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Tema 1. Ondas Senoidales. Herramientas

Matemáticas

Antes de nada debemos comenzar por definir que es una onda, aunque seguro que tú ya tienes una ideasobre ello. En física, se considera onda, a la propagación de una perturbación de alguna propiedad de unmedio. Esta propiedad del medio, o magnitud, suele variar en función del tiempo. Existen muchos tipos deondas (olas, ondas de radio, sísmicas, etc.) y se pueden clasificar de diferentes maneras (según el medio depropagación, según la dirección de la perturbación, según su periodicidad, etc.). Estas últimas, las periódicas,son las que a nosotros nos interesan.

Una onda periódica es aquella en la que la perturbación que las origina se produce en ciclos repetitivos, tal esel caso de las ondas senoidales, que son las que van a ocupar nuestro tiempo en este tema.

Imagen 1. Onda Senoidal.Fuente: Elaboración propia.

Puesto que la magnitud oscila en función del tiempo f(t), y puesto que al cabo de un intervalo de tiempo T losvalores de la magnitud se repetirán, tendremos f(t)= f(t+T)= f(t+2T)= ·······= f(t+nT), siendo T el tiempo quetranscurre entre repetición y repetición y que recibe el nombre de período.

Unidad 3: Corriente alterna Tema 1: Ondas senoidales. Herramientas matemáticas.

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Las ondas periódicas pueden ser pulsantes o alternas. Las pulsantes toman valores que van desde el nulo almáximo positivo y las alternas toman valores que van del máximo positivo al máximo negativo pasando por elnulo y viceversa. Esto significa que las primeras no cambian de sentido y las segundas, las alternas, sícambian de sentido.

Para terminar esta introducción, decir que las ondas senoidales se representan en función del seno, es decir:

Donde xm es el valor máximo de la magnitud x y ω es la pulsación.

Por si no lo recuerdas, te diré que la velocidad angular ω o pulsación era la relación entre las vueltasrecorridas y el tiempo transcurrido. Recordarás que una vuelta son 2π radianes y esa vuelta o ciclohabrá transcurrido en un tiempo T (el periodo), por lo que:



1.1. Magnitudes Fundamentales de una Onda

Habiendo definido ya qué es una onda periódica, es el momento de conocer los elementos característicos dela misma y ver de que manera están relacionados.

Frecuencia (f): se define frecuencia como el número de repeticiones que un fenómeno o sucesoperiódico se repite en la unidad de tiempo. Para el caso que nos ocupa, la frecuencia será el númerode ondas completas o ciclos que se producen en un segundo. La unidad de medida es el hercio (Hertz)y se designa por Hz. Si nos atenemos al ejemplo de la figura:

Imagen 2: Frecuencia y período.Fuente: Elaboración propia.

Pulsa sobre la imagen para ampliarla.

Observamos que en un segundo se producen dos ondas, por lo tanto cada onda se producirá en 1/2 segundoy la frecuencia será de dos ondas por segundo. Si entiendes esto, entenderás que el período T es el inversode la frecuencia f y viceversa. Expresando esto en una relación matemática, tendremos:

La corriente alterna que recibimos en nuestros hogares es producida con una frecuencia de 50 Hz, lo quesignifica que en un segundo se han producido 50 ondas; es decir, una onda se produce en 0,02 segundos. En2 centésimas de segundo ha producido una semionda positiva y otra negativa, es decir, cada 0,01 segundos lacorriente invierte su polaridad pasando por un valor 0 de tensión; eso supone que, si estuviéramos mirandouna bombilla, deberíamos ver como en cada segundo se enciende y apaga 100 veces. Menos mal que nuestroojo no es capaz de apreciar esa fluctuación.

En el apartado anterior vimos la relación entre ω y T; si profundizamos un poco más tendremos:

Período (T): ya lo hemos citado en la introducción, no obstante lo volvemos a recordar. Es el tiempoque invierte una onda en realizar un ciclo; se mide en segundos.Fase: la fase de una onda relaciona la posición de una característica determinada del ciclo, como porejemplo la cresta o el valle, con la posición de la misma característica en otra onda y se puede mediren tiempo, distancia o ángulo. De igual manera, dentro de una misma onda, podemosencontrar qué puntos iguales de la onda en diferentes períodos, representan el mismo

estado, por lo que decimos que están en fase.



Amplitud: dijimos que las ondas senoidales responden a la expresión que se indica más abajo, y en ellase puede observar que el valor de x será máximo, es decir, será igual a xm cuando sen (ωt) valga launidad. A ese valor máximo lo llamamos amplitud.

Imagen 3: Amplitud de onda xm.Fuente: Elaboración propia.



1.1.1. Valores de una Onda Senoidal

En corriente alterna se suele trabajar con otros parámetros aparte de los ya mencionados, que en realidadson valores que toma la onda. Antes de que avances en este apartado, te tengo que decir que no debesasustarte por las integrales que aparecen, pues no se te pide que las resuelvas, aunque podrías hacerlo. Loque realmente nos interesa son las expresiones finales que esas integrales nos dan y que son las queusaremos. Ahora sí, pasemos a ver algunos de ellos:

Valor instantáneo: Es el que toma la ordenada (tensión o intensidad) en un instante, t, determinado.

Imagen 4. Valor instantáneo.

Fuente: Elaboración propia.

Valor de cresta o pico: Es el valor máximo que toma la onda y que conocemos como Amplitud.

Valor medio Xm: antes de nada conviene aclarar que no es lo mismo Xm que xm. El primero, enmayúsculas, corresponde al valor medio y el segundo, en minúsculas, al valor máximo de cresta de laonda. Pues bien, se define valor medio como la media aritmética de todos los valores instantáneos queadquiere la onda en un intervalo de tiempo. Si analizamos un período, el valor medio será cero, pueslos valores de la semionda positiva quedarán anulados por los de la semionda negativa. No obstante enlas ondas senoidales se considera un semiperíodo. Su expresión matemática es:

Recordando que la función senoidal f(t) era del tipo x=xmsen(ωt) y sustituyendo y resolviendo la integral, nosquedará:



Valor eficaz X: El valor eficaz de una corriente alterna, es el valor que tendría una corriente continuaque produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicar ambas, primero una y luegootra, sobre una misma resistencia. Cuando decimos que la tensión de alimentación en un circuito es de230 V nos estamos refiriendo a su valor eficaz. Al igual que en el caso anterior hay una expresiónmatemática para su obtención.

Si resolvemos la integral, obtendremos la expresión que nos interesa:

Vamos a aplicar las expresiones que acabamos de aprender con un ejercicio. Supongamos quetenemos una función senoidal del tipo x=50 sen(20t).

Deseamos conocer:

El período y la frecuencia.La amplitud.Valor eficaz.Valor medio.

Tal vez te sea útil la siguiente animación. La finalidad de la misma no es complicarte la vida con elcálculo integral, sino hacerte ver que es posible con los conocimientos que tienes de matemáticasresolverla; de cualquier manera, lo que a ti se te pide es que sepas calcular el valor medio y eficaz deuna corriente alterna.



Animación 1. Obtención del valor medio de una función senoidal.Fuente: Elaboración propia.

¿Cuál será el valor instantáneo de una onda senoidal que tiene un valor de pico de 125 V y unafrecuencia de 50 Hz a 2ms de comenzar el ciclo? ¿Y a los 10 y 15ms?

Recuerda que ω la obtendremos en radianes/s y que habrá que pasar los radianes a grados parapoder calcular el seno del ángulo.



1.2. Representación Gráfica de una Onda

Cuando hablamos de corriente continua, es sencillo representar la tensión y la intensidad, pues los valores delas mismas no cambian con el tiempo y un escalar puede representarlas perfectamente. No ocurre lo mismoen el caso de la corriente alterna, pues al ser una función senoidal, los valores de tensión e intensidad,dependen de la velocidad angular ω con que gira la máquina que produce la corriente. Para poderrepresentarla, lo que haremos será dar un carácter vectorial a ambas magnitudes, que tendrán por módulo elvalor máximo o amplitud xm y que giran con una velocidad ω en sentido antihorario. El vector tensión ointensidad irá adoptando distintas posiciones en función del instante considerado; y el valor de la proyeccióndel vector sobre el eje de ordenadas, nos dará el de la tensión o intensidad instantánea.

Un vector como el explicado más arriba y que se representa en distintas secuencias en las imágenesinferiores, recibe el nombre de fasor.

Imagen 5: Movimiento del fasor.Fuente: Elaboración propia.

Pulsa sobre la imagen para ampliarla







Imagen 8: Movimiento del fasor.Fuente: Alaboración propia.


Imagen 9: Movimiento de un fasor.Fuente: Elaboración propia.


En los circuitos de corriente alterna, las expresiones de la tensión e intensidad instantáneas son como yahemos visto de forma genérica en apartados anteriores:

Puesto que dependen del tiempo, podemos plantearnos la pregunta de si la tensión e intensidad máximas seproducen en el mismo instante. En apartados posteriores se explicará el por qué, pero aquí basta decir queno. El efecto que provocan bobinas y condensadores en los circuitos son diferentes. Así, una bobinaprovocará que la tensión se adelante φ=90º a la intensidad; por lo que, si fijamos la onda de la tensión en elorigen de coordenadas, la intensidad irá retrasada el ángulo φ; por lo que las expresiones senoidales deambas magnitudes serán:

A esto le llamamos desfase positivo y al representar en coordenadas ambas ondas podemos entender porqué. La onda amarilla comienza un ángulo φ después que la azul, de ahí que, en la expresión de la intensidad,este ángulo esté restando al producto ωt; pero al llevar la onda a uno ejes coordenados, ese ángulo φ quedarepresentado sobre el eje positivo, de tal manera que lo llamamos desfase positivo.



Imagen 10: Desfase positivo. V adelanta a I.Fuente: Elaboración propia.


Si el circuito tiene un condensador, entonces éste provoca un retraso de la tensión respecto de la intensidad; yahora, al posicionar la onda de la tensión en el origen, vemos que la intensidad adelanta un ángulo φ a latensión. Las ecuaciones de ambas magnitudes serán:

Al contrario que en el caso anterior, a esto se conoce como desfase negativo, ya que V retrasa con respectoa I. Si lo representamos gráficamente veremos que el desfase φ al ser llevada la onda a los ejes coordenadosqueda sobre el semieje negativo, por lo que recibe el nombre de desfase negativo.

Imagen 11: Desfase negativo. V retrasa con respecto a I.Fuente: Elaboración propia.


El concepto de desfase positivo y negativo te puede liar, por eso recuerda:

Decimos que tenemos desfase positivo, cuando V adelanta a I y en ese caso, en la expresiónsenoidal de la intensidad, φ viene con signo negativo, porque I va retrasada.Decimos que tenemos desfase negativo, cuando I adelanta a V y ahora, en la expresiónsenoidal de la intensidad, φ viene con signo positivo, porque I va adelantada.



1.3. Los Números Complejos y su Representación

en Circuitos CA

Muy probablemente, en todo el bachillerato no hayas estudiado los números complejos; pero no te preocupes,que nosotros nos vamos a centrar sólo en la parte que nos es útil; y es que ese es el motivo por el que losusamos, su utilidad.

Sabrás que el origen de los mismos es dar solución a las raíces cuadradas de números negativos, de talmanera que:

Como puedes imaginar, si nosotros utilizamos i para representar la intensidad y además para representar losnúmeros complejos, nos vamos a hacer un lío, por lo que de aquí en adelante sustituiremos la i por j, o sea,que tal y como indican los ejemplos:

Los números complejos se pueden expresar de forma binómica, polar y exponencial; pero a nosotros nosbasta con las dos primeras.

Forma binómica: la formarán un par de números reales, al primero, a, se le denomina parte real y alsegundo, b, parte imaginaria; pudiéndose escribir en la forma (a,b) o (a+bj). Si llevamos al valor de asobre la abscisa de unos ejes coordenados y b sobre la ordenada, la intersección de las proyeccionesme dará un punto, que desde el origen, se corresponderá con el módulo de un fasor. A a la llamamosparte real y a b parte imaginaria.

Imagen 12: Complejo en forma binómica.Fuente: Elaboración propia.

Forma polar: el mismo punto anterior lo podíamos haber representado si hubiéramos conocido el



módulo del fasor y el valor del ángulo que forma con la horizontal o argumento. En este caso loexpresamos de la forma rα:

Imagen 13: Complejo en forma polar.Fuente: Elaboración propia.

Antes de pasar al último apartado, puede ser interesante aclarar por qué a los ejes los llamamos real eimaginario. Para ello pensemos en un número, a, que podemos representar en una recta numérica; estenúmero es un número real.

Imagen 14: Representación de a.Fuente: Elaboración propia.

Si lo multiplicamos por -1, tendremos -a, también número real, con lo que si lo representamos nos quedará:

Imagen 15: Representación de -a.Fuente: Elaboración propia.

Observa que al multiplicar por si mismo el valor de j:



se obtiene (-1) y si te fijas la representación de -a se obtiene al multiplicar a por -1, que en definitiva es comosi hubiéramos girado a 180º. Así pues, podemos imaginar que, si multiplicamos un número a por √-1, esdecir, por j, en vez de girarlo 180º lo estaríamos girando 90º; es decir, que un número complejo del tipo a+bj

puede representarse llevando a al eje horizontal o real y b al eje vertical o imaginario.



1.3.1. Cambio de Forma de Complejos

Una vez que conocemos las distintas formas de representar los números complejos, vamos a ver de quémanera se puede pasar de una a otra.

Paso de forma binómica a polar: Tal y como indica la gráfica inferior, el complejo en forma binómicaserá a+bj;

Imagen 16: Representación de un Número Complejo.Fuente: Elaboración propia.

por lo que para obtener el módulo del fasor, r, habrá que aplicar Pitágoras en el triángulo rectángulo formadopor a, b y r:

Si queremos obtener el ángulo alfa, α, recurriremos a la razón trigonométrica tangente:

Paso de forma polar a binómica: En este caso, tendremos el complejo expresado en la forma rα y noes que lo anterior haya sido difícil, pero este paso es aún más sencillo. Basta con aplicar las relacionestrigonométricas seno y coseno.



Vamos a practicar lo expuesto anteriormente con unos ejemplos. Dado su sencillez, sólo se indican losresultados de cada ejercicio.

Pasa de forma los siguientes complejos:

A forma polar(3-2j)(-5+2j)(-2-5j)

1.

A forma binómica4,525º

1275º

8225º

2.

Puede ser interesante que te pongas tú unos cuantos ejemplos y que practiques. La mayoría de lascalculadoras convierten complejos, así que busca el manual y lo refrescas que así sacarás partido aesa máquina que te costó tan cara y solo usas para cuatro cosas. Si ese no fuera tu caso, tal vez tevenga bien visitar esta página de números complejos.

Por si tu navegador te da problemas, aquí te dejo la dirección para que la uses con el que prefieras:

http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/descartes/complejos/complejos.htm



1.3.2. Operaciones con Complejos

Para poder operar con complejos, es necesario saber primero que es un complejo conjugado y un opuesto.

Dado el complejo en forma binómica (a+bj), su conjugado será (a-bj); es decir, sus partes reales son iguales ylas imaginarias tienen signos opuestos. Si el complejo está en forma polar rα el conjugado será r-α ; es decir,al argumento tiene signo opuesto.

Por otro lado, tendremos complejos opuestos cuando, estando en forma binómica, los signos de la parte reale imaginaria sean opuesto, es decir, si tenemos (a+bj), el opuesto será (-a-bj). Otro ejemplo; si tenemos(-a+bj) el opuesto será (a-bj). Si el complejo está en forma polar, el opuesto de rα será rα+π . La imageninferior tal vez ayude a aclarar estos conceptos. El complejo representado en verde (a+bj) tiene un conjugadoen rojo (a-bj) y un opuesto en amarillo (-a-bj); en la imagen también se muestra su notación polar.

Imagen 17: Complejos, Conjugados y Opuestos.Fuente: Elaboración propia.

Suma de complejos: De manera general, se suman complejos en su forma binómica, dada su sencillez.Se procede sumando por un lado las partes reales y por otro las imaginarias. Por ejemplo:

Producto de complejos: Para multiplicar complejos en forma binómica, se procede multiplicando todoslos términos de uno por todos los del otro, recordando que j·j=√-1·√-1=-1

Si los complejos están en forma polar, entonces el complejo producto será el que resulte de multiplicar susmódulos y sumar sus argumentos.



División de complejos: Para dividir complejos en forma binómica, tenemos que recurrir a la formaconjugada del complejo denominador, multiplicando numerador y denominador por el mencionadoconjugado.

Si el complejo viene dado en forma polar, entonces se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Resuelve las siguientes operaciones con complejos:

(2+j)-(3-2j)1.(-3-2j)·(2-5j)2.425º·375º3.(-1-j)/(2+2j)4.525º/240º5.(3+2j)·(-1-5j)6.



1.3.3. Representación de la Intensidad y Tensión

en Corriente Alterna

En el apartado 1.2 se habló de si podían producirse al mismo tiempo, o no, los valores máximos de V e I. Sedijo también que, en el caso de tener condensadores o bobinas, la intensidad se adelanta o retrasarespectivamente con respecto a la tensión. Viene esto al caso, porque venimos hablando de lo útiles que sonlos complejos en corriente alterna y hemos estudiado las operaciones elementales con los mismos, pero nohemos visto ningún ejemplo concreto.

Pues bien, vamos a ver qué sucede en un circuito que tenga los elementos básicos, a saber, resistencias,bobinas y condensadores.

Si nuestro circuito tiene una resistencia, ésta no produce desfase ninguno y la tensión y la intensidad seproducen en el mismo momento, ambas sobre el eje real.

Si el circuito tiene condensadores, la intensidad quedará desfasada sobre la tensión. Si nos llevamos laintensidad sobre el eje de abscisas y teniendo en cuenta que el condensador provoca que I adelante a V,entonces V estará representada sobre el eje imaginario negativo ya que V va retrasada.

Si el circuito tiene bobinas, también la intensidad quedará desfasada sobre la tensión, pero en este caso Vadelanta a I, por lo que al figurar I sobre el eje de abscisas la tensión estará representada sobre el ejeimaginario positivo.

Tal vez, todo esto quede más claro con una gráfica.

Imagen 18. Representación de V e I en un circuito R, L, C.Fuente: Elaboración propia.



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