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  1. 1. FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIN SECUNDARIA MATEMTICA E INFORMTICAVI SEMESTRE-2010 PRESENTADO POR:NORY LUPACA QUISPE EMAIL: nory.lq@gmail.com
  2. 2. INDICE INTRODUCCINHISTORIA DE TRIANGULOCONTENIDO TERICO EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOSCONCLUSIONES BIBLIOGRAFA
  3. 3. INTRODUCCIONEl aprendizaje escolar debe orientar y estimularlos procesos internos del desarrollo delestudiante.Los objetivos de semejanza de triangulo sonutilizar adecuadamente los criterios en laresolucin de problemas y diferenciar cadacriterio asociadas al triangulo.
  4. 4. TRIANGULO ISOSCELES
  5. 5. Erase una vez un nio llamado Issceles. Semud a un pueblo llamado Pocoms. Estabaemocionado pues asistira a una nuevaescuela, este cursaba el quinto grado.En su primer da de clases su maestra, llamadaGeometra, present a todos sus compaerosde clase, por sus nombres, entre ellos seencontraba un nio llamado Cuadrado, otroRectngulo, tambin Trapecio, Rombo yParalelogramo. Issceles mir a todos lados, yse percat que sus compaeros eran muydiferentes a l.
  6. 6. SALN DE CLASES
  7. 7. La maestra asign que escribieran sobre sufamilia y que construyeran su rbolfamiliar. Issceles fue a su casa y le narr asu mam lo sucedido. Hijo mo, te contarla historia de nuestra familia y construirstu rbol familiar.
  8. 8. Mi padre,( tu abuelo), se llamabaRectngulo, era un hombre de carcterfuerte y muy recto en sus ideas.
  9. 9. Mis hermanos, muy diferentes y opuestos en suspensamientos. Tenan por nombres Obtusngulo y Acutngulo, este ltimo era un nio hermoso por sus facciones perfectas.
  10. 10. Tu padre, Escaleno, proviene de una familia muypequea. Su padre se llamaba Equiltero, fue un granhombre, con valores incalculables y muy justo con elprjimo.
  11. 11. Mam , pregunt Issceles, Porqu yo no me parezco a miscompaeros de clase. Ellos son ms corpulentos y ms fuertesqueyo. " Issceles, no todos pertenecemos a la misma familia, nillevamos el mismo apellido. Posiblemente ellos pertenecen a lafamilia de los Cuadrilteros . S, mam, "Tambin me he dadocuenta , que nosotros nos parecemos pero no somos iguales, miabuelo y mi pap son diferentes a m. Hijo, contest su madre,nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Tringulos,aunque nos parecemos en nuestra apariencia, no somos iguales.Nadie en el mundo es exactamente igual a otra persona.Issceles pens en la forma ms rpida de construir su rbolfamiliary diseo el siguientediagrama.
  12. 12. FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
  13. 13. De esta manera Issceles construy su rbolfamiliar y lo present a su maestra, la Sra.Geometra. Ella qued muy complacida consu trabajo. La maestra les explic que notodas las familias son iguales, ni su nmerodecomponentestampoco.Sus compaeros de clase comprendieronporque, Issceles era diferente a ellos.Issceles tuvo muchos amigos y comprendique debemos amar al prjimo sin establecerdiferencias.
  14. 14. Si dibujamos dostringulos en lapizarra Cmo saber sison semejantes ono?
  15. 15. Semejanza
  16. 16. Descripcin: Dos figuras sonsemejantes cuando tienen la mismaforma, pero no necesariamente elmismo tamaoEjemplos de figurassemejantes
  17. 17. No son figuras semejantes
  18. 18. Definicin geomtrica: Dos figuras son semejantescuando la razn entre las medidas de sus lados homlogos(correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ngulos correspondientes son congruentes Ejemplo:Los siguientes rectngulos son semejantes?Tienen sus lados respectivosproporcionales?10 45cm 5 2As es, ya que losproductos2cmcruzados son4cmigualesSon sus ngulos correspondientes congruentes?10 2 = 5 4Al cumplirse las dos condicionesEfectivamente, al tratarse de dos anteriores, podemos decir que rectngulos, todos los ngulos miden 90 y se cumple que loslos dos rectngulos son ngulos correspondientes son congruentessemejantes
  19. 19. Tringulos semejantes Dos tringulos son semejantes si susngulos son, respectivamente, iguales y sus lados homlogos son proporcionales.
  20. 20. Criterios de semejanza detringulosexisten algunos principios que nos permitendeterminar si dos tringulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todossus lados y todos sus ngulos. Estosprincipios se conocen con el nombre decriterios de semejanza de tringulos
  21. 21. Existen tres criterios de semejanza de tringulos 1. AA ( ngulo-ngulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ngulo-lado)
  22. 22. I. Primer criterio ANGULO ANGULO AADos tringulos que tienen los dos ngulos congruentes son semejantes entre s.A A B C CB Es decir: Si ,de lo anterior se deduce queEntonces,ABC semejante conABC
  23. 23. EjemploSon los siguientes tringulos semejantes?100 6565 2530SI!30 100Por que al tener dos de susngulos congruentes,cumplen con el criterio AA
  24. 24. II. Segundo criterio LADO-LADO-LADO LLL Dos tringulos que tienen los tres lados proporcionales sonsemejantes entre s.AA b baa BCcEs decir:C Babc ca = b = c =K El cociente obtenido de comparar los lados homlogos entre sEntonces, ABC semejante con ABCrecibe el nombre derazn de semejanza.
  25. 25. Ejemplo Determine si los tringulos ABC y PQR son semejantes PVerifiquemos si las medidas B 1,5delosladosson Cproporcionales3,5 1,53,55 7 = =5 3710A 10 Efectivamente , as es, ya que los productos cruzados son iguales 1,5 7 = 3 3,5 = 10,5 Q3,5 10 = 7 5 = 35Por lo tanto Tringulos ABC y PQR son semejantes por criterio3LLLR
  26. 26. Ejemplo Por el criterio LLL, estos tringulos sonsemejantes. 26 9832=6=83 9 12 12
  27. 27. III. Tercer criterio LADO-ANGULO-LADO LAL Dos tringulos que tienen dos lados proporcionales y elngulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre s.A A a a CB cEs decir: CcBa = cacy= Entonces ABC semejante aABC
  28. 28. EjemploSon los tringulos ABC y DEF semejantes?Veamos si dos de sus lados son proporcionalesAD9 E 3 = 43 9 12 CB4 Efectivamente as es, yaque los productos 12cruzados son iguales 3 12 = 4 9Efectivamente, porque, talLos ngulos formados porcomo se seala en elestos dos lados sondibujo, ambos son rectoscongruentes?F Por criterio LAL Tringulos ABC y DEF son SEMEJANTES
  29. 29. Ejemplo Segn el criterio anterior, estos tringulosdeben ser semejantes.33 4 33 8 3,57 4 = 3,5 8 7
  30. 30. EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos tringulos. Comprueba que son semejantesy halla la razn de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cmb) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicioEfectivamente, al calcular los productos 65 cruzados, podemos ver la 12 proporcionalidad entre las878 medidas de los ladosrespectivos 10 52 10 = 8 65 = 52065 12 = 10 78 = 78052Comprobemos que las medidas de los ladoshomlogos son proporcionalesPara calcular la razn desemejanza se calcula una de 52 = 65 = 78 =las razones6,5 65 : 10 = 6,5 810 12 Entonces los tringulos son semejantes por criterio LLL
  31. 31. Ejercicio Tenemos un tringulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacin a escala 3:1. Cunto medir cada lado?.Cul es la razn de semejanza?.Representamos la situacin x=953 12 = y4z =15Luego, debe ocurrir:X Y Z 3X =33=4=5=1=3 Entonces: X= 3 3 = 9 3YEscala deLa razn de 4=3 Y = 4 3 =12 ampliacinsemejanza es 3Z =3 Z = 5 3 = 155
  32. 32. Otro ejercicio similar Los lados de un tringulo miden 30, 40 y 50 centmetros respectivamente. Loslados de un segundo tringulo miden 12, 16 y 20 centmetros. Son semejantes?. En caso afirmativo, cual es la razn de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 2012efectuar los productos 50cruzados 30x16=480 y 40x12=48030 adems 1640x20=800 y 16x50=800 40Para calcular la razn deComprobemos que las medidas de lossemejanza se calcula una delados homlogos son proporcionales las razones50 : 20 = 2,530 = 40 = 5012 16 20
  33. 33. Una aplicacin Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; qu altura tiene un rbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema).Son semejantes por que cumplen elp criterio AA, tienenoiguales el ngulos 3m recto y el nguloxde elevacin quet forman los rayosesolares con el suelo 2m sombra 4,5mLos tringulos definidos por el poste y su sombra y el rbol y susombra son semejantes, por lo tantoFormamos la proporcin 3 2 X= 3 4,5 x = 4,5 De donde 2= 6,75m
  34. 34. Los lados de un tringulo miden 24 m., 18m. y 361 m., respectivamente. Si los lados de otro tringulo miden12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o nosemejantes, justificando tu respuesta.2 Si los tringulos ABC y ABC tienen iguales los ngulos marcadosdel mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.Los lados de un tringulo miden 36 m., 42 m. y 543 m., respectivamente. Si en un tringulo semejante a ste, el ladohomlogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados deeste tringulo.
  35. 35. 4 La razn de semejanza del tringulo ABC con el tringulo ABCes 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina loslados del segundo.Los lados de un tringulo rectngulo miden 6 m., 8 m. y 10 m.respectivamente. Cunto medirn los catetos de un tringulo5semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.? Los lados de un tringulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye,6sobre un segmento de 2,5 cm.. homlogo del primer lado de este tringulo, un tringulo semejante a aquel.
  36. 36. el tema desarrollado es de muchaayuda para estudiantes de secundaria. semejanza de tringulos es una parteque ayuda a desarrollar la capacidadpara resolver problemas, ya que solo esuna parte de tringulos.
  37. 37. COVEAS NAQUICHE, Manuel; Matemtica2 Editorial Coveas 2008COVEAS NAQUICHE, Manuel; Matemtica3 Editorial Coveas 2008 http://www.salesianosalameda www.alcaste.com