Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricasMATERIAL DE CLASE OBLIGATORIO

� Regla.� Escuadra.� Cartabón.� Compás.� Transportador de ángulos.� Calculadora� Portaminas.� Goma

10.1 PolígonosPROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS1. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

El perímetro es P � 5 � 5 � 8 � 18 cmNo se puede calcular el área dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teoremade Pitágoras.

2. Encuentra el área de los siguientes polígonos:a) un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y de altura 5 cm.

No podemos calcular el perímetro pues no conocemos las medidas de los lados oblicuos:habría que aplicar el Teorema de Pitágoras para calcularlos.

Àrea� 12� 82

� 5 � 202

� 5 � 10 � 5 � 50 cm2

1

b) Un rombo de diagonales 12 y 9 cm.

Su área es 12 � 92

� 54 cm2

c) Un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm.

No se puede calcular dado que no conocemos la diagonal menor: tendríamos que aplicar elTeorema de Pitágoras.Si podemos calcular su perímetro: P � 5 � 4 � 20 cm

3. Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 20 cm de lado.

Su perímetro es 3 � 20 � 60 cm.Su área no se puede calcular dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teoremade Pitágoras.

2

Tareas 17-05-2013: todos los ejercicios de la página 295 del libro

10.2 Teorema de PitágorasPROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS : página 745 Los lados de un triángulo miden 6,8,10. ¿Es un triángulo rectángulo?

Consideramos que la hipotenusa es 10 mientras que los catetos son 6 y 8.

Tenemos que:62 � 82 � 36� 64 � 100

102 � 100

Se cumple que 102 � 62 � 82, es decir, se cumple el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, eltriángulo es rectángulo.Lo construimos gráficamente

6 Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y 3 cm. Dibújalo.

Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:b2 � a2 � c2

b2 � 92 � 32 � 81� 9 � 90b � 90 � 9. 4868� 9.5 cm

7 Calcula el cateto desconocido en un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 13 cm y el otrocateto mide 5 cm.

3

Aplicamos el Teorema de Pitágoras.Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:b2 � a2 � c2

132 � 52 � c2

169 � 25� c2

c2 � 169� 25 � 144c � 144 � 12 cm

8 ¿Cuál es la altura de una tienda de campaña si cada una de las cuerdas que tensan el mástilmide 1 m, si estas están a 1 m de distancia del mismo?Gráficamente la situación se representa así:

Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras.AB2 � AD2 � BD2

12 � AD2 � 12

1 � AD2 � 1AD2 � 1 � 1 � 0AD � 0 � 0 mPor lo tanto, la altura de la tienda es cero, y no tenemos una tienda montada!!!!!!!!!!Vamos a pensar que lo que mide 1 m es la distancia entre los anclajes de las cuerdas quesujetan el mástil central de la tienda.

4

Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras.AB2 � AD2 � BD2

12 � AD2 � 0.52

1 � AD2 � 0.25AD2 � 1 � 0.25 � 0.75AD � 0.75 � 0.86603� 0.9 m

1 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD para calcular un cateto:AB2 � AD2 � BD2

52 � 42 � BD2

25 � 16� DB2

DB2 � 25� 16 � 9DB � 9 � 3 cm

Finalmente el área es � basexaltura2

� 8 � 32

� 242

� 12 cm2

2 Encuentra el área de los siguientes polígonos:c) un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm.

5

Trabajamos en el triángulo rectángulo ADE donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:AD2 � AE2 � DE2

52 � 42 � DE2

DE2 � 25� 16 � 9DE � 9 � 3 cmPor lo tanto, la diagonal menor es 2 � 3 � 6 cm

Finalmente el área vale 6 � 82

� 482

� 24 cm2

3 Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de lado 20 cm.Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo CDB :CB2 � CD2 � DB2

202 � CD2 � 102

CD2 � 400� 100 � 300CD � 300 � 10 3 � 17. 321� 17.3cm

Por lo tanto el área esbasexaltura

2� 20 � 17.3

2� 173.0cm2

4 Calcula el áreas de las siguientes figuras:a)

Trabajamos en el triángulo rectángulo FGC donde aplicamos el Teorema de Pitágoras:FC2 � GC2 � FG2

62 � 22 � FG2

FG2 � 36� 4 � 32FG � 32 � 4 2 � 5. 6569� 5.7 cm

6

Tenemos que área del pentágono es 5 veces el área del triángulo FCB:

ÀREA PENTÁGONO� 5 �ÁREA TRIÁNGULO FCB �basexaltura

2�

� 5 � 5.7 � 42

� 57.0cm2

b)

El área serabase menor � base mayor

2�altura�

�5 � 8�2

� 6 � 39 cm2

Vamos a calcular también el perímetro, es decir, la suma de todos los lados.En el triángulo rectángulo DEC aplicamos el Teorema de Pitágoras:DC2 � ED2 � EC2 � 62 � 32 � 36� 9 � 45DC � 45 � 3 5 � 6. 7082� 6.7 cmPerímetro� 5 � 6 � 8 � 6.7 � 25. 7cm

9. Dadas las medidas de la figura del cuadro, calcula los valores desconocidos.

AF � 1.5cm

CH � 1.8cm

FG � 1.4cm

GB � 2.5cm

a) HI � ?Por el Teorema de Tales esAFCH

� FGHI

� 1.51.8

� 1.4HI

� HI � 1.8 � 1.41.5

� 1. 68cm.

7

b) BI � ?Por el Teorema de Tales esAFCH

� GBBI

� 1.51.8

� 2.5BI

� BI � 2.5 � 1.81.5

� 3.0 cm

c) BC � ?BC � CH � HI � IB � 1.8� 1.68� 3 � 6. 48cm

10. Calcula las medidas de los lados desconocidos:

a) EC � ?

Aplicando el Teorema de Tales resulta que AEAF

� ECBF

� 2.61.3

� EC2.3

� EC � 2.6 � 2.31.3

� 4. 6

cmb) DC � ?

Aplicando el Teorema de Tales resulta que AEAF

� DCBG

� 2.61.3

� DC1.3

� EC � 2.6 � 1.31.3

� 2. 6

cm11. Calcula las longitudes desconocidas de la siguiente figura:

a) FE � ?Aplicamos el Teorema de TalesAFAG

� FEGH

� 1.51

� FE2.1

� FE � 1.5 � 2.11

� 3. 15cm

b) HI � ?Aplicamos el Teorema de TalesAFAG

� EDHI

� 1.51

� 0.75HI

� HI � 1 � 0.751.5

� 0.5 cm

c) IC � ?

8

Aplicamos el Teorema de TalesAFAG

� DBIC

� 1.51

� 2.7IC

� IC � 1 � 2.71.5

� 1. 8 cm

10.3 PoliedrosEJERCICIOS DE LAS FOTOCOPIAS PÁGINA 7612 De los siguientes cuerpos indica los que son poliedros:

a)

Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos. Es más esun poliedro regular pues tiene seis caras que son cuadrados iguales.b)

Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos (rectángulosy hexágonos).c)

9

No es un poliedro pues no todas sus caras son polígonos.13 Comprueba el Teorema de Euler en el siguiente poliedro.

El Teorema de Euler dice que C � V � A � 2. Consideramos la siguiente tabla:

Nº de caras �C� Nº de vértices �V� Nº de aristas �A� C � V A � 2

2 � 5 � 7 5� 5 � 10 5� 5 � 5 � 15 7� 10 � 17 15� 2 � 17

Vemos que si se verifica el Teorema de Euler.14 Los siguientes datos pertenecen a un poliedro:

Nº de caras �C� Nº de vértices �V� Nº de aristas �A� C � V A � 2

5 6 X 5 � 6 � 11 X � 2

Como se ha de cumplir el Teorema de Euler, ha de ser 11 � X � 2 � X � 9

10

15 Calcula el área lateral de un prisma de base hexagonal de 5 cm de arista básica y 10 cm dealtura.

El área lateral será seis veces el área de un rectángulo de lados 5 y 10� 6 � �5 � 10� � 300cm2

16 Dado el siguiente prisma recto de base rectangular, calcula:

a) El área de la base.5 � 3 � 15 cm2

b) El área de las caras laterales.2 � �5 � 7� � 2 � �7 � 3� � 112cm2

c) El área de todo el prisma.2 � 15� 112 � 142cm2

11

d) El volumen del prisma.Área de la base x altura� 15 � 7 � 105cm3

17 Halla el volumen de este prisma recto de base hexagonal.

Volumen � Área de la base x alturaÁrea de la base � 6 �área del triángulo MIJ

área del triángulo MIJ �base x altura

2� MN � IJ

2Como se trata de un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con ellado del hexágono. Tenemos un triángulo rectángulo MNJ donde podemos, aplicando elTeorema de Pitágoras, calcular la altura MN.MJ2 � MN2 � NJ2 � 62 � MN2 � 32 � MN2 � 36� 9 � 27MN � 27 � 5. 1962� 5.2 cm

Finalmente es Volumen � 6 � 5.2 � 62

� 10 � 936cm3

18 Calcula el área lateral de una pirámide de base hexagonal de 7 cm de apotema y 4 cm dearista básica.

Tenemos que Área lateral � 6 x área del triángulo� 6 � 7 � 42

� 84 cm2

19 Averigua el área total de una pirámide de altura 10 cm cuya base es un cuadrado de 6 cm delado.

12

Trabajamos en el triángulo rectángulo EFG donde aplicamos el Teorema de Pitágoras:EG2 � EF2 � FG2 � 102 � 32 � 100� 9 � 109EG � 109 � 10. 44� 10.4Área total � área de la base � 4 x área del triángulo lateral �

� 62 � 4 � 6 � 10.42

� 160. 8cm2

20 Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 8 cm y de apotema 10 cm.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG :EG2 � EF2 � FG2 � 102 � 42 � FG2 � FG2 � 100� 16 � 84FG � 84 � 9. 1652� 9.2 cm

Volumen� V �área de la base x altura

3� 82 � 9.2

3� 196. 27cm3

21 Halla la altura de una pirámide hexagonal regular de lado de la base 10 cm y arista 26 cm.

13

Como la base es un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita al hexágonotiene de radio la medida del lado del hexágono.Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AGH :AG2 � AH2 � GH2 � 262 � 102 � GH2 � GH2 � 676� 100 � 576GH � 576 � 24.0cm

22 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 8 cm y altura 10 cm, calcula:

a) El área de la base.Área� 82 � 64 cm2

b) El área de las caras laterales.Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG :EG2 � EF2 � FG2 � 102 � 42 � 100� 16 � 116EG � 116 � 10. 77� 10.8cm

Area de una cara lateral�base x altura

2� 10.8� 8

2� 43. 2cm2

Finalmente, el área de todas las caras laterales será 4 � 43.2 � 172. 8cm2

c) El área de toda la pirámide.64� 172.8� 236. 8cm2

d) El volumen de la pirámide.

V �área de la base x altura

3� 64 � 10

3� 213. 33cm3

23 Calcula el volumen de una pirámide de base hexagonal de 4 cm de arista básica y 8 cm dealtura.

14

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AHI para calcular la apotema delhexágono:AH2 � IH2 � AI2 � 42 � IH2 � 22 � IH2 � 16� 4 � 12IH � 12 � 3. 4641� 3.5 cm

Entonces el volumen será V �6 � 3.5 � 4

2� 8

3� 336.0

3� 112.0cm3

24 Dibuja una cuerda de 3 cm en una circunferencia de 4 cm de diámetro. ¿Qué longitud tiene lacuerda más larga en esta circunferencia?

En cualquier circunferencia la cuerda de mayor longitud coincide con un radio, es decir, ennuestro caso será 4 cm.

25 Halla el perímetro y el área de un círculo de 6 cm de diámetro.Como el diámetro es 6 cm será el radio r � 3 cmAsí, el perímetro serà L � 2� � 3 � 6� � 18. 850cmMientras que el área es A � � � 32 � 9� � 28. 274cm2

26 Determina el área de un sector circular de 45° de una circunferencia de radio 3 cm.

Será el área A � � � 32 � 45360

� 98� � 3. 5343cm2

27 Una porción de pizza de 25° de amplitud tiene una superficie de 30 cm2, calcula el radio de lapizza.

Será 30 � �r2 � 25360

� r2 � 30 � 36025�

� 137. 51

r � 137.51 � 11. 726cm28 Calcula el área de las siguientes figuras

a)

15

Será A � ��62 � 22� � 32� � 100. 53cm2

b)

Teniendo en cuenta el apartado anterior será 32� � 80360

� 649

� � 22. 34cm2

29 Calcula el área de un cilindro de 36 cm de altura y 12 cm de diámetro.

Área cilindro � 2 x área de la base � área lateral � 2 � � � 62 �base x altura�� 72� � 2� � 6 � 36 � 504� � 1583. 4cm2

Volumen � área de la base x altura� � � 62 � 36 � 1296� � 4071. 5cm3

30 ¿Qué cantidas de papel de celofán se necesita para envolver un paquete de galletas que tieneuna altura de 10 cm y cada galleta mide 4 cm de diámetro?

16

Se trata de calcular el área exterior del cilindro que es:Área cilindro � 2 x área de la base � área lateral � 2 � � � 22 �base x altura�� 8� � 2� � 2 � 10 � 48� � 150. 80cm2

31 Calcula el área de un cilindro inscrito en un cubo de 8 cm de lado.

Área cilindro � 2 x área de la base � área lateral � 2 � � � 42 �base x altura�� 32� � 2� � 4 � 8 � 96� � 301. 59cm2

32 Calcula y dibuja sobre el plano el área total de un cono de 6 cm de diámetro básico y 4 cm degeneratriz.

17

Área cono � área base � área lateral � � � 32 � � � 3 � 4 � 21� � 65. 973cm2

33 En un cono el radio de la base mide 2 cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono.

Tenemos que calcular la generatriz. Para ello, aplicamos el Teorema de Pitágoras en eltriángulo rectángulo ABC :CB2 � AB2 � CA2 � 22 � 62 � 40CB � 40 � 6. 3246� 6.3 cmÁrea lateral � � � 2 � 6.3 � 12. 6� � 39. 584cm2

34 Calcula el volumen de un cilindro de 10 cm de diámetro cuya altura es el doble del radio.

Diámetro � 10 � 2r � r � 102

� 5 cm

Altura � 2 x radio � 2 � 5 � 10 cmV � � � 52 � 10 � 250� � 785. 40cm3

35 Obtén el volumne de un cilindro inscrito en un cubo de arista 3 m.

18

V �área de la base x altura� � � 1.52 � 3 � 6. 75� � 21. 206m3

36 Queremos construir un depósito de forma cilíndrica con chapa de alumnio, de forma que sucapacidad sea de 30 m3 y su radio igual que su altura. ¿Cuánta chapa necesitaremos?

Será V � � � x2 � x � �x3.

Pero V � 30. Entonces 30 � �x3 � x3 � 30� � x � 3 30

� � 2. 1216� 2.1 m

Ahora hemos de calcular el área total del cilindro �

� 2 x área del círculo de la base � área lateral�� 2 � � � 2.12 � 2 � � � 2.1 � 2.1 � 17. 64� � 55. 418cm2 es la cantida de chapa metálicanecesaria.

37 Calcula el volumen de un cono de radio 5 cm y altura 8 cm.

V � 13� � 52 � 8 � 200

3� � 209. 44cm3

38 Calcula el volumen de una esfera de radio 2 cm. ¿Si se duplica el radio de una esfera encuanto varía el volumen?Tenemos la tabla siguiente.

radio volumnen aumento

r � 1 V � 43� � 13 � 4

3�

r � 2 V � 43� � 23 � 32

3� 8 � 23

r � 4 V � 43� � 43 � 256

3� 8 � 23

r � 8 V � 43� � 83 � 2048

3� 8 � 23

El aumento es de 8 � 23, y esto se debe a que en la fórmula del volumen aparece el radio al

19

cubo.39 Pepe se ha comprado una bola de cristal. La bola mide 12 cm de diámetro. Pepe quiere

averiguar cuanto pesa la bola. ¿Podrías averiguar su peso si 1 cm3 pesa 30 g?Hemos primero de calcular el volumen de la esfera:

V � 43� � 63 � 288� cm3

Su peso será 288� � 30 � 8640� � 27143g � 27.143kg40 Calcula el lado de un cubo que tiene la misma capacidad que una esfera de 3 m de radio.

Hallamos el volumen de la esfera� V � 43� � 33 � 36� m3

El volumen de un cubo de lado x m es V � x3

Entonces será x3 � 36� � x � 3 36� � 4. 8360� 4.8 m41 El área de una esfera es de 1519.76 cm2. Calcula su volumen.

El área de un esfera de radio x cm es � � 4�x2.

Por lo tanto 4�x2 � 1519.76� x2 � 1519.764�

� x � 1519.764�

� 10. 997� 11 cm.

V � 43� � 113 � 5324

3� � 5575. 3cm3

42 Tenemos que pintar la cúpula de una iglesia de 6 m de diámetro, si la empresa nos cobra a 400euros el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?

Será necesario calcular el área exterior de la esfera de radio r � 3 m.� � 4� � 32 � 36� m2

La cúpula es la mitad de esta superficie� 36�2

� 18� m2

Por último, el coste de pintarla será 18� � 400 � 7200� � 22619.euros.43 Tenemos una esfera de radio 2 m dentro de otra de radio 5 m. Calcula el volumen que hay

entre las dos esferas.

V � Vr�5 � Vr�2 � 43� � 53 � 4

3� � 23 � 156� � 490. 09m3

44 Calcula el volumen que queda libre entre un cubo y una esfera inscrita en él, si el lado del cuboes de 8 cm.

20

Será V � Vcubo � Vesfera � 83 � 43� � 43 � 512� 256

3� � 243. 92m3

45 Un vaso está lleno de agua. Si se introduce en él una canica se derraman 36� cm3 de agua.¿Cuál es el radio de la canica?Desconocemos el radio de la canica, que será r.Por otro lado, el volumen de una esfera en función del radio viene dado por:

V � 43�r3 � 36� � 4

3�r3 � r3 � 36� � 3

4�� r3 � 27 � r � 3 27 � 3 cm es el radio de la

canica.46 El radio de una esfera mide 2.1 m. Calcula:

a) El área de la superficie esférica.� � 4� � 2.12 � 17. 64� � 55. 418cm2

b) El volumen de la esfera.

V � 43� � 2.13 � 12. 348� � 38. 792cm3

47 Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen de 125cm3. ¿Cuál tiene menor área exterior?Para el cubo hemos de calcular la arista, y para la esfera, hemos de encontrar su radio.Vcubo � l3 � l3 � 125 � l � 3 125 � 5 cm

Vesfera � 43�r3 � 125 � 4

3�r3 � r3 � 125� 3

4�� r3 � 375

4��

� r � 33754�

� 3. 1018cm

Ahora estamos en condiciones de calcular las superficies exteriores de ambas piezas.�cubo � 6 � 52 � 150cm2, recordemos que un cubo tiene seis caras cuadradas.�esfera � 4� � 3. 10182 � 120. 9cm2

El cubo tiene mayor área exterior.

21