RELACIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICAS I-GRUPO E

Curso 2020/2021

Escuela Técnica Superior de Ingenieŕıa Agronómica

Departamento de Matemática Aplicada I

Tema 1. Los números reales y complejos

1.1. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solución en la recta real.

a) 2x− 1 ≥ 0 b) 3x+ 1 ≥ 2x+ 2c) −4 < 2x− 3 < 4 d) x

2+

x

3> 5

e) x2 ≤ 3− 2x f) x2 + x− 1 ≤ 5

g) x+ 1x≥ 1 h) x− 1

x+ 2< 1

i)2(x+ 1)

−3 + 3x+ 5 ≤7x− 4−2 j)

3

5x− 2x− 1

10≤ 0.3(x− 2) + x

5

1.2. Dados a < b, razonar cuáles de las siguientes desigualdades son ciertas.

a) a+ 2 < b+ 2 b) 5b < 5a c) 5− a > 5− bd)

1

a<

1

be) (a− b)(b− a) > 0 f) a2 < b2

1.3. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solución en la recta real.

a)

∣

∣

∣

∣

x− 32

∣

∣

∣

∣

≥ 5 b)∣

∣

∣

∣

1− 23x

∣

∣

∣

∣

< 1

c) |x− 4| = |x− 1| d)∣

∣

∣

∣

x+ 2

3− x

∣

∣

∣

∣

=x+ 2

3− x

e)

∣

∣

∣

∣

x+ 4

x− 3

∣

∣

∣

∣

> 2 f) |2x− |3− 2x|| ≤ 2

1.4. Hallar:

a) Todos los números que distan a lo sumo 10 unidades del 12.

b) Todos los números que distan por lo menos 10 unidades del 12.

1.5. Resolver las siguientes ecuaciones en C.

a) x2 − 2x+ 2 = 0 b) 4x2 + 16x+ 17 = 0 c) x3 − 2x− 4 = 0

1

2 Matemáticas I

1.6. Dados los números complejos z1 = 2 + i y z2 = 3 − 2i, realizar las siguientesoperaciones.

a) z1 + z2 b) z1 − z2 c) z1 · z2d) z1/z2 e) 3z1 f) (5z1 − 2z2)/z1

1.7. Realizar las siguientes operaciones.

a) (5 + i) + (6− 2i) b) (8 +√−18)− (4 + 3

√2i)

c) 13i− (14− 7i) d) −(

3

2+

5

2i

)

+

(

5

3+

11

3i

)

e) (1 + i) · (3− 2i) f) 6i(5− 2i)

g) (√14 +

√10i) · (

√14−

√10i) h) (4 + 5i)2

i)2 + i

2− i j)6− 7i

i

k)1

(4− 5i)2 l)i

3− 2i +2i

3 + 8i

1.8. Hallar dos números complejos z1 y z2 tales que z1 + z2 = 2 + 4i, la parte real de

z2 = −1 y z1/z2 es imaginario puro.

1.9. Dado el número complejo z = a + bi, determinar la relación que debe existir entre

a y b para que el cociente z+1z−1

sea imaginario puro.

1.10. Representar los siguientes números complejos en el plano y expresarlos en forma

polar o binómica, según su caso.

a) 3− 3i b)√3 + i c) −2(1 +

√3i)

d) 6i e) 2150o f) (32)300o

g) 3.75 3π2

h) 8 π12

i) −1

1.11. Efectuar las siguientes operaciones.

a) 3π3· 4π

6b) (3

2)π

2· 6π

4c) (5

3)140o · (32)60o

d) 1 5π3/1π e) 24300o/875o f) 2 2π

3/8 11π

6

g) (√230o)

6 h) (1 + i)6 i) i312

j) 5√1 k)

√−16 l) 3

√1 + i

1.12. Calcular el número complejo w = zi, siendo z = 3 − 2i. Interpretar gráficamenteel resultado de esta operación.

1.13. Resuelve la ecuación x4 + 81 = 0.

Los números reales y complejos 3

1.14. Uno de los vértices de un octógono regular inscrito en una circunferencia centrada en

el origen es el punto (2, 0). Hallar las coordenadas de los demás vértices y determinar

una ecuación cuyas soluciones complejas tengan como afijos dichos vértices.

1.15.

a) Determinar un número real β tal que eβi =

√2

2+

√2

2i.

b) Hallar los números complejos z que verifican la ecuación ez2

=

√2

2+

√2

2i.

c) Describir y representar gráficamente la región del plano formada por los afijos

de los número complejos z = x + yi que verifican que el módulo del número

complejo z − 2 + i es menor o igual que 2.

1.16. Hallar los números complejos z = x+ yi que verifican ez = −2.

1.17. Demostrar que para cualquier x ∈ R se verifica:

cosx =eix + e−ix

2sen x =

eix − e−ix2i

1.18. Dado el número complejo z =1 + 3xi

3− 4i , hallar x para que:

a) z sea imaginario puro.

b) z sea un número real.

c) El argumento principal de z tenga tangente 1.

1.19. Sea z =1 +

√3i

2.

a) Demostrar que z2 = z − 1.b) Encontrar el valor de (1− z)6.

1.20. Sean z1 = λ+λ√3i y z2 =

√2−

√2i con λ ∈ R. Determinar la expresión en forma

polar de

(

z1z2

)6

según los valores de λ.

4 Matemáticas I

Tema 2. Funciones reales

2.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de una variable.

a) f(x) =1

9− x2 b) f(x) =√2 + x− x2

c) f(x) = 3√2x+ 1 d) f(x) =

√

2− |x|

e) f(x) = ln(x2 − 9) f) f(x) = ln(

1 + x

1− x

)

g) f(x) =

√x

sen πxsi x > 0

arcsen x si x ≤ 0h) f(x) =

√

ln( tg x)

2.2. La temperatura de un invernadero se controla mediante un termostato. La siguiente

gráfica muestra la evolución de esta temperatura a lo largo de un d́ıa.

10

12

14

16

18

20

22

24

T

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24t

a) ¿Cuál es la temperatura en el invernadero a las 4 de la madrugada? ¿y las 3

de la tarde?

b) Si programamos el termostato para obtener una temperatura H(t) = T (t− 1).¿Cómo cambiaŕıa la temperatura?

c) Si programamos el termostato para obtener una temperatura H(t) = T (t)− 1.¿Cómo cambiaŕıa la temperatura?

2.3. Una enfermedad por hongos se origina en medio de un huerto y afecta inicialmente

a un árbol. La enfermedad se extiende radialmente a una velocidad constante de 3

Funciones reales 5

metros por d́ıa ¿Qué área habrá afectado transcurridos 2 d́ıas? Definir una función

que exprese el área afectada en función del tiempo transcurrido.

2.4. La altura en metros y de un cierto árbol en función de su edad en años x, sigue

aproximadamente el modelo

y = 40e−20x , x ≥ 0.

0

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

0

10

20

30

40

y

50 100 150 200 250 300x

• A partir de la gráfica de esta función, describir cómo es el crecimiento del árbol,atendiendo a las siguientes cuestiones: ¿Crece siempre el árbol? ¿Crece a la

misma velocidad a lo largo del tiempo?

• ¿Cuántos años deberán transcurrir para que el árbol alcance 39 metros dealtura?

• ¿Puede alcanzar el árbol alguna vez la altura de 50 metros? ¿Hay una alturamáxima que el árbol pueda alcanzar?

2.5. Durante una reacción qúımica, la temperatura T (en grados Celcius) vaŕıa con el

tiempo t (en minutos), según la relación

T =10

t + 1+ t, con t ∈ [0, 30]

a) ¿En qué instante de tiempo la temperatura alcanza los 15 grados?

b) ¿Durante que periodo de tiempo la temperatura se encuentra entre 8 y 12

grados?

2.6. Vallado de un terreno: Un granjero decide vallar un terreno de pasto rectangular

adyacente a un ŕıo, utilizando 100 metros de valla de los que dispone. Teniendo en

cuenta que el lado adyacente al ŕıo no precisa vallarse, se pide:

a) Expresar el área del terreno como función de la longitud de los lados paralelos

al ŕıo y determinar el dominio de esta función.

6 Matemáticas I

b) Dibujar la gráfica de la función área y estimar las dimensiones del terreno que

proporciona el área de pasto máxima.

2.7. La cosecha: Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podrá recoger 52000

kg que le pagarán a 3 céntimos el kilogramo. Por cada d́ıa que espere, la cosecha

disminuirá en 800 kg pero el precio aumentará en 3 céntimos por kilogramo.

a) Expresar el beneficio obtenido en función de los d́ıas que espere.

b) Calcular el dominio de la función beneficio teniendo en cuenta las condiciones

del enunciado.

c) ¿Cuántos d́ıas debe esperar para obtener el máximo beneficio?

2.8. La plantación de madera: Se sabe que la productividad de un cultivo depende

de la densidad de plantación. Para una plantación forestal destinada a la industria

maderera, se sabe que con una densidad de 20 árboles por hectárea cada árbol crece

una media de 2 metros por año, pero que el crecimiento promedio se reduce 1/12

por cada árbol adicional a partir de los 20.

a) Expresar la Producción de madera como función del número de árboles en la

plantación por hectárea.

b) Calcular el dominio de la función Producción según las condiciones del enun-

ciado.

c) ¿Cuántos árboles se deben plantar por hectárea para maximizar la producción?

2.9. Construcción de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de

peŕımetro se enrolla para construir un tubo ciĺındrico.

a) Expresar el Volumen del tubo en función de la longitud de la base de la plancha.

b) Calcular el dominio de la función Volumen teniendo en cuenta las condiciones

del enunciado.

2.10. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente

respecto del suelo. Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un

ángulo respecto de la vertical y se hace girar en torno a un eje vertical de manera

que la trayectoria de la vara describe la superficie de un cono.

a) Expresar el volumen del cono como función del ángulo de inclinación de la vara

(θ), como función de su altura (h) y como función de su radio (r).

b) Calcular el dominio del volumen del cono para cada una de las variables del

apartado anterior.

Funciones reales 7

2.11. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con

un pozo en el centro de dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el

agricultor se desplace por el interior del mismo a una velocidad de 1 m/s, mientras

que si camina por el borde la velocidad es de 3 m/s. Para desplazarse desde uno de

los vértices hasta el pozo, lo que hace el agriculor es caminar primero unos metros

por el borde del terreno y después dirigirse al pozo en ĺınea recta desde ese punto.

a) Expresar el tiempo total empleado por el agriculor para desplazarse desde uno

de los vértices hasta el pozo en función de los metros que camina por el borde.

b) ¿Cuál es el dominio de esa función? Si lo que nos interesa es emplear el

menor tiempo posible, ¿cuál seŕıa el dominio si nos fijamos en las condiciones

geométricas del enunciado?

2.12. Segregación de fincas 1: Una finca agŕıcola tiene forma de trapecio rectángulo

tal que sus bases miden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a

éstas mide 400 m. Se quiere segregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2,

tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar máız en el campo C1 y trigo en C2 y se estima que los beneficios

que aportan estos cereales son de 0.12 euros por m2 el máız y de 0.10 euros por m2

el trigo.

a) Expresar el beneficio total obtenido en función de la variables x e y de la figura.

b) Establecer la relación entre las variables x e y de la figura.

c) Expresar el beneficio total obtenido como función de la variable x.

d) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Cómo se interpreta, en la segregación de

la finca, que la variable tome como valores los extremos de ese dominio?

8 Matemáticas I

2.13. Construcción de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado

se construye una caja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y

plegando la superficie resultante (véase la Figura).

a) Expresar el volumen de la caja como función de la longitud x recortada.

b) ¿Cuál es el dominio de la función volumen, según las condiciones del enunciado?

x

x

x

12

2.14. La regla de los troncos de Doyle es un método utilizado para determinar el rendimiento

en madera aserrada de un tronco (en tablones por metro) en términos de su diámetro

D (en pulgadas) y de su longitud L (en metros). Según este modelo, el número de

tablones por metro viene dado por

N(D,L) =

(

D − 44

)2

L.

Hallar el número de tablones por metro de madera aserrada producida por un tronco

de 22 pulgadas de diámetro y 4 metros de longitud.

2.15. La función de producción de Cobb-Douglas es un modelo que permite expresar el

número de unidades producidas en términos de las unidades de trabajo x y del

capital y:

f(x, y) = c xa y1−a,

donde c es una constante y 0 < a < 1. Probar, que según este modelo, si se dobla

el número de unidades de trabajo y de capital, entonces también se doblará el nivel

de producción.

2.16. Hallar el dominio de las siguientes funciones de dos variables.

Funciones reales 9

a) f(x, y) =1

x2 + y2b) f(x, y) =

1

x− 1 +1

y

c) f(x, y) =√1− x2 +

√

1− y2 d) f(x, y) =√

1− x2 − y2

e) f(x, y) = ln(x+ y) f) f(x, y) =

√

1− x2

4− y

2

9

g) f(x, y) = ln(x2 + y) h) f(x, y) = ln(y2 − 2x+ 3)

i) f(x, y) =√x sen y j) f(x, y) =

√

1− x2 − y si y ≥ 0

1√

1− x2 − y2si y < 0

2.17. Describir y dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones correspondientes

a los niveles que se indican:

a) f(x, y) = x+ y para k = −1, 0, 2, 4.b) f(x, y) =

√

25− x2 − y2 para k = 0, 1, 2, 3.c) f(x, y) = x2 + 2y2 para k = 0, 2, 4, 6.

d) f(x, y) = xy para k = −2,−1, 1, 2.

2.18. Una fina placa metálica está situada en el plano OXY , siendo la temperatura T

(en oC) en el punto (x, y) inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al

origen.

a) Expresar T en función de x e y.

b) Describir las curvas de nivel y dibujar un conjunto representativo.

c) Si la temperatura en el punto (1, 2) es 50oC, ¿cuál es la temperatura en el

punto (4, 3)?

2.19. Productos con suma prefijada: Consideremos tres números reales positivos que

suman M .

a) Expresar su producto como función de dos de ellos.

b) Determinar y representar en el plano el dominio de esa función.

c) ¿Qué valor toma en la función producto si los puntos se eligen en la frontera

de ese dominio?

2.20. Restricciones temporales, espaciales o económicas: A menudo ocurre que,

por falta de tiempo, espacio o dinero, sólo podemos disponer de una cantidad li-

mitada de M unidades de un cierto producto y, sin embargo, podemos hacer una

10 Matemáticas I

cierta elección sobre ese producto dividiendo M en dos partes x e y para utilizarlas

de forma diferente. Por ejemplo:

• Restricción temporal básica: “Tengo M unidades de un tiempo”, pero puedofabricar dos tipos de objetos en ese tiempo.

• Restricción espacial básica: “A lo sumo puedo cultivar M héctareas”, peropuedo elegir dos productos distintos que cultivar.

• Restricción económica básica: “Sólo dispongo de M dinero para gastar”, perolo puedo gastar en dos conceptos distintos.

Si x e y representan las cantidades elegidas para cada uno de los tipos del producto,

¿qué región del plano modeliza los puntos que cumplen esa restricción?

2.21. Publicidad: Las ventas de un detergente son función del número de anuncios en

la prensa, x, aśı como del número de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio

en la prensa vale 100 euros y un minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de

publicidad no puede superar los 30.000 euros. Determinar y dibujar la región del

plano que representa todas las posibles poĺıticas publicitarias.

2.22. Segregación de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden

modelizarse por las rectas y = 0, x = 0 e y = 2−x. Se pretende delimitar dos zonasde cultivo con forma rectangular cuyas bases son paralelas al eje de abcisas como

indica la figura.

a) Expresar la suma del área las dos fincas como función de las longitudes x1 e

x2 de los lados horizontales de cada finca.

Funciones reales 11

b) Determinar el dominio de la función suma de las áreas según las condiciones

del enunciado. Representar el dominio y determinar que consecuencias tendŕıa

sobre las zonas de cultivo que se tomen valores en la frontera de ese dominio.

2.23. Construcción de cajas 3: Consideremos que x, y, z son las dimensiones en cm

de una caja rectagular (largo, ancho, alto). Para cada uno de los siguientes casos,

determinar el volumnen de la caja en función de las variables x e y y el dominio de

dicha función con las siguientes restricciones:

a) La suma de la altura de la caja y el peŕımetro de la base es de 96 cm.

b) La suma de sus dimensiones es 100 cm.

c) La suma de sus dimensiones es de 114 cm, no tiene más de 50 cm de largo o

de ancho, ni más de 30 de alto.

2.24. Construcción de un canalón: Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm

de ancho en un canalón, como muestra la figura.

a) Expresar el área S de una sección transversal del canalón como función de x y

a.

b) Calcular el dominio de S considerando las condiciones del enunciado.

c) Determinar qué tipo de canalón se obtiene cuando los valores de x y a están

en la frontera del dominio.

.

2.25. Construcción de una alberca: Para la construcción de una alberca con forma

ciĺındrica en una finca agŕıcola disponemos de un presupuesto máximo de 5000 euros.

Hay que cubrir las paredes laterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo)

y el coste es de 100 euros por cada metro cuadrado. Además, tanto el radio r de la

base como la profundidad h de la alberca deben ser de al menos un metro.

a) Expresar el Volumen de la alberca como función del radio de la base (r) y la

profundidad (h).

12 Matemáticas I

b) Determinar el dominio de la función Volumen según las condiciones del enun-

ciado.

c) Determinar los valores de r y h pertenecientes al dominio para los que se

gastaŕıa todo el presupuesto.

2.26. Construcción de una pérgola: Se pretende construir una pérgola para proteger

una zona del sol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de

techo con 4 soportes o columnas de forma ciĺındrica de 5 cm de radio. Además,

para proteger la madera, hay que pintar la superficie de los 4 soportes y del techo,

tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barniz disponible está

limitada a 10m2. Se impone que las dimensiones del techo sean como mı́nimo de

un metro (tanto la anchura como la profundidad) y además la cantidad de barniz

disponible para proteger la madera está limitada a 10m2, teniendo en cuenta que

hay que pintar la superf́ıcie de los 4 soportes y del techo, tanto la parte superior

como la inferior.

a) Expresar el Volumen que define la estructura como función de las dimensiones

del techo (x e y).

b) Determinar el dominio de la función Volumen según las condiciones del enun-

ciado.

Cálculo Diferencial 13

Tema 3. Cálculo Diferencial

3.1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) = x2 + 5− 3x−2 b) f(x) = x4/5 − x2/3c) f(x) = 3

√x+ 5

√x d) f(t) = 2 4

√4− t2

e) f(x) = (9− x2)2/3 f) f(x) = x+ 1x2

g) f(x) =x3 − 3x2 + 4

x2h) f(x) =

1

2x2√16− x2

i) f(x) =

(

x+ 5

x2 + 2

)2

j) f(t) = e−

5(t+3)2

k) f(x) =ex

1 + exl) f(x) = ln

√x2 − 2x+ 1

m) f(x) = ln (cos (3x)) n) f(x) = sen 3√x+ 3

√sen x

o) f(x) = cos (1− 2x)2 p) f(x) = tg ( sen (πx))q) f(x) = sec x2 r) f(x) =

cotg x

sen x

s) f(x) =cosx

cosec xt) f(x) = arcsen

(

x√x4 + 4

)

u) f(t) = arccos(2 tg 3t) v) f(x) = arctg

(

1√x+ 2

)

w) f(x) =ln(x2 − 2x+ 1)

sen (3x)x) f(x) = sen 2

(

x+ 2

x+ 1

)

y) f(x) =

[

cos

(

3x− 1x+ 2

)]2

z) f(x) = arctan

(

sen x

1 + cosx

)

3.2. Calcular la derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = (ln(x))x b) f(x) = xlnx

c) f(x) = (cosx)x d) f(x) = xcos x

3.3. Calcular un polinomio de segundo grado p tal que

p(−1) = 6, p′(1) = 8, p′′(0) = 4.

3.4. Demostrar que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado

n− 1.

3.5. Dadas las funciones seno y coseno hiperbólico:

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2

14 Matemáticas I

Demostrar que (sinh)′(x) = cosh(x) y (cosh)′(x) = sinh(x).

3.6. Hallar las rectas tangentes a las funciones dadas en los puntos que se indican.

a) f(x) = 3− 2x en (−1, 5). b) f(t) = 3t− t2 en (0, 0).c) f(x) =

√x(x3 − 1) en (1, 0) d) f(x) = 2x− 5

x3en (2, −1

8).

e) f(x) = e−x2cosx en (π

2, 0). f) f(x) = xx en (1, 1).

3.7. Hallar la ecuación de una parábola de la forma y = x2 + bx + c que sea tangente a

la curva y = (x− 1)3 en el punto de abcisa x = 1.

3.8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = ln

√

x

x+ 1paralelas a

la recta x− 4y + 1 = 0.

3.9. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = x2 + 4x+ 5 que pasa por el origen de

coordenadas.

3.10. La recta tangente a una cierta curva y = g(x) en el punto (5, 2) pasa por el punto

(9, 0). Hallar g(5) y g′(5).

3.11. El perfil de una montaña se puede modelizar por la función f(x) = −x2+5x+4. Sepretende construir un funicular desde un punto del suelo (eje OX) hasta un punto

cercano a la cumbre de la montaña de manera que el cable del funicular se represente

por una recta tangente a la montaña con un ángulo de 135o con respecto al suelo.

Calcular los puntos en el suelo y en el perfil de la montaña donde comenzaŕıa y

terminaŕıa, respectivamente, la estructura del funicular.

3.12. Supongamos que un cometa sigue una trayectoria de ecuación y = 2x2 + 2x + 8

y que la Tierra se encuentra situada en el punto (0, 0). Sabiendo que cuando un

cometa se escapa de su trayectoria sigue siempre la dirección de la recta tangente

a la trayectoria en el punto de escape, averiguar las coordenadas de los puntos de

escape de la trayectoria del cometa en los que haŕıa impacto con la Tierra.

3.13. Los ensayos de Mendel mostraron que si p (0 < p < 1) es la frecuencia del gen de

cáscara lisa en los guisantes y 1 − p es la frecuencia del gen de cáscara arrugada,entonces la proporción de guisantes de cáscara lisa en la población total es

y = 2p(1− p) + p2.

Justificar que el valor de y es más sensible a un cambio de p cuando p es pequeña

que cuando p es grande, interpretando la derivada de y respecto de p.

Cálculo Diferencial 15

3.14. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de número

de acuerdo con la ecuación P (t) = 500

(

1 +4t

50 + t2

)

, donde t se mide en horas.

Hallar el ritmo de crecimiento de la población cuando t = 2.

3.15. Para la función de crecimiento de von Bertalanffy:

L(x) = l(1 − e−kx), x ≥ 0,

con L(x) una medida del crecimiento (peso, longitud, ...) a la edad x y l y k

constantes positivas, demostrar que la velocidad de crecimiento es proporcional a

la diferencia entre l y L. ¿Cómo cambia la velocidad de crecimiento con la edad?

¿Cómo influye el parámetro k en la velocidad de crecimiento?

3.16. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones de dos

variables.

a) f(x, y) = 2x− 3y + 5 b) z = x√yc) z = x2 − 5xy + 3y2 d) f(s, t) = s2e2t

e) f(x, y) = log (x2 + y2) f) f(x, y) = log

(

x+ y

x− y

)

g) f(x, y) =x2

2y+

4y2

xh) z = e−(x

2+y2)

i) f(x, y) =√

x2 + y2 j) z = tg (2x− y)k) f(x, y) = ey sen (xy) l) f(x, y) = cos(x2 + y2)

3.17. Hallar el plano tangente a la siguientes superficies en los puntos que se indican:

a) z = 25− x2 − y2, en el punto (3, 1, 15).b) z =

√

x2 + y2, en el punto (3, 4, 5).

c) z = ex( sen y + 1), en el punto (0, π/2, 2).

d) z = ln√

x2 + y2, en el punto (3, 4, ln 5).

3.18. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = 4x3 − 6xy + 2y3

b) f(x, y) = ex+ sen y

c) f(x, y) =√

x2 + y2

d) f(x) = arctg (y

x)

3.19. Probar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones que se indican.

a) z = ex sen y, ecuación de Laplace:∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0.

16 Matemáticas I

b) z = sen (x− ct), ecuación de ondas: ∂2z

∂t2= c2

∂2z

∂x2.

c) z = e−t cos(x

c), ecuación del calor:

∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2.

3.20. Calcular el gradiente de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = x3y2 b) f(x, y) = e√

x2+y2

c) f(x, y) = ln(x

y+

y

x) d) f(x, y) = tg

(

x− yx+ y

)

3.21. La superficie de una montaña se puede modelar mediante la ecuación

f(x, y) = 4000− 0.001x2 − 0.004y2.

¿En qué dirección nos debemos mover desde el punto (500, 300, 3.390) para ascender

con la mayor rapidez posible?

3.22. La temperatura en cada punto (x, y) de una placa metálica admite el modelo

T (x, y) = 400 e−(x2+y)/2, x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Calcular la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto

(3, 5).

b) Hallar la dirección tangente en el punto (3, 5) a la curva en la que la tempera-

tura no cambia respecto al mismo punto.

Aplicaciones de la derivada 17

Tema 4. Aplicaciones de la derivada

4.1. Hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento aśı como los extremos relativos

de las siguientes funciones.

a) f(x) =x2 − 2x+ 1

x+ 1b) f(x) = 5− |x− 5|

c) f(x) = x+ cos(x) d) f(x) = |x2 − 9|

e) f(t) = arctg t− 12ln(1 + t2) f) f(x) = (x− 2)4

4.2. Determinar los valores de a para los que la función f(x) =1− ax2− x es decreciente.

4.3. Dada la curva f(x) = 4x3 − 2x2 − 10:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto en el que la pendiente

vale −1/3.

b) Demostrar que el punto anterior es un punto de inflexión de la curva.

4.4. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se

indican.

a) f(x) = −x2 + 3x en [0, 3] b) f(x) = x2

x2 + 3en [−1, 1]

c) f(x) = 3x2/3 − 2x en [−1, 1] d) f(x) = cos (πx) en [0, 12]

4.5. Sea (x0, y0) un punto cŕıtico de la función f(x, y). Determinar si hay un máximo o

mı́nimo relativo, un punto de silla o si la información es insuficiente, conocidos los

datos que se indican en cada uno de los siguientes casos.

a) fxx(x0, y0) = 9, fyy(x0, y0) = 4, fxy(x0, y0) = 6.

b) fxx(x0, y0) = −3, fyy(x0, y0) = −8, fxy(x0, y0) = 2.

c) fxx(x0, y0) = −9, fyy(x0, y0) = 6, fxy(x0, y0) = 10.

d) fxx(x0, y0) = 25, fyy(x0, y0) = 8, fxy(x0, y0) = 10.

4.6. Hallar los extremos relativos y puntos de silla de las siguientes funciones.

18 Matemáticas I

a)f(x, y) =x2y2 + x+ y

xyb) f(x, y) = x3 + y3 − 9xy + 27

c) f(x, y) = y3 + x2y + x2 + 2y2 − 4y − 8 d) f(x, y) = x2 − 3xy − y2

e) f(x, y) = x3 − 3xy + y3 f) f(x, y) = e−x sen y

g) f(x, y) = 2xy − 12(x4 + y4) + 1 h) f(x, y) = x2 + y4

4.7. Hallar los extremos relativos de la función f(x, y) = x3+x2y+ y2+2y+ p. Calcular

p de forma que f tenga un mı́nimo igual a 0.

4.8. Determinar los extremos relativos y puntos de silla de la función f(x, y) = ey2−px2,

según los valores de p.

4.9. Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en la regiones que se

indican.

a) f(x, y) = 12− 3x− 2y, R ≡ {Triángulo de vértices (2, 0), (0, 1), (1, 2)}.

b) f(x, y) = 3x2 + 2y2 − 4y, R ≡ {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2; y ≤ 4}.

c) f(x, y) = x2 + y2 + 4x− 1, R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}.

d) f(x, y) = 2x+ 4y − x2 − y2 − 3, R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

4.10. Encontrar los extremos absolutos de la función f(x, y) = (x− 2)2 + y2 en el recinto

A = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x ≤ 9; 3x− 4y + 12 ≤ 0; 3x+ 4y + 12 ≤ 0}.

4.11. Sea f(x, y) = 4y − 2x− x2y

a) Calcular los extremos relativos de f .

b) Calcular los extremos absolutos de f en el recinto delimitado por 4y + x = 0,

x = 4, y = 0.

4.12. Calcular los extremos absolutos de la función

f(x, y) = e1−y2

(x2 + y2)

en la región R delimitada por la curva x2 + y2 = 1.

4.13.

Aplicaciones de la derivada 19

a) Sea f(x) una función positiva y derivable y g(x) = f(x)2. Nótese que f tiene

mı́nimo absoluto y se alcanza en a si y solo si g tiene mı́nimo absoluto y se

alcanza en a. Demostrar que también se cumple que f tiene un mı́nimo local

en a si y solo si g tiene un mı́nimo local en a (un resultado análogo se verifica

para máximos).

b) Utilizando el resultado anterior, calcular la mı́nima distancia desde el punto

(0, 6) a la curva y = 2x2.

4.14. La cosecha de máız en una explotación agŕıcola Y en función del nivel de nitrógeno

en el suelo N puede modelarse por

Y (N) =N

N2 + 1, con N ≥ 0.

a) Calcular los niveles de nitrógeno entre los que la cosecha aumenta o disminuye.

b) Calcular el nivel de nitrógeno con el que se obtiene la máxima cosecha.

4.15. Las reses de ganado vacuno de cierta región ganadera se ven afectadas por una

epidemia, que obliga a poner en marcha medidas para frenar su efecto. La función

que describe, aproximadamente, la evolución del número de cabezas de ganado (en

miles) en función del tiempo (en años) es:

N(t) = 10t2 − t+ 1t2 + 1

, t ≥ 0

Se pide:

a) La velocidad de crecimiento del número de cabezas de ganado.

b) ¿A partir de qué momento empiezan a surgir efecto las medidas establecidas?

c) ¿Qué proporción de vacas se perdieron hasta el peor momento de la epidemia?

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

4.16. Construcción de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de

peŕımetro se enrolla para construir un tubo ciĺındrico. Hallar las dimensiones de la

plancha para que el volumen del tubo sea máximo.

4.17. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente

respecto del suelo. Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un

ángulo respecto de la vertical y se hace girar en torno a un eje vertical de manera

que la trayectoria de la vara describe la superficie de un cono. Determinar el ángulo

que hay que inclinar la vara para conseguir el cono de volumen máximo.

20 Matemáticas I

4.18. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con

un pozo en el centro de dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el

agricultor se desplace por el interior del mismo a una velocidad de 1 m/s, mientras

que si camina por el borde la velocidad es de 3 m/s. Determinar cuántos metros

debe caminar el agricultor por el borde del terreno antes de entrar al sembrado,

para desplazarse desde uno de los vértices hasta el pozo lo más rápido posible.

4.19. La nave de maquinaria: Un agricultor realiza todos los d́ıas el recorrido que

se muestra en la figura desde la entrada de su finca hasta la nave de maquinarias.

Sabiendo que camina a 8 km/h por la carretera y a 3 km/h por el interior de la

finca, determinar el ángulo α que describe en su recorrido si lo realiza en el menor

tiempo posible. ¿Cuánto tiempo se ahorra de esta forma en comparación con ir en

linea recta por el interior de la finca?

α α

10 km

2 km

Carretera

2 km

4.20. El punto de enlace: Dos naves ganaderas A y B están a una distancia de 5 km

y a su vez distan 4 y 7 km, respectivamente, de una carretera que se considera

rectiĺınea. Determinar el punto de la carretera desde donde debe construirse un

camino hacia cada nave para que la distancia desde una nave a otra a través del

camino construido sea mı́nima.

4.21. Las avionetas: Para la siembra de un arrozal, se dispone de una avioneta A que

está situada a 1300 m al oeste de otra avioneta B. La avioneta A vuela hacia el sur

a una velocidad constante de 15 m/s y la B vuela hacia el oeste a 10 m/s. ¿En qué

momento estarán las avionetas más próximas? Teniendo en cuenta que las normas

de seguridad exigen que las avionetas se mantengan a más de 1 Km de distancia,

¿se incumple esta norma en algún momento? Razona la respuesta.

4.22. Terreno con camino diagonal: Se desea delimitar un terreno que puede mode-

lizarse como un rectángulo con un vértice en el origen de coordenadas y apoyado

en los semiejes positivos. Además, se pretende que la diagonal del rectángulo que

corta a los dos semiejes sea un camino que pase por el punto (1, 2). Determinar

las dimensiones del terreno para que el área encerrada sea mı́nima y calcular este

área.

Aplicaciones de la derivada 21

4.23. Segregación de fincas 1: Una finca agŕıcola tiene forma de trapecio rectángulo

tal que sus bases miden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a

éstas mide 400 m. Se quiere segregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2,

tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar máız en el campo C1 y trigo en C2 y se estima que los beneficios

que aportan estos cereales son de 0.12 euros por m2 el máız y de 0.10 euros por m2 el

trigo. Determinar las dimensiones que debe tener cada finca para obtener el máximo

beneficio.

4.24. Construcción de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado

se construye una caja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y

plegando la superficie resultante. Calcular el valor de x que hace que el volumen de

la caja resultante sea máximo.

x

x

x

12

4.25. Productos con suma prefijada: Dividir un segmento de longitud l en tres partes

de modo que su producto sea máximo.

22 Matemáticas I

4.26. Restricción temporal básica: Una industria fabrica un producto en dos factoŕıas.

El coste de producción de x unidades en la primera es C1 = 0.02x2 + 4x + 500 y

el coste de producción de y unidades en la segunda es C2 = 0.05y2 + 4y + 275. Si

el producto se vende a 15 euros la unidad, calcular qué cantidad debe producirse

en cada factoŕıa con el fin de hacer máximo el beneficio sabiendo que no se pueden

fabricar más de 420 unidades.

4.27. Restricción espacial básica: El gerente de una explotación agŕıcola estimó que

el benificio anual es

B(x, y) = 1600x+ 2400y − 2x2 − 4y2 − 4xy,

donde x e y son el número de hectáreas plantadas con soja y máız, respectiva-

mente. Si se pueden cultivar a lo sumo 500 hectáreas, calcular cuántas hectáreas

conviene plantar con cada cultivo para maximizar el beneficio y cuál seŕıa el beneficio

máximo.

4.28. Restricción económica básica: Un editor dispone de 60.000 e a lo sumo para

invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si invierte

x miles de euros en desarrollo e y miles de euros en promoción se venderán aproxi-

madamente f(x, y) = 20x3/2y ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debe asignar el

editor a desarrollar el libro y cuánto a la promoción del mismo para maximizar las

ventas? ¿Cuántos ejemplares se venderán como máximo?

4.29. Publicidad: Las ventas de un detergente son función del número de anuncios en

la prensa, x, aśı como del número de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio

en la prensa vale 100 euros y un minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de

publicidad no puede superar los 30.000 euros. Estad́ısticamente, se ha estimado que

estas variables están relacionadas de la forma V (x, y) = 12xy−x2−3y2. Determinarla poĺıtica publicitaria óptima.

4.30. Segregación de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden

modelizarse por las rectas y = 0, x = 0 e y = 2−x. Se pretende delimitar dos zonasde cultivo con forma rectangular cuyas bases son paralelas al eje de abcisas como

indica la figura. Calcular razonadamente las dimensiones de las zonas de cultivo

para que la suma de sus áreas sea máxima.

Aplicaciones de la derivada 23

4.31. Construcción de cajas 2: A partir de tres cuadrados grandes de metal, cada uno

de 100 cm de lado, se construyen tres cajas grandes sin tapa recortando cuadrados

en las esquinas, todos del mismo lado. Con las 12 esquinas recortadas se construyen

2 cubos. Determinar razonadamente el lado de los cuadrados recortados para que

el volumen total de las 5 cajas sea máximo.

4.32. Construcción de cajas 3.1: Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares

de manera que la suma de la altura de la caja y el peŕımetro de la base es de 96

cm. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede ofrecer dicha

empresa.

4.33. Construcción de cajas 3.2: Halla el volumen máximo de una caja en la que la

suma de las longitudes de sus aristas es 1.

4.34. Construcción de cajas 3.3: Se quiere diseñar una pieza de equipaje de mano

para el transporte aéreo que cumpla la normativa establecida, es decir, tal que sus

dimensiones totales (largo+ancho+alto) sean de 114 cm (el máximo permitido) y

no tenga más de 50 cm de largo o de ancho ni más de 30 cm de alto. Determinar

las dimensiones de la pieza de equipaje que se ajusta a estos criterios y tiene un

volumen máximo.

4.35. Construcción de una alberca: Para la construcción de una alberca con forma

ciĺındrica en una finca agŕıcola disponemos de un presupuesto máximo de 5000 euros.

Hay que cubrir las paredes laterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y

el coste es de 100 euros por cada metro cuadrado. Además, tanto el radio de la base

24 Matemáticas I

como la profundidad de la alberca deben ser de al menos un metro. Determinar las

dimensiones de la alberca con volumen máximo. ¿Cuál es dicho volumen máximo?

4.36. Construcción de una pérgola: Se pretende construir una pérgola para proteger

una zona del sol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de

techo con 4 soportes o columnas de forma ciĺındrica de 5 cm de radio. Además,

para proteger la madera, hay que pintar la superficie de los 4 soportes y del techo,

tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barniz disponible está

limitada a 10m2. Se impone que las dimensiones del techo sean como mı́nimo de un

metro (tanto la anchura como la profundidad) y que nos gastemos todo el barniz

disponible. Calcular las dimensiones del rectángulo del techo y la altura de los

soportes que máximizan el volumen bajo la pérgola.