Tema 04-Propagacion de Errores
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TEMA 4Propagacion de Errores
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de AstronomaUniversidad de Guanajuato
DA-UG (Mexico)
Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 1 / 15
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Propagacion de Errores
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valoresencontrados en las medidas de otras magnitudes.
Conocemos x x , y y ,...Calculamos z = f (x , y , ...)
Cual es el error de z?
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Propagacion de Errores
Propagacion de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar unerror a z , conocidas las incertidumbres de x e y ,...
Permiten asignar un error al resultado final.
Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
Planificacion del experimento.
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Propagacion de Errores
Hipotesis de partida
Medidas dependientes.- Hipotesis pesimista. Siempre en lasituacion mas desfavorable. Conjunto de reglas practicas.
Medidas independientes.- Errores cuadraticos medios. Formulageneral de propagacion de errores.
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Propagacion de Errores
Propagacion de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales: x x y ySea su suma q = x + y y su diferencia q = x - y
Cual es la incertidumbre, q?
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes esla suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:
q = x y q x + y
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Propagacion de Errores
Ejemplo:En un experimento se introducen dos lquidos en un matraz y se quierehallar la masa total del lquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 10 gm1 = Masa del matraz 1 = 72 1 gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 20 gm2 = Masa del matraz 2 = 97 1 g
La masa de lquido sera:
M = (M1 m1) + (M2 m2) = 1311 gSu error:
M = M1 + m1 + M2 + m2 = 32 g
El resultado se expresara:
M = 1311 32 gTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 6 / 15
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Propagacion de Errores
Propagacion de errores en productos
Datos iniciales: x x = x(
1 x|x |)
y y = y(
1 y|y |)
Sea su producto q = x y
Cual es la incertidumbre, q?
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:
q = xy q|q| x
|x | +y
|y |
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Propagacion de Errores
Propagacion de errores en cocientes
Datos iniciales: x x = x(1 x|x |) y y = y(1 y|y |)
Sea su producto q = xy
Cual es la incertidumbre, q?
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
q =x
y q|q|
x
|x | +y
|y |
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Propagacion de Errores
Ejemplo: Para medir la altura de un arbol L, se mide la longitud de susombra L1, la altura de un objeto de referencia L2, y la longitud de susombra L3. Por semejanza:
L = L1L2L3
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 2 cm, L2 = 100.0 0.4 cm, L3 = 10.3 0.2 cmPor tanto
L = 200 10010
= 2000 cm
Su error sera
L
|L| L1|L1| +
L2|L2| +
L3|L3| =
2
200+
0.4
100+
0.2
10.3
= (1 + 0.4 + 2) % = 3.4 % L = 3.4100 2000 = 68
L = 2000 68 cmTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 9 / 15
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Propagacion de Errores
Comparando este metodo con el binomio: Para ejemplificar la eficaciade este metodo con el metodo estrictamente teorico, calcularemos elangulo y su respectivo error en el sin( ). Del binomio tenemos
sin( ) = C .O.H.(
C .O.
H.+
C .O H.H.2
)Sea C.O. = 40 0.2 cm y H. = 80 0.2 cm, sustituyendo tenemos
sin( ) = 4080(
0.2
80+
40 0.2(80)2
)sin( ) = 0.5 (0.0025 + 0.00125)
sin( ) = 0.5 0.0038
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Propagacion de Errores
Comparando este metodo con el binomio: De este metodo tenemos
sin( ) = C .O.C .O.H.H. = Z Z
Z
|Z | =C .O.
|C .O.| +H.
|H.|Sea C.O. = 40 0.2 cm, H. = 80 0.2 cm y Z = C .O./H. = 0.5,sustituyendo tenemos
Z
0.5=
0.2
40+
0.2
80= 0.005 + 0.0025
Z = 0.5 0.0075 = 0.0038
sin( ) = 0.5 0.0038 = Z ZTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 11 / 15
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Propagacion de Errores
Error del producto por una constante
Datos iniciales: x x . Sea q = Ax
Cual es la incertidumbre, q?
Aplicando la regla del producto
q
|q| A
|A| +x
|x | +x
|x | q = |A|x
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igualal producto de la constante por el error absoluto de la magnitud
q = |A|x
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Propagacion de Errores
Error de una potencia
Datos iniciales: x x . Sea q = xn = x x x
Cual es la incertidumbre, q?
Aplicando la regla del producto
q
|q| x
|x | +x
|x | + +x
|x | = |n|x
|x |El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el errorrelativo de la magnitud.
q
q= |n| x|x |
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Propagacion de Errores
Error en funciones de una variable
Datos iniciales: x x . Sea q = f (x) una funcion cualquiera.
Cual es la incertidumbre, q?Graficamente
q =qmax qmin
2
Analticamente
q = f (x + x) f (x) = df (x)dx
x
Si x se mide con un error x y se utiliza para calcular q = f (x), el errorabsoluto de q viene dado por:
q = |df (x)dx|x
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Propagacion de Errores
Error en funciones de varias variables
Las reglas para el calculo de errores que hemos visto se pueden deducir deuna formula mas general que nos permite resolver casos mas complicados.
Sean las medidas x ,y y con errores x , y y usadas para calcular:
q = f (x , y)
Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:
f (x + x , y + y) = f (x , y) +f
xx +
f
yy +
Con lo que:
q = f (x + x , y + y) f (x , y) |fx|x + |f
y|y
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