Tema 1. Cálculo diferencial - Inicio - Departamento de...
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Tema 1. Cálculo diferencial
Una función es una herramienta mediante la que
expresamos la relación entre una causa (variable in-
dependiente) y un efecto (variable dependiente).
Las funciones nos permiten formular de manera
precisa la dependencia de una magnitud respecto de
otra.
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Introducción.
Por ejemplo,
La presión P a que está sometido un gas de-
pende (es función) de la temperatura T del gas,
P = f(T)
La dinámica de poblaciones estudia la evolución
del número de individuos de una población, N, a
lo largo (en función) del tiempo,
N = N(t).
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Definición formal de función.
Definición. Llamaremos función real de variable real
a cualquier aplicación (o correspondencia unívoca)
definida en una parte, D, de R, que tome valores en
R (o en una parte de R), lo que denotaremos por
f : D ⊆ R −→ R.
El conjunto D se llama dominio de la función.
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Gráfica de una función
Sea f : D ⊆ R −→ R una función. Si para cada a ∈ D
consideramos el punto del plano (a, f(a)), obtenemos
una curva que se conoce como gráfica de la función.
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Estudio de funciones
Dominio.
Simetrías.
Continuidad. Asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales y oblicuas.
Cortes con ejes. Signo de la función.
Crecimiento y decrecimiento. Máximos y míni-
mos.
Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
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Dominio
Dada una función
f : D ⊆ R −→ R,
el conjunto D se llama dominio de la función.
Salvo que expresamente se diga lo contrario,
entenderemos que el dominio de una función
definida mediante su expresión analítica es el
mayor conjunto de números reales donde es
posible definir la función.
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Operaciones con funciones
Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que
Df ∩Dg 6= ∅. Definimos
la suma de f y g, f + g, y el producto de f por g,
f · g, como las funciones
(f + g)(x) := f(x) + g(x),
(f · g)(x) := f(x) · g(x),
respectivamente, para cada x ∈ Df ∩Dg, es decir,
el dominio de la suma y del producto de f y g es
Df+g = Df·g = Df ∩Dg.
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Operaciones con funciones
Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que
Df ∩Dg 6= ∅. Definimos
el cociente de f entre g, f/g, como la función
(f/g)(x) := f(x)/g(x),
para cada x ∈ (Df ∩ Dg) \ {x ∈ Dg | g(x) = 0}, es
decir, el dominio del cociente de f entre g, Df/g,
es Df ∩ Dg excepto los valores de x que anulan
al denominador, g.
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Operaciones con funciones
Sea f : Df ⊆ R −→ R. Definimos
el producto de f por un número real λ, λ · f,como la función
(λ · f)(x) := λ · f(x),
para cada x ∈ Df.
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Operaciones con funciones
Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R dos funcio-
nes tales que Df ∩ g(Dg) 6= ∅. Se define la composi-
ción de g con f, que se denota por f ◦ g, como:
(f ◦ g)(x) := f (g(x)) ,
para cada x ∈ {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}, es decir, el domi-
nio de la composición de g con f, Df◦g, lo forman
aquellos números reales de Dg cuya imagen por g
está en Df.
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Funciones elementales
Se llaman funciones elementales a las que se
obtienen a partir de sumas, diferencias, produc-
tos, cocientes y composición de funciones po-
linómicas, racionales, potenciales, exponenciales,
logarítmicas y trigonométricas.
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Simetrías
Una función f : D ⊆ R −→ R, es par si
f(−x) = f(x), ∀x ∈ D.
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Simetrías
Una función f : D ⊆ R −→ R, es impar si
f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D.
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Continuidad
Una función f : D → R es continua en a ∈ D si
existe el límite
limx→af(x)
y
limx→af(x) = f(a)
Diremos que la función f es continua en un inter-
valo I ⊆ D si es continua cada uno de los puntos del
intervalo I.
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Teorema de Bolzano
Teorema. Sea f : D ⊆ R −→ R continua en [a,b] ⊆ D.
Si
f(a) < 0 < f(b) ó f(b) < 0 < f(a)
entonces existe c ∈ (a,b) tal que
f(c) = 0.
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Teorema de Bolzano
Geométricamente, esto significa que la gráfica de
una función continua en un intervalo que cambia
de signo en los extremos del intervalo, debe cruzar
el eje OX en, al menos, un punto.
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Teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano proporciona una condición
suficiente para que la ecuación f(x) = 0 tenga al
menos una solución en el intervalo [a,b] :
Basta con que f sea continua en [a,b] y que el signo
de f(a) sea distinto del signo de f(b) para tener la
certeza de que existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.
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Signo. Puntos de corte con los ejes
Los puntos de corte con el eje OX correspon-
den a las soluciones de la ecuación
f(x) = 0
Si esta ecuación no tiene ninguna solución, en-
tonces la gráfica no corta al eje OX.
El punto de corte con el eje OY es (0, f(0)) si
0 ∈ D.
Si el 0 no está en el dominio de la función, es
decir, 0 6∈ D, entonces la gráfica no corta al eje
OY.
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Asíntotas Verticales
Sea f : D ⊆ R −→ R una función.
Definición. La recta x = a es asíntota vertical de f
en a, si al menos uno de los dos límites laterales en
a es infinito (más o menos infinito), es decir, si
limx→a+f(x) = ±∞ ó limx→a−f(x) = ±∞.
La recta x = a es asíntota vertical cuando la gráfica
de la función f se acerca a la recta x = a cuando x
tiende hacia a por la derecha o cuando x tiende hacia
a por la izquierda.
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Asíntotas Verticales
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Asíntotas Verticales
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Asíntotas Verticales
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Asíntotas Horizontales
Definición. La recta y = c es una asíntota horizontal
de f si
limx→+∞f(x) = c ó limx→−∞f(x) = c
La recta y = c es asíntota horizontal cuando la grá-
fica de la función f se confunde con la recta y = c
cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende hacia
−∞, respectivamente.
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Asíntotas Horizontales
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Asíntotas Horizontales
Una función puede tener dos asíntotas horizon-
tales distintas: una cuando x tiende a +∞ y otra
cuando x tiende a −∞.
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Asíntotas Oblicuas
Definición. La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asín-
tota oblicua de f si
limx→+∞ (f(x)− (bx + c)) = 0 ó limx→−∞ (f(x)− (bx + c)) = 0
La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asíntota oblicua
de f cuando gráfica de f se confunde con la recta
y = bx+c cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende
hacia −∞. respectivamente.
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Asíntotas Oblicuas
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Asíntotas Oblicuas
Si hay asíntota horizontal cuando x tiende hacia +∞(respect. −∞) no puede haber asíntota oblicua cuan-
do x tiende hacia +∞, (respect. −∞) y viceversa.
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Cálculo de Asíntotas Oblicuas
La recta y = bx + c (b 6= 0) es asíntota oblicua de f
en +∞ si, y sólo si,
b = limx→+∞f(x)
xy c = limx→+∞ (f(x)− bx) .
Análogamente para −∞
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Derivada
Definición. Sean f : D ⊆ R −→ R una función y a ∈ D.
Se dice que f es derivable en a si
limx→a
f(x)− f(a)
x− a∈ R,
es decir, si existe el límite def(x)−f(a)
x−acuando x tiende
hacia a y no es infinito.
Al valor de este límite se le llama derivada de f en a
y se denota por f′(a) o dfdx(a)
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Significados de la derivada
f′(a) = limx→a
f(x)− f(a)
x− a
Si f es derivable en a, entonces
y = f′(a)(x− a) + f(a)
es la recta tangente a la curva y = f(x) en el
punto (a, f(a)).
Esta recta tangente es la gráfica de la función
lineal que más se aproxima a f en dicho punto
(a, f(a)).
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Significados de la derivada
f′(a) = limx→a
f(x)− f(a)
x− a
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Significados de la derivada
Desde un punto de vista físico, la derivada de
f en a es la velocidad en el instante t = a de
un móvil cuyo recorrido respecto del tiempo, t,
viene dado por f(t).
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Derivadas de las funciones más sencillas
Funciones constantes y = k y′ = 0
Funciones lineales y = k · x y′ = k
Funciones potenciales y = xn y′ = n · xn−1
y = n√
x y′ = 1
nn√
xn−1
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Álgebra de derivadas. Regla de la cadena
(f + g)′ (a) = f′(a) + g′(a).
(f · g)′ (a) = f′(a) · g(a) + g′(a) · f(a).(λ · f)′ (a) = λ · f′(a).(
f
g
)′(a) =
f′(a) · g(a)− g′(a) · f(a)(g(a))2
Regla de la cadena:
(f ◦ y)′ (a) = f′(y(a)) · y′(a),
es decir,df
dx(y(a)) =
df
dy(y(a)) · dy
dx(a).
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Tabla de derivadas.
Func. logarítmicas
y = Loga(x) y′ = 1x· Loga(e)
y = Ln(x) y′ = 1x
y = Loga(f(x)) y′ = 1f(x) · Loga(e) · f′(x)
Func. exponenciales
y = ax y′ = ax · Ln(a)y = ex y′ = ex
y = af(x) y′ = af(x) · Ln(a) · f′(x)
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Tabla de derivadas.
Potencias de funciones
y = f(x)g(x) y′ = g(x) · f(x)g(x)−1 · f′(x)+f(x)g(x) · Ln(f(x)) · g′(x)
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Tabla de derivadas
Función seno
y = sen(x) y′ = cos(x)
y = sen(f(x)) y′ = cos(f(x)) · f′(x)
Función coseno
y = cos(x) y′ = −sen(x)y = cos(f(x)) y′ = −sen(f(x)) · f′(x)
Función tangente
y = tg(x) y′ = 1
cos2(x)
= 1 + tg2(x)
y = tg(f(x)) y′ = 1
cos2(f(x))
· f′(x)
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Teoremas Fundamentales Cálculo Diferencial
Teorema. Si una función f es derivable en un punto
a, entonces es continua en a.
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Teorema De Rolle
Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es con-
tinua en [a,b] ⊆ D, derivable en (a,b) y f(a) = f(b),
entonces existe c ∈ (a,b) tal que f′(c) = 0.
El teorema de Rolle proporciona una condición su-
ficiente para que la ecuación f′(x) = 0 tenga alguna
solución en el intervalo [a,b].
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Teorema De Rolle
Geométricamente, el teorema de Rolle viene a de-
cir que si f está en las hipótesis de dicho teorema,
entonces existe algún punto de su gráfica en el cual
la tangente es horizontal (paralela al eje OX).
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Teorema del valor medio de Lagrange
Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es continua
en [a,b] ⊆ D y derivable en (a,b) entonces existe
c ∈ (a,b) tal que
f′(c) =f(b)− f(a)
b− a.
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Teorema del valor medio de Lagrange
Geométricamente, el teorema del valor medio nos
dice que la tangente en algún punto de la gráfica
de una función f, continua en [a,b] y derivable en
(a,b), es paralela a la recta que pasa por los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)).
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Regla de L’Hôpital.
Teorema. Sean f y g dos funciones derivables en
algún intervalo simétrico de centro a tales que
f(a) = g(a) = 0.
Entonces, si existe limx→af′(x)g′(x) , también existe limx→a
f(x)g(x)
y coinciden, es decir,
limx→a
f′(x)
g′(x)= limx→a
f(x)
g(x).
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Crecimiento y decrecimiento
Sean f : D ⊆ R −→ R e I ⊆ D.
La función f es creciente en I si
x < y⇒ f(x) ≤ f(y).
La función f es decreciente en I si
x < y⇒ f(x) ≥ f(y).
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Crecimiento y decrecimiento
Teorema. Sea f : D ⊆ R → R una función es deriva-
ble en un intervalo I ⊆ D.
(a) Si f′(x) > 0, para todo x ∈ I, entonces f es
creciente en I.
(b) Si f′(x) < 0, para todo x ∈ I, entonces f es
decreciente en I.
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Máximos y mínimos
Definición.
La función f alcanza un máximo relativo en el
punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que
f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D, se dice que f
tiene un máximo absoluto en el punto (a, f(a)).
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Máximos y mínimos
Definición.
La función f alcanza un mínimo relativo en el
punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que
f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Si f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ D, se dice que f
tiene un mínimo absoluto en el punto (a, f(a)).
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Máximos y mínimos
Una función continua en a tiene un máximo
relativo en ese punto si es creciente en (a −δ, a) y decreciente en (a, a + δ), para algún δ > 0,
es decir, si es creciente a la izquierda de a y
decreciente a su derecha.
Una función continua en a tiene un mínimo
relativo en ese punto si es decreciente en (a−δ, a) y creciente en (a, a + δ), para algún δ > 0,
es decir, si es decreciente a la izquierda de a y
creciente a su derecha.
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Máximos y mínimos
Teorema. Si f tiene n derivadas continuas en un
entorno de a tales que f′(a) = f′′(a) = . . . = fn−1)(a) =
0 y fn)(a) 6= 0 y n es par, entonces{fn)(a) > 0 ⇒ f tiene un mínimo local en a
fn)(a) < 0 ⇒ f tiene un máximo local en a
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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Definición. La función f es cóncava en I si para
todo a y b ∈ I el segmento que une a los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)) queda por encima de la porción de
la gráfica de f correspondiente al intervalo [a,b].
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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Definición. La función f es convexa en I si para todo
a y b ∈ I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y
(b, f(b)) queda por debajo de la porción de la gráfica
de f correspondiente al intervalo [a,b].
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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Definición. Se dice que (c, f(c)), c ∈ D, es punto de
inflexión de f si existe δ > 0 tal que f es cóncava
(ó convexa) en (c − δ, c) y convexa (ó cóncava) en
(c, c + δ).
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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Teorema.
Si f tiene segunda derivada en I, entonces, f es
cóncava en I si, y sólo si,
f′′(x) > 0, ∀x ∈ I
y f es convexa en en I si, y sólo si,
f′′(x) < 0, ∀x ∈ I.
Si f tiene n derivadas continuas en un entorno
de a tales que f′′(a) = . . . = fn−1)(a) = 0 y fn)(a) 6=0 y n es impar y mayor o igual que 3, entonces
f tiene un punto de inflexión en a.54/57
Aproximación lineal
Definición. Si una función f(x) es derivable en un
punto x = a, se llama aproximación por la recta tan-
gente o aproximación lineal de f en x = a a la fun-
ción lineal
Lf(a)(x) = f(a) + f′(a)(x− a)
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Aproximación polinómica (grado 2)
Definición. Sea f : D ⊆ R→ R una función y sea a un
punto de su dominio D. Si f es dos veces derivable
en a, se llama polinomio de Taylor de segundo grado
de f en a a la función P2f(a) : R→ R, definida por
P2f(a)(x) = f(a) + f′(a)(x− a) +
1
2f′′(a)(x− a)2
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Aproximación polinómica (grado 2)
Ejemplo. El polinomio de Taylor de la función expo-
nencial ex en el punto x = 0 es:
Pn(x) = e0 + e0x +1
2!e0x2 + · · ·+ 1
n!e0xn
= 1 + x +x
2!+ · · ·+ xn
n!
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