FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteNESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIOacuteN SECUNDARIA

MATEMAacuteTICA E INFORMAacuteTICAVI SEMESTRE-2010

PRESENTADO POR

NORY LUPACA QUISPEEMAIL norylqgmailcom

EL TRIANGULOldquoSEMEJANZA DE TRIANGULOSrdquo

HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO

EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

CONCLUSIONES

INTRODUCCIOacuteN

INDICE

BIBLIOGRAFIacuteA

INTRODUCCION

El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante

Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo

HISTORIA DEL TRIANGULO

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

EL TRIANGULOldquoSEMEJANZA DE TRIANGULOSrdquo

HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO

EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

CONCLUSIONES

INTRODUCCIOacuteN

INDICE

BIBLIOGRAFIacuteA

INTRODUCCION

El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante

Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo

HISTORIA DEL TRIANGULO

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

HISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TEOacuteRICO

EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

CONCLUSIONES

INTRODUCCIOacuteN

INDICE

BIBLIOGRAFIacuteA

INTRODUCCION

El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante

Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo

HISTORIA DEL TRIANGULO

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

INTRODUCCION

El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante

Los objetivos de semejanza de triangulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triangulo

HISTORIA DEL TRIANGULO

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

HISTORIA DEL TRIANGULO

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

TRIANGULO ISOSCELES

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado

En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

SALOacuteN DE CLASES

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip

bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no

INTRODUCCIOacuteN

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la

misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras

semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es

constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que

los dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10

Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y

sus lados homoacutelogos son proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

100ordm

30ordm

100ordm30ordm

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

II Segundo criterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es deciraaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes

Ejemplo

2 6

83 9

12

2 = 6 = 83 9 12

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

III Tercer criterioLADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes

Ejemplo

8

7

4

35

33ordm33ordm

4 = 358 7

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom

EJERCICIOS RESUELTOS

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

BIBLIOGRAFIACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica

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Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

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6

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semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

5

6

CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2

Formamos la proporcioacuten

EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

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CONCLUSIONES el tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria

semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

3

La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta

1

Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados

Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo

2

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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

4

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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo

Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m

Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel

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GRACIAS

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• Slide 2
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• INTRODUCCION
• HISTORIA DEL TRIANGULO
• TRIANGULO ISOSCELES
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• SALOacuteN DE CLASES
• Slide 9
• ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
• Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
• Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
• Slide 13
• ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
• Slide 15
• De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Semejanza
• Slide 21
• No son figuras semejantes
• Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
• Triaacutengulos semejantes
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Primer criterio ANGULO ndash ANGULO ldquoAArdquo
• Ejemplo
• II Segundo criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
• Ejemplo (2)
• Slide 31
• III Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO ldquoLALrdquo
• Ejemplo (3)
• Slide 34
• Slide 35
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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