TEMA 1

Modelación Matemática de Estructuras ante Cargas Sísmicas y Manejo de No-

linealidad en el Análisis Estructural

Juan Antonio Balderrama García MéndezAlba Proyecto Estructural

11/septiembre/2014

Orden del día•Introducción/Motivación•Marco Teórico•Tipos de Análisis•Procedimientos Fema•Análisis en Etabs•Implicaciones en el Diseño Estructural•Casos de estudio

Introducción• La mayoría de las obras civiles se comportan de forma lineal y elástica para

estados limite de servicio• Las excepciones son estructuras esbeltas y estructuras con fluencia local o

agrietamientos a bajos niveles de carga• Antes de alcanzar su limite de resistencia, las estructuras tienen una respuesta

significativamente no lineal• Los limites del análisis elástico lineal obligan al ingeniero a encontrar una forma

para considerar los efectos no lineales• Criterio y experiencia• Formulas empíricas o semi-empíricas que calibran los resultados del análisis simplificado

para considerar los efectos no lineales• Estudios teóricos o experimentales

• El propósito del análisis no lineal es incrementar la calidad del diseño por medio de una reducción en la incertidumbre del desempeño estructural

Fuentes de No-linealidad• Efectos por condiciones de frontera de fuerza

• Las fuerzas aplicadas dependen en la deformación

• Efectos por condiciones de frontera de desplazamientos• Las condiciones de frontera de desplazamientos dependen en la deformación

• Efectos de geometría• Imperfecciones en elementos (contra-flechas y desplomes durante construcción)• Efectos Pδ• Efectos P∆• Efectos de desplazamientos grandes

• Efectos de material• Deformación plástica (acero)• Agrietamientos o deformaciones a largo plazo (concreto)• Relajación de esfuerzos• Interacción inelástica entre fuerzas axiales, flexión, corte y torsión

• Efectos combinados• Deformación plástica mas efectos Pδ o P∆• Deformación de conexiones• Deformación de zona de panel• Aportación a rigidez y resistencia de muros diafragmas y sistemas secundarios

Fuentes de No-linealidad• Efectos por condiciones de frontera de fuerza• Las fuerzas aplicadas dependen en la deformación

Fuentes de No-linealidad• Efectos por condiciones de frontera de desplazamientos

• Las condiciones de frontera de desplazamientos dependen en la deformación• El contacto entre distintos componentes produce esfuerzos y fricción que resultan en cambios en la

deformación

Fuentes de No-linealidad• Efectos por condiciones de frontera de desplazamientos

Fuentes de No-linealidad• Efectos de geometría - Efectos Pδ• Cargas axiales actúan en desplazamientos relativos a la cuerda del elemento entre los

nodos para producir un momento adicional

Fuentes de No-linealidad• Efectos de geometría - Efectos P∆• Cargas axiales actúan en desplazamientos relativos a los nodos/extremos del elemento

para producir un momento adicional

Fuentes de No-linealidad• Efectos de geometría - Efectos Pδ + P∆

• En un edificio comúnmente se observa acción de pórtico donde las vigas y columnas entran en curvatura doble y el elemento deformado tiene un punto de inflexión que cruza la cuerda

• Esto provoca una reducción en los desplazamientos relativos a la cuerda entre los nodos

Fuentes de No-linealidad• Efectos de geometría - Efectos de desplazamientos grandes

Fuentes de No-linealidad• Efectos de material – No-linealidad material en modelos esfuerzo-deformación unitaria

Modelo del concretoModelo del acero de refuerzo

• Efectos de material a nivel sección – No-linealidad material en modelos esfuerzo deformación unitaria

Fuentes de No-linealidad

• Efectos de material a nivel elemento


• Efectos de material – Niveles de ductilidad


Jerarquía Analítica ClásicaElástico

Primer orden• No considera no-

linealidad• Comportamiento en

estados limite de servicio

Segundo orden• Ecuaciones de

equilibrio para geometría deformada

InelásticoPrimer orden

• Ecuaciones de equilibrio para geometría original

• Desarrolla regiones inelásticas

• Comportamiento elasto-plástico

Segundo orden• Formula

ecuaciones de equilibrio para geometría deformada con no-linealidad material

Método de Matriz de RigidezAnálisis elástico de primer orden

[𝐾 𝑒 ] {∆ }= {𝑃 }

[𝐾 𝑡 ] {𝑑∆ }= {𝑑𝑃 }

Análisis no lineal

Matriz de rigidez elástica linealVector de deformaciones nodales

Vector de cargas nodales

Análisis elástico de segundo orden

Análisis inelástico de primer orden

Análisis inelástico de segundo ordenMatriz de rigidez tangente

Vector de deformaciones nodales infinitésimas

Vector de cargas nodales infinitésimas Matriz de reducción plástica

Matriz de rigidez geométrica

Análisis lineal

Procedimientos FEMA 356Lineales

• Relación lineal σ-ε• Calibran deformación global y rigidez

estructural a una respuesta sísmica no-lineal• Valido en estructuras con niveles bajos de no

linealidad material

No-lineales• Respuesta inelástica/no-lineal del material

explicita

Estáticos• Efectos de no linealidad geométrica

despreciables• Comportamiento dominado por el primer

modo• Efectos de modos superiores despreciables

Dinámicos• Considera participación de modos superiores• Considera no linealidad geométrica

LinealesEstático lineal Dinámico lineal

• Análisis modal espectral• Paso a paso con registros

de sismo

No-linealesEstático no-lineal

• “Análisis de pushover” simplifica técnicas no-líneales

Dinámico no-lineal• Paso a paso con

registros de sismo

Procedimientos Lineales Fema 356

•Restricciones generales•Coeficiente de demanda:capacidad menor a 2•Irregularidad por discontinuidad en el plano•Irregularidad por discontinuidad fuera del plano•Irregularidad piso débil•Irregularidad en la resistencia a torsión

Procedimientos Lineales Fema 356Irregularidad por discontinuidad en el plano

Procedimientos Lineales Fema 356Irregularidad por discontinuidad fuera del plano

Procedimientos Lineales Fema 356Irregularidad piso débil

Procedimientos Lineales Fema 356Irregularidad en la resistencia a torsión

Procedimientos Lineales Fema 356•Restricciones al procedimiento lineal estático

𝑇 𝑓 ≥3.5𝑇 𝑠

𝑇 𝑓𝑇 𝑆

Procedimientos Lineales Fema 356•Restricciones al procedimiento lineal estático

Procedimientos FEMA 356Lineales

• Relación lineal σ-ε• Calibran deformación global y rigidez

estructural a una respuesta sísmica no-lineal• Valido en estructuras con niveles bajos de no

linealidad material

No-lineales• Respuesta inelástica/no-lineal del material

explicita

Estáticos• Efectos de no linealidad geométrica

despreciables• Comportamiento dominado por el primer

modo• Efectos de modos superiores despreciables

Dinámicos• Considera participación de modos superiores• Considera no linealidad geométrica

LinealesEstático lineal Dinámico lineal

• Análisis modal espectral• Paso a paso con registros

de sismo

No-linealesEstático no-lineal

• “Análisis de pushover” simplifica técnicas no-líneales

Dinámico no-lineal• Paso a paso con

registros de sismo

Procedimientos No-lineales Fema 356• Análisis estático no-lineal

1. Construir el modelo matemático con cargas de gravedad

2. Incorporar directamente las características no-lineales de carga deformación a los elementos

3. Fijar desplazamientos de diseño4. Empujar con fuerzas laterales con

incrementos monotonicos hasta alcanzar el desplazamiento fijado

5. Monitorear deformaciones y fuerzas internas en cada incremento de carga

Posibles distribuciones verticales de fuerzas laterales

Procedimientos No-lineales Fema 356

𝛿𝑡=𝐶0𝐶1𝐶2𝐶3𝑆𝑎

𝑇𝑒2

4𝜋 2 𝑔

Corrección de desplazamientos espectrales de un SDOF al desplazamiento en el techo de un MDOF del edificio

Corrección de amplitudes de desplazamientos inelásticos máximos a desplazamientos elásticos

Factor para efectos de degradación de rigidez y deterioro de resistencia

Corrección para efectos P∆ dinámicos

• Análisis estático no-lineal: Desplazamientos de diseño

Procedimientos No-lineales Fema 356• Análisis dinámico no-lineal

Aplicación - Análisis Elástico de Segundo Orden

Procedimiento dinámico lineal con análisis modal espectral

Linear Static with P-DeltaFEMA Etabs

Linear Direct Integration Time History with P-Delta

Procedimiento dinámico lineal con registro sísmico

Procedimiento estático lineal

Response Spectrum with P-Delta

Amplifican fuerzas y deformaciones sísmicas para tomar en cuento efectos P∆ estáticos y P∆ dinámicos

Coeficiente de estabilidad, , depende en peso total de la estructura por piso, el cortante total por piso causado por el sismo, la altura de piso, las derivas del piso

calibra los desplazamientos por P∆ dinámico y depende de (basado en experiencia)

𝑉=𝐶1𝐶2𝐶3𝐶𝑚𝑆𝑎𝑊

Aplicación - Análisis Elástico de Segundo Orden

• Linear Static with P-Delta• Response Spectrum with

P-Delta• Linear Direct Integration

Time History with P-Delta

EtabsDefinicion general de efectos P-Delta en Etabs para todos los análisis lineales por medio de “Preset P-Delta Options”

Se incluyen las cargas de gravedad de conformidad al reglamento

Aplicación - Análisis Elástico de Segundo Orden Etabs

Se incluyen las cargas de gravedad en el caso P-Delta de la definición general

• Linear Static with P-Delta


Las opciones P-Delta ya están consideradas por la definición general

Efectos de torsión accidental (FEMA 356 3.2.2.2.1)

• Response Spectrum with P-Delta


Se incluyen las cargas de gravedad en el caso P-Delta de la definición generalSe especifica el registro de sismo cargado al programa

Se especifica el amortiguamiento viscoso (Rayleigh)

• Linear Direct Integration Time History with P-Delta


Coeficientes para la matriz de amortiguamiento de Rayleigh

Amortiguamiento en términos del coeficiente de amortiguamiento critico en los periodos del modo fundamental y del segundo modo

Periodos del modo fundamental y del segundo modo

• Linear Direct Integration Time History with P-Delta

Aplicación - Análisis Inelástico de Segundo Orden

Nonlinear Static with P-DeltaFEMA Etabs

Nonlinear Direct Integration Time History with P-Delta

Procedimiento dinámico no-lineal con registro sísmico

Procedimiento estático no-lineal


• Nonlinear Static with P-Delta• Nonlinear Direct Integration


Etabs

Define el tipo y ubicación relativa de la articulación plástica para cada elemento (vigas y columnas)




Etabs

Define los parámetros para entrar a las tablas de FEMA

Define la articulación plástica para las vigas con las propiedades recomendadas por FEMA

Los elementos principales son cruciales para el sistema de cargas lateras

Define la fuente del cortante




EtabsDefine la articulación plástica para las columnas con las propiedades recomendadas por FEMA

Los grados de libertad para los que se puede formar la articulación plástica




Define el desplazamiento de diseño tomando en cuenta efectos P∆ estáticos y P∆ dinámicos

Coeficiente de estabilidad, , depende en peso total de la estructura por piso, el cortante total por piso causado por el sismo, la altura de piso, las derivas del piso

calibra los desplazamientos por P∆ dinámico y depende de (basado en experiencia)

𝛿𝑡=𝐶0𝐶1𝐶2𝐶3𝑆𝑎

𝑇𝑒2

4𝜋 2 𝑔


• Nonlinear Static with P-DeltaEtabsSe definen los patrones de carga

que va a sostener la estructura

Define patrón/patrones de carga lateral para empujar la estructura de acuerdo a las distribuciones verticales de FEMA 356 3.3.3.2.3


• Nonlinear Static with P-DeltaEtabs

Se debe definir un caso no-lineal con cargas de gravedad que calcula la rigidez de la configuración deformada y con las cargas verticales (este caso refleja el estado de la estructura previo al sismo)

Incluye la no-linealidad geométrica de P-Delta mas desplazamientos grandes

Se aplica toda la carga y solo se necesita el estado final de los resultados

Incluye las cargas de gravedad

La condición inicial es sin cargas



Se debe definir un caso no-lineal con cargas de sismo que utilice los resultados del caso que refleja el estado de la estructura previo al sismo como condición inicial

Incluye la misma no-linealidad geométrica que en el caso de inicio

Se aplica la carga por medio de desplazamientos y se monitorea la estructura

Incluye las cargas de sismo

La condición inicial es un caso previo



Controla la aplicación de la carga por medio de desplazamientos

Establece el desplazamiento diseño

Establece la ubicación del nodo de control donde se monitorea el deplazamiento



Nonlinear Direct Integration Time History with P-Delta

Procedimiento dinámico no-lineal con registro sísmico


No define desplazamientos ni fuerzas de diseño, las toma directamente del análisis paso a paso con los registros sismicos

Aplicación - Análisis Inelástico de Segundo Orden Etabs

• Nonlinear Direct Integration Time History with P-Delta

Se especifica el registro de sismo cargado al programa

Se especifica el amortiguamiento viscoso (Rayleigh)

La condición inicial es un caso previo

Diseño basado en desempeño

Diseño basado en fuerzas

VS.

Análisis No-lineal – Portal para el Diseño por Desempeño

Análisis No-lineal – Portal para el Diseño por Desempeño

Diseño basado en desempeño

Diseño basado en fuerzas

VS.

Jerarquía de Sistemas Estructurales

Concepto de Viga Para Sistemas Tubulares

• Sistema completamente TRI-DIMENSIONAL que usa el perímetro del edificio en su totalidad para resistir las cargas laterales• El objetivo es crear una estructura de pared alrededor del

edificio• Se logra una pared porosa (DELGADA) al usar marcos rígidos de

columnas con espaciamientos pequeños amarradas con vigas perimetrales de mucho peralte a lo largo del perímetro del edificio

• Espaciamiento típico entre columnas de 3.00 m a 6.00 m y peraltes típicos de vigas perimetrales de 90 cm a 150 cm

• Los marcos perimetrales toman toda la carga lateral• El núcleo no requiere contravientos ni columnas de dimension excesiva• Produce espacios abiertos al interior, pero sacrifica vistas al exterior• Puede ser en acero, concreto o compuesto• Tres modalidades:• Tubular de marcos rígidos• World Trade Center• Standard Oil (Amoco) Building (Torre AON)

• Tubular de marcos rígidos contraventeados• John Hancock Center

• Tubular de tubulares de marcos rígidos agrupados• Torre Sears

Concepto de Viga Para Sistemas Tubulares

Idealización del Tubular

Almas: Toman Cortante

Patines: Toman Flexión

Fuerza Lateral

Viga Perimetral (Deep Spandrel) para amarrar columnas

Columnas con espaciamientos

menores

Realidad del Tubular

Lograr el Efecto del Tubular

El eje fuerte de las columnas va a lo largo (paralelo) a las caras del edificio (en los marcos rígidos suele ser perpendicular)

Fuerza Lateral

El perímetro funciona como 4 paneles ortogonales de pórticos que resisten todas las fuerzas laterales

Columnas al interior no toman fuerzas laterales

Diafragma distribuye fuerzas horizontales, pero no tiene resistencia fuera de su plano

Distribución de Esfuerzos en Flexión de Cantiléver

Alma

Alma

Patin

Patin

1. El tubular no es solido, es una viga de sección cerrada con paredes DELGADAS, por lo que el sistema estructural será sujeto a retraso de cortante (shear lag)

2. Los esfuerzos axiales en las columnas de las esquinas se incrementan, mientras que se reducen los de las columnas al interior de las caras perimetrales

Interacción del Sistema• Los marcos del alma se deforman con el mecanismo

típico de marcos rígidos para resistir fuerzas laterales (flexión de vigas y columnas, doble curvatura) • La interacción entre las almas y los patines ocurre en

las columnas de las esquinas a través de deformaciones axiales• Las columnas están ligadas por vigas perimetrales de

mucho peralte, así que las deformaciones axiales se transfieren de la columna en la esquina a las columnas en los patines• Hay reducciones en las deformaciones axiales de las

columnas adyacentes porque la viga perimetral no es rígida y también sostiene deformaciones• El esfuerzo axial es mínimo en la columna al centro de

los patines• Esta reducción es causa del retraso de cortante

Ejemplos

AON Center World Trade Center

Se requiere de pisos de transferencia cerca de la base para ampliar el espacio entre columnas y permitir el ingreso

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Aon_Center_(Chicago)_daytime_2.jpg

Implicaciones: Sistemas 3D• Los marcos perimetrales en la cara sotavento se

activan por medio de transferencia de fuerzas a lo largo de los marcos perimetrales de los costados del edificio• En cuanto a la redundancia estructural, que implica el

perder un lado en un sistema 3D?

• La redistribución de cargas por el daño inicial causo sobrecargas en las columnas no dañadas• Las temperaturas por el incendio fueron suficientemente altas para

degradar la rigidez de las columnas y causar expansión termal en los apoyos del sistema de piso• Algunos elementos del núcleo y el sistema de piso se dañaron• En el diseño original, el núcleo cargaba exclusivamente cargas de

gravedad• El sistema de piso no fue diseñado para transferir cargas laterales del

tubo perimetral al núcleo• El colapso progresivo y fallo del sistema de piso provoco la perdida de

restricción lateral en las columnas y el núcleo causando pandeo global

World Trade Center

Placas de asiento para joists del sistema de piso

Conexión de pernos en sitio para módulos prefabricados

Sistema de piso

Canales para conexión de joist

World Trade Center

Efectos de incendio• Expansión de sistema de piso (losa y joists) puede causar

sobrecarga y fallo de las conexiones

World Trade Center

Efectos de incendio• Fallo de sistema de piso (perdida de rigidez) inicia

comportamiento de catenaria y provoca fallo de conexiones

World Trade Center

Efectos de incendio• Colapso de sistema de piso y perdida de restricción lateral de las

columnas promueve pandeo

World Trade Center

Manejo de colapso progresivo en la normatividad• International Building Code (IBC): no tiene requisitos para

colapso progresivo• ASCE 7 1.4: Progressive collapse is defined as the spread of

an initial local failure from element to element, eventually resulting in collapse of an entire or disproportionately large part of it.• Recomendaciones de General Services Administration (GSA):

Progressive Collapse Analysis and Design Guidelines for New Federal Office Buildings and Major Renovation Projects (2003)• Requisitos del Department of Defense (DoD): Design of

Buildings to Resist Progressive Collapse (UFC 4-023-03) (2005)• Gran Bretaña, Engineering Science Data Unit• NIST Best Practices for Reducing the Potential for Progressive

Collapse in Buildings (2006)

Ronan Point, 1968

Optimización estructural• La distribución del material

para resistir las cargas de gravedad afectando lo menos posible los requisitos para la resistencia y estabilidad ante cargas laterales•Resulta en:•Menos materiales• Un sistema menos redundante

con elementos principales mas robustos (e.g. mega marcos, mega columnas)

Tubos agrupados Tubo PerimetralOptimización estructural

Sistema Mega Marcos vs. Sistema Tubulares Agrupados

Eficiente Redundante

Optimización estructural

Torre Sears, Chicago• Nueve tubos cuadrados agrupados, truncados a diferentes alturas• Diagonales (formando un tipo de tirante y cinturón) en pisos de equipo mecánico para

funcionar como pisos de transferencia

Tubo con Diagonales

http://www.lera.com/pimg/bankofchina/2009344_large.jpg

Fuente: Fazlur Khan, SOM

Caso de estudio: Sistemas de muros espina• Planta en Y• Cada patín de la Y se desfasa con secuencia en espiral a lo alto del edificio

Comportamiento del Sistema

Caso de estudio: Sistemas de alta eficiencia en acero

Shanghai World Financial (Mori Building)• Altura = 1614’• Estructura: Marcos gigantes (Mega

frame)

Núcleo de concreto reforzado para instalaciones

Contraventeos diagonales al perímetro (reducen retraso de cortante)

Sistemas de cinturón para amarrar las mega columnas cada 14 niveles

Mega columnas compuestas en las esquinas

Cinturón y Tirante (Belt & Outrigger)

TEMA 1

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