Tecnicas Econometricas - Series de Tiempo

TÉCNICAS ECONOMÉTRICAS

PARA EL PRONÓSTICODE SERIES DE TIEMPO

APLICACIONES EMPRESARIALES

UPAE - Mayo de 2004

Curso Técnicas Econométricas - Series de Tiempo - Aplicaciones Empresariales - 2

Plan del curso

• Una sesión de “teoría”

• Dos sesiones de aplicaciones (taller)


Contenido Sesión 1

1. Introducción2. Procesos estacionarios3. Procesos Autoregresivos (AR)4. Procesos de Medias Móviles (MA)5. Procesos ARMA6. Procesos no estacionarios7. Modelos ARIMA estacionales8. Etapas en la modelización


1. Introducción

1.1. Objetivo

1.2. Técnicas de modelización y pronóstico

1.3. Usos de los pronósticos

1.4. Series de tiempo

1.5. Momentos del proceso


1.1. Objetivo del curso (1)

• Muchas pueden ser las técnicas utilizadas para la realización de pronósticos de variables de interés para la empresa.

• En este curso se expondrán técnicas que utilizan como input del pronóstico solamente la historia de la variable objetivo.


1.1. Objetivo del curso (2)

• El objetivo es introducir a los participantes en técnicas estadísticas aplicables a datos económicos para preparar pronósticos.

• Se desarrollarán los conceptos básicosque sirven de base a estas técnicas y se pondrá énfasis en las aplicaciones de las mismas.


1.2. Técnicas de pronóstico (1)

• Interés en modelizar (y luego pronosticar) las ventas de una empresa.

• Una opción - modelo estructural:

Vtas(t) = βo + β1 * Precio(t) + β2 * Ingr(t)

• Segunda opción - modelo univariante:

Vtas(t) = C + φ1 Vtas(t-1) + φ2 Vtas(t-2) + ...



Desventajas de los modelos univariantes respecto de los estructurales:

– Ante dos “buenos” modelos (univariante y estructural), siempre es mejor el estructural.

– Se logra un análisis más “rico” con modelos estructurales (escenarios).

Recordemos ejemplo:

Vtas(t) = βo + β1 * Precio(t) + β2 * Ingr(t)



Pero la modelización univariante tiene importantes ventajas:

– Son modelos más sencillos.– Requieren menos información.– No es necesario pronosticar las variables

explicativas.– Algunas variables explicativas son

difíciles de medir / no están disponibles.


1.3. Uso de los pronósticos (1)

• Gestión - normalmente con horizonte de pronóstico corto.

• Planificación - horizontes medianos o largos.

NOTA: Para horizontes largos no son recomendables los modelos univariantes.

• Planificación = pronósticos + decisión + compromiso


1.3. Uso de los pronósticos (2)

Supongamos que pronosticamos las ventas.

• El análisis y pronóstico con una semana/mes plazo: información relevante para la gestión (comercial, financiera, producción, etc.).

• Con un mes/trimestre plazo: útil para la gestión y planificación de corto plazo.

• Un año: planificación anual (presupuesto, etc.).


1.4. Series de Tiempo (1)

Conjunto de observaciones sobre una variable (producción de una empresa, de un artículo, exportaciones, cotización del dólar, precio de un producto, tasa de desocupación, precios, cotización de una acción en la Bolsa, etc.), observada a intervalos regulares de tiempo (diarios, mensuales, trimestrales, etc.).



Proceso estocástico: sucesión de variables aleatorias que están ordenadas en el tiempo

... , y1, y2, ... , yT

Constituye una sucesión en la que cada “observación” corresponde a una variable aleatoria, y la ordenación de la sucesión de observaciones es esencial en el análisis.



• Es esencial el concepto de que las observaciones provienen de un proceso o “experimento” aleatorio.

• A diferencia de los fenómenos físicos o químicos, donde puede conocerse “exactamente” las características del proceso que da lugar a la observación.

• A las observaciones las vamos a denominar realizaciones (del proceso).



El hecho es que con series económicas (o de la empresa) no podemos conocer exactamente el proceso que genera estas observaciones.

• Pero podemos estimarlo. En definitiva, podemos formarnos “una buena idea” de cómo es.

• Aunque siempre existirá una parte del proceso que no será modelizable o estimable.



Ejemplo: venta de boletos en Montevideo. Miles de pasajeros mensuales – empresas de ómnibus de Montevideo.

ago-03 19722sep-03 20931oct-03 21956nov-03 20221dic-03 19923



Ejemplo: venta de boletos en Montevideo.

15.000

17.000

19.000

21.000

23.000

25.000

27.000

29.000

31.000

33.000

35.000

ene-87

ene-88

ene-89

ene-90

ene-91

ene-92

ene-93

ene-94

ene-95

ene-96

ene-97

ene-98

ene-99

ene-00

ene-01

ene-02

ene-03



1 5 . 0 0 0

1 7 . 0 0 0

1 9 . 0 0 0

2 1 . 0 0 0

2 3 . 0 0 0

2 5 . 0 0 0

2 7 . 0 0 0

2 9 . 0 0 0

3 1 . 0 0 0

3 3 . 0 0 0

3 5 . 0 0 0

e n e -8 7

e n e -8 8

e n e -8 9

e n e -9 0

e n e -9 1

e n e -9 2

e n e -9 3

e n e -9 4

e n e -9 5

e n e -9 6

e n e -9 7

e n e -9 8

e n e -9 9

e n e -0 0

e n e -0 1

e n e -0 2

e n e -0 3

Ejemplo: venta de boletos

¿Qué observamos en el gráfico?• Estacionalidad (=zafralidad)• Tendencia (caída de los boletos desde 1994)• Irregulares


1.4. Series de Tiempo (8)Venta de boletos. Promedio para c/mes

20.000

22.000

24.000

26.000

28.000

30.000

32.000

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic

87- 94

95-03


1.4. Series de Tiempo (9)Venta de boletos.

15.000

17.000

19.000

21.000

23.000

25.000

27.000

29.000

31.000

33.000

35.000

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Ene Feb Abr Jul Oct

Observamos:

• estacionalidad

• efectos “calendario” (Semana de Tur., Carnaval)

• irregulares (octubre de 1989, por ejemplo)


1.5. Momentos del Proceso (1)

Vamos a caracterizar un proceso estocástico (aleatorio) por sus momentos.

• Mediaµ(t) = E [ y(t) ]

• Varianzaσ2(t) = Var [ y(t) ] = E {[ y(t) - µ(t)]2}

• Autocovarianzasγt,s=cov[y(t),y(s)]=E{[y(t)-µ(t)] [y(s)-µ(s)]}



Otra forma (con sub-índices para el período):• Media

µt = E [ yt ]

• Varianzaσ2

t = Var [ yt ] = V(yt) = E {[ yt - µt]2}

• Autocovarianzasγt,s=cov[yt,ys]=E{[yt-µt] [ys-µs]}



Recordemos conceptos.Muestra: 90 6 22 92 40 84 83 4 52 57• Media de los valores = 530 / 10 = 53• Varianza = [(90-53)2+ (6-53)2+... ]/10 =

1050,8 => DS = (1050,8) 1/2=32,42• Autocov (1er. orden) = [ (90-53)*(6-53) +

+ (6-53)*(22-53) + (22-53)*(92-53) + ... +... ]/9 = - 321,78



• En nuestro caso, los supuestos que realizaremos no estarán referidos a una muestra, sino a la población.

• Serán una característica del procesoque genera las realizaciones.

• Tenemos una muestra finita de realizaciones para estimar los momentos => supuestos simplificadores.


2. Procesos estacionarios

2.1. Definición y ejemplos

2.2. Función de autocorrelación


2.1. Proceso estacionario (1) - Definición

Proceso estacionario - En sentido amplio:

Es un proceso donde los momentos son constantes o invariantes en el tiempo:

• Media: E[yt ] = µ ∀t• Varianza: Var[yt] =V(yt) = σY

2 = γ0 ∀t

• Autocovarianzas : Cov[yt,yt-k]= γk ∀t


2.1. Proceso estacionario (2) - Ejemplo200 realizaciones de una serie: ¿estacionaria?

15

20

25

30



151719212325



10

15

20

25

30


2.1. Proceso estacionario (5) - Ejemplo$/US$ - 1999-2001 (diaria): ¿estacionaria?

10

11

12

13

14

15

16

18/10

/99

18/11

/99

18/12

/99

18/01

/00

18/02

/00

18/03

/00

18/04

/00

18/05

/00

18/06

/00

18/07

/00

18/08

/00

18/09

/00

18/10

/00

18/11

/00

18/12

/00

18/01

/01

18/02

/01

18/03

/01

18/04

/01

18/05

/01

18/06

/01

18/07

/01

18/08

/01

18/09

/01

18/10

/01

18/11

/01

18/12

/01


2.1. Proceso estacionario (6) - Ejemplo$/US$ - 1999-2004 (diaria)

10

15

20

25

30

35

18/1

0/99

18/1

2/99

18/0

2/00

18/0

4/00

18/0

6/00

18/0

8/00

18/1

0/00

18/1

2/00

18/0

2/01

18/0

4/01

18/0

6/01

18/0

8/01

18/1

0/01

18/1

2/01

18/0

2/02

18/0

4/02

18/0

6/02

18/0

8/02

18/1

0/02

18/1

2/02

18/0

2/03

18/0

4/03

18/0

6/03

18/0

8/03

18/1

0/03

18/1

2/03

18/0

2/04

18/0

4/04


2.1. Proceso estacionario (7) - EjemploLibor US$ (180d) - 1999-2004 (diaria)

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

18/1

0/99

18/1

2/99

18/0

2/00

18/0

4/00

18/0

6/00

18/0

8/00

18/1

0/00

18/1

2/00

18/0

2/01

18/0

4/01

18/0

6/01

18/0

8/01

18/1

0/01

18/1

2/01

18/0

2/02

18/0

4/02

18/0

6/02

18/0

8/02

18/1

0/02

18/1

2/02

18/0

2/03

18/0

4/03

18/0

6/03

18/0

8/03

18/1

0/03

18/1

2/03

18/0

2/04

18/0

4/04


2.1. Proceso estacionario (8) - EjemploEuro / US$ - 1999-2004 (diaria)

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

18/1

0/99

18/1

2/99

18/0

2/00

18/0

4/00

18/0

6/00

18/0

8/00

18/1

0/00

18/1

2/00

18/0

2/01

18/0

4/01

18/0

6/01

18/0

8/01

18/1

0/01

18/1

2/01

18/0

2/02

18/0

4/02

18/0

6/02

18/0

8/02

18/1

0/02

18/1

2/02

18/0

2/03

18/0

4/03

18/0

6/03

18/0

8/03

18/1

0/03

18/1

2/03

18/0

2/04

18/0

4/04


2.1. Proceso estacionario (9) - EjemploDevaluación $U (variación diaria en %)

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

19/1

0/99

19/1

2/99

19/0

2/00

19/0

4/00

19/0

6/00

19/0

8/00

19/1

0/00

19/1

2/00

19/0

2/01

19/0

4/01

19/0

6/01

19/0

8/01

19/1

0/01

19/1

2/01

19/0

2/02

19/0

4/02

19/0

6/02

19/0

8/02

19/1

0/02

19/1

2/02

19/0

2/03

19/0

4/03

19/0

6/03

19/0

8/03

19/1

0/03

19/1

2/03

19/0

2/04

19/0

4/04


2.1. Proceso estacionario (10)

Conclusión:

• Los procesos estacionarios no pueden presentar tendencia.

• Tiene que producirse una reversión a la media cuando algún factor (choque o shock) provoca un desvío.

• La variabilidad (volatilidad) de la serie también debe ser estable.


2.1. Proceso estacionario (11)

RUIDO BLANCO - Un tipo particular de proceso estacionario. Lo notaremos como at. En los apuntes figura como εt.

• E ( at ) = 0 ∀t

• V( at ) = σ2 ∀t

• Cov ( at , at-k ) = 0 ∀tEs la “sorpresa”, lo imprevisible.


2.2. Función de autocorrelación (ac) (1)

Coeficiente de correlación entre dos variables (Xt , Yt):

YX

ttXY

YXCOVσσ

ρ*

),(=

02

),(*

),(

γγ

σ

σσρ

k

Y

ktt

YY

kttk

yyCOV

yyCOV

==

==

−

−

Coeficiente de autocorrelación:



• Los valores de los coef. de autocorrelación para k=0, 1, 2, ... forman la función de autocorrelación (ac).

• Algunas propiedades de los coef. de autocorrelación:

10 == −

ρρρ kk



Ejemplo:

IPC promedio anual - 1939 a 2003

Logaritmo

Inflación:

Inflat = log(IPCt / IPCt-1) = log(IPCt) -- log( IPCt-1) ≈ IPCt / IPCt-1 - 1



IPC Promedio anual (logaritmo) - 1939-2003

-15

-10

-5

0

5

10

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00



Inflación: diferencia de logaritmos

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00



Correlograma de Inflat

0,00,20,40,60,81,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17



Correlograma de Inflat (salida de EViews)==============================================================Sample: 1939 2003Included observations: 64============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== . |****** | . |****** | 1 0.815 0.815 44.552 0.000 . |***** | .*| . | 2 0.615-0.148 70.296 0.000 . |*** | . | . | 3 0.455 0.003 84.659 0.000 . |*** | . |** | 4 0.430 0.286 97.678 0.000 . |*** | . | . | 5 0.426 0.007 110.66 0.000 . |*** | . | . | 6 0.407-0.009 122.72 0.000 . |*** | . |*. | 7 0.376 0.085 133.19 0.000 . |** | **| . | 8 0.275-0.220 138.88 0.000 . |*. | .*| . | 9 0.160-0.097 140.85 0.000 . |*. | . | . | 10 0.079 0.040 141.33 0.000 . |*. | . |*. | 11 0.100 0.124 142.13 0.000 . |*. | . | . | 12 0.133-0.032 143.56 0.000 . |*. | . | . | 13 0.126-0.040 144.87 0.000 . |*. | . | . | 14 0.071-0.017 145.30 0.000 . | . | . |*. | 15 0.046 0.105 145.48 0.000 . | . | . | . | 16 0.033-0.035 145.58 0.000 . | . | .*| . | 17 0.018-0.061 145.60 0.000 . | . | . | . | 18-0.004-0.048 145.61 0.000==============================================================


3. Procesos Autoregresivos (AR)

3.1. Introducción

3.2. Momentos y correlograma

3.3. Inclusión de constante

3.4. Condiciones de estacionariedad


3.1. AR- Introducción (1)

• Es el caso de la inflación. La inflación de este año se relaciona con el valor del año anterior, de dos años antes, etc.

• ¿Por qué? Desde el punto de vista de la teoría, hay varios factores explicativos: inercia, indexación salarial a la inflación pasada, etc.



• Para la inflación, un modelo AR simple es:Inflat = 0,0555 + 0,82 * Inflat-1

• Este es un modelo AR(1).

• En general, un modelo AR(p) puede ser escrito como:

yt = C + φ1 yt-1 + φ2 yt-2 + ... + φp yt-p + at

donde at es un ruido blanco.



• Los modelos en general, y los AR en particular, pueden ser expresados como:

yt = PSt + at

La variable es generada por una parte sistemática más un ruido, innovación, o sorpresa.

• En el caso del AR(1), PSt = C+φ1 yt-1



Ajuste del modelo AR(1) de la Infla anual.

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

Residual Actual Fitted



Ajuste del modelo AR(1) de la Infla anual.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

60 65 70 75 80 85 90 95 00

INFLA INFLAF

INFLA -dato real

INFLAF - ajustado


3.2. AR- Momentos y correlograma (1)

En el caso de un modelo AR(1):

yt = C + φ1 yt-1 + at con at ~ N(0,σ2)

El modelo es estacionario si ⏐ φ1 ⏐< 1

21

2

0

1

1)(

1)(

φσγ

φµ

−==

−==

t

t

yV

CyE



yt = C + φ1 yt-1 + at con at ~ N(0,σ2) con ⏐ φ1 ⏐< 1

La autocovarianza de 1er. orden:

10

110111),( φ

γγργφγ ==⇒==−tt yyCOV

En general: kkk

kkktt yyCOV 1

001),( φ

γγργφγ ==⇒==−

La función de autocorrelación (ac) vendrá dada por:

... ,, ... ,,, 13

12

11Kφφφφ



φ1 = 0,8 φ1 = – 0,8

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15



Recordemos el correlograma de Inflat==============================================================Sample: 1939 2003Included observations: 64============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== . |****** | . |****** | 1 0.815 0.815 44.552 0.000 . |***** | .*| . | 2 0.615-0.148 70.296 0.000 . |*** | . | . | 3 0.455 0.003 84.659 0.000 . |*** | . |** | 4 0.430 0.286 97.678 0.000 . |*** | . | . | 5 0.426 0.007 110.66 0.000 . |*** | . | . | 6 0.407-0.009 122.72 0.000 . |*** | . |*. | 7 0.376 0.085 133.19 0.000 . |** | **| . | 8 0.275-0.220 138.88 0.000 . |*. | .*| . | 9 0.160-0.097 140.85 0.000 . |*. | . | . | 10 0.079 0.040 141.33 0.000 . |*. | . |*. | 11 0.100 0.124 142.13 0.000 . |*. | . | . | 12 0.133-0.032 143.56 0.000 . |*. | . | . | 13 0.126-0.040 144.87 0.000 . |*. | . | . | 14 0.071-0.017 145.30 0.000 . | . | . |*. | 15 0.046 0.105 145.48 0.000 . | . | . | . | 16 0.033-0.035 145.58 0.000 . | . | .*| . | 17 0.018-0.061 145.60 0.000 . | . | . | . | 18-0.004-0.048 145.61 0.000==============================================================



• Adelantándonos a un capítulo posterior, en el trabajo con una serie no conocemos el proceso que la generó. De ahí, tendremos que inferir el tipo de proceso a partir del estudio de la serie y, en especial, de su correlograma.

• Es decir, es importante conocer los correlogramas teóricos para luego comparar el de la serie objetivo con éstos.



Correlogramas parecidos pueden provenir de distintos modelos. Este es el correspondiente a una serie AR(2): yt = 0,5* yt-1 + 0,3*yt-2 + at

==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|****** | .|****** | 1 0.738 0.738 110.63 0.000 .|***** | .|*** | 2 0.701 0.342 210.78 0.000 .|**** | *|. | 3 0.536-0.141 269.72 0.000 .|*** | *|. | 4 0.446-0.061 310.70 0.000 .|*** | .|. | 5 0.349 0.005 335.91 0.000 .|** | .|. | 6 0.289 0.028 353.27 0.000 .|** | .|. | 7 0.238 0.021 365.14 0.000 .|** | .|. | 8 0.213 0.036 374.69 0.000 .|* | .|. | 9 0.180-0.007 381.56 0.000 .|* | .|. | 10 0.172 0.023 387.82 0.000 .|* | .|. | 11 0.147-0.005 392.42 0.000 .|* | .|. | 12 0.142 0.017 396.78 0.000==============================================================



Otro correlograma de una serie AR(2):

yt = 0,8* yt-1 - 0,5*yt-2 + at

==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|***** | .|***** | 1 0.595 0.595 71.763 0.000 .|. | ****|. | 2 0.049-0.472 72.244 0.000 **|. | *|. | 3-0.277-0.078 88.006 0.000 **|. | .|. | 4-0.274 0.048 103.51 0.000 *|. | .|. | 5-0.126-0.049 106.79 0.000 .|. | .|. | 6 0.000-0.029 106.79 0.000 .|. | .|. | 7 0.035-0.025 107.04 0.000 .|. | .|. | 8 0.033 0.025 107.27 0.000 .|. | .|. | 9 0.026 0.002 107.41 0.000 .|. | .|. | 10 0.030 0.016 107.61 0.000 .|. | *|. | 11-0.007-0.067 107.62 0.000 *|. | .|. | 12-0.074-0.055 108.78 0.000==============================================================


3.2. AR- Momentos y correlograma (8)Correlograma parcial (pac). En un modelo AR(1), la covarianza de orden 2 [COV(yt,yt-2) ]es distinta de cero. ¿Por qué?

yt-2 está relacionado con yt-1 y ésta, a su vez, con yt. El correlograma parcial “elimina” el efecto indirecto.

pac(2): correlación entre yt-2 y yt , depurando de los efectos intermedios. pac(3): correlación “directa” entre yt-3 y yt, etc.


3.2. AR- Momentos y correlograma (9)Volvamos al correlograma de AR(2): yt = 0,5* yt-1 + 0,3*yt-2 + at==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|****** | .|****** | 1 0.738 0.738 110.63 0.000 .|***** | .|*** | 2 0.701 0.342 210.78 0.000 .|**** | *|. | 3 0.536-0.141 269.72 0.000 .|*** | *|. | 4 0.446-0.061 310.70 0.000 .|*** | .|. | 5 0.349 0.005 335.91 0.000 .|** | .|. | 6 0.289 0.028 353.27 0.000 .|** | .|. | 7 0.238 0.021 365.14 0.000 .|** | .|. | 8 0.213 0.036 374.69 0.000 .|* | .|. | 9 0.180-0.007 381.56 0.000 .|* | .|. | 10 0.172 0.023 387.82 0.000 .|* | .|. | 11 0.147-0.005 392.42 0.000 .|* | .|. | 12 0.142 0.017 396.78 0.000==============================================================

El pac tiene 2 valores no nulos.

En modelos AR, el pac nos indica el ordendel modelo.


3.3. AR- Inclusión de constante (1)

Constante en el modelo

En el modelo de inflación: Inflat = 0,0555 + 0,82 * Inflat-1 la inclusión de una constante y su resultado no es trivial.

El modelo nos dice que ante la ausencia de shocks, la inflación (valor de equilibrio) tiende a 30% [= 0,0555 / (1-0,82)]



Inflación. Proyección a 2030 desde 2003.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 15 20 25 30



Cuando modelizamos en nivel (valores originales o logaritmos) en general debe incluirse una constante en el modelo, y luego testear su significación.

Cuando se modeliza en diferencias (como la inflación) la inclusión de la constante debe ser analizada con cuidado. Volveremos sobre este tema.


3.4. AR- Estacionariedad (1)• El modelo AR(p) es: yt = C + φ1 yt-1+ + φ2 yt-2 + ... + φp yt-p + at

• Utilizando el operador de retardo L (por el inglés lag) queda:

yt= C+φ1 Lyt + φ2 L2yt + ... + φp Lpyt+ at=> (1- φ1 L- φ2 L2 - ... - φp Lp) yt = C + at

• La expresión entre paréntesis puede asimilarse a un polinomio: Φ(L) yt = C + at


3.4. AR- Estacionariedad (2)

• La condición para que el proceso sea estacionario es que el polinomio Φ(L)tenga sus raíces “fuera del círculo unidad”.

• Es decir, que sus raíces sean, en módulo, superiores a 1.

• El caso de un AR(1): (1- φ1 L) yt =C+at • La raíz es 1/ φ1.

⏐1/ φ1⏐>1 => ⏐φ1⏐< 1



El caso de un AR(p): Φ(L) yt = C + at • Tendrá “p” raíces (en general complejas).• Cada raíz “r” admite 5 posibilidades:

1/r > 1 Crecimiento explosivo.1/r = 1 No estacionario. Caminata al azar.⏐1/r⏐< 1 Estacionario.1/r = -1 No estacionario. Alterna signos.1/r < -1 Crece alternando signos.



• En última instancia, los casos que nos interesará distinguir son los de 1/r = r = 1 con ⏐1/r⏐< 1.

• Es decir, nos interesa determinar si la serie presenta una raíz unitaria. Para ello disponemos de las siguientes herramientas:– Análisis gráfico y correlograma

(detectando por el comportamiento de una serie con raíz unitaria).

– Test de raíz unitaria (Dickey-Fuller).


3.4. AR- Estacionariedad (5)Las series financieras tienden a presentar comportamientos de caminatas al azar (random walk): yt = yt-1 +at

Euro / US$ -99-04 (diaria)

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

18/1

0/99

18/1

2/99

18/0

2/00

18/0

4/00

18/0

6/00

18/0

8/00

18/1

0/00

18/1

2/00

18/0

2/01

18/0

4/01

18/0

6/01

18/0

8/01

18/1

0/01

18/1

2/01

18/0

2/02

18/0

4/02

18/0

6/02

18/0

8/02

18/1

0/02

18/1

2/02

18/0

2/03

18/0

4/03

18/0

6/03

18/0

8/03

18/1

0/03

18/1

2/03

18/0

2/04

18/0

4/04

La serie tiene una raíz unitaria.



Para las series con una raíz unitaria el correlograma tiende muy lentamente a cero.

Euro / US$ -99-04 (diaria)

==============================================================Included observations: 1062============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|******** .|******** 1 0.996 0.996 1057.3 0.000 .|******** .| | 2 0.993 0.014 2108.3 0.000 .|******** .| | 3 0.989 0.001 3152.8 0.000 .|******** .| | 4 0.986-0.007 4191.0 0.000 .|******** .| | 5 0.983 0.018 5223.1 0.000 .|******** .| | 6 0.979 0.007 6249.1 0.000 .|******** .| | 7 0.976-0.031 7268.8 0.000 .|*******| .| | 8 0.972-0.011 8281.9 0.000 .|*******| .| | 9 0.969 0.025 9289.0 0.000 .|*******| .| | 10 0.965 0.013 10290. 0.000 .|*******| .| | 11 0.962-0.002 11285. 0.000 .|*******| .| | 12 0.959 0.010 12275. 0.000 .|*******| .| | 13 0.955-0.056 13258. 0.000 .|*******| .| | 14 0.952 0.014 14235. 0.000 .|*******| .| | 15 0.948-0.016 15205. 0.000 .|*******| .| | 16 0.945 0.007 16169. 0.000 .|*******| .| | 17 0.941 0.010 17127. 0.000 .|*******| .| | 18 0.938-0.047 18079. 0.000 .|*******| .| | 19 0.934-0.001 19023. 0.000 .|*******| .| | 20 0.930-0.037 19961. 0.000 .|*******| .| | 21 0.926-0.021 20891. 0.000 .|*******| .| | 22 0.922 0.028 21814. 0.000 .|*******| .| | 23 0.918-0.025 22729. 0.000 .|*******| .| | 24 0.914 0.021 23638. 0.000 .|*******| .| | 25 0.910 0.004 24541. 0.000 .|*******| .| | 26 0.906-0.023 25436. 0.000 .|*******| .| | 27 0.902-0.030 26323. 0.000 .|*******| .| | 28 0.898 0.020 27204. 0.000 .|*******| .| | 29 0.894 0.029 28078. 0.000 .|*******| .| | 30 0.890-0.046 28945. 0.000 .|*******| .| | 31 0.886-0.001 29804. 0.000 .|*******| .| | 32 0.881-0.018 30656. 0.000 .|*******| .| | 33 0.877 0.035 31501. 0.000 .|*******| .| | 34 0.873 0.016 32340. 0.000 .|*******| .| | 35 0.870-0.009 33172. 0.000 .|*******| .| | 36 0.866-0.009 33997. 0.000==============================================================


4. Procesos de Medias Móviles (MA)

4.1. Introducción


4.3. Invertibilidad


4.1. MA- Introducción (1)• Algunas series presentan reacciones a

shocks, pero rápidamente se produce el retorno al equilibrio. Este tipo de procesos no son bien descriptos por modelos AR. Para ello están los modelos de Medias Móviles (Moving Averages, MA, en inglés).

• Ejemplo: el precio de un bien agrícola, que reacciona a shocks o choques (como sequías) aunque reajusta en uno o dos períodos.


4.1. MA- Introducción (2)

• En general, un modelo MA(q) puede ser escrito como:

yt = C + at + θ1 at-1 + θ2 at-2 + ... + θq at-q

donde at es un ruido blanco: at ~ N(0,σ2)• El caso más sencillo es un MA(1):

yt = C + at + θ1 at-1


4.2. MA- Momentos y correlograma (1)

En el caso de un modelo MA(1):

yt = C + at + θ1 at-1

El modelo es siempre estacionario.

1 0),(),(

)1()(

)(

2111

2210

>∀====

+==

==

−

−

kyyCOVyyCOV

yV

CyE

kktt

tt

t

t

γσθγ

σθγ

µ



• Esta es una característica distintiva de los modelos de MA: tienen memoria finita, al contrario de los modelos AR, donde las repercusiones de un choque se mantienen permanentemente (aunque amortiguadas en su impacto).

• El segundo punto distintivo es que los modelos MA (de orden finito) son siempre estacionarios.



Ejemplo

Supóngase que se está modelizando el precio de un cierto producto agrícola en un contexto no inflacionario. Para ello se dispone de una serie de tiempo donde la periodicidad se corresponde con el ciclo de cultivo del producto (es decir: semestral, anual, según corresponda).



Ejemplo (cont.)Como ejemplo, un modelo que podría describir este proceso es un MA(1):

yt = 10 + at + 0,8 at-1

donde at ~ N (0 , 2^2).En el momento T se produce un hecho extraordinario que repercute en la innovación (outlier). La innovación toma el valor de 7.



Ejemplo (cont.)Los valores (para el modelo MA) serán:

aT-2 = 0 yT-2 = 10,0aT-1 = 0 yT-1 = 10,0aT = 7 yT = 17,0aT+1 = 0 yT+1 = 15,6aT+2 = 0 yT+2 = 10,0aT+3 = 0 yT+3 = 10,0



Ejemplo (cont.)Si en lugar de especificar un modelo MA(1) se hubiera especificado el siguiente modelo AR(1): xt = 2 + 0,8 xt-1 + at donde at ~ N (0 , 2^2).

Obsérvese que el proceso AR(1) se definió de manera que la esperanza de ambos modelos fuera igual: E(xt) = 2/(1-0,8) = 10.



Ejemplo (cont.)Suponiendo el mismo comportamiento del ruido, los valores para el modelo AR serán:

aT-2 = 0 xT-2 = 10,0aT-1 = 0 xT-1 = 10,0aT = 7 xT = 17,0aT+1 = 0 xT+1 = 15,6aT+2 = 0 xT+2 = 14,5aT+3 = 0 xT+3 = 13,6



Ejemplo (cont.)Para los períodos siguientes (modelo AR):aT+10 = 0 xT+10 = 10,8...aT+20 = 0 xT+20 = 10,1...aT+30 = 0 xT+30 = 10,0



Ejemplo (cont.)El valor de equilibrio (la esperanza del proceso) es, al igual que en el MA(1), y=10.En los dos procesos, una vez ocurrido un hecho que lo “aparta” del equilibrio, la serie tiende a retornar a éste (característica de las series estacionarias: la media es invariante).La diferencia radica en la trayectoria y en la rapidez hacia el equilibrio.



Ejemplo (cont.)En la ausencia de nuevos choques, el proceso MA retorna a su equilibrio en un número finito de períodos (de acuerdo al orden “q” del proceso), usualmente un número pequeño.El proceso AR retorna al equilibrio con movimientos decrecientes pero, estrictamente, nunca lo alcanza. Se dice que los modelos AR tienen memoria “infinita”.



En el caso del modelo general MA(q):

yt = C + at + θ1 at-1+ θ2 at-2+ ... + θq at-q

⎩⎨⎧

>=≤≠

===

===

−

qkqk

yVyyCOV

yVCyE

k

t

kttk

tt

0 0

)(),(

)( )(

0

0

γγρ

γµ

El correlograma tendrá “q” valores distintos de cero (significativos), y el resto no significativos.



Correlograma de un proceso MA(1): yt = at + 0,8 at-1

==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|**** | .|**** | 1 0.579 0.579 68.073 0.000 .|* | **|. | 2 0.149-0.280 72.614 0.000 .|. | .|* | 3 0.028 0.130 72.772 0.000 *|. | *|. | 4-0.060-0.166 73.508 0.000 *|. | .|* | 5-0.078 0.068 74.755 0.000 *|. | *|. | 6-0.075-0.093 75.938 0.000 .|. | .|. | 7-0.051 0.055 76.487 0.000 .|. | .|. | 8-0.026-0.049 76.632 0.000 .|. | .|. | 9-0.010 0.033 76.652 0.000 .|. | .|. | 10 0.011-0.007 76.680 0.000 .|. | .|. | 11 0.017 0.009 76.742 0.000 .|. | *|. | 12-0.033-0.085 76.971 0.000 *|. | .|. | 13-0.063 0.011 77.831 0.000 .|. | .|* | 14 0.017 0.095 77.894 0.000 .|* | .|. | 15 0.107 0.061 80.414 0.000 .|* | .|. | 16 0.135 0.044 84.410 0.000 .|* | *|. | 17 0.067-0.076 85.407 0.000 .|. | .|. | 18-0.009 0.002 85.427 0.000==============================================================

El pac se comporta como el ac de un AR(1).

El ac y el pac son “espejos” en procesos AR y MA.


4.3. MA- Invertibilidad (1)

Consideremos el caso de un MA(1) sin constante: yt = at – θ1 at-1

yt-1 = at-1 – θ1 at-2 => at-1 = yt-1 + θ1 at-2Sustituyendo en el modelo:yt = at – θ1 yt-1 1– θ2 at-2Sustituyendo recursivamente:yt = at – θ1 yt-1 – θ21 yt-2 – θ31 yt-3 – ... =>El proceso MA se convierte en un proceso AR(∞).



La condición para que un proceso MA(1) sea invertible es que |θ1|<1.

En general, para un proceso MA(q): yt = C + at + θ1 at-1+ θ2 at-2+ ... + θq at-q yt = C + Θ(L)at

se requiere que las raíces del polinomio de medias móviles [Θ(L)] caigan fuera del círculo unidad.



La condición de invertibilidad es una condición deseable en los modelos de MA. Considérense dos modelos MA(1):yt = at + 0,5* at-1 xt = at + 2 * at-1

El coeficiente del modelo en y es el inverso al de x. El coeficiente de ac de orden 1 (ρ1) es:

)1()1( 21

122

1

21

0

11 θ

θσθ

σθγγρ

+=

+==

En ambos modelos ρ1= 0,4 aunque el modelo en y es invertible.



En forma simétrica, también es posible re-escribir un modelo AR como un modelo de MA, a condición de que sea estacionario.Así, por ejemplo, el modelo AR(1):yt = 0,8 * yt-1 + atpuede transformarse en el modelo MA(∞):yt = at +0,8*at-1 +0,82*at-2 +0,83*at-3 + ...

∑∞+

=−=⇒

08,0

jjt

jt ay



El hecho de que un AR(1) se transforme en un MA(∞) (o viceversa) no significa que esta propiedad no sea operativa.A partir de determinado orden, los coeficientes no son significativos.

Así, para el modelo yt = 0,8 * yt-1 + at el coeficiente de orden 7 en un MA(∞) es 0,21 que probablemente no resulte significativo.



En el modelo AR(1) de la inflación anual:

Inflat = 0,0555 + 0,82 * Inflat-1 + at

se logra un ajuste similar con un MA(2):

Inflat = 0,292 + at + 0,88 * at-1 + 0,64 * at-2

Observe que se cumple aproximadamente la relación prevista entre los coeficientes, y que la constante es similar en ambos modelos: 0,0555/(1-0,82) ≈ 0,292


5. Procesos ARMA

5.1. Introducción



5.1. ARMA- Introducción (1)

• Este es el caso general para procesos estacionarios. Corresponde a un modelo donde se observan efectos de corto alcance (términos MA) y efectos de inercia o autoregresivos (AR).

• Como combinan elementos de ambos tipos de modelos, son los más difíciles de identificar.



• Un modelo ARMA(p,q) tendrá la forma:

yt = C + φ1 yt-1 + φ2 yt-2 + ... + φp yt-p + + at + θ1 at-1 + θ2 at-2 + ... + θq at-q

donde at es un ruido blanco: at ~ N(0,σ2)• En notación polinomial:

Φ(L) yt = C + Θ(L) at



• Un modelo ARMA(p,q) será estacionarioen la medida que la parte AR lo sea (las raíces del polinomio Φ caen fuera del círculo unidad).• Será invertible en la medida que el proceso de MA lo sea (ídem para las raíces de Θ).• Los modelos ARMA estacionarios e invertibles pueden escribirse tanto como AR puros o como MA puros (eventualmente de orden infinito). Pero son más parsimoniosos (tienen menos coeficientes).



En el modelo de la inflación anual se obtiene un mejor ajuste con un modelo ARMA(1,2) :

(1- 0,42*L) ( Inflat - 0,303) =

= (1+ 0,63*L + 0,49*L2) at

Observe que la expresión que resta a Inflat es la esperanza (y no la constante).


5.2. ARMA-Momentos y correlograma - (1)

El modelo ARMA(1,1) es el más sencillo:

yt = C + φyt-1 + at + θat-1

donde at es un ruido blanco: at ~ N(0,σ2).

Sin pérdida de generalidad, supondremos C=0.

Nos detendremos en la deducción de la varianza y autocovarianzas.



2

22

0

22220

211

21

2

221

220

11112

12

221

2211

211

1)21(

2

)(2)(

)()()(

222

)(

φσφθθγ

φθσσθσγφ

φθθ

φγ

θφθφθ

φθφ

θφ

−++

=⇒

+++=

=++

++==⇒

⇒++++

++=++=

++=

−−−

−

−−−−−

−−−

−−

ttt

ttt

ttttttt

tttttt

tttt

ayEaE

aEyEyE

aaayaya

ayaayy

aayy



( )[ ]

0

11

22

22

1

20

1112

1

11111

etc. 1

)21(

)()()(

)(

γγρ

θσφ

σθφθφγ

θσφγ

θφ

θφγ

=

+−++

=⇒

⇒+=

=++=

=++==

−−−−

−−−−

ttttt

tttttt

yaEyaEyE

yaayEyyE


5.2. ARMA-Momentos y correlograma - (4)( )[ ]

111

11

11

1 )()()(

)(

ρφφρρφγγ

θφθφγ

kkkkk

kttkttktt

kttttkttk

kConyaEyaEyyE

yaayEyyE

==⇒=

>++=

=++==

−−

−−−−−

−−−−

Resumiendo:El correlograma (ac) se comporta como un AR(1) para k > 1

⎩⎨⎧

>=

− 1kpara 1

1

kk φρ

ρρ



Para el modelo ARMA(p,q) tendremos:

⎩⎨⎧

>≤

=− qk

qk

kk para

para ... ,,,

1

321

φρρρρ

ρ

El correlograma (ac) se comporta como un AR(p) para k > q


Correlograma de un proceso ARMA(1,1): yt = 0,5 yt-1 + at + 0,8 at-1


El pac nos da información “confusa”: tendemos a pensar que se trata de un AR(2).

==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|****** | .|****** | 1 0.793 0.793 127.63 0.000 .|*** | ****|. | 2 0.454-0.470 169.74 0.000 .|** | .|* | 3 0.209 0.180 178.70 0.000 .|. | *|. | 4 0.049-0.166 179.19 0.000 .|. | .|* | 5-0.034 0.094 179.42 0.000 *|. | *|. | 6-0.065-0.082 180.29 0.000 *|. | .|. | 7-0.063 0.060 181.13 0.000 .|. | .|. | 8-0.047-0.044 181.59 0.000 .|. | .|. | 9-0.028 0.034 181.75 0.000==============================================================


6. Procesos No Estacionarios

6.1. Introducción

6.2. Caminata al azar

6.3. Transformación estacionaria

6.4. Modelos ARIMA


6.1. No Estacionarios - Introducción (1)

Las series económicas (y empresariales) tienen en general un comportamiento no estacionario. Las series con las siguientes características no son estacionarias:

• Series con tendencia.

• Si la serie presenta movimientos lentos con cambios de nivel en el tiempo.

• Si la volatilidad (la varianza) es variable, lo que es común en series financieras.



El punto es que sólo tiene sentido estimar modelos que sean estacionarios.

¿Cómo se resuelve esta “paradoja”?

En general será posible “transformar” las series no estacionarias, volviéndolas estacionarias.

Los resultados de la estimación de la transformación estacionaria serán aplicables (en lo pertinente) a la serie original.



Así, el IPC es una serie no estacionaria (presenta tendencia: salvo algunas excepciones, crece año a año).

Pero su diferencia (la inflación) puede considerarse estacionaria.

Lo mismo sucede con el PIB, las ventas de una empresa (a precios corrientes, a precios constantes, ...), la libor, el tipo de cambio, etc.


6.1. No Estacionarios - Introducción (4)Una forma de aproximarnos a la descripción de una serie con tendencia es incluyendo en el modelo esa tendencia determinística,representada por un crecimiento constante en el tiempo, una función lineal del tiempo.Se les puede especificar de la forma siguiente:yt = α +β t +ut con ut ~ ARMA(p,q)Se dice determinística para distinguirla de la tendencia de una caminata al azar con deriva.



A estos procesos se les conoce como procesos en tendencia estacionarios ( TS, trend stationary). Son no estacionarios, aunque no presentan raíces unitarias. La transformación apropiada es restar a la serie original la (estimación de la) tendencia determinística. Si se genera una serie zt como: zt = yt–α–β t la serie zt será estacionaria: zt = ut



Las series que es necesario diferenciar para convertirlas en estacionarias se les denomina (a sus procesos) diferencia estacionario oestacionario en diferencia (DS, difference stationary) y se les puede especificar de la forma siguiente:

yt = C + yt-1 + ut con ut ~ ARMA(p,q) Las series estacionarias en diferencias presentan una (o más) raíces unitarias.



Para una serie con tendencia, las consecuencias sobre su comportamiento son muy distintas según sea TS o DS.En las series TS el comportamiento en el tiempo es rígido: no pueden apartarse sustancialmente de la tendencia determinística. Mientras que las series DS pueden cambiar de nivel ante choques que reciban.



A continuación se presenta el gráfico de dos series generadas como procesos TS y DS.

-10

0

10

20

30

40

50

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

TS DS

Ambas fueron generadas a partir de un proceso AR(2) estacionario.



Otro ejemplo: Serie TS con un outlier en la observación 100.

0

10

20

30

40

50

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200



Serie DS con el mismo outlier en la observación 100.

0

20

40

60

80

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200



Los macroeconomistas están muy interesados en conocer si una recesión económica tiene consecuencias permanentes sobre el nivel futuro del PIB, o por el contrario representa caídas temporales que eventualmente serán compensadas durante la recuperación.



El origen de esta discusión se encuentra en el artículo de Nelson y Plosser (1982), en el cual estos autores argumentan que muchas series económicas son mejor caracterizadas por raíces unitarias que por una tendencia determinística.


6.2. Caminata al azar (1)

Un proceso del tipo: yt = yt-1 + atse denomina caminata al azar (random walk).

Un proceso del tipo: yt = µ + yt-1 + atse denomina caminata al azar con deriva (random walk with drift).

En ambos casos la serie presenta una raíz unitaria y, por lo tanto, es no estacionaria. Sin embargo, el comportamiento en el tiempo es muy diferente.


6.2. Caminata al azar (2)Una caminata al azar sin deriva se transforma en un ruido blanco (y, por lo tanto, tiene esperanza nula) cuando se diferencia: ∆yt = yt –yt-1 = atUna caminata al azar con deriva tiene media no nula cuando se diferencia:∆yt = yt –yt-1 = µ + at

La “tasa” promedio de crecimiento es nula en el primer caso, mientas que en el segundo es no nula (usualmente positiva).



Euro/US$ - logaritmo de valores diarios.

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

200 400 600 800 1000



Euro/US$ - ∆ log de valores diarios.

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

200 400 600 800 1000



Euro/US$ - Momentos para la variable en nivel (logaritmo), ∆ log y ∆2 log.

==================================================Sample: 1 1062================================================== LOG(EURO) DLOG(EURO) DLOG(EURO,2)================================================== Mean 0.012980 -8.48E-05 2.80E-06 Median 0.044579 -0.000180 -1.07E-05 Maximum 0.192129 0.022520 0.055632 Minimum -0.251381 -0.042041 -0.036394 Std. Dev. 0.117118 0.007288 0.010482 Skewness -0.620695 -0.256430 0.079967 Kurtosis 2.142570 4.222202 3.870038

Jarque-Bera 100.5337 77.59210 34.56243 Probability 0.000000 0.000000 0.000000

Observations 1060 1060 1060==================================================

Observar el reducido valor de la media para la primera diferencia de la serie.


6.2. Caminata al azar (6)==============================================================Included observations: 1062============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|******** .|******** 1 0.997 0.997 1057.8 0.000 .|******** .| | 2 0.993 0.009 2109.6 0.000 .|******** .| | 3 0.990-0.006 3155.3 0.000 .|******** .| | 4 0.987-0.003 4194.9 0.000 .|******** .| | 5 0.983 0.019 5228.7 0.000 .|******** .| | 6 0.980 0.004 6256.9 0.000 .|******** .| | 7 0.977-0.031 7278.9 0.000 .|*******| .| | 8 0.973-0.011 8294.8 0.000 .|*******| .| | 9 0.970 0.020 9304.8 0.000 .|*******| .| | 10 0.967 0.011 10309. 0.000 .|*******| .| | 11 0.964-0.003 11308. 0.000 .|*******| .| | 12 0.961 0.002 12300. 0.000 .|*******| *| | 13 0.957-0.060 13287. 0.000 .|*******| .| | 14 0.953 0.011 14267. 0.000 .|*******| .| | 15 0.950-0.016 15241. 0.000 .|*******| .| | 16 0.946 0.010 16208. 0.000 .|*******| .| | 17 0.943 0.008 17170. 0.000 .|*******| .| | 18 0.939-0.052 18124. 0.000==============================================================

Correlograma log(Euro)


6.2. Caminata al azar (7)==============================================================Included observations: 1061============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .| | .| | 1-0.035-0.035 1.2685 0.260 .| | .| | 2-0.018-0.019 1.6084 0.447 .| | .| | 3 0.028 0.027 2.4629 0.482 .| | .| | 4-0.013-0.011 2.6369 0.620 .| | .| | 5-0.004-0.004 2.6554 0.753 .| | .| | 6 0.050 0.049 5.3270 0.503 .| | .| | 7 0.001 0.005 5.3294 0.620 .| | .| | 8-0.040-0.038 7.0189 0.535 .| | .| | 9-0.031-0.036 8.0266 0.531 .| | .| | 10 0.005 0.003 8.0557 0.623 .| | .| | 11-0.002 0.000 8.0589 0.708 .| | .| | 12 0.052 0.051 10.949 0.533 .| | .| | 13-0.023-0.021 11.528 0.567 .| | .| | 14 0.046 0.050 13.789 0.466 .| | .| | 15 0.007 0.010 13.845 0.537 .| | .| | 16-0.009-0.006 13.927 0.604 .| | .| | 17 0.066 0.061 18.571 0.354 .| | .| | 18 0.020 0.019 19.001 0.392==============================================================

Correlograma ∆ log(euro)

dlog(euro) en la notación de EViews


6.2. Caminata al azar (8)Los tipos de cambios (entre países desarrollados) y en general las variables financieras son ejemplos de caminatas al azar. En el caso de los tipos de cambio, sin deriva.• ¿Puede esperarse una tendencia en su comportamiento?• El hecho de que su variación diaria (∆log) sea un ruido blanco, ¿cómo se interpreta?• ¿Qué consecuencias tiene esto sobre la predicción de la variable?



En cambio, para otras variables financieras, como los índices de bolsa (Dow-Jones, S&P 500, etc.) debemos esperar un comportamiento de tipo de caminata al azar con deriva. • ¿Por qué?• ¿Cómo será el comportamiento en el corto plazo y en el largo plazo?• ¿Cuál será el comportamiento del riesgo país uruguayo (por ejemplo, medido por el UBI)?



Riesgo país Uruguay - logaritmo de UBI.

4

5

6

7

8

200 400 600 800 1000

LOG(UBI)



∆ log (UBI)

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

200 400 600 800 1000

DLOG(UBI)



TC - $U/US$ - Momentos para la variable original, logaritmo, ∆ log y ∆2 log.

==============================================================Sample: 1 1062============================================================== DOLAR LOG(DOLAR) DLOG(DOLAR) DLOG(DOLAR,2)============================================================== Mean 19.44019 2.894740 0.000874 1.12E-06 Median 14.81150 2.695404 0.000193 0.000000 Maximum 32.32500 3.475841 0.147236 0.177129 Minimum 11.51400 2.443564 -0.106360 -0.201052 Std. Dev. 7.398316 0.379939 0.010434 0.013640 Skewness 0.310793 0.230699 2.879331 -1.764109 Kurtosis 1.223378 1.210141 63.88614 88.76489

Jarque-Bera 156.4717 150.8947 165195.9 325422.8 Probability 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Observations 1060 1060 1060 1060==============================================================



∆ log (TC)

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

200 400 600 800 1000

DLOG(DOLAR)

¿Cómo caracterizar la serie de TC?

∆logTC: ¿seráestacionaria?



Una caminata al azar sin deriva: yt = yt-1 + atcon at ~ N(0,σ2) tiene:

• E(yt) = µ• V(yt) = t σ2

Un proceso del tipo: yt = µ + yt-1 + at tiene:

• E(yt) = t µ• V(yt) = t σ2


6.3. Transformación estacionaria (1)Las series que presentan raíces unitarias se denominan integradas.Si una serie tiene una raíz unitaria, se nota como: yt ~ I(1)Si tuviera dos raíces unitarias: yt ~ I(2)Para las series que “deambulan” (como las caminatas sin deriva) o que presentan tendencia, normalmente es suficiente con diferenciarlas (y, en general, una vez) para transformarlas en estacionarias.


6.3. Transformación estacionaria (2)A una serie integrada de orden “m” [yt ~ I(m)] deberá diferenciarse “m” veces para transformarla en estacionaria.Así, si una serie yt presenta el siguiente proceso: yt = yt-1 + zt donde zt = φzt-1 + at, con at ruido blanco, entonces es necesario diferenciar yt y modelizar su primera diferencia:zt = ∆ yt sigue un proceso AR(1).


6.3. Transformación estacionaria (3)¿Cuántas veces diferenciar una serie?En la realidad no conocemos el proceso que dio origen a la serie. Por lo tanto, no conocemos el orden de diferenciación de un serie.Podemos guiarnos por el correlograma (diferenciar hasta que el correlograma se comporte como un proceso estacionario) y por el hecho de que una serie sobre-diferenciada tiene mayor varianza (desvío estándar).


6.3. Transformación estacionaria (4)

TC - $U/US$ - Momentos para la variable original, logaritmo, ∆ log y ∆2 log.

==============================================================Sample: 1 1062============================================================== DOLAR LOG(DOLAR) DLOG(DOLAR) DLOG(DOLAR,2)============================================================== Mean 19.44019 2.894740 0.000874 1.12E-06 Median 14.81150 2.695404 0.000193 0.000000 Maximum 32.32500 3.475841 0.147236 0.177129 Minimum 11.51400 2.443564 -0.106360 -0.201052 Std. Dev. 7.398316 0.379939 0.010434 0.013640 Skewness 0.310793 0.230699 2.879331 -1.764109 Kurtosis 1.223378 1.210141 63.88614 88.76489

Jarque-Bera 156.4717 150.8947 165195.9 325422.8 Probability 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Observations 1060 1060 1060 1060==============================================================

La segunda diferencia aumenta el desvío estándar. Es necesario analizar también el correlograma.


6.4. Modelos ARIMA (1)Una serie, luego de diferenciada “d” veces, sigue un proceso ARMA(p,q). La serie original sigue un proceso ARIMA(p,d,q).

En el modelo de la inflación anual se obtiene un mejor ajuste con un modelo ARMA(1,2) :

(1- 0,42*L) ( Inflat - 0,303) =

= (1+ 0,63*L + 0,49*L2) at

Ello significa que el IPC (su logaritmo) sigue un proceso ARIMA(1,1,2).


6.4. Modelos ARIMA (2)

Una serie sigue un proceso ARIMA(p,d,q):

(1- φ1L-φ2L2-...-φpLp) (1-L)d(yt - µ) =

= (1+θ1L + θ2L2+...+ θqLq) atUtilizando los polinomios respectivos:

Φ(L)(1-L)d(yt - µ) = Θ(L)at


6.4. Modelos ARIMA (3)

La gráfica de la serie temporal da una idea de si es estacionaria. Si existe algún valor en torno al cual la serie va oscilando, pero sin alejarse en forma permanente de dicho valor, entonces se puede considerar que la serie es estacionaria en media.Si no es así se debe diferenciar para convertirla en estacionaria. Se puede diferenciar 1,2, ... ,d veces, las necesarias.


7. Modelos ARIMA estacionales

7.1. Introducción

7.2. Modelos estacionales puros

7.3. Modelos estacionales multiplicativos

7.4. Correlograma

7.5. Modelos estacionales no estacionarios

7.6. Notación


7.1. SARIMA - Introducción

• Series de tiempo de frecuencia menor al año (mensuales, trimestrales) pueden presentar estacionalidad. Es decir, son series con ciclos u oscilaciones estrictamente periódicas, donde el período es igual o inferior al año.• La presencia de este componente se explica por la existencia de las estaciones y los cambios climáticos (que impactan sobre la actividad), las costumbres (el fin de año, que es estrictamente cultural), etc.


7.2. Modelos estacionales puros (1)

• Supóngase un fenómeno donde solamente existe relación entre observaciones de un mismo mes (trimestre, etc.) en dos años consecutivos. Por ej., para datos trimestrales:

1 con y 4 <++= − φφ ttt aCy

• El valor corriente de yt se explica por el ruido contemporáneo y por el valor de y cuatro trimestres atrás (el mismo trimestre del año anterior). El modelo recoge factores estacionales exclusivamente.


7.2. Modelos estacionales puros (2)• El modelo puede ser escrito como:

tt

tt

ttt

aCyLaCyL

aCy

+=Φ+=−

+=− −

)()1(

y4

4

φ

φ

donde Φ(L) es el polinomio autoregresivo.



Designamos como “s” el período estacional (s=4 para datos trimestrales, s=12 para mensuales, etc.). El modelo anterior se nota como SAR(1)s, o modelo autoregresivo estacional (Seasonal, en inglés) de primer orden. Es suficiente que φ en valor absoluto sea menor que 1 para que el modelo sea estacionario.



A continuación presentamos el correlograma de un modelo AR(1) y de un modelo SAR(1)4.

0,80

0,64

0,51

0,41

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,80

0,64

0,51

0,41

0,33

0,26

0,21

0,17

0,13

0,11

0,09

0,07

0,05

0,04

0,04

0,03

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16



La Función de Auto Correlación (FAC) del proceso estacional puro SAR(1)4 considerado anteriormente es:

⎩⎨⎧ ==

= −

caso otro en 0 ... 3s, 2s, s,kpara / sk

skk

φρφρ

Otro modelo estacional puro - SAR(2)s:

tststt aCy +++= −− 221 y y φφ


7.3. Modelos estacionales multiplicativos (1)

Supóngase que se está modelizando el consumo de refrescos con datos de frecuencia trimestral. En el proceso de identificación del modelo se observa que los choques en el trimestre “t” repercuten también en el período o trimestre siguiente, y en el mismo trimestre del año siguiente. Es decir, provoca cambios en el componente estacional de la serie.



Un modelo de medias móviles podría reflejar este comportamiento:

4411 −− −−+= tttt aaaCy θθEs decir, el ruido en “t” influye en “t+1” y en “t+4”. El modelo planteado tiene la limitación que no recoge la influencia que tendrá el efecto en “t+4” sobre el valor de la variable en “t+5”. Es decir, el efecto “un trimestre después” se modeliza solamente en “t+1”.



Una manera de salvar este problema es con la formulación de modelos estacionarios multiplicativos estacionales:

tt aLLCy )1)(1( 441 θθ −−+=

Reescribiendo el modelo:

5414411 −−− +−−+= ttttt aaaaCy θθθθEs decir, el modelo justamente “captura” la interacción de los 2 efectos sobre el período “t+5”.



Una forma alternativa de escribir el modelo anterior es como un MA(5):

554411 −−− −−−+= ttttt aaaaCY θθθ

Esta última es la versión “no restringida”. Contiene un parámetro más que el modelo previo ya que justamente no impone la interacción entre los dos efectos. Si los modelos tuvieran un poder explicativo similar, siempre es preferible el primero (más parsimonioso).



• La práctica ha llevado a adoptar los modelos multiplicativos como la representación general de efectos ordinarios y estacionales en procesos estacionarios. • En todo caso, siempre es posible estimar ambos modelos y realizar pruebas de hipótesis para decidir por uno u otro.



Otros ejemplos de modelos multiplicativos:

tt

tt

aLLCyLL

aCyLL

)1)(1()1)(1(

)1)(1(12

12112

121

12121

θθφφ

φφ

−−+=−−

+=−−

El primero se nota como AR(1)xSAR(1)12

El segundo como AR(1)xSAR(1)12 MA(1)xSMA(1)12


7.4. Correlograma (1)

Considérese un modelo MA(1)xSMA(1)12. Por simplicidad se presenta sin constante:

13121121211

12121 )1)(1(

−−− +−−=−−=

ttttt

tt

aaaayaLLy

θθθθθθ

Las covarianzas del proceso son:

[]

[ ] )1)((

)(x)x(),(

212

21

213

2121

211

141211312211

1312112121111

θσθθθθ

θθθθθθθθγ

+−=−−=

=+−−+−−==

−−

−−−−

−−−−

att

tttt

tttttt

aaE

aaaaaaaaEyyCOV



[] 0)(x

)x(),(

151211412312

1312112121122

=+−−+−−==

−−−−

−−−−

tttt

tttttt

aaaaaaaaEyyCOV

θθθθθθθθγ

Y, de la misma forma, se deduce que γ3, γ4, ..., γ10 = 0Las autocovarianzas 11, 12 y 13 serán no nulas, y γk = 0 con k>13.De esta forma, el correlograma tendrá valores no nulos para k=1, 11, 12 y 13.



Suponiendo modelos MA de orden bajo, tanto para la parte ordinaria como para la parte estacional, el correlograma tendrá coeficientes no nulos para los primeros retardos (hasta el orden de la parte ordinaria) y en torno a la frecuencia estacional: en torno a 12 si es SMA(1)12, en torno a 12 y 24 si es SMA(2)12, etc.



==============================================================Included observations: 1000============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== **| | **| | 1-0.261-0.261 68.388 0.000 *| | *| | 2-0.061-0.139 72.171 0.000 .| | *| | 3-0.004-0.064 72.183 0.000 .| | .| | 4 0.047 0.022 74.420 0.000 .| | .| | 5-0.014 0.002 74.613 0.000 .| | .| | 6 0.020 0.028 75.034 0.000 .| | .| | 7-0.042-0.030 76.804 0.000 .| | .| | 8-0.017-0.039 77.111 0.000 .| | .| | 9 0.005-0.021 77.132 0.000 .| | .| | 10 0.035 0.025 78.389 0.000 .|* | .|* | 11 0.092 0.123 87.001 0.000 ***| | ***| | 12-0.395-0.363 245.35 0.000 .|* | *| | 13 0.113-0.090 258.41 0.000 .| | *| | 14 0.013-0.064 258.60 0.000 .| | .| | 15 0.034 0.014 259.80 0.000==============================================================

Correlograma de SARMA (0,1)(0,1)12:yt = (1-0.3*L) (1-0.5*L12) at


7.4. Correlograma (5)==============================================================Included observations: 1000============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|*** | .|*** | 1 0.459 0.459 210.89 0.000 .|* | *| | 2 0.150-0.077 233.43 0.000 .|* | .| | 3 0.070 0.039 238.29 0.000 .|* | .|* | 4 0.102 0.081 248.75 0.000 .| | .| | 5 0.061-0.026 252.51 0.000 .|* | .|* | 6 0.099 0.098 262.42 0.000 .|* | .| | 7 0.070-0.018 267.31 0.000 .|* | .| | 8 0.078 0.052 273.42 0.000 .| | .| | 9 0.018-0.048 273.76 0.000 .|* | .|* | 10 0.072 0.089 279.06 0.000 .|** | .|** | 11 0.294 0.296 366.80 0.000 .|***** | .|***** | 12 0.690 0.599 850.04 0.000 .|*** | **| | 13 0.335-0.297 963.69 0.000 .|* | .| | 14 0.112 0.020 976.52 0.000 .| | .| | 15 0.048-0.038 978.82 0.000 .|* | .| | 16 0.074-0.011 984.47 0.000 .| | .| | 17 0.042 0.019 986.25 0.000 .|* | .| | 18 0.098 0.024 996.01 0.000 .|* | .| | 19 0.100 0.055 1006.2 0.000 .|* | .| | 20 0.080-0.022 1012.7 0.000 .| | .| | 21-0.012-0.032 1012.9 0.000 .| | .| | 22 0.021-0.001 1013.3 0.000 .|* | .| | 23 0.177-0.019 1045.4 0.000 .|**** | .| | 24 0.466 0.000 1268.1 0.000 .|** | .| | 25 0.239 0.005 1326.6 0.000 .|* | .| | 26 0.076-0.017 1332.6 0.000 .| | .| | 27 0.010-0.033 1332.7 0.000 .| | .| | 28 0.043 0.024 1334.5 0.000 .| | .| | 29 0.024 0.000 1335.1 0.000 .|* | .| | 30 0.073-0.029 1340.6 0.000 .|* | .| | 31 0.083-0.025 1347.7 0.000 .|* | .| | 32 0.069 0.021 1352.6 0.000 .| | .| | 33-0.033-0.022 1353.7 0.000 .| | .| | 34 0.000 0.040 1353.7 0.000 .|* | .| | 35 0.101-0.026 1364.4 0.000 .|** | .| | 36 0.305-0.010 1461.3 0.000==============================================================

Correlograma de SARMA (1,0)(1,0)12: (1-0.5*L) (1-0.7*L12)yt=at


7.5. Modelos no estacionarios (1)

PIB trimestral Uruguay (logaritmo)

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02



Como puede observarse, la serie es claramente no estacionaria: presenta tendencia pero, como se comprobará a continuación, existen otros elementos que determinan la no estacionariedad de la serie.

Veremos el gráfico de la primera diferencia de la serie (∆ log PIBt) y de la diferencia cuarta:∆4 log PIBt = log (PIBt) – log(PIBt-4 )



∆ log PIB

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02



Si bien la serie no parece presentar tendencia, se observa un “pico” regular en el cuarto trimestre de cada año, mientras que se produce un “valle” en el primer trimestre. Es decir, la media de la serie no es constante, sino sistemáticamente más alta en el cuarto trimestre, más baja en el primero, etc.



∆4 log PIB

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02



Es posible que la aplicación de la diferencia estacional no sea suficiente para transformar en estacionaria a la serie. En el gráfico previo la serie resultante parece seguir un proceso del tipo de caminata al azar, aunque serían necesarios otros elementos de análisis (análisis del correlograma, por ejemplo) para concluir sobre la conveniencia de una diferencia adicional.


7.6. SARIMA - Notación

• Un proceso ARIMA(p,d,q) se plantea como:Φ(L) (1-L)d(yt-µ) = Θ(L)at

• Un proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s como:Φ(L) φ(L)(1-L)D(1-L)d (yt-µ) = Θ(L)θ(L)at


8. Etapas en la Modelización

8.1. Introducción

8.2. Identificación

8.3. Estimación

8.4. Validación


8.1. Etapas - Introducción

Proceso de Generación de Datos (PGD)tqt

dp aLYLL )()()1)(( Θ=−−Φ µ

Generación

Realizaciones

Y1, Y2, ..., Yt, Yt+1, ..., YT



Realizaciones

Y1, Y2, ..., Yt, Yt+1, ..., YT

Inferencia

Proceso de Generación de Datos (PGD)tqt

dp aLYLL )()()1)(( Θ=−−Φ µ

Tecnicas Econometricas - Series de Tiempo

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