Tema 1 canales en comunicaciones digitales

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  • 1. Tema 1Canales en comunicaciones digitalesDr. Jos Ramn CerquidesTeora de la Seal y ComunicacionesUniversidad de SevillaTransmisin Digital

2. Organizacin Introduccin. Diagrama de bloques de un sistema detransmisin digital Elementos de un sistema de transmisin digital Fuente, codificador, modulador, canal, ruido, demodulador,detector, decodificador y destino Canal digital equivalente Definicin y modelado Obtencin de los parmetros del canal digital equivalente Parmetros importantes de una transmisin Canal discreto equivalente Definicin y modelo Obtencin del canal discreto equivalente Canal binario equivalente Definicin y modelo Obtencin del canal binario equivalente Conclusiones Referencias 3. Diagrama de bloquesFUENTECODIFICADORMODULADORCANALDESTINODECODIFICADORDETECTORDEMODULADORMensajeemitidom[l](secuenciabinaria)Smbolosemitidoss[n](secuenciadigital)Sealemitidas(t)(sealanalgica)Seal a lasalida delcanalc(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(seal analgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Smbolosestimadoss[n](secuenciadigital)Mensajerecibidom[l](secuenciabinaria)CANAL DIGITAL EQUIVALENTECANAL DISCRETO EQUIVALENTECANAL BINARIO EQUIVALENTE 4. Genera el mensaje binario m[l] a transmitir. Puede proceder de una fuente analgica La velocidad de transmisin, tambin denominadaflujo binario o rgimen binario es Rb (bits/segundo). Tb = 1/Rb es la duracin de un bit o perodo de bit. La codificacin de fuente queda fuera de losobjetivos de la asignatura.FuenteFuenteanalgicaCodificadorde fuente(opcional)m(t)Mensajeanalgico(sealanalgica)Mensajebinario sincodificarMensajebinariocodificadom[l]ConversorA/DNb fs 5. Ejemplos de fuentes Telefona Seal analgica de voz Banda de 300 a 3400 Hz Muestreo a 8 bits y 8000 Hz Rb = 64 Kb/s Telefona mvil Seal analgica de voz Banda de 300 a 3400 Hz Muestreo a 8 bits y 8000 Hz 64 Kb/s Codificacin de fuente a Rb de 13 Kb/s CD-Audio (1x) Seal digital a 44100162 = 176 KB/s Msica MP3 (MPEG II Layer 3) Seal analgica de audio Muestreo a 44100 Hz, stereo, 16 bits/muestra (como CD) Codificacin de fuente a Rb = 32, 64, 128, 256, 384 Kbps 6. Ejemplo de codificacin de fuente Supongamos que la fuente quiere transmitir elcarcter N. Es necesario decidir qu cdigo se va a utilizar. Se decide utilizar el cdigo ASCII extendido (8 bitspor caracter). Dicho carcter toma el valor 78 (en decimal) Codificado con 8 bits resulta ser 01001110 De ese modo,m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0sera el mensaje a transmitir. 7. Codificador Genera la secuencia de smbolos s[n] a transmitir,que representan la informacin contenida en elmensaje m[l]. Pueden aadirse cdigos de privacidad, protecciny/o correccin de errores a la secuencia original(fuera de este tema). La velocidad de salida de los smbolos es Rs y sedenomina velocidad de sealizacin (en smbolos/so baudios). Ts = 1/Rs = perodo de smbolo o duracin de unsmbolo (segundos). La relacin Rb/Rs = Ts/Tb = ?bits por smbolo 8. Ejemplo: Un codificador sencillo Un ejemplo sencillo podra ser el que mapea lasecuencia de bits en smbolos de la forma siguiente: El mensaje m[l] del ejemplo anteriorm[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0se convertira en la secuencia de smboloss[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]. En este caso Ts = Tb y por tanto Rs y Rb coincidirn.Bit Smbolo0 -11 1 9. Equivalentes paso bajo Supondremos siempre que utilizamos equivalentespaso bajo de los sistemas reales de comunicacin. Debemos considerar la posibilidad de smboloscomplejos,s[n] = si[n] + jsq[n]donde si[n] y sq[n] denotan respectivamente lascomponentes fase y cuadratura del smbolo s[n]. 10. EJEMPLO: Un codificador de 2 bits/smbolo. Si realizamos el mapa siguiente:la secuencia original de bits m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0resultara en una secuencia de smboloss[n] = j,1,-j,-1 Cada smbolo lleva informacin de 2 bitsTs = 2Tb Rs = Rb/2Bits Smbolo00 101 j10 -111 -j 11. Constelacin transmitida Si marcamos sobre un planocomplejo los posiblesvalores de los smbolostransmitidos, obtendremosla constelacin de la sealtransmitida.ReIm1-110ReIm1-1j-j00011011ReIm00011011 12. Ejemplo: 128 - QAM 13. Supongamos que, debido a un error, se recibiese lasecuencia de smboloss[n] = j,1,1*,-1(el * indica el smbolo errneo) El mensaje decodificado sera01000010 66 B Obsrvese que entre el mensaje binario original y eldecodificado hay dos bits de diferencia.Original: 0 1 0 0 1 1 1 0Decodificado: 0 1 0 0 0 0 1 0Un error !!!! 14. Cdigos de Gray Cuando se produce un error, se suele confundir elsmbolo con uno de los ms prximos Parece lgico, que los bits asociados a smbolos msprximos se parezcan ms entre s, de modo que, alproducirse un error en un smbolo este repercuta enel menor nmero de bits posibles. Esto es lo que persigue la codificacin Gray.ReIm1-1j-j00011011ReIm1-1j-j00011110Cdigo no Gray Cdigo Gray 15. EJEMPLO: Codificador alternativo (Gray)ReIm1-1j-j00011110 Si hubiesemos utilizado el codificador:Mensaje: 01001110 Codificada: j,1,-1,-j.Recibida: j,1,-j*,-j Decodificado: 01001010 74 J. Entre el mensaje binario original y el decodificadohabra ahora nicamente un bit de diferencia.Original: 01001110Decodificado: 01001010 16. Ejemplo: 256 QAM (Gray) (un cuadrante) 17. Modulador Elemento encargado de convertir la secuencia desmbolos presentes a la salida del codificador en unaseal analgica s(t) que pueda ser transmitida atravs del canal de comunicaciones. Tecnolgicamente se despliegan en este punto unenorme nmero de posibilidades dependiendo de lascaractersticas que se pretendan obtener del sistemade comunicaciones. Iremos revisando algunas de los diferentes tcnicasde modulacin utilizadas habitualmente. A la salida del modulador encontraremos una sealanalgica s(t) que debe contener la informacinnecesaria para la correcta transmisin del mensaje. 18. Ejemplo de modulador Se podra construir unaseal analgica s(t)asignando formas de ondadiferentes a los diferentessmbolos. Podramos transmitirp1(t) cuando s[n] = s0 = 1p-1(t) cuando s[n] = s1 = 1 La seal quetransmitiramos sera:0 Ts Ts tp1(t)10 Ts Ts tp-1(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts ts(t)1 19. Moduladores sin memoria Aunque existen moduladores con memoria (laseal transmitida en cada instante depende de laseal actual y de seales anteriores), para estudiarlas principales caractersticas de un sistema detransmisin digital podemos suponer que nuestrosistema utiliza un modulador sin memoria: Un modelo habitual de modulador que puede servirpara describir un buen nmero de modulacionesviene dado por la expresin: Dependiendo de ps(t), el esquema anterior puede darlugar a diferentes modulaciones.( ) [ ] ( )ss kks t p t kT== ( ) [ ] ( )s sks t s k p t kT== 20. EJEMPLO: Un modulador en I-Q Partiendo de la secuencia s[n] = j,1,-1,-j si utilizamosun modulador que genere a la salidacon ps(t) = u(t)-u(t-Ts). Las seales generadas en los canales en fase y encuadratura sern:( ) [ ] ( )s sks t s k p t kT== 0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tstsi(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tstsq(t)1 21. EJEMPLO: Un modulador I-Q (2) La seal que realmente se emitir ser(t) = Re{s(t)ej2f0t}( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }i q 0 0s t Re s t js t cos 2 f t jsen 2 f t = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i 0 q 0s t s t cos 2 f t s t sen 2 f t= 0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1 si(t)cos(2f0t)0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1-sq(t)sin(2f0t)0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1 si(t)cos(2f0t)- sq(t)sin(2f0t) 22. EJEMPLO: Un modulador I-Q (y 3)f0 = 10 Hzf0 = 500 Hz 23. EJEMPLO: Modulador con pulso de Nyquist Si el pulso ps(t) es un pulso de Nyquist:y se utiliza un modulador lineal binario con smbolosde entrada 1, la seal de salida ser:0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1pt(t)-1 1 -1 -1 1 1 1 -1s(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 11Ts 12Ts 13Ts 14Tst 24. Canal El canal es el medio utilizado para transportar laseal desde el transmisor hasta el receptor. Puede ser un medio fsico: hilos conductores, fibraptica, gua de ondas..., o bien puede estarconstituido por la atmsfera o el espacio, como en losradioenlaces terrenales por microondas, en lascomunicaciones va satlite o en la telefona mvil. Describiremos el canal analgico mediante surespuesta impulsional hc(t) o equivalentementemediante su funcin de transferencia Hc(f). A la salida del mismo nos encontraremos con unaseal c(t) dada por:c(t) = s(t)*hc(t) C(f) = S(f)Hc(f) 25. Ejemplos de canales Canal ideal Un canal ideal, que no presentara retraso ni atenuacin,entregara a la salida una seal c(t) idntica a la seal s(t)que se hubiera presentado a su entrada. Su respuesta impulsional hc(t) se representara como unadelta,hc(t) = (t) Retardo y atenuacin Para modelar un canal con retardo y atenuacinutilizaramos una expresin para su respuesta impulsionalcomo la siguiente:hc(t) = (t-td)siendo la atenuacin del canal y el parmetro td el retrasodel mismo. 26. Ruido Uno de los problemas inevitables de cualquiersistema de comunicacin es la presencia de ruido. En nuestros modelos introduciremos el ruido comouna seal v(t), descrita en trminos estadsticos y quese aade a la seal de salida del canal, para obtenerla seal de entrada a los circuitos del demodulador:x(t) = c(t) + v(t) Debemos interpretar este ruido como un ruidoequivalente. Ser necesaria una caracterizacin estadstica doble: Funcin densidad de probabilidad (usualmente Gauss) Densidad espectral de potencia (usualmente plana) 27. EJEMPLO: Descripcin del ruido Ruido blanco Si decimos que v(t) es un ruido blanco esto significa que sudensidad espectral de potencia es plana (igual a todas lasfrecuencias):Svv(f) = v2 Dado que la autocorrelacin y la densidad espectral depotencia forman un par transformado:rvv() = E{v(t)v*(t-)} = v2() Ruido gaussiano Si decimos que v(t) es un ruido gaussiano de media ceroestamos imponiendo una f.d.p. a las muestras del ruido:( )22vv2v(t)v1f v e2= 28. Ejemplos de ruido (diferentes p.d.f.s)Gauss RayleighRice Uniforme 29. Ejemplos de ruido (gauss) (diferentes colores)RuidoblancoRuidorosaRuidomarrn 30. Demodulador El demodulador es el elemento encargado deinterpretar la seal recibida, extrayendo de la mismalos smbolos que fueron inyectados en el modulador. El demodulador es probablemente el elemento mscomplejo de todo el sistema de transmisin, ya quenormalmente necesita la incorporacin de circuitosauxiliares de sincronismo, ecualizacin, muestreo... En cualquier caso, a la salida del demodulador nosencontraremos con una secuencia discreta desmbolos que denominaremos r[n], secuencia queser entregada al detector para su interpretacin. Nos centraremos en la demodulacin mediante filtroadaptado, por ser ptimos para modulacioneslineales sin memoria. 31. EJEMPLO: Demodulador con filtro adaptado En modulaciones lineales sin memoria, la estructurade un demodulador ptimo es la siguiente:donde la expresin del filtro adaptado es:FILTROADAPTADOSealrecibidax(t)(sealanalgica)DEMODULADORSmbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Sealsalidar(t)(sealanalgica)( )( ) ( )( )0j2 ft* *s crvvP f H f eH f kS f = 32. EJEMPLO: Demodulador y constelacin Las muestras tomadas a la salida del demoduladorconstituyen la constelacin de la seal recibida.RecepcincorrectaExcesode ruidoError de faseen sincronismode portadoraError defrecuencia ensincronismode portadora 33. Detector El detector o decisor es elemento encargado deinterpretar la secuencia de smbolos r[n] presente a lasalida del demodulador con el objetivo dedeterminar la secuencia de smbolos originaltransmitida s[n]. A la salida del detector encontraremos una secuenciade smbolos s[n], donde la tilde indica estimadoso lo que es lo mismo, que pueden ser errneos. Probablemente el parmetro de calidad msimportante de un sistema de transmisin digital esprecisamente el porcentaje de smbolos errneos quese recibe, parmetro que suele expresarse como unaprobabilidad y que se denomina Probabilidad deError de Smbolo. 34. Decodificador El objetivo del decodificador es analizar s[n] paradeterminar el mensaje original. Si en el codificador sehan introducido cdigos de proteccin y correccinde errores, el decodificador deber ser capaz deprocesar adecuadamente dicha informacin. A la salida encontraremos en cualquier caso unmensaje estimado m[l], formado por unasecuencia de bits. Otro de los parmetros de inters en un sistemadigital de comunicaciones es la Probabilidad deError de Bit, que no tiene porqu coincidir con laProbabilidad de Error de Smbolo anteriormentedescrita. 35. Canal digital equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Smbolostransmitidoss[n](secuenciadigital)Sealtransmitidas(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(sealanalgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom[l](secuenciadigital)Seal de salidadel canalc(t)(sealanalgica)SmbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE 36. Canal digital equivalenteFUENTECODIFICADORMODULADORCANALDESTINODECODIFICADORDETECTORDEMODULADORMensajeemitidom[l](secuenciabinaria)Smbolosemitidoss[n](secuenciadigital)Sealemitidas(t)(sealanalgica)Seal a lasalida delcanalc(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(seal analgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Smbolosestimadoss[n](secuenciadigital)Mensajerecibidom[l](secuenciabinaria)CANAL DIGITAL EQUIVALENTE 37. Canal digital equivalente Si observamos el esquema de un sistema digital decomunicaciones, podemos ver que a la entrada delmodulador tenemos una secuencia discreta s[n], y ala salida del demodulador nos encontramos con unanueva secuencia discreta r[n]. Podemos suponer que la cadena modulador canal ruido demodulador se comporta de maneraequivalente a un canal discreto.CANALDIGITALhd[n]s[n]Secuencia desmbolos deentradar[n]Secuencia desmbolos desalidaw[n]Ruido discreto 38. Canal digital equivalente El modelo resultara por tanto:r[n] = s[n]*hd[n] + w[n]donde: hd[n] es la respuesta impulsional del canal digitalequivalente. w[n] es el ruido discreto equivalente. Para tener perfectamente caracterizado el canaldigital equivalente necesitamos determinar: La respuesta impulsional hd[n] Las caractersticas de w[n] Funcin densidad de probabilidad Densidad espectral de potencia 39. Obtencin del canal digital equivalenteMODU-LADOR CANALDEMODULADORSmbolostransmitidosSealtransmitidas(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(sealanalgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Seal de salidadel canalc(t)(sealanalgica)s[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTEFILTROADAPTADOr(t)(sealanalgica)SealfiltradaCANALDIGITALhd[n]s[n]Secuencia desmbolos deentradar[n]Secuencia desmbolos desalidaw[n]Ruido discretohd[n]?w[n]? 40. Obtencin de hd[n] Utilizaremos superposicin: Haciendo v(t) = 0 w[n] = 0 obtendremos hd[n] Del modelo digital Del modelo analgicor[n] = r(nTs+t0)t0 Instante ptimo de muestreo de r(t) Para obtener t0 ser necesario determinar queinstante elegirn (o debieran elegir) los circuitos desincronismo. El objetivo es tomar la muestra en el instante en quela probabilidad de error de smbolo sea menor.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m== = 00 e,stt arg minP = 41. Obtencin de t0 Obtendremos primero una expresin de r(t)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t) Utilizando las siguientes definiciones:pc(t) = ps(t)*hc(t) = Pulso a la salida del canal (recibido).pr(t) = pc(t)*hr(t) = Pulso a la salida del filtro de recepcin.( ) [ ] ( ) ( ) ( )s s c rmr t s m p t mT *h t *h t= = ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )s s c rmr t s m p t mT *h t *h t== ( ) [ ] ( )r smr t s m p t mT== v(t) = 0( ) ( ) ( ) ( )c rr t s t *h t *h t= 42. Obtencin de t0 En general, los circuitos de sincronismo deben elegirt0 para que la probabilidad de error de smbolo seamnima. En la prctica se utilizan diferentes tcnicas desincronizacin, con diferentes resultados (vase cap.6 Digital Communications). A fin de simplificar el procedimiento y dado que lastcnicas de sincronismo de smbolo quedan fuera delos objetivos de este tema, supondremos que loscircuitos de sincronismo se enganchan al puntomximo del pulso recibido (esta no es la solucinptima, pero puede constituir una buenaaproximacin). 43. Ilustracin obtencin de t0tpr(t)MximoValor de t para elque se produce = t0 44. EJEMPLO: Determinacin de t0 Parmetros del sistema: Pulso transmitido ps(t) =A(u(t)-u(t-Ts)) = ((t-Ts/2)/Ts) Canal ideal hc(t) = (t) Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA(u(t)-u(t-Ts))pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t)pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2Ts((t-Ts)/2Ts)0 Ts 2Ts tpr(t)kA2Ts0 Ts tps(t)A0 thc(t)10 Ts thr(t)kAValormximot0 = Ts 45. EJEMPLO: Determinacin de t0 Parmetros del sistema: Pulso transmitido ps(t) =A(u(t)-u(t-Ts)) = ((t-Ts/2)/Ts) Canal con retraso y atenuacin hc(t) = (t-td) Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA(u(t)-u(t-Ts))pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t-td)pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2Ts((t-td-Ts)/2Ts)0 td td+Ts td+2Tstpr(t)kA2Ts0 Ts tps(t)A0 td thc(t)0 Ts thr(t)kAValormximot0 = td+Ts 46. Obtencin de hd[n] (continuacin) Del modelo analgicor[n] = r(nTs+t0)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)r(t) = s(t) * hc(t) * hr(t)v(t) = 0( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )c r t s c rmr t s t *h t *h t s m p t mT *h t *h t= = = ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )t s c rmr t s m p t mT *h t *h t== ( ) [ ] ( )r smr t s m p t mT== [ ] ( ) [ ] ( )s 0 r s 0 smr n r nT t s m p nT t mT== + = + [ ] [ ] ( )( )r s 0mr n s m p n m T t== + 47. Obtencin de hd[n] (y 3) Del modelo analgico Del modelo digital Conclusin:[ ] [ ] ( )( )r s 0mr n s m p n m T t== +[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m== = [ ] ( )( )d r s 0h n m p n m T t = +[ ] ( )d r s 0h n p nT t= + 48. Obtencin de hd[n]. Interpretacin[ ] ( )d r s 0h n p nT t= +thd[n]-4 -3 -2 -1 0 1tpr(t)t0-4Ts t0-3Ts t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts 49. EJEMPLO. Obtencin de hd[n] Parmetros del sistema Pulso transmitido ps(t) =A(u(t)-u(t-Ts)) = A((t-Ts/2)/Ts) Canal ideal hc(t) = (t) Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA(u(t)-u(t-Ts)) Ntese que si el canal hubiese tenido retraso y atenuacinhc(t) = (t-td)0 Ts 2Ts tpr(t)kA2Ts-1 0 1 nhd[n]kA2Ts0 td td+Ts td+2Tstpr(t)kA2Ts-1 0 1 nhd[n]kA2Ts 50. Intrepretacin de hd[n] Partiendo ya del canal digital equivalente:es posible notar que: hd[0] 0 por definicin (o no hay transmisin) si hd[n] k[n] Hay ISI en el sistema Ecualizador EJEMPLO:s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]hd[n] = [n] + 0.3 [n-1]r[n] = [-1,0.7,-0.7,-1.3,0.7,1.3,1.3,-0.7,0.3] NOTA: Aunque en este caso la ISI por si sola no essuficiente para provocar un error de transmisin, ESTARADEBILITANDO LA SEAL FRENTE AL RUIDO.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m== = 51. Caracterizacin del ruido La relacin entre v(t) y w[n] viene dada por:w[n] = w(nTs+ t0)donde Funcin densidad de probabilidad:v(t) Gauss de media 0 w[n] Gauss de media 0( ) ( ) ( ) ( )r rw(t) v t *h t h v t d= = ( ) ( )22vv2v tv1f v e2=[ ] ( )22ww2w nw1f w e2= 52. Caracterizacin del ruido Obtencin densidad espectral de potencia de w[n]v(t) Densidad espectral de potencia Svv(f)v(t) Funcin de autocorrelacin rvv()rvv() = E{v(t)v*(t-)} = F-1{Svv(f)}w[n] Densidad espectral de potencia Sww(F)w[n] Funcin de autocorrelacin rww[m]rww[m] = E{w[n]w*[n-m]} = F-1{Sww(F)} Sustituyendow[n] = w(nTs+ t0)rww[m] = E{w(nTs+to)w*((n-m)Ts+t0]} = rww(mTs) Utilizando los resultados ya conocidos de ruido a travs desistemas lineales:rww(t) = rvv(t) * rhrhr(t) = rvv(t) * hr(t) * hr*(-t) 53. EJEMPLO. Caracterizacin del ruido En el ejemplo que venimos siguiendohr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))rhrhr() = k2A2Ts(t/2Ts) Si el ruido v(t) es blancorvv() = v2()rww() = v2k2A2Ts(t/2Ts) La autocorrelacin del ruido digital serrww[m] = rww(mTs)rww[m] = v2k2A2Ts[m]-Ts 0 Ts trhrhr()k2A2Ts-Ts 0 Ts trww()v2k2A2Ts-1 0 1nrww[m]v2k2A2Ts 54. Caracterizacin del ruido. Relaciones Potencia de ruidow2= Potencia de ruido = rww[0]rww[0] = rww(0) = rvv()*rhrhr()|=0 Si el ruido v(t) es blanco rvv() = v2()pero rhrhr(0) es, precisamente, la energa del filtro receptor. CONCLUSIN: En caso de ruido blanco la potencia deruido en el modelo digital simplemente se incrementa en laenerga del filtro de recepcin. CONCLUSIN: Si la k del filtro de recepcin se elige deforma que la energa sea 1, se simplifica la formulacin.[ ] ( ) ( )r rww h h vvr 0 r u r u du= [ ] ( ) ( ) ( )r r r r2 2 2w ww h h v v h hr 0 r u u du r 0 = = = 55. EJEMPLO. Normalizacin del filtro receptor En el ejemplo que venimos siguiendohr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))rhrhr() = k2A2Ts(t/2Ts)rhrhr(0) = k2A2TsSi queremos normalizarrhrhr(0) = k2A2Ts = 1 Si el ruido v(t) es blancorvv() = v2()rww() = v2(t/2Ts) La autocorrelacin del ruido digital serrww[m] = rww(mTs)rww[m] = v2[m]s1kA T= 56. EJEMPLO. Normalizacin del filtro receptor Otra consecuencia de la normalizacin del filtroreceptor es que afecta a la amplitud de hd[n]. En el ejemplo que hemos venido desarrollando Pulso transmitido ps(t) =A(u(t)-u(t-Ts)) = A((t-Ts/2)/Ts) Canal ideal hc(t) = (t) Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = 1/Ts(u(t)-u(t-Ts)) CONCLUSIN: Al normalizar el filtro receptor y sino hay ISI hd[n] = Ep[n] CONCLUSIN: A partir de ahora tomaremossiempre el filtro receptor normalizado.0 Ts 2Ts tpr(t)sA T-1 0 1 nhd[n]sA T 57. Parmetros importantes de una transmisin Energa del pulso y energa media por smbolo Se calculan a la entrada del receptor, es decir, sobre c(t) Densidad espectral de ruido (supuesto blanco) Se calcula a la entrada del receptor, es decir, sobre v(t), peroteniendo en cuenta toda la cadena de recepcinv2= w2= N0/2 = kT0F/2 Por eso la potencia de ruido disponible en un equipo decomunicaciones es siemprePn = kT0FB( )2p cE p t= ( )J 1 J 12 2s j j p j pj 0 j 0Equiprobables1E p s s E s EJ = == = 58. El canal discreto equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Smbolostransmitidoss[n](secuenciadigital)Sealtransmitidas(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(sealanalgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom[l](secuenciadigital)Seal de salidadel canalc(t)(sealanalgica)SmbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE 59. El canal discreto equivalente (sin memoria) Observando el esquema podemos ver que a laentrada del modulador tenemos una secuencia desmbolos s[n]= {s0sJ-1}, y a la salida del detector nosencontramos con una nueva secuencia discreta s[n]con otros valores posibles {r0rK-1}. Cmo modelara el sistema un observador queestuviera analizando ambas secuencias?CANALDISCRETOEQUIVALENTEs[n]Secuencia desmbolos deentradas[n]Secuencia desmbolos desalida 60. Canal discreto equivalente El modelo que utilizaremos para representarlo seruna matriz de probabilidades de transicin: NOTAS Se utilizar rk en lugar de sk por claridad. No confudir los smbolos rk detectados con la secuencia r[n] ala entrada del detector. Obsrvese que la suma de cualquier fila es 1p(r0|sj) + p(r1|sk) + + p(rJ-1|sk) = 1 (p. total)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 1 0 K 1 00 1 1 1 K 1 10 J 1 1 J 1 K 1 J 1p r | s p r | s p r | sp r | s p r | s p r | sp r | s p r | s p r | s LLM M O MK 61. Canal discreto equivalente En ocasiones, cuando J x K = nmero total decombinaciones es bajo, puede representarse la matrizanterior en forma grfica:p(r0|s0)p(r1|s0)p(r2|s0)s0s1s2s3r0r1r2 62. Obtencin del canal discreto equivalente Para tener perfectamente especificado el canaldiscreto equivalente necesitamos determinar lamatriz anterior. Para ello partiremos del canal digital equivalente yobtendremos cada una de las probabilidades. EJEMPLO: Pulso transmitido ps(t) =A((t-Ts/2)/Ts) Canal ideal hc(t) = (t) Filtro receptor normalizado hr(t) = 1/Ts((t-Ts/2)/Ts) Ruido blanco Potencia de ruido v2= N0/2 = kT0F/2 Codificador binario s[n] = {s0,s1} = {-1,1} Detector s[n]=signo(r[n]) 63. Obtencin del canal discreto equivalente Canal digital equivalente hd[n] = Ep[n] w[n] blanco de potencia w2= N0/2 Determinacin de p(r0|s0) y p(r1|s0) Seal recibida si se transmite s0r|s0 = -Ep + w Funcin densidad de probabilidad de la seal recibida( )( ) ( )2 2p p2w 00r E r E2 Nr|sw 01 1f r e e2 N+ + = = ( ) ( ) ( )00p p0 0 0 r|s0 0E 2E1p r | s p r | s 0 f r dr 1 erfc 1 Q2 N N = < = = = ( ) ( ) p p1 0 0 00 0E 2E1p r | s 1 p r | s erfc Q2 N N = = = 64. El canal binario equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Smbolostransmitidoss[l](secuenciadigital)Sealtransmitidas(t)(sealanalgica)Ruidov(t)(sealanalgica)Sealrecibidax(t)(sealanalgica)Smbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom[l](secuenciadigital)Seal de salidadel canalc(t)(sealanalgica)SmbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE 65. El canal binario equivalente Observando el esquema podemos ver que a laentrada del codificador tenemos una secuenciabinaria m[l], y a la salida del decodificador nosencontramos con una nueva secuencia binaria m[l]. Ambas secuencias tienen nicamente dos smbolosposibles: 0 y 1. Sera posible establecer un modelo especial de canaldiscreto denominado canal binario, que relacioneambas secuencias:0|0 1|00|1 1|1p pp p 0101p0|0p1|0 p0|1p1|1 66. Obtencin del canal binario equivalente Para obtener el canal binario equivalentenecesitaremos conocer: El canal discreto equivalente El funcionamiento del codificador/decodificador. Deseamos calcular p0|0 Probabilidad de recibir un 0 si se transmite un 0 p0|1 Probabilidad de recibir un 0 si se transmite un 1 p1|0 Probabilidad de recibir un 1 si se transmite un 0 p1|1 Probabilidad de recibir un 1 si se transmite un 1 Ntese que p0|0 + p1|0 = p0|1 + p1|1 = 1 Ser necesario identificar todas las posiblessituaciones y realizar un promedio. Normalmente explotaremos la simetra. 67. Obtencin del canal binario equivalente EJEMPLO: Codificador QPSK (no Gray) Canal discreto equivalente Supongamos que se transmite un 0. Hay 4 posiblessituaciones: 1) 1ercero de s0 2) 2 cero de s0 3) 1ercero de s1 4) 2 cero de s2ReIm1-1j-j00011011s0s1s2s30.75 0.1 0.05 0.10.1 0.75 0.1 0.050.05 0.1 0.75 0.10.1 0.05 0.1 0.75 68. Obtencin del canal binario equivalente EJEMPLO (continuacin) Debemos determinar la probabilidad de que se reciba un 0para cada una de las situaciones anteriores. Situacin 1): Se recibir un 0 si se recibe el smbolo s0 o s1p0|01= p(r0|s0) + p(r1|s0) = 0.85 Situacin 2): Se recibir un 0 si se recibe el smbolo s0 o s2p0|02= p(r0|s0) + p(r2|s0) = 0.8 Situacin 3): Se recibir un 0 si se recibe el smbolo s1 o s0p0|03= p(r1|s1) + p(r0|s1) = 0.85 Situacin 4): Se recibir un 0 si se recibe el smbolo s2 o s0p0|04= p(r2|s2) + p(r0|s2) = 0.8 Suponiendo equiprobables las cuatro situaciones anteriores:p0|0 = (p0|01+ p0|02+ p0|03+ p0|04)p0|0 = 0.825p1|0 = 1 - p0|0 = 0.175 69. Obtencin del canal binario equivalente EJEMPLO (continuacin) En este caso hay simetra en el problema, luegop1|1 = p0|0 = 0.825p0|1 = p1|0 = 0.175 Se tratara de un canal binario simtrico. Tambin podemos describirlo diciendo que se trata de uncanal binario simtrico con una probabilidad de errorPe = 0.1750.82501010.175 0.1750.825 70. Conclusiones 4 modelos de canal Canal analgico o de forma de onda Muchos parmetros, mayor complejidad Diseo de moduladores, demoduladores Canal digital equivalente Pocos parmetros, ms versatilidad Diseo de ecualizadores, anlisis de ISI, ruido, Canal discreto equivalente Matriz de probabilidades de transicin Diseo de codificadores, criptografa Canal binario equivalente Modelo ms sencillo posible Diseo de codificadores de fuente, protocolos de enlace La obtencin slo es posible en un sentidoAnalgico Digital Discreto Binario 71. Referencias Communication Systems, 3rd.ed. Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994. Apartados 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, 2.11 a 2.13, 4.10 a 4.14, 7.1 a 7.4,7.10, 8.2, 8.7, 8.8 y 8.22, 10.5, Apndices 6 (Figura de Ruido),8 (Caracterizacin estadstica de procesos aleatorioscomplejos) y 10 (Criptografa) Digital Communications, 4thed. John G. Proakis, McGraw-Hill, 2001. Apartados 1.1, 1.2, 1.3, 3.3, 4.1 a 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, y 7.1 An Introducction to Digital Communications Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 2000. Apartados 3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10, 3.12, 3.18, 4.1 a 4.6, 4.A, 5.3a 5.6, 6.8 a 6.10, 7.1, 8.1 a 8.3. Digital Transmission Engineering John B. Anderson, 1999. Apartados 2.4, 3.1, 3.3, 3.8, 3.A a 3.C, 4.8, 6.1 y 7.1