Tema 2. Mecánica

Fundamento físico del Tiro Parabólico

Contenidos

• Cinemática del movimiento uniformemente acelerado

• Ecuación de la trayectoria de un cuerpo• Concepto de fuerza• Interacciones fundamentales: la gravedad• Campo y potencial gravitatorios• Trabajo y energía• Conservación de la energía• Conservación del ímpetu• Transferencia de energía mediante choques

Movimiento uniformemente acelerado

• Ejemplo: Tiro parabólico

h

d

PRIMERA PARTE DEL MOVIMIENTO: CAÍDA LIBRESEGUNDA PARTE: LANZAMIENTO PARABÓLICO

Caída libre

• Movimiento uniformemente acelerado en una dimensión (a = g = constante)

h

Ecuaciones del movimiento

2

000

00

2

1,0

,0

tatvxxxxt

vdt

dx

tavvvvt

adt

dv

x0

x

ghv 2

v

v0 = 0

Lanzamiento parabólico

• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones

h

x0

xEje x

Eje y

a

0v

a

2

00

0

2

1tatvrr

tavv

Ecuaciones del movimiento

Lanzamiento parabólico

• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones

h

x0

xEje x

Eje y

a

0v

a

tgsenvv

vv

senvvvv

tavv

y

x

yx

a

a

aa

0

0

0000

0

cos

),(cos),(

Ecuaciones del movimiento

MÓDULO

DIRECCIÓN

Lanzamiento parabólico

• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones

h

Eje x

Eje y

a r a

2

0

0

2

00

2

1

cos

2

1

tgtsenvy

tvx

tatvrr

a

a

Ecuaciones del movimiento

x

y

00 r

Ecuación de la trayectoria

• Si eliminamos t de las ecuaciones de x e y:

2

22

0 cos2

1tan x

v

gxy

aa

Eje x

Eje y

a r a

x

y

Representación gráfica: y = Ax - Bx2

B

Ax

xy

BxAxy

B

Ax

dx

dy

00

20

A/BA/2B

Ecuación de la trayectoria

• Alcance del cuerpo: d = A/B

aa

aa

a

a

cossin42

cossin2

cos2

1

tan

2

0

22

0

2

0

22

0

hdhgvvvSi

g

vd

v

gd

sería el coeficiente de absorción y representa la pérdida de velocidad por el impacto

Tiro parabólico: caso práctico

h0

h

Eje x

Eje y

a r a

x

y

d1

2

1210cos4

1tan d

hdh

aa

Recapitulando…

• Cinemática: nos limitamos a realizar la descripción del movimiento, sin analizar las causas

– Ecuaciones de v y r

– Ecuación de la trayectoria

• Dinámica: ahora nos falta analizar el porqué…

Fuerza e interacción gravitatoria

• Tenemos que preguntarnos: ¿por qué cae la canica?

– Según la segunda ley de Newton:

– ¿Recordáis cuál es la primera ley de Newton?

– Para que tiene que existir una INTERACCIÓN, en el caso que nos ocupa ésta es la interacción gravitatoria o gravedad que es producida por la masa de los cuerpos

amF

00 aF

CAUSA EFECTO

0F

Buscando el origen de la interacción gravitatoria

LHC

La fuerza de la gravedad

• La interacción entre dos cuerpos a través de sus masas, de magnitudes m y M, se cuantifica mediante la fuerza de la gravedad F

• Unidad de fuerza: Newton (N)=kg·m·s-2

• La fuerza tiene dos partes: el módulo F y la dirección r/r

2

211

21067,6

kg

NmGdonde

r

r

r

mMGF

CONSTANTE DE NEWTON

• Dirección:

• Módulo:

La fuerza de la gravedad

M m

r

La fuerza la sienten los dos cuerpos (tercera ley deNewton) pero cuando m << M el efecto es sóloapreciable en el cuerpo de masa menor (F = m·a)

F

2r

MmG

re

r

rer

• Desde el punto de vista del cuerpo de masa m

• Ejemplo: calcular la aceleración que experimenta un objeto situado sobre la corteza terrestre

rer

MGmF

2

M

RT

...1013,6378

1098,51067,6

13,6378

1098,5

262

242211

2

24

m

kgkgmNg

R

MGg

kmR

kgM

T

T

La fuerza de la gravedad

Campo y potencial gravitatorios

rer

MGg

2

Desde el punto de vista del cuerpo de masa mla Tierra posee un campo gravitatorio a sualrededor de magnitud inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que vadesde su origen al cuerpo de masa m

CAMPO GRAVITATORIO GENERADO POR UN CUERPO DE MASA M A UNA DISTANCIA r DE SU ORIGEN

¡La intensidad de la interacción depende de la masa M!

• ¿Cómo se puede obtener también g ?

Campo y potencial gravitatorios

r

MGVe

dr

dVg gr

g

Vg es el potencial gravitatorio.En el potencial se encuentra el origen de la interacción

h1

h2 Vg (r2)

Vg (r1)

Vg(r2) < Vg(r1) El cuerpo cae

00),()( 12 FgrVrVSi gg

Recapitulando…

• Hemos revisado el sentido de las leyesfundamentales de la Mecánica para lainteracción gravitatoria.

• Hemos definido el campo gravitatorio a partirde la ecuación que verifica la fuerza de lagravedad.

• Hemos obtenido también el campogravitatorio a partir de una nueva magnitud:el potencial gravitatorio.

Trabajo y energía

• Si se sitúa un cuerpo en h2 se desplazará “sin ayuda”por la acción de la gravedad

• Si definimos el trabajo dW que ser realiza para desplazar un cuerpo entre dos puntos separados por un como : , el trabajo realizado por la interacción entre h2 y h1 será: DW21 = mg(h1-h2).

Pero ¡¡¡h1 < h2!!! W21 < 0 (¿?)

En el caso de que el trabajo lo realice la interacción, será negativo h1

h2 Vg (r2)

Vg (r1)

rdFdW

1

2

UNIDADES S.I.: Julio (J) = N·m

rd

Trabajo y energía

2

2

2

1

2

2

2

112

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

12

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

mvmvvvmW

vvmvdvmdt

rdvmdrd

dt

vdmrdamrdF

WdW

rdFdW

rdFdW

D

D

1

2

Trabajo y energía

• Consecuencias

– Hemos obtenido una nueva magnitud: la energía cinética

– El trabajo se convierte en energía cinética y viceversa

2

2

1mvT

21

2

2

2

1122

1TTvvmW D

mghU

UUmghmghW

D 121212

La energía potencial

• Si el trabajo se convierte en energía cinética, se puede considerar que el trabajo representa un cambio en la energía del objeto asociada a la interacción gravitatoria:

1

2

Vg (r1)-> U1

Vg (r2) -> U2

h2

h1

Tenemos: g -> F

Vg-> Ep

Conservación de la energía mecánica

.

2

1

2

1

2

1

2

1

1122

2

11

2

22

2

2

2

112

2

2

2

112

cteTUTUTU

mvmghmvmgh

vvmhhmg

vvmW

D

En resumen…

• Por definición: . En el caso de que elmovimiento se produzca a favor de la fuerza deinteracción su valor es negativo.

• Cuando tratamos con interacciones se define laenergía potencial de un cuerpo sometido a lainteracción de modo que:

• La energía potencial puede entenderse como laenergía que acumula un cuerpo al interaccionarcon otro.

• En el caso de la interacción gravitatoria se cumpleel principio de conservación de la energíamecánica

rdFdW

1212 UUW D

.1122 cteTUTUTU

Balance energético en el Tiro Parabólico

• Movimiento unidimensional: mgh = ½ mv2

• Movimiento parabólico:

– En 0, T0 = ½ mv02

– En 1, T1 = = ½ mv02cos2a y U1= = ½ mv0

2sen2a

– En 2, T2 = ½ mv02 , pero ¿sabrías sacar v2?

Eje x

Eje y

a

a

y = Ax - Bx2

A/BA/2B

0

1

2

h

0v

DETERMINAR LA ALTURA MÁXIMA QUE ALCANZA LA CANICA EN SU TRAYECTORIA PARABÓLICA EN FUNCIÓN DE LA ALTURA DEL LANZAMIENTO

Transferencia de energía mediante choques

h

x0

xEje x

Eje y

a

0v

a

¿QUÉ OCURRE EN EL CHOQUE DE LACANICA CON EL PLANO INCLINADO?

Caso simple: choque elástico

• Sistema aislado formado por las dos bolas

• Los dos cuerpos que chocan son libres para moverse

ANTES DEL CHOQUE:

A Bv0 x

0TE

DESPUÉS DEL CHOQUE:

A

B

a

b

Caso simple: choque elástico

v1

v2

x

¿Con que parte de la energía inicial se queda cada bola?

21 TTE

• Aplicamos el principio de la conservación de la energía: Ei=Ef

• Como el sistema está aislado, aplicamos también el principio de conservación del impulso o momento lineal p:

• Obtenemos tomando mB=mA:

Caso simple: choque elástico

fi pp

a

a

2

02

2

01

sin

cos

TT

TT

Choque inelástico

h

x0

xEje x

Eje y

a

0v

a

¿QUÉ OCURRE EN EL CHOQUE DE LACANICA CON EL PLANO INCLINADO?

El plano inclinado no es un cuerpo libre (v2=0)→asumimos que m2 >> m1 y definimos l= m1/m2 << 1

• Por conservación de la energía:

• Por conservación del impulso:

Choque inelástico

21

2

2

2

1

2

0

2

0

21

2

1

2

0

2

2

2

10

210

2

1

vvvvvev

vve

m

mdonde

v

vvTQ

TTTQ

ll

l

21

2

2

2

1

2

0

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2

0

2

1221101

21

2

vvvvv

vvmmvmvmvmvmvmvm

lll

m1

v0

m1

v1

m2

v2

q

¡ATENCIÓN! v1 es la velocidad inicial de la canica en el movimiento parabólico

• Grado de inelasticidad dado por el coeficiente de restitución, e:

• Al final, de la conservación de E obtenemos:

Choque inelástico

21

2

2

2

1

2

0

2

0

212 vvvvve

v

vve

11

2

0l

l eTQ En la práctica, e2 es , coeficiente de absorción

Como l << 1, 11 0

2

0 TeTQ

• En resumen, el cálculo de nos daría Q = 0, Q = T0 -> choque totalmente inelástico

= 1, Q = 0 -> choque perfectamente elástico

Choque inelástico: caso práctico

h0

h

Eje x

Eje y

a r a

x

y

d1

2

1210cos4

1tan d

hdh

aa

…pero a tampoco los conocemos

• Reordenamos la expresión para que tenga forma de recta:

Choque inelástico: caso práctico

aa

a

aaa

aaa

aa

cossin

cos

coscossin,4

4costancos

cos4

1tan

2

0

2

01

2

1

2

11

22

0

2

1210

b

ha

hxydxh

dy

h

ddh

dh

dhyx

¿Cómo obtenemos de a y b los valores de y a?

Ejemplo

• Determinar la energía mecánica que se pierde cuando dos partículas iguales de 5 kg cada una, una en reposo y otra con una velocidad de 5 m/s, colisionan y salen unidas. ¿En qué dirección salen?