.

• El cercle és la figura plana formada per la circumferència i el seu interior.

1. Comprendre el concepte depolígon. Reconèixer i classificarels tipus de polígons.

2. Classificar triangles segons els seus costats i angles.Reconèixer i dibuixar les rectesi els punts d’un triangleprincipals.

3. Comprendre el teorema de Pitàgores.

4. Comprendre el concepte de quadrilàter. Reconèixer i classificar els tipus dequadrilàters.

5. Distingir entre circumferència i cercle.

6. Comprendre el concepte de polígon regular. Classificarels polígons regulars i les sevescaracterístiques.

• El polígon i els seus elements.• Classificació de polígons segons els seus costats i angles.• Identificació de polígons segons els seus elements.• Reconeixement de polígons pels seus costats i angles.

• Triangle. Tipus de triangles.• Rectes i punts d’un triangle.• Identificació de triangles segons els seus costats i angles i de les

relacions entre ells.• Determinació de rectes i punts d’un triangle.

• Triangle rectangle: nomenclatura.• Enunciat del teorema de Pitàgores.• Reconeixement dels costats d’un triangle rectangle.• Aplicació del teorema de Pitàgores.

• Concepte de quadrilàter.• Tipus de quadrilàters.• Classificació dels quadrilàters.• Identificació de quadrilàters pels seus elements i característiques.

• Circumferència i cercle.• Posicions de dues circumferències.• Reconeixement de la circumferència i el cercle.• Identificació de les posicions relatives de rectes i circumferències.

• Polígon regular, rectes i punts principals.• Suma dels angles i l’angle central d’un polígon regular.• Identificació i reconeixement dels polígons regulars.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 355

POLÍGONS• Diversos segments units entre si formen una línia poligonal.• Una línia poligonal tancada és un polígon.

ELEMENTS D’UN POLÍGON

• Un polígon s’anomena assignant lletres als vèrtexs. Per exemple, polígon ABCDE.


OBJECTIU 1

CONCEPTE DE POLÍGON. RECONÈIXER I CLASSIFICAR POLÍGONS

Línia poligonal

Els angles són les regions que formen els costats quan es tallen.

S’escriu així: E$.

Els vèrtexs són els punts on es tallen els costats. S’anomenen amb una lletra majúscula.

Les diagonals són els segments que uneixen dosvèrtexs no consecutius.

Els costats són els segments quelimiten el polígon.

La suma de les longituds delscostats s’anomena perímetre.

Polígon

Amb aquests segments, dibuixa una línia poligonal i un polígon:

a) Línia poligonal. b) Polígon.

1

Assenyala quines de les figures són polígons:

a) c) e)

b) d) f)

2

B

C

D

E

F

F

F

F

A

10NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 356

CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS

Els polígons es classifiquen segons el nombre de costats, i els principals són:

Triangle Quadrilàter Pentàgon Hexàgon

3 costats 4 costats 5 costats 6 costats

Heptàgon Octògon Enneàgon Decàgon

7 costats 8 costats 9 costats 10 costats


En els polígons següents, dibuixa aquests elements: vèrtexs, diagonals, costats i angles.Anomena’ls amb les lletres corresponents.

3

Dibuixa els polígons següents:4

TRIANGLE QUADRILÀTER PENTÀGON HEXÀGON

HEPTÀGON OCTÒGON ENNEÀGON DECÀGON

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 357

CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS

Els polígons es classifiquen també segons els seus angles.

• ConvexosTots els angles són més petits que 180°.

• CòncausTenen algun angle més gran que 180°.


Fixa’t en els senyals de trànsit. Indica quins són polígons i de quin tipus són.5

Classifica els polígons següents en còncaus o convexos:6

Indica si els polígons són còncaus o convexos. Justifica la resposta.

a) b)

7

10

LLEIDA

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 358

CLASSIFICACIÓ DE TRIANGLES

• Segons els costats:

– Equilàter: tres costats iguals.

– Isòsceles: dos costats iguals.

– Escalè: tres costats diferents.

• Segons els angles:

– Acutangle: tres angles aguts (< 90°).

– Rectangle: un angle recte (90°).

– Obtusangle: un angle obtús (> 90°).

TRIANGLE

• Un triangle és una figura plana limitada per tres segments.

– Té tres vèrtexs, A, B, C: punts d’unió dels costats.

– Té 3 costats, a, b, c: segments que el limiten.

– Té 3 angles, A$, B$, C$.


Anomena els elements principals dels triangles:

a) b) c)

1

Equilàter Isòsceles Escalè

Acutangle Rectangle Obtusangle

A

B

B$C$

A$

C

a

b

c

OBJECTIU 2

CLASSIFICAR TRIANGLES. RECONÈIXER-NE LES PRINCIPALS RECTES I PUNTS 10

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 359


Mesura amb el teu regle els costats de cada triangle i classifica’ls.

a) b) c) d)

a) Triangle: ...................... c) Triangle: ......................

b) Triangle: ...................... d) Triangle: ......................

2

Fent servir el transportador, classifica aquests triangles segons els angles:

a) b) c)

d)

a) Triangle: ...................... c) Triangle: ......................

b) Triangle: ...................... d) Triangle: ......................

3

Classifica els triangles segons els costats i els angles.4

EQUILÀTER ISÒSCELES ESCALÈ ACUTANGLE RECTANGLE OBTUSANGLE

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

Triangle 5

Triangle 6

2 6

1 4 5

3

10831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 360

RECTES I PUNTS D’UN TRIANGLE

• Mitjanes

– La mitjana d’un triangle és un segment que va des d’un vèrtex fins al punt mitjà del costat oposat.

– Un triangle té tres mitjanes, que s’encreuen en un punt anomenat baricentre.

• Altures

– L’altura d’un triangle és un segment que va des del vèrtex perpendicularment (90°) fins al costat oposat.

– Un triangle té tres altures, que s’encreuen en un punt anomenat ortocentre.


10

F

Baricentre

F

Mitjana

F Ortocentre

F

Altura

Dibuixa les mitjanes, les altures i els punts que formen quan es tallen.

Mitjanes Altures

6

En aquest triangle rectangle, dibuixa’n les mitjanes i les altures, així com els punts que formen quan es tallen. Què hi observes?

Mitjanes Altures

7

En el quadrat següent, dibuixa el segment que uneix els vèrtexs A i D (diagonal):

a) En quantes parts s’ha dividit el quadrat?

b) Quina figura s’ha format?

c) Anomena’n tots els costats i angles.

d) Indica’n el valor dels angles.

5

BA

DC

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 361

TEOREMA DE PITÀGORES

Pitàgores va enunciar l’anomenat teorema de Pitàgores, que afirma:

«En un triangle rectangle, la hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels catets».

52 = 42 + 32

a 2 = b 2 + c 2 25 = 16 + 9

25 = 25

TRIANGLE RECTANGLE

• Un triangle rectangle té un angle recte (90°).

• Els costats que formen l’angle recte s’anomenen catets, b i c.

• El costat més gran s’anomena hipotenusa, a, i és més gran que els catets.

• Exemples de triangles rectangles són l’escaire i el cartabó.


a

c

b

Dibuixa un triangle rectangle que tingui uns catets de 3 cm i 4 cm.

a) Forma’n l’angle recte amb tots dos catets i anomena’ls.

b) Mesura’n el costat més gran (hipotenusa) i anomena’l.

1

Mesura la longitud del teu escaire i del teu cartabó, i escriu en les figures els valors que obtinguis.2

a

c

b 5

3

4

OBJECTIU 3

COMPRENDRE EL TEOREMA DE PITÀGORES10NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 362


Un camp d’esports té forma rectangular i mesura 12 × 16 m.

a) Indica quins cossos es formen quan es traça la diagonal.

b) Sabries mesurar la longitud de la diagonal?

5

Els costats d’un triangle tenen les longituds següents: 6 cm, 8 cm i 10 cm. Comprova que el triangle rectangle és rectangle, gràficament i numèricament.

4

HIPOTENUSA a

5

CATET MÉS GRAN b

4

CATET MÉS PETIT c a 2 = b 2 + c 2

3

26 24 10

13 12 5

2 1 1

17 15 8

Comprova el teorema de Pitàgores en els triangles rectangles següents:3

12 m12 m

16 m

16 m

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 363

Els quadrilàters són polígons de quatre costats.

Es classifiquen en:

PARAL·LELOGRAMS: tenen els quatre costats paral·lels dos a dos.

Quadrat Rombe Rectangle Romboide

TRAPEZIS: tenen només dos costats paral·lels.

Trapezi rectangle Trapezi isòsceles Trapezi escalè

TRAPEZOIDES: no tenen costats paral·lels.


Fixa’t en la teva aula i assenyala’n quatre elements amb forma de quadrilàter. Després dibuixa’n el contorn (encara que no sigui a escala real).

a) c)

b) d)

1

4 costats i 4 anglesiguals

4 costats iguals Costats iguals 2 a 2Angles iguals

2 a 2

Angles iguals2 a 2

2 anglesrectes

Angles iguals2 a 2

Costats no paral·lelsiguals

4 costats i 4 anglesdiferents

4 angles iguals Costats iguals 2 a 2

OBJECTIU 4

CONCEPTE DE QUADRILÀTER. RECONÈIXER-NE I CLASSIFICAR-NE

F

F FF

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F F

10NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 364


Indica el nom dels quadrilàters.

a) c) e)

b) d) f)

2


SEMBLANCES DIFERÈNCIES

Un paral·lelogram i un trapezi

Un trapezi i un trapezoide

Un paral·lelogram i un trapezoide

Un paral·lelogram té els quatre costats iguals.

a) Quin tipus de paral·lelogram és?

b) Pot ser de diversos tipus?

c) Dibuixa’ls.

4

Traça les diagonals i els eixos de simetria dels paral·lelograms. Què hi observes?

a) b)

5

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 365

CIRCUMFERÈNCIA

La circumferència és una línia corba tancada i plana els punts de la qual són a la mateixa distància del centre.

CERCLEEl cercle és la figura plana formada per la circumferència i el seu interior.

RECTES DE LA CIRCUMFERÈNCIA

Centre, O : punt del qual equidisten tots els punts de la circumferència.

Radi: recta que uneix el centre de la circumferència amb qualsevolpunt d’aquesta recta.

Diàmetre: recta que passa pel centre i divideix la circumferència en dues parts (semicircumferències).

Corda: segment que toca dos punts de la circumferència.

Secant: recta que talla en dos punts la circumferència.

Tangent: recta que toca la circumferència en un punt.


tangent

diàmetre

radi

cord

a

secant

O

Amb el teu compàs, traça una circumferència de radi 4 cm i dibuixa:

a) El centre O. c) Una recta tangent t. e) Un diàmetre d.

b) Una corda AB amb el seu arc. d) Un radi r. f) Una semicircumferència.

1

En la circumferència següent indica què representen aquests elements: O, m, z, b, RS:

a) b divideix la circumferència en dues ...................

b) Si allarguéssim g, seria una recta ...................

O: .......................... m: .........................

z: ........................... b: ..........................

RS: .........................

2

z

S

R O

m

b

g

OBJECTIU 5

DISTINGIR ENTRE CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE10NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 366

POSICIONS DE DUES CIRCUMFERÈNCIES

Tenen dos punts en comú. Tenen un punt en comú. No tenen cap punt en comú.

Mateix centre Centre diferent Centre diferent i radi diferent. i cap punt en comú. i un punt en comú.


Secants Tangents Exteriors

Concèntriques Interiors Tangents interiors

Observa i classifica les circumferències segons la seva posició.

a) c) e)

b) d) f)

3

Observa els dibuixos següents i expressa cada recta i circumferència segons la seva posició i tipus:

a) b) c)

4

Dibuixa una circumferència i traça:

a) Un radi qualsevol.

b) Una recta secant que passi pel centre O.

c) En quantes parts divideix la circumferència? .................S’anomenen ..................

d) Traça una recta paral·lela a la recta secant de l’apartat a), però que sigui tangent a la circumferència.

5

t

s

v

10

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 367

RECTES I PUNTS PRINCIPALS D’UN POLÍGON

Centre: punt que equidista dels vèrtexs (mateixa distància).

Radi: segment que uneix el centre i un vèrtex.

Apotema: segment que uneix el centre amb el punt mitjà d’un costat.


OBJECTIU 6

CONCEPTE DE POLÍGON REGULAR. CLASSIFICAR POLÍGONS

Dels polígons següents, indica quins són regulars i quins irregulars:

a) c) e)

b) d) f)

1

Centre

Radi

Apotema

F

POLÍGON REGULAR

• Un polígon regular és el que té tots els costats i angles iguals.

• En cas contrari, el polígon és irregular.

Triangle equilàter Quadrat Pentàgon regular

3 costats 4 costats 5 costats

Hexàgon Octògon

6 costats 8 costats

F

10NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 368


Troba el valor de cada angle d’un hexàgon regular.3

Troba el valor de cada angle d’un octògon regular.4


POLÍGON NOM EIXOS DE SIMETRIA RADIS APOTEMES

Observa aquest pentàgon regular que té 5 costats i angles iguals:

• En fem la triangulació i obtenim tres triangles, que mesuren:

• 180° + 180° + 180° = 540°

• Com que tenen 5 costats iguals (regular):

540° : 5 = 108° mesura cada angle del pentàgon regular.

EXEMPLE

108°

10

SUMA D’ANGLES D’UN POLÍGON REGULAR

• La suma dels angles d’un triangle és 180°.

• Si un polígon té n costats, la suma de tots els angles és: 180° ⋅ (n −2).

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 369

ANGLE CENTRAL D’UN POLÍGON REGULAR

Un angle complet mesura 360°. – L’angle ombrejat té com a vèrtex el centre del polígon, i els costats passen per dos dels seus vèrtexs.

– S’anomena angle central.– El pentàgon té 5 angles centrals.

– Cada angle val: 360° : 5 = 72°.


360°

Calcula el valor de l’angle central dels polígons regulars.5

Calcula quant mesura l’angle central del polígon regular següent:6

72°

10831073 _ 0355-0370.qxd 8/6/07 10:27 Página 370


Perímetres i àrees11INTRODUCCIÓ

En aquesta unitat repassem les unitats de longitud i superfície. S’introdueixen també algunes unitats de mesura del sistema mètric anglès, com la milla, la iarda i la polzada. Es posa l’èmfasi en aquellesunitats que més es fan servir per mesurar longituds i superfícies de figures geomètriques, que ja sónconegudes per l’alumnat.

Aprendre a calcular el perímetre i l’àrea dels polígonsprincipals és un dels objectius més importantsd’aquesta unitat, atès que tots dos conceptes tenen una àmplia aplicació en la vida real.

Cal incidir en el càlcul de l’àrea del rectangle, elquadrat i el triangle. Per fer-ho cal practicar-ne lesexpressions matemàtiques amb els diferents exercicisproposats i utilitzar també la representació gràfica.

És fonamental entendre la relació entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre, el nombre π.Per fer-ho es proposen diversos exercicis basats en situacions de la vida real en què intervenen figuresplanes amb forma de circumferència, a fi quel’alumnat assimili aquests conceptes.

RESUM DE LA UNITAT

• El metre és la unitat principal de longitud (m). Per transformar una unitat de longitud en una altraes multiplica o es divideix per 10.

• Per expressar mesures i longituds de figuresgeomètriques es fan servir habitualment eldecímetre (dm) i el centímetre (cm).

• El metre quadrat és la unitat principal de superfície(m2). Per transformar una unitat de superfície enuna altra, es multiplica o es divideix per 100.

• Per expressar superfícies de figures geomètriques es fa servir principalment el decímetre quadrat(dm2) i el centímetre quadrat (cm2).

• El perímetre d’un polígon es calcula sumant leslongituds dels seus costats.

• La longitud o perímetre de la circumferència és igualal diàmetre multiplicat pel nombre π.

• L’àrea d’un polígon és la mesura de la seva superfície.

A = b ⋅ a

A = c ⋅ c

A = b ⋅ a

AP a

=⋅2

Ab a

=⋅2

AD d

=⋅2

Rectangle

Quadrat

Rombe

Romboide

Triangle

Polígon regular

1. Reconèixer les diferents unitatsde longitud i superfície. Fer canvis d’unitats.

2. Calcular perímetres depolígons. Trobar la longitud de la circumferència.

3. Calcular l’àrea dels polígonsprincipals.

• Unitats de longitud i superfície.

• Mesurament de longituds d’objectes i superfícies amb quadrícules.

• Realització de canvis en les unitats de longitud i superfície.

• Perímetre d’un polígon.

• Relació entre la longitud i el diàmetre d’una circumferència.

• El nombre π.

• Càlcul del perímetre dels polígons principals.

• Realització d’exercicis pràctics.

• Relació entre la longitud de la circumferència amb el seu diàmetre.

• Superfície d’un polígon: concepte de àrea.

• Àrees dels polígons principals.

• Càlcul de l’àrea dels paral·lelograms principals, el triangle i els polígonsregulars.

• Aplicació de la fórmula de l’àrea de les figures.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 371

UNITATS DE LONGITUD

• El metre és la unitat principal de longitud. Abreujadament s’escriu m.

• Els múltiples (unitats majors) del metre són el decàmetre, l’hectòmetre i el quilòmetre.

• Els submúltiples (unitats menors) del metre són el decímetre, el centímetre i el mil·límetre.

• Per transformar una unitat de longitud en una altra es multiplica o es divideix per 10.

• Per expressar mesures i longituds de figures geomètriques, utilitzarem principalment el decímetre (dm), el centímetre (cm) i, de vegades, el metre (m).


OBJECTIU 1

UNITATS DE LONGITUD I SUPERFÍCIE. FER CANVIS D’UNITATS

mam km hm dam m dm cm mm

F

⋅ 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

Observa a la teva aula quins elements té la silueta d’aquests polígons. Mesura’ls i anota’n el resultat.

a) b) c)

1

Fes la mateixa operació, però amb elements que tinguin forma de circumferència. Mesura amb una cinta mètrica el contorn de la figura. Expressa’n el resultat en m i en cm.

a) b)

2

Amb tres segments de mesura (30 mm, 0,5 dm i 7 cm), forma aquestes figures:

a) Un quadrat de 3 cm de costat.

b) Un triangle equilàter de 5 cm de costat.

c) Un rectangle de 7 × 3 cm.

3

11NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 372


11

La distància entre tres punts s’expressa en milles. Expressa-la en metres, quilòmetres i iardes.

AB = 6 milles = .................. metres = .................. quilòmetres = .................. iardes

BC = 7 milles = .................. metres = .................. quilòmetres = .................. iardes

AC = 9 milles = .................. metres = .................. quilòmetres = .................. iardes

4

Expressa en cm i en mm les mesures del tauler del teu pupitre. Quin tipus de polígon és? Calcula’n la mitjana de la diagonal. Expressa-la en cm i en polzades. Després dibuixa’n una figura representativa.

5

En un establiment venen televisors de 14, 21, 25 i 28 polzades. Expressa en centímetres aquestes mesures.

14 polzades = .................. cm de ..................

21 polzades = .................. cm de ..................

25 polzades = .................. cm de ..................

28 polzades = .................. cm de ..................

6

6 milles

A

BC

9 milles

7 milles

ALTRES UNITATS DE LONGITUD

• Hi ha altres unitats de longitud, com, per exemple, la milla, la iarda i la polzada (mesures angleses).

1 milla = 1.610,4 m1 iarda = 0,914 m1 polzada = 2,54 cm

• La polzada és una unitat que fem servir amb freqüència; així, quan diem que hem comprat un televisor de 25 polzades, ens estem referint a la mesura de la diagonal de la pantalla.

25 polzades = 25 ⋅ 2,54 cm = 63,5 cm és la mida de la diagonal.

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 373

MESURES DE SUPERFÍCIE

Figura APintem 6 quadrícules, que es consideren 6 unitatsquadrades. És la superfície de la figura.

Figura BPintem 10 quadrícules, que es consideren 10 unitats quadrades. És la superfície de la figura.


Agafant com a unitat de mesura una unitat quadrada, calcula la superfície de les figures.

a) d)

b)

e)

c)

7

Pintem les figures següents per obtenir 20 unitats quadrades de superfície:

a) d)

b) e)

c) f)

8

11831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 374

UNITATS DE SUPERFÍCIE

• El metre quadrat és la unitat princpial de superfície. S’escriu m2.

• Un metre quadrat és la superfície d’un quadrat d’1 m de costat.

• Els múltiples (unitats majors) del m2 són: dam2, hm2, km2.

• Els submúltiples (unitats menors) del m2 són: dm2, cm2, mm2.

• Per transformar una unitat de superfície en una altra es multiplica o es divideix per 100.

• Per expressar superfícies de figures geomètriques, utilitzarem principalment el decímetre quadrat (dm2), el centímetre quadrat (cm2) i el metre quadrat (m2).


Dibuixa un rectangle de 7 cm de llarg i 3 cm d’ample. Traça quadrícules d’1 cm de costat. Fixa’t en la figura adjunta. Quantes unitats quadrades d’1 cm conté? Expressa-ho en cm2.

9

Dibuixa un quadrat de 6 cm de costat. Traça quadrícules d’1 cm de costat. Fixa’t en la figura adjunta.Quantes unitats quadrades d’1 cm conté? Expressa-ho en cm2.

10

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

F

⋅ 100

F F F F F F

F F F F F

⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100⋅ 100

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 375


Calcula el perímetre del tauler del teu pupitre. Fes-ne un dibuix significatiu i empra l’instrument i la unitat de mesura adequats.

1

Troba el perímetre de les figures següents i fes-ne un dibuix:

a) Un triangle equilàter de 5 cm de costat.

b) Un quadrat de 5 cm de costat.

c) Un rectangle de 10 cm i 4 cm de costat.

d) Un pentàgon de 4,5 cm de costat.

2

OBJECTIU 2

CALCULAR PERÍMETRES DE POLÍGONS. LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA

Troba el perímetre d’un rectangle de costats 7 cm i 3 cm.

P = 7 cm + 3 cm + 7 cm + 3 cm = 20 cm

Calcula el perímetre d’un pentàgon regular de 3 cm de costat.

P = 3 cm ⋅ 5 = 15 cm

EXEMPLE

7 cm

7 cm

3 cm

3 cm

3 cm

PERÍMETRE D’UN POLÍGON

• El perímetre d’un polígon és la mesura del seu contorn.• Per calcular el perímetre se’n sumen tots els costats.• El perímetre és una mesura de longitud.

11NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 376


Determina el perímetre de les figures següents i fes-ne un dibuix:

a) Un romboide de 5 cm i 2,5 cm de costats.

b) Un hexàgon regular de 6 cm de costat.

c) Un decàgon regular de 3 cm de costat.

d) Un trapezi de costats 7 cm, 6 cm, 5 cm i 4 cm.

3

La banda i el fons d’un camp de futbol fan 100 m i 70 m, respectivament. Si en volem pintar la longitud, quants metres de línia blanca pintarem? Fes-ne un dibuix.

4

Un pastor vol construir un tancat per a les seves ovelles amb forma d’hexàgon regular. Si fa servir 7,2 dam de tanca, quants metres mesurarà cada costat del tancat? Fes-ne un dibuix.

5

El perímetre d’un polígon regular és de 77 cm. Si cada costat mesura 11 cm, quin tipus de polígon és? Fes-ne un dibuix.

6

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 377

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA

En els exemples anteriors també s’observa que:

• La longitud del contorn de la circumferència és una mica més gran que el triple del diàmetre: 3,14 vegades.

78,5 = 3,14 ⋅ 25 157 = 3,14 ⋅ 50 23,55 = 3,14 ⋅ 7,5

• De = π, s’obté que L = d ⋅ π.

• El diàmetre d’una circumferència és la suma de dos radis: d = 2r.• Per tant, la longitud de la circumferència és: L = d ⋅ π → L = 2 ⋅ r ⋅ π.

L

d

RELACIÓ ENTRE LA CIRCUMFERÈNCIA I EL SEU DIÀMETRE

Imagina que mesurem a classe els objectes següents:

Observem que:

• En dividir la longitud de la circumferència entre el diàmetre, s’obté sempre el mateix nombre: 3,14.

78,5 : 25 = 3,14 157 : 50 = 3,14 23,55 : 7,5 = 3,14

• 3,14 és el nombre π i es llegeix «pi».

= π = πL

dlongitud de la circumferència

diàmetre



LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA DIÀMETRE LONGITUD ENTRE EL DIÀMETRE

Paella

Cèrcol de gimnàstica

Ronda

Rotonda

55 cm

226 cm

168,5 cm

204 m

17,5 cm

72 cm

53,5 cm

65 m

Localitza objectes circulars a la teva aula. Mesura la vora de la circumferència i completa aquesta taula:8

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA DIÀMETRE LONGITUD ENTRE EL DIÀMETRE

CONTORN(Longitud de la circumferència) DIÀMETRE QUOCIENT DEL CONTORN

I EL DIÀMETRE

Rellotge 78,5 cm

157 cm

23,55 cm

25 cm

50 cm

7,5 cm

3,14

3,14

3,14

Paperera

Portallapis

11831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 378



LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA DIÀMETRE

L = d ⋅ π

15 cm

35 cm

0,25 cm

7 m


Quina és la longitud d’una circumferència de diàmetre 5 cm? Fes-ne un dibuix representatiu.

11

Calcula el radi d’una circumferència de 80 cm de longitud. Recorda que L = 2 ⋅ r ⋅ π.13

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA RADI

L = 2 ⋅ r ⋅ π

5 cm

50 cm

0,15 cm

4 m

La roda de la bicicleta d’en Lluís té un diàmetre de 44 cm.

a) Quina distància recorre la bicicleta cada vegada que la roda fa una volta?

b) I si fa tres voltes?

c) Determina quantes voltes farà la bicicleta en 10 m.

12

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 379

ÀREA DEL RECTANGLE ÀREA DEL QUADRAT

El rectangle té 35 quadrats d’1 dm2. El quadrat té 6 quadrats d’1 dm2.

• Són 7 columnes i 5 files. • Són 3 columnes i 3 files.

• Per trobar l’àrea del rectangle, se’n multiplica • Per trobar l’àrea del quadrat, se’n multiplica lala longitud de la base per la longitud de l’altura. longitud d’un costat per la longitud de l’altre costat.

A = base ⋅ altura = b ⋅ a = 7 dm ⋅ 5 dm = 35 dm2 A = costat ⋅ costat = c ⋅ c = 3 dm ⋅ 3 dm = 9 dm2


OBJECTIU 3

CALCULAR L’ÀREA DELS POLÍGONS PRINCIPALS

Calcula l’àrea de les figures, agafant com a unitat un quadrat que té 1 cm de costat.

a) c)

b) d)

1

Calcula l’àrea d’aquests rectangles i fes-ne un dibuix representatiu:

a) Base = 7 cm, altura = 3 cm b) Base = 9 cm, altura = 4 cm

2

3 dm

3 dm

BASEb = 7 dm

ALT

UR

Aa

=5

dm• La superfície de la figura són 18 unitats quadrades.

• Si cada quadrat té 1 cm de costat, podem mesurar la superfície de la figura, en aquest cas un rectangle.

• Es diu llavors que el rectangle té una àrea de 18 cm2.

EXEMPLE

CONCEPTE DE ÀREA

L’àrea d’un polígon és la mesura de la seva superfície.

11NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 380


Calcula l’àrea d’aquests quadrats i fes-ne un dibuix representatiu:

a) costat = 5 cm b) costat = 4 cm

3

Dibuixa un rectangle que tingui 24 cm2 d’àrea.4

Calcula l’àrea de les figures següents:

a)

b)

5

9 cm

12 cm

6 cm

8 cm

6 cm

2 cm

4 cm

4 cm

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 381

ÀREA DEL ROMBE ÀREA DEL ROMBOIDE

• L’àrea del rectangle és el producte de la base • Podem transformar el romboidei l’altura (D ⋅ d). El rombe ocupa la meitat en un rectangle.de la superfície del rectangle.

A = A = base ⋅ altura = b ⋅ aD d⋅

2


Troba l’àrea dels rombes següents:

a) diagonal major = 12 cm b) diagonal major = 15 cm

diagonal menor = 6 cm diagonal menor = 7 cm

6

Calcula l’àrea d’un romboide de 7 cm de base i 3 cm d’altura. Fes-ne un dibuix representatiu.7

Dibuixa un rectangle de 6 cm de base i 3 cm d’altura.

a) Troba’n l’àrea.

b) Traça les mitjanes de cada costat i dibuixa’n les diagonals.

c) Troba l’àrea del rombe.

8

b

dD

b

a

a

11831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 382

ÀREA DEL TRIANGLE

• En traçar la diagonal del romboide, aquest queda dividit en dos triangles.

• Els dos triangles ocupen la mateixa superfície.

Àrea del triangle = =

A =b a⋅

2

b a⋅2

àrea del romboide

2


Observa la figura següent:

a) Quina figura és?

b) La base mesura 7 cm i l’altura, 4 cm. Anomena-les.

c) Calcula l’àrea de la figura.

d) Traça la diagonal AD. Quines figures s’han format?

e) Troba l’àrea de les figures de l’apartat anterior.

11

Calcula l’àrea dels triangles següents:9

Determina l’àrea dels triangles següents:

a) b) c)

10

G F

G F

G

F

G

F

G F G F

b

12 cm

15 d

m

4,1

cm

5,4

cm5 dm

5,7 cm

17 dm 11 m

a

18 cm

5 dm6 m

G

G

F

G F

A

C

C D

BA

B

8,7 cm

11

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 383

ÀREA DEL POLÍGON REGULAR

Observa l’hexàgon regular següent, que té 6 costats iguals:

• L’hexàgon es descompon en 6 triangles iguals, l’altura dels quals és l’apotema.

Àrea de cada triangle

• Àrea dels 6 triangles

6 ⋅ c = perímetre de l’hexàgon (suma dels seus costats)

A =P a⋅

2

=⋅ ⋅

=⋅6

2

c a perímetre apotema

2

=⋅

=⋅

=⋅base altura

2

costat apotema

2

c a

2


Calcula l’àrea dels polígons següents:

a) àrea del triangle = 15 cm2

b) àrea del triangle = 12 cm2

12

Troba l’àrea de les figures.

a) apotema = 2,4 cm costat de l’octògon = 2 cm

b) apotema = 2,6 cm costat de l’hexàgon = 3 cm

13

l

a

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

11831073 _ 0371-0384.qxd 11/6/07 12:47 Página 384


Poliedres i cossos de revolució12INTRODUCCIÓ

Aquesta unitat completa la sèrie dedicada a la geometria i en consolida la comprensió mitjançant la descripció i el desenvolupament de les principalsfigures geomètriques en l’espai.

Així mateix, presenta l’avantatge que l’alumnat ha deconstruir els poliedres mitjançant el material didàcticcomplementari que el professor o professora els potfacilitar, com ara les figures Polydron, els dauspolièdrics, el muntatge de poliedres i Kugeli. Cal ferèmfasi en els poliedres regulars perquè l’alumnat esfamiliaritzi amb aquests cossos geomètrics i aprengui a distingir-ne els elements característics.

El desenvolupament de prismes, piràmides, cilindres i cons es fonamenta a visualitzar-los mitjançant elscossos geomètrics transparents, en els quals sen’observen els elements i la construcció del seudesenvolupament.

Per acabar, s’estudia l’esfera com a cos de revolucióque s’obté en girar un semicercle al voltant del seudiàmetre.

RESUM DE LA UNITAT

• Els poliedres són cossos geomètrics limitats per cares en forma de polígons.

• Un poliedre regular és aquell les cares del qual sónpolígons regulars de la mateixa forma i mida.

• En la majoria dels poliedres es compleix la fórmulad’Euler:

C + V = A + 2

• Els prismes són poliedres que tenen dues caresparal·leles i iguals anomenades bases i la resta de cares són paral·lelograms.

• Les piràmides són poliedres que tenen una carapoligonal, anomenada base, i la resta de cares sóntriangles que concorren en un punt.

• Quan un rectangle, un triangle i un semicercle girenal voltant del seu eix, se n’obté un cilindre, un coni una esfera, respectivament.

• El cilindre, el con i l’esfera són cossos rodons, ja queles seves superfícies laterals són corbes.

1. Reconèixer els elements d’un poliedre. Conèixer i diferenciar els principalspoliedres regulars.

2. Reconèixer i distingir elsprismes i les piràmides.

3. Distingir els cossos rodons.

• Elements d’un poliedre i el seu desenvolupament.

• Els poliedres regulars i les seves característiques.

• Identificació dels elements principals d’un poliedre.

• Construcció dels poliedres regulars i estudi de les sevescaracterístiques.

• Els prismes i les piràmides: elements, tipus, desenvolupament i característiques.

• Reconeixement dels tipus de prismes i piràmides.

• Identificació dels seus desenvolupaments.

• El cilindre i el con: elements, desenvolupament i característiques.

• L’esfera com a cos rodó.

• Descripció i identificació del desenvolupament del cilindre i el con.

OBJECTIUS CONTINGUTSP

RO

PO

STE

S P

ER

A

L’A

DA

PTA

CIÓ

CU

RR

ICU

LAR

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 385


OBJECTIU 1

ELEMENTS D’UN POLIEDRE. PRINCIPALS POLIEDRES REGULARS

CONCEPTE DE POLIEDRE

• Un poliedre és un cos geomètric les cares del qual són polígons.

• Els elements del poliedre són:

Cares: polígons que limiten el poliedre (6 en la figura adjunta).

Arestes: costats comuns a dues cares (12 en la figura adjunta).

Vèrtexs: punts on s’uneixen més de dues cares (8 en la figura adjunta).

• La superfície del poliedre es pot estendre sobre un pla, i és el que s’anomenadesenvolupament del poliedre.

F

F F

CARES ARESTES VÈRTEXS

Indica en els poliedres següents el nombre de cares, arestes i vèrtexs:1

En aquests poliedres, marca’n els vèrtexs amb un punt vermell, i les arestes, amb blau:

a) b) c)

2

Vèrtex

Cara

Aresta

12NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 386

POLIEDRES REGULARS

• Els poliedres regulars són aquells poliedres les cares dels quals són polígons regulars (cares i angles iguals).

• Només hi ha 5 poliedres regulars:


12

Fixa’t en el poliedre següent i completa:

Els vèrtexs són: A, B, .........................................................

Les arestes són: AB, BC, ......................................................

Les cares són: ABCD, ..........................................................

3

Un dau de parxís és un poliedre. Quina de les figures següents en seria el desenvolupament?4

Observa el poliedre següent. El seu desenvolupament està incomplet. Dibuixa’n les parts que falten.5

POLIEDRE

Tetraedre

NRE. DE CARES

4

TIPUS DE CARES

Triangles equilàters

Hexaedre o cub 6 Quadrats

Octaedre 8 Triangles equilàters

Dodecaedre 12 Pentàgons regulars

Icosaedre 20 Triangles equilàters

A B

D C

F G

E H

Tetraedre Octaedre Icosaedre Hexaedre o cub

Dodecaedre

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 387


Fixa’t en les figures següents. Escriu el nom del poliedre regular que representa cadascuna.6

Escriu el nom del poliedre corresponent.

a) El .......................... té 4 cares, que són ..........................

b) El .......................... té 6 cares, que són ..........................

c) El .......................... té 8 cares, que són ..........................

d) El .......................... té 12 cares, que són ..........................

e) El .......................... té 20 cares, que són ..........................

7

Contesta les preguntes:

a) Com són les arestes d’un poliedre regular?

b) Quantes arestes s’uneixen en el vèrtex d’un poliedre regular?

9

Indica si són veritables o falses (V o F) les afirmacions següents:

a) En qualsevol poliedre, les seves cares són iguals.

b) El nombre mínim de cares que ha de tenir un poliedre regular són quatre.

c) En cada vèrtex d’un poliedre regular concorre sempre el mateix nombre d’arestes.

d) Les cares d’un poliedre regular són iguals.

10


POLIEDRE CARES VÈRTEXS ARESTES CARES + VÈRTEXS ARESTES + 2

Tetraedre 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8

Hexaedre

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

................... ................... ................... ................... ...................

12831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 388


Calca, retalla i construeix el poliedre. Indica’n el nom i compta’n les cares, els vèrtexs i les arestes.

11

NOM DEL POLIEDRE CARES VÈRTEXS ARESTES



Calca, retalla i construeix el poliedre següent. Indica’n el nom i compta’n les cares, els vèrtexs i les arestes.

12

Calca, retalla i construeix el poliedre següent. Indica’n el nom i compta’n les cares, els vèrtexs i les arestes.

13

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 389

CONCEPTE DE PRISMA

• Un prisma és un poliedre format per dues bases iguals i les cares laterals del qual són paral·lelograms.

Elements del prisma Desenvolupament del prisma

TIPUS DE PRISMES

• Els prismes s’anomenen segons el nombre de costats de les seves bases.

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal


OBJECTIU 2

RECONÈIXER I DISTINGIR ELS PRINCIPALS PRISMES I PIRÀMIDES

Les dues basessón iguals i paral·leles entre si.

Vèrtex

Les cares lateralssón paral·lelograms

Base

Cares laterals

BaseArestaBase amb formapentagonal

Quins dels poliedres següents són prismes?:1

Fixa’t en el prisma següent:

a) Anomena’l.

b) Indica’n els elements principals.

c) Dibuixa’n el desenvolupament.

2

AB C D E

F

F

F F

F

FF

F

F

F

12NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 390


Fixa’t en el prisma següent:

a) Anomena’l.



3

Fixa’t en el següent desenvolupament d’un prisma:

a) Correspon a un prisma ..........................

b) Té .................. bases, que són ..........................

c) Té .................. cares laterals, que són ..........................

6

Observa els prismes i completa la taula.4

NOM DEL POLIEDRE

POLÍGONS DE LES BASES

NOMBRE DE CARES

NOMBRE DE VÈRTEXS

NOMBRE D’ARESTES

NOM DEL POLIEDRE

POLÍGONS DE LES BASES

NOMBRE DE CARES

NOMBRE DE VÈRTEXS

NOMBRE D’ARESTES

Observa els prismes i completa la taula.5

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 391

CONCEPTE DE PIRÀMIDE

• Una piràmide és un poliedre que està format per una base, la qual pot ser qualsevol polígon, i les cares laterals del qual són triangles.

Elements de la piràmide Desenvolupament de la piràmide

TIPUS DE PIRÀMIDES

• Les piràmides s’anomenen segons el nombre de costats de la seva base.

Piràmide triangular Piràmide quadrangular Piràmide pentagonal Piràmide hexagonal

Calca aquest desenvolupament i forma el poliedre corresponent. Pots ampliar-lo perquè el dibuix sigui més clar.

a) Quin és el nom del poliedre?

.........................................................................

b) La seva base és:

.........................................................................

c) Les seves cares laterals són:

.........................................................................

7


Fixa’t en la piràmide següent:

a) Anomena-la.



8

Les careslaterals són triangles.

La cúspideés el vèrtex on s’uneixen les careslaterals.

Base

Cares laterals

Vèrtex

Base amb formahexagonal

F

F

F

F

F

F

F

F

12831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 392


Fixa’t en la piràmide següent:

a) Anomena-la.



9

Observa les piràmides i completa la taula.10

NOM DE LA PIRÀMIDE

POLÍGON DE LA BASE

NOMBRE DE CARES

NOMBRE DE VÈRTEXS

NOMBRE D’ARESTES

Relaciona cada una de les piràmides de l’exercici anterior amb aquests desenvolupaments:

a) b)

11

Calca i amplia, si cal, els desenvolupaments següents. Quin poliedre has obtingut?

a) b)

12

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 393

COSSOS RODONS

Els cossos rodons són aquells que tenen les superfícies laterals corbes.

Cilindre Con– Dues bases iguals que són cercles. – Una base que és un cercle.

– Una superfície lateral corba. – Una superfície lateral corba.

– S’obté en girar un rectangle sobre un eix. – S’obté en girar un triangle sobre un eix.

Desenvolupament d’un cilindre Desenvolupament d’un con


OBJECTIU 3

DISTINGIR ELS COSSOS RODONS

Eix de gir Base

Base

Superfície lateral Superfície lateral

Base

Base

Base

Superfície lateral

Superfície lateral

Base

Eix de gir

Anomena dos objectes del teu entorn que tinguin forma de cilindre i dos més que tinguin forma de con.1

Escriu els elements principals del cilindre i del con.2

Indica quins dels desenvolupaments corresponen a un cilindre i quins a un con.3

a) b) c) d)

F

F

F F

FF

F

FF

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

12NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 394


Associa cada figura de gir amb l’objecte que s’origina.4

Calcula i amplia, si cal, el desenvolupament per construir el cos rodó que es forma.

a) Dibuixa les bases de color blau.

b) Dibuixa la superfície lateral de color vermell.

5

Calca i amplia, si cal, aquest desenvolupament per construir el cos rodó que es forma.

a) Dibuixa la base de color blau.

b) Dibuixa la superfície lateral de color vermell.

6

12

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 395

ESFERA

• L’esfera és un cos rodó que no té cares i està format per una única superfície corba. No té desenvolupament, com en el cas del cilindre i el con.

• S’obté en girar un semicercle sobre un eix, que és el diàmetre de l’esfera.


Radi

Centre

Circumferènciamàxima

Radi Superfície corba

Centre

Diàmetre

Circumferènciamàxima

A partir d’una circumferència de 3 cm de radi, dibuixa una esfera i indica’n els elements principals.7

Eix de gir

F

F

F

FF

F

F

F

FF

F

12831073 _ 0385-0396.qxd 8/6/07 10:31 Página 396


Funcions i gràfiques13INTRODUCCIÓ

En aquest curs ja s’ha tractat la relació entre duesmagnituds. Partint dels continguts que ja s’hanestudiat, en aquesta unitat plantegem com a objectiuprincipal introduir l’alumnat en els conceptes gràficsde les expressions algebraiques, les funcions, com aprimer pas cap a l’estudi del llenguatge de lainformació i l’expressió visual.

És important que l’alumnat s’esforci a assimilar la nomenclatura que s’utilitza al llarg de la unitat: eix, taula de valors, coordenades, abscissa, variable,funció, etc. Tots aquests termes s’apliquen en situacions quotidianes quan es vol expressar la relació entre dues magnituds.

També és important que l’alumnat utilitzi correctamentels símbols, el traçat de línies i les representacionsgràfiques en el pla. Algunes activitats representen el sistema d’eixos per facilitar la resolució d’exercicis,però algunes vegades l’alumnat ha d’elaborar lestaules i traçar els eixos cartesians on representarà elsparells de valors.

Pot ser molt útil l’ús de transparències i vídeos sobrefuncions i gràfiques perquè s’entenguin més bé els conceptes que es tracten al llarg de la unitat.

RESUM DE LA UNITAT

• Per representar punts en el pla s’utilitza un sistemade coordenades, format per dues rectesperpendiculars entre si, anomenades eixos de coordenades.

• L’origen de coordenades és el punt de tall de les rectes.

• L’eix d’abscisses és la recta horitzontal i es representa per OX o X.

• L’eix d’ordenades és la recta vertical i es representaper OY o Y.

• Cada punt es representa per un parell ordenat de nombres (a, b), anomenats coordenades, en quèa és l’abscissa i b, l’ordenada.

• Una taula representa, mitjançant parells de valors, la relació entre dues magnituds. Les taules es podendibuixar de forma horitzontal o vertical.

• Una gràfica és la representació en el pla cartesiàdels parells de valors d’una taula o relació.

• Una funció és una relació entre dues magnitudsvariables, de manera que a cada valor de la variable independent li correspon un valor únic de la variable dependent.

• En una funció cal:

Determinar les magnituds que es relacionen i lesunitats en què es mesuren aquestes magnituds.

– Identificar la variable independent.– Identificar la variable dependent. – Determinar la relació entre totes dues variables.

1. Representar i localitzar puntsen l’eix de coordenades.

2. Relacionar i interpretar taules i parells de valors ordenats.

3. Interpretar gràfiques.Reconèixer i comprendre la idea de funció.

• Coordenades en el pla.

• Característiques dels eixos de coordenades.

• Representació de punts en la recta i en el pla.

• Identificació de punts a partir de les seves coordenades.

• Taula de valors.

• Relacions en el pla.

• Formació de taules de valors.

• Representació en el pla de parells de valors ordenats.

• Variable independent i dependent.

• Expressió algebraica i gràfica.

• La funció i la seva interpretació.

• Identificació de la variable independent i dependent.

• Interpretació gràfica d’una expressió algebraica.

• Elaboració de gràfics de funcions.


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 397

REPRESENTACIÓ DE PUNTS EN LA RECTA

1r Dibuixem una recta.

2n Hi assenyalem l’origen 0, que correspon al valor zero.

3r Dividim la recta en segments iguals (unitats), a la dreta i a l’esquerra del zero.

4t A la dreta de l’origen hi col·loquem els nombres enters positius.

5è A l’esquerra de l’origen hi col·loquem els nombres enters negatius.

Observa en la recta que els nombres estiguin ordenats:


OBJECTIU 1

REPRESENTAR I LOCALITZAR PUNTS EN L’EIX DE COORDENADES

−7 −6 −5


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7… …

Representa en una recta els nombres enters següents: +5, −4, +8, 0, −1, −3, +6, +4, −6.1

Representa en una recta els nombres oposats de l’exercici anterior.2

Donats els nombres −3, +5, −1, +4, +8, −7, +2, −6, −9, +10:

a) Ordena’ls de més petit a més gran.

b) Representa’ls en la recta numèrica.

c) Quin és el més allunyat de l’origen?

d) I quin és el més proper?

3

FF

13NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0397-0410.qxd 21/6/07 12:28 Página 398

COORDENADES EN EL PLA

• Si encreuem dues rectes numèriques (en què estan col·locats els nombres enters) es forma un pla on sesituen sèries de punts.

• Les rectes s’encreuen perpendicularment, és a dir, formant 90º, un angle recte:

– Recta x: anomenada també eix d’abscisses i horitzontal.

– Recta y: anomenada també eix d’ordenades o vertical.

• El punt en què s’encreuen les rectes s’anomena origen i és el valor zero.

• Cada punt en el pla té dues referències numèriques anomenades coordenades:

�Es formen 4 zones o quadrants, els punts dels quals tenen les coordenades que s’indiquen en l’esquema següent:

Exemple: A (+3, +2)El primer nombre correspon a l’eix X.El segon nombre correspon a l’eix Y.


−1 +1

+1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6

+7 Y

X0

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7 −1 +1

+1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6

+7 Y

X0

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5

Segon quadrant(−, +)

Primer quadrant(+, +)

A (+3, +2)

B (+4, −3)

C (−5, −2)

D (−7, +1)

Tercer quadrant(−, −) Quart quadrant

(+, −)

−6−7

Indica en quin quadrant del pla estan situats els punts de coordenades següents:4

PRIMER QUADRANT

(−3, −4)

(5, 2)

(−1, 7)

(2, −2)

(−1, −4)

(−2, 5)

(3, −3)

SEGON QUADRANT TERCER QUADRANT QUART QUADRANT

13

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 21/6/07 12:28 Página 399


Donats els punts AA (4, −1), BB (3, 4), CC (−3, 2), DD (−2, −3):

a) Determina el quadrant en què es troba cada un.

b) Representa’ls en el pla.

c) Uneix els punts per ordre alfabètic i, finalment, uneix el punt D amb A. Quina figura obtens?

5

Escriu les coordenades dels punts indicats en el sistema d’eixos següent:

Punt A:

Punt B:

Punt C:

Punt D:

Punt E:

Punt F:

Punt G:

Punt H:

6

YY

XXO

C

D

EB

A

H

G

F

13831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 400


OBJECTIU 2

RELACIONAR I INTERPRETAR TAULES I PARELLS DE VALORS ORDENATS

Escriu els parells de valors següents en una taula horitzontal i en una altra de vertical:

(4, 6), (2, 0), (1, 9), (5, 5), (0, 1), (9, 4)

1

Forma els parells de valors que corresponen a les taules adjuntes.

a) c)

b) d)

(0, 3), (2, 2)…

2

0 3

2 2

−3 8

5

4

6

−1

8 4 0 −1 3 5

3 2 1 0 −3 2

7 5 −6 3 2 −2

2 −9 1 −7 1 −5

1 3

5 1

2 −2

8

−1

4

−6

(8, 3), (4, 2)…

Els parells de valors (2, 3), (−4, 6), (1, 0), (3, −5) poden representar-se en aquests formats de taules:

Taula vertical Taula horitzontal

EXEMPLE

2 3

−4 6

1 0

3 −5

2

3−46

1

0

3

−5

TAULES DE VALORS

• Podem expressar valors de nombres en forma de parells.

• Aquests parells es col·loquen ordenadament en una taula.

• Les taules de valors poden ser de format horitzontal o vertical.

– La primera fila o columna correspon al primer valor del parell.

– La segona fila o columna correspon al segon valor.

13

NOM: CURS: DATA:

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 401

RELACIÓ TAULA DE VALORS-PUNTS DEL PLA

• Cada parell de valors d’una taula representa un punt del pla, i viceversa.

• A cada punt del pla li correspon un parell de valors ordenats d’una taula.

– La primera fila o columna correspon al valor numèric de l’eix horitzontal, X.

– La segona fila o columna correspon al valor numèric de l’eix vertical, Y.


Representa en un sistema d’eixos els parells de valors següents. Forma primer la taula corresponent: (2, 4), (−1, −2), (−5, 1), (3, 3), (6, 2), (−4, −3).

3

Forma la taula i representa els parells de valors següents:(2, 3), (4, 6), (−1, −3), (−3, 5), (3, −5)

EXEMPLE

VALOR DE L’EIX XX VALOR DE L’EIX YY

2 3

4 6

−1 −3

−3 5

3 −5

+1

+1

−2

−1

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+6

+7 YY

XX0

+2 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7

(2, 3)

(−3, 5)

(−1, −3)

(3, −5)

(4, 6)

13831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 402


VALOR DE L’EIX XX

VALOR DE L’EIX YY

−1 −2 3 6 2 4

3 −2 5 −1 4 0

Forma una taula de valors ordenats que corresponguin als punts d’aquest sistema d’eixos:5

Representa en un sistema d’eixos els parells de valors de la taula següent:4

−1−1

+1

+1

−2−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6+7 YY

XX0

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7

13

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 403

En un menjador escolar cada alumne o alumna es menja dues croquetes.

• Tenim dues magnituds:

– Nombre d’alumnes: 1, 2, 3, 4, 5...

– Nombre de croquetes, que comptem de dues en dues: 2, 4, 6, 8, 10...

• Podem formar una taula que relaciona totes dues magnituds:


Una entrada de cinema costa 5 €. Quant costaran 2, 4, 6, 8 i 10 entrades?

a) Forma la taula de valors.

b) Representa els parells de valors en un sistema d’eixos.

7

NOMBRE D’ALUMNES

NOMBRE DE CROQUETES

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

6

12

…

…

Completa la representació dels parells de valors de l’exemple anterior en el sistema d’eixos.

En l’eix X es representen els valors del nombre d’alumnes.

En l’eix Y es representen els valors del nombre de croquetes.

6

ALUMNES

CROQUETES

1 2 3 4 5 6 …

2 4 6 8 10 12 …

YY

13121110987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

XX

Alumnes

Cro

quet

es

EXEMPLE

RELACIÓ DE MAGNITUDS MITJANÇANT UNA TAULA

Per relacionar magnituds mitjançant una taula cal recordar els conceptes relatius a la proporcionalitat numèrica, que l’alumnat ja ha estudiat.

13831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 404


La temperatura (en °C) durant una setmana del mes d’agost queda representada en el sistema d’eixos.

a) Quines són les dues magnituds?

b) Forma una taula de valors.

c) Quins dies van tenir la temperatura més alta de la setmana?

d) I la temperatura més baixa?

8 YY40

35

30

25

20

15

10

5

L M X J V S D0

XX

Una tortuga avança 10 cm cada minut.

a) Quines són les dues magnituds?

b) Forma la taula de valors per als 5 primers minuts i pren els valors de la distància de 10 en 10.

9

Els llocs de classificació d’un equip de futbol han estat, durant les 10 primeres jornades de lliga:

a) Representa els parells de valors en un sistema d’eixos mitjançant punts:

Jornada: eix horitzontal, X.Classificació: eix vertical, Y.

b) Uneix els punts obtinguts mitjançant línies contínues.

c) En quina jornada va ocupar el primer lloc?

d) En quina jornada va obtenir la pitjor classificació?

e) Quantes jornades van transcórrer des de la pitjor classificació fins a la millor?

10

JORNADA

CLASSIFICACIÓ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 5 8 7 7 5 3 2 1 5

13

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 405

VARIABLES I GRÀFIQUES

• Les taules de valors relacionen dues magnituds.

• Les magnituds s’anomenen variables perquè prenen valors diferents, és a dir, varien.

• En cada parell de valors, el segon valor depèn del primer.

– a, c, e són variables independents; es fixen prèviament i s’anomenen amb la lletra xx.

– b, d, f són variables dependents; depenen del valor de x i s’anomenen amb la lletra yy.

• Si traslladem els valors a un sistema d’eixos i n’unim els punts, obtenim una gràfica.

– Variable independent x, en l’eix d’abscisses o horitzontal.

– Variable dependent y, en l’eix d’ordenades o vertical.


OBJECTIU 3

INTERPRETAR GRÀFIQUES. RECONÈIXER I COMPRENDRE LA IDEA DE FUNCIÓ

Respecte a l’exemple anterior del cangur:

a) Representa els parells de valors en un sistema d’eixos.

b) Uneix els punts. Què obtens?

1

xx yy

a

c

e

b

d

f

En un mercat, 2 kg de peres costen 1,50 €. Quant costaran 4, 6, 8 i 10 kg de peres, respectivament?

a) Forma la taula de valors amb les magnituds corresponents.

b) Indica-hi la variable independent i la dependent.

c) Representa els valors en un sistema d’eixos i traça’n la gràfica.

2

Un cangur avança 3 m en cada salt que fa.

a) Magnituds: salts i distància.

b) Variable independent: nombre de salts (es fixen prèviament).

c) Variable dependent: distància en metres (depèn del nombre de salts).

EXEMPLE

VARIABLE INDEPENDENT (xx )NOMBRE DE SALTS

VARIABLE DEPENDENT ( yy )DISTÀNCIA (en metres)

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

YY

O XX

YY

O XX

13NOM: CURS: DATA:

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 406


Respecte a l’exercici anterior, respon les preguntes següents:

a) Quin va ser el mes amb la temperatura mitjana més baixa? c) Què observes de gener a maig?

b) I el mes amb la temperatura més alta? d) I d’agost a desembre?

4

YY

0

5

Gener Febr. Març Abril Maig Juny Juliol Agost Set. Oct. Nov. Des.

10

15

20

25

30

35

Tem

pera

tura

Mesos de l’any

40

XX

La temperatura mitjana (en °C) enregistrada durant l’any 2001 en un lloc queda determinada per la taula de valors següent:

a) Representa els valors en el gràfic.

b) Indica-hi la variable independent i la dependent.

c) Representa els valors en un sistema d’eixos i traça la gràfica corresponent unint els punts.

3

MES

TEMPERATURA

E F M A M J J A S O N D

5 10 15 20 25 25 35 35 25 11 10 0

Interpreta la funció yy = 2xx + 1.

– És una expressió algebraica que relaciona dues magnituds.

– Per a cada valor de x obtenim un únic valor de y.

– Cada vegada que introduïm un valor de x, la funció y = 2x + 1 li fa correspondre un valor de y, que s’obtindrà multiplicant x per 2 i sumant-hi 1.

EXEMPLE

IDEA DE FUNCIÓ

• La relació entre dues magnituds es pot escriure mitjançant una expressió algebraica, és a dir, combinant lletres, nombres i signes aritmètics.

• Aquesta relació s’anomena funció.

– Expressa el valor de y depenent de x.

– A cada valor de la variable independent correspon un únic valor de la variable dependent.

• Una funció fa correspondre a un valor x un altre valor de y.

Se sol escriure: y = expressió algebraica amb x.

13

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 407


Troba la taula de valors de la funció yy = 2xx + 1.5

y = 2x + 1

xx

yy

Per a x = 0 Per a x = 1 Per a x = 2 Per a x = 3

y = 2 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1 y = 2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3 y = 2 ⋅ 2 + 1 = 4 + 1 = 5

Abreujadament s’expressa:

xx

yy

0

1

1

3

2

5

3 4 5

��

També hi poden haver valors negatius:

xx

yy

Per a x = −1 Per a x = −2 Per a x = −3

y = 2 ⋅ (−1) + 1 = −2 + 1 = −1

Troba la taula de valors de cada una de les funcions.

a) y = x + 1 c) y = x − 1 e) y = 2x − 1

x = 0 x = −2 x = 1

y = 0 + 1 = 1 y = −2 − 1 = −3 y = 2 ⋅ 1 − 1 = 1

b) y = 3x d) y = 1 − x f) y = 2x + 2

6

xx yy

0

1

−1

2

−2

1

xx yy

−2 −3

xx yy

1 1

xx yy

0

1

−1

2

−2

xx yy xx yy

13831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 408


13

Troba la taula de valors i representa en un sistema d’eixos.

a) y = x + 2

7

xx yy

0

1

−1

2

−2

b) y = 2x + 3

xx yy

−1 +1

+1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6

+7 YY

XX

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7

c) y = 2x

xx yy

−1 +1

+1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6

+7 YY

XX

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7

−1 +1

+1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

+2

+3

+4

+5

+6

+7 YY

XX

+2 +3 +4 +5 +6 +7−2−3−4−5−6−7

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 409

En un mercat, el preu del quilo de préssecs és 1,50 €.

a) Expressa totes dues magnituds mitjançant l’expressió algebraica d’una funció.

b) Forma la taula de valors donant quatre valors a la variable independent.

c) Representa la funció en un sistema d’eixos.

d) Enumera les característiques de la funció.

9


Representa gràficament la funció anterior i respon:

a) Quantes croquetes es mengen 6 alumnes?

b) 14 croquetes corresponen a ............... alumnes.

20 croquetes corresponen a ............... alumnes.

c) Observa aquesta relació en la representació gràfica.

Quan s’augmenta el nombre d’alumnes, ............... el nombre de croquetes.

Analitza quan la gràfica creix i decreix.

8

En un menjador escolar cada alumne o alumna es menja dues croquetes.

1r Determinem les magnituds: alumnes i croquetes.

2n Relacionem les magnituds entre si: el nombre de croquetes que s’han menjat depèn del nombre d’alum-nes.

3r Es forma la taula de valors.

4t Observem que a cada valor de x li correspon un altre valor de y, que correspon al seu doble. Per tant, podem expressar aquesta relació mitjançant la funció y = 2x.

EXEMPLE

ALUMNES (xx )

CROQUETES ( yy )

1 2 3 4 5 6 7 …

2 4 6 8 10 12 14 …

13831073 _ 0397-0410.qxd 8/6/07 10:31 Página 410


PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

Estadística i probabilitat14INTRODUCCIÓ

En aquesta unitat s’estudien els conceptes méssenzills de l’estadística i s’ofereix una breu introduccióa la probabilitat.

Amb les tècniques de recompte, l’elaboració de taulesde freqüències i la posterior representació gràfica d’un conjunt de dades, l’alumnat aprèn fàcilment elsconceptes bàsics. L’alumnat ha d’aportar les sevespròpies dades com l’edat, l’alçada, el pes, etc., perestudiar diferents variables estadístiques.

La probabilitat s’utilitza en moltes disciplines unides a l’estadística: predicció de riscos en assegurances,estudis sobre la qualitat de processos industrials, etc.

Les possibles dificultats de la unitat són més de tipusconceptual que de procediments, ja que els càlculsnumèrics i les tècniques que s’utilitzen són moltsenzills.

S’ha d’incidir en la comprensió i l’aplicació corredesdels conceptes clau de la unitat: paràmetres decentralització, experiment aleatori i determinista, espaimostral, esdeveniments, tipus de freqüències,probabilitat i regla de Laplace.

La resolució dels exercicis permetrà a l’alumnatassimilar els diferents conceptes. S’insisteixespecialment en el càlcul de la probabilitat d’un esdeveniment i en l’aplicació de la regla de Laplace en contextos d’equiprobabilitat.

Caldrà explicar les semblances entre les propietats deles freqüències i de la probabilitat, i mostrar-ne lautilitat per resoldre problemes o comprovar si lessolucions són correctes.

RESUM DE LA UNITAT

• Població: conjunt format per tots els elementsd’estudi (individus).

• Variable estadística: característica que s’estudia dela població o de la mostra. Segons la característicaserà quantitativa o qualitativa.

• Mitjana aritmètica: es calcula dividint la suma de totes les dades entre el nombre total de dades.Es representa amb el símbol x .

• Experiment aleatori: repetit en igualtat de condicions, no se’n coneix el resultat.

• Esdeveniment elemental: cadascun dels resultatspossibles d’un experiment aleatori.

• Un esdeveniment està format per diversosesdeveniments elementals. Esdeveniment segur: es verifica sempre. Esdeveniment impossible: no es verifica mai.

• Freqüència absoluta (fi): nombre de vegades queapareix l’esdeveniment quan es repeteixl’experiment aleatori n vegades.

• Probabilitat d’un esdeveniment: nombre cap al quals’aproxima la freqüència relativa a mesura queaugmenta el nombre de repeticions d’un mateixexperiment.

• Moda: és el valor de la variable que té la freqüènciaabsoluta més gran. Es representa amb Mo.

• Mediana: és el valor central del conjunt de dadesordenades. Es representa amb Me.

• Regla de Laplace:

P(esdeveniment)nre. casos favorables

nre. c=

aasos possibles

1. Distingir, calcular i representar la freqüènciaabsoluta i relativa d’un esdeveniment.

2. Determinar la mitjana aritmètica, la moda i la mediana d’un conjunt de dades fent servir les freqüències absolutes.

3. Identificar els diferents esdeveniments: elemental,segur i impossible.

4. Calcular la probabilitat d’un esdeveniment.

• Freqüència absoluta (fi).• Freqüència relativa (hi).

• Taules i freqüències.

• Representació gràfica.

• Obtenció de les freqüències absolutes i relatives.

• Mitjana aritmètica.

• Mediana.

• Moda.

• Càlcul dels diferents paràmetres de centralitzaciód’un conjunt d’esdeveniments.


831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 411

412

NOM: CURS: DATA:


xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fi 2

hi

L’edat d’un grup de 15 amics és la següent: 12, 13, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 11, 13, 12, 13, 12, 14, 12. Elabora una taula amb aquestes dades, calcula les freqüències i representa-les gràficament.

Fem un recompte de les dades i les posem en una taula.

EXEMPLE

• La freqüència absoluta (fi) d’un esdeveniment és el nombre de vegades que es repeteix l’esdeveniment.

• La freqüència relativa (hi) d’un esdeveniment és el quocient entre la seva freqüència absoluta i el nombrede vegades que s’ha repetit l’experiment:

• Les diferents distribucions de freqüències es poden representar gràficament. Les representacions mésutilitzades són els diagrames de barres i els de sectors.

hfn

ii=

Les puntuacions obtingudes per un grup d’alumnes en un examen de matemàtiques han estat les següents: 3, 5, 7, 8, 9, 7, 6, 1, 4, 6, 5, 4, 3, 8, 7, 6, 5, 4, 8, 1. Organitza totes aquestes dades en una taula i calcula les freqüències absolutes i relatives. Representa els resultats en un diagrama de barres i en un de sectors.

1

xi 11 12 13 14 ∑

fi 2 7 5 1 15

hi 12

15

7

15

5

15

1

15

11 12 13 14

amics de 13 anys

5

15

amics de 14 anys

1

15

amics de 11 anys

2

15

amics de 12 anys

7

15

76543210

Edats

Nom

bre

d’am

ics

OBJECTIU 1

FREQÜÈNCIA ABSOLUTA I RELATIVA. GRÀFICS14831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 412

413

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R


5 10 15 20 25 30 35

211815129630

OBJECTIU 2

CÀLCUL DE LA MITJANA ARITMÈTICA, LA MODA I LA MEDIANA 14

Calcula la mitjana aritmètica, la moda i la mediana.

a) La mitjana aritmètica:

b) És el valor que té la freqüència absoluta més gran.

Mo = 8

c) Ordena les dades. Com que són 27 dades, això vol dir que hem de trobar el punt mitjà, és a dir, la dadaque ocupa el lloc 14è.

Per tant, Me = 6

6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10144444424444443

13 dades

62, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6144444424444443

13 dades

xf x

f

i i

i

= =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+∑∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 4 4 6 7 8 9 10 2

5 44 7 6 5

160

27+ + += = 5,93

EXEMPLE

• La mitjana aritmètica d’un conjunt de dades és el valor mitjà que les representa. Es calcula dividint la suma de totes les dades entre el nombre total. La representem amb x .

• La moda d’un conjunt de dades és el valor que es repeteix més vegades; per tant, és la dada que té la freqüència absoluta més gran. La representem amb Mo.

• La mediana d’un conjunt de dades ordenades n’és el valor central. La representem amb Me.

Fixa’t en el diagrama de barres següent. Calcula els paràmetres de centralització.1

A l’oficina d’atenció ciutadana (OAC) d’un municipi han fet una enquesta a 25 persones de les edats següents: 21, 23, 45, 34, 55, 66, 73, 42, 29, 32, 33, 54, 25, 80, 42, 37, 18, 19, 51, 28, 47, 52, 63, 75 i 38.

Calcula l’edat mitjana, la moda i la mediana de les persones que han participat en l’enquesta.

2

NOM: CURS: DATA:

xi 2 4 6 8 10

fi 5 4 7 9 2

831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 413

414

Tenim una baralla de cartes espanyola. Fem l’experiment de treure una carta. Escriu els esdeveniments elementals.

a) Treure oros.

b) Treure un 5.

c) Treure una figura.

d) Treure bastos.

1

Tenim vuit cartes numerades de l’1 al 8. Fem l’experiment aleatori de treure una carta. Escriu els esdeveniments elementals.

a) Obtenir un nombre parell.

b) Obtenir un múltiple de 3.

c) Obtenir un nombre més gran que 4.

2

Dels experiments següents, indica quins esdeveniments són segurs i quins són impossibles:3

EXPERIMENT ESDEVENIMENTSEGUR

ESDEVENIMENTIMPOSSIBLE

D’una baralla espanyola de 40 cartes, treure piques

En una bossa amb 2 boles vermelles i 3 de verdes, obtenir una bola blava

En una caixa amb fitxes numerades de l’1 al 4, obtenir una fitxa amb un nombre més petit que 5

En llançar un dau enlaire, obtenir un nombre més gran que 6

En tirar dos daus enlaire i sumar la puntuació de les cares, obtenir 0

En tirar dos daus enlaire i sumar la puntuació de les cares, obtenir 3

En tirar dos daus enlaire i multiplicar la puntuació de les cares, obtenir 40

OBJECTIU 3

IDENTIFICAR ESDEVENIMENTS: ELEMENTAL, SEGUR I IMPOSSIBLE

En l’experiment de llançar un dau enlaire, un esdeveniment segur és obtenir un nombre més petit que 7 i un esdeveniment impossible és obtenir el nombre 30.

EXEMPLE

• Un esdeveniment està format per un o diversos esdeveniments elementals.

• L’esdeveniment segur està format per tots els resultats possibles (esdeveniments elementals). Es verifica sempre.

• L’esdeveniment impossible no conté cap esdeveniment elemental. No es verifica mai.

14


NOM: CURS: DATA:

831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 414

415

PR

OP

OS

TES

PE

R

A L

’AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 4

CÀLCUL DE LA PROBABILITAT D’UN ESDEVENIMENT 14


NOM: CURS: DATA:

RECOMPTE FREQÜÈNCIA ABSOLUTA FREQÜÈNCIA RELATIVA

CARA

CREU

Tira una moneda 25 vegades i completa la taula.1

a) Són les freqüències relatives nombres pròxims a 0,5? b) Quines conseqüències obtens?

Es tira un dau de quatre cares i s’anoten les vegades que apareix la cara 1.

Observa que el nombre al qual s’aproxima la freqüència de l’esdeveniment sortir la cara 1 és 0,25. Per tant, la probabilitat d’obtenir la cara 1 en tirar un dau de quatre cares és P = 0,25.

EXEMPLE

Es llança un dau de sis cares enlaire. L’espai mostral és: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcula les probabilitats següents:

EXEMPLE

LLANÇAMENTS 20 40 60 80 100

fi 7 11 15 18 27

hi 0,35 0,275 0,25 0,225 0,27

La probabilitat d’un esdeveniment és el nombre al qual s’aproxima la freqüència relativa d’aquestesdeveniment a mesura que augmenta el nombre de vegades de repeticions d’un experiment aleatori.

REGLA DE LAPLACE

Quan tots els esdeveniments elementals d’un experiment aleatori són equiprobables, la probabilitat d’unesdeveniment A és el quocient del nombre de casos favorables a l’esdeveniment i el nombre de casos possibles.

Aquesta expressió és la regla de Laplace: P(A) =nombre de casos favorablesnombre de casos poossibles

ESDEVENIMENTS CASOSFAVORABLES

Sortir nombre parell

Sortir nombre parell o més petit que 5

(Es pot donar qualsevol de les opcions:nombre parell o més petit que 5)

Sortir nombre parell i 4

(S’han de donar les dues opcions a la vegada: nombre parell i 4)

{2, 4, 6}

{1, 2, 3, 4}

{4}

CASOS POSSIBLES

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

P =3

6

P =4

6

P =1

6

P =CASOS FAVORABLES

CASOS POSSIBLES

831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 415

416

En un dinar hi ha 28 homes i 32 dones. Han menjat carn 16 homes i 20 dones, i la resta ha menjat peix.Completa la taula, considerant que triem una persona a l’atzar.

a) Quina probabilitat hi ha que sigui home?

b) Quina és la probabilitat que hagi menjat peix?

c) Quina és la probabilitat que sigui home i hagi menjat peix?

5

HOMES

CARN PEIX Suma

28

32DONES

Suma

16

20

36

Fem travesses amb un dau de tres cares amb l’1, dues cares amb la X i l’altra cara amb el 2. Després de tirar el dau, troba, mitjançant la regla de Laplace (són esdeveniments elementals equiprobables):

a) L’espai mostral: E = ......b) La probabilitat d’obtenir 1.

c) La probabilitat d’obtenir X.

d) La probabilitat d’obtenir 2.

2

Una urna conté 4 boles: 1 de vermella, 1 de blava, 1 de verda i 1 de blanca. Si es treuen 2 boles a la vegada, troba:

a) L’espai mostral: E = ......b) La probabilitat que una bola sigui blanca i l’altra, vermella.

c) La probabilitat que les dues boles siguin vermelles.

d) La probabilitat que cap de les dues boles sigui blanca.

3

Es treu una carta d’una baralla espanyola de 40 cartes. Mitjançant la regla de Laplace, troba la probabilitat d’obtenir:

a) Un rei. e) Una carta que no sigui de copes.

b) Oros. f) Una figura de bastos.

c) Un 4 o un 6. g) Una carta que no sigui figura.

d) El rei d’oros. h) Una carta més petita que 5.

4

Si es tiren dos daus i se sumen els punts obtinguts, troba:

a) L’espai mostral: E = ......b) La probabilitat que la suma sigui 3.

c) La probabilitat que la suma sigui 7.

d) La probabilitat que la suma sigui superior a 10.

e) La probabilitat que la suma sigui 4 o 5.

6


14

831073#_#0411-0416.qxd 12/6/07 15:59 Página 416

PROP

OSTE

S PE

R A

L’AV

ALU

ACIÓ

831073 _ 0417-0424.qxd 8/6/07 10:34 Página 417

831073 _ 0417-0424.qxd 8/6/07 10:34 Página 418

Tema 11 eso pols 2º eso

Documents

Transcript of Tema 11 eso pols 2º eso