LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 117 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)

nnuestravidacotidianaconfrecuenciasepuedeobservarqueexisteotrotipode movimiento,porejemplo:elpndulodelrelojdetucasa,unasierraelctrica,un cepillo de dientes elctrico, la aguja en el cuadrante de una bscula mientras llega alequilibrioparadarlalecturadetumasacorporal,elmovimientodeunahamacay mecedora, el badajo de la campana de tu iglesia, el trampoln de la alberca cuando te lanzas del,lacuerdaelsticadelbungeeenloscentrosrecreativos,elfuncionamientodela suspensindeunautomvil,elaleteodeuncolibrodeunaabeja,etc.Aestos movimientos se les conoce como movimientos oscilantes o vibratorios. M. A. S. en un trampoln Movimiento de un resorte E LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 118 Lacaractersticamsfcilmentereconocibledelmovimientooscilatorioesqueresulta peridico,esdecir,elobjetovayvieneensumismatrayectoriapasandoporunpunto medio.Porlotanto,unaoscilacinovibracin,comprendeunmovimientohaciaatrsyhacia delante. El tiempo que dura cada repeticin se denomina perodo. Enelmedioambientequenosrodea,existentodotipodemovimientossimpleso complejos,queserepitenaintervalosregularesdetiemporecorriendounatrayectoria variasvecesentredospuntosdespusdeunintervalodefinido,aestosmovimientosque satisfacen estas caractersticas se les llama: Los cuales se clasifican en: 1.El pndulo simple 2.El movimiento de un resorte Ejemplos de movimientos peridicos: u L K m m

MOVIMIENTO PENDULAR: l movimiento que realiza el pndulo simple, es una forma del MAS. PNDULOSIMPLE:Esuninstrumentoconstituidoporuncuerpopesadosuspendidoen unpuntosobreunejehorizontalpormediodeunhilodemasanoconsideradayrealiza movimientos de un lado a otro. Cuando se separa un pndulo de su posicin de equilibrio y despus se suelta, oscila a uno y otro lado del mismo por efecto de su peso. Al movimiento de ida y vuelta se le llama E MOVIMIENTO PERIODICO Todo movimiento simple o complejo que se repite a intervalos regulares de tiempo sobre una trayectoria. Movimiento de un resortePndulo simple LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 119 oscilacin. El tiempo que tarda en dar una oscilacin se le nombra perodo. Por lo tanto el nmero de vibraciones ejecutadas en la unidad de tiempo se conoce como frecuencia. Para el pndulo simple el perodo se calcula mediante la siguiente frmula: gLT t 2 = Adems:) ( Hz Hertzs Tf = = =1 1 Donde: t =valor aproximado = 3.1416 T = Perodo (s) L = Longitud del pndulo (m) g = Aceleracin de la gravedad = 9.81 m / s2 = 32ft / s2 f= Frecuencia de vibracin = sciclos de Noss vibracione de No . .= =svueltas de No. EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Cul es la longitud de un pndulo cuyo perodo es de 2 s, en el sistema internacional y sistema ingls? Datos:Frmula: Desarrollo: L = gLT t 2 = DespejandoL elevando la ecuacin al T = 2 s cuadrado:Movimiento peridico representado por el pndulo simple. LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 120 g = 9.8m/s2 224tgTL =

L = (9.81 m / s 2 ) (2 s )2= 0.994 m4 (3.1416) 2 Para el sistema ingls: g = 32 ft / s2, nos da: L = ( 32 ft / s 2 ) (2 s )2= 3.24 ft 4 (3.1416) 2 2. Calcula la aceleracin de la gravedad en un lugar donde un pndulo simple de 150 cm de longitud efecta 100 oscilaciones en 245 s. Datos: Frmula: Desarrollo g =? cilaciones nmerodeostiempoT =ssT 45 . 2100245= =L = 150 cm = 1.5 m gLT t 2 =( ) ( )( )2 2285 . 945 . 25 . 1 1416 . 3 4smsmg = =t = 245 s 224TLgt=g = 9.85 m/s n = 100 oscilaciones 3. Calcular el periodo de oscilacin de un pndulo simpleen Marte, si tiene una longitud de 50 cm. El peso de los objetos en Marte es de 0.40 veces el peso en la Tierra. Datos:Frmula:Desarrollo: T =? gLT t 2 = ( )292 . 35 . 01416 . 3 2smmT =L = 50 cm = 0.5 m gM = 0.40(9.8m/s2)= 3.92 2smT= 2.24 s LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 121 EJERCICIOS PROPUESTOS

1)Hallar el perodo de un pndulo de longitud L = 3.24 ft, en la Luna donde la aceleracin de la gravedad es de un sexto de la de la Tierra. R. 4.88 s 2)Sobre la superficie de la Luna, la aceleracin de la gravedad es tan solo de 1.67 m/s2., si un reloj de pnduloajustado para la Tierra se transporta a laLuna Quporcentaje de su longitud, que tenia en la tierra deber ser la nueva longitud del pndulo en la Luna, para que el reloj mantenga su posicin? R. 17% 3)Cules son elperodo y la frecuencia de un pndulo simple cuya longitud es de 1.5 m? R. 2.46 s; 0.41 Hz. 4)Qu constituye una vibracin completa de un pndulo? 5)El pndulo de un reloj se mueve muy lentamente, por lo tanto, se atrasa. Qu ajuste se debe hacer? 6)Cmo vara el perodo de un pndulo simple si aumenta su longitud? Laenergasepropagatambinatravsdelespacioydelamateriapormediode vibraciones.Elsonido,laluz,lasondasderadio,etc.,solamentesepuedenexplicar comprendiendoloqueeselmovimientoondulatorio,esdecir,cmoseforman,se comportan y se propagan las ondas. MOVIMIENTO DE UN RESORTE O MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS):sunmovimientoperidicoquetienelugarenausenciadefriccinyseproducepor una fuerza de restitucin que es directamente proporcional al desplazamientoy tiene una direccin opuesta a este. E Movimiento de un resorte LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 122 Loscuerposvibrantessiguenunmovimientoarmnicosimple(MAS.).ElMASesun fenmenofsicoquesepresentaenunsistemaformadoporunresortealqueselesujeta unamasaenunodesusextremos.Estesistemamasa-resorte,produceunmovimiento peridico en forma vertical, horizontal o inclinada, como se muestra en la siguiente figura:

Ecuacin del desplazamiento producido en el MAS. ( x ). Cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular, su proyeccin lineal se mueve con MAS,porloqueesnecesarioaplicarlasecuacionesdelmovimientocircularuniformeal crculo de referencia mostrado en la siguiente figura, a partir de la posicin P del objeto. ElmovimientocircularysuproyeccinlinealquesemueveconunMAS,permite determinar su desplazamiento x. SilavelocidadlinealvTylavelocidadangularedelpuntodereferenciaPson constantes,entonceslaproyeccinQsemoverdeunladoaotroconunMAS.Deesta C Q vT = er = eA = 2t f A B P R = A u x a) Movimiento vertical de un sistema masa-resorte m F b) Movimientohorizontal de un sistema masa-resorte AComprimidoB Reposo o EquilibrioC ExtendidoLA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 123 manerasepuedeobtenerlaecuacindeldesplazamientoxdelaproyeccinQ.Sabemos que: u u cos cos A XAX= =Adems, del movimiento circular: tue = t e u = y t f t e 2 =Con el que se determina el desplazamiento ( x ) del MAS: t f A t A A X t e u 2 cos cos cos = = =Donde: x = desplazamiento en el MAS ( m cm ); siempre se mide a partir del origen A = amplitud ( m cm ) f= frecuencia ( Hz.) t= tiempo ( s ) Ecuacin de la velocidad del MAS (v) ConsiderremosauncuerpoquegiraconunMAS.bajolainfluenciadeunafuerzade recuperacin,apartirde3instantes,comosemuestraenloscrculosdereferenciadela siguiente figura: Sabemos que: vT = eA = 2tfA c c vT c vT vP u B O B oR = A B v = ovQ v = 0 vmx.

a) b)c) LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 124 Lafiguraanteriormuestralavelocidaddeuncuerpoquevibra,laculdebersercero cuandosudesplazamientoesmximo(a),ymximaenelcentrodeoscilacindondeel desplazamientoescero(c).ParaobtenerlaecuacindelavelocidadenelMAS, consideremos el punto P, de la anterior figura en el inciso (b).

T VVSen = u , despejando v = - vT Sen u Como:t f t t e u 2 = = , entonces: t f sen V t sen V VT Tt e 2 = =adems, VT = 2t fA , por lo que la velocidad resulta: v = - 2t f A Sen 2t f t De la frmula de la velocidad, siu = 90 , entonces: la velocidad mxima: v = vmx. , por lo que: vmx. = 2 tf A Nota: senu, es negativo cuando est abajo del dimetro de referencia. Ecuacin de la aceleracinen el MAS (a ). Lavelocidaddeuncuerpoquevibranoesconstante,porloquelaaceleracinjuegaun papel importante. Como podemos observar en la siguiente figura, la velocidad de un cuerpo quevibraesceroenlaposicindedesplazamientomximo,esenesteinstantecuandoel cuerpoestsometidoalamximafuerzaderecuperacin,porlotanto,laaceleracindel cuerpo es mxima cuando su velocidad es cero. A continuacin, demostraremos que la aceleracin a de una partcula que se mueve con MAS, es igual a la componente horizontal de la aceleracin centrpeta ac

C CvT =A e = 2t fvT Ca ac w VT ac B B R= A

amx a = 0 a a) b)c) Crculo de referencia para determinar la aceleracin en el MAS. Sabemos que: u =e t ; w = 2t f ; ac=e2 r,como r = A, entonces ac=e2 A LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 125 Adems: x = A Cos u Cos u = AXt f Cos = t 2 . De la figura anterior, Inciso (b), obtenemos:caaCos = u , despejando a, a = - acCos u, sustituyendo,ac= e2 r yAXCos = u . Se obtiene: ( ) () |.|

\| =AXA f a22t La ecuacin para la aceleracin del MAS, es: a = - 4 t 2 f 2 X=- 4 t 2 f 2 A Cos u ==- 4 t 2 f 2 A Cos wt =- 4 t 2 f 2 A Cos2tft Nota:Laaceleracinesdirectamenteproporcionalaldesplazamientoyopuestaala direccin de ste. Si u = 0 o 180, a es la aceleracin mxima: amax= 4 t 2 f 2 A Apartirdelaecuacinanterior,obtenemoslasfrmulasdelafrecuenciayelperodode vibracin. Como: a = - 4 t 2 f 2 X 224fXa= t,despejandof, se obtiene: xaf =t 21y axfT = = t 21 Debido a que el desplazamiento y la aceleracin son siempre opuestos, la relacin ax ser siempre positiva. Cuandosetratadeunresortequevibra,esconvenienteexpresarelperodocomouna funcin de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que vibra, a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de Hooke como sigue: F = m a yF =- k x, igualando ambas frmulas. m a =- k x mX Ka =, como: a = - 4 t 2 f 2 X, mKfmKm XX KfmX KX ft t tt214 442 22 2 2= = = = LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 126 y para el perodo se tiene:KmT t 2 =Esimportantehacernotarqueelperodoylafrecuenciaparaunresorte,dependen nicamente de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que vibra. Energa del movimiento armnico simple Cuando un cuerpo oscila unido a un resorte, posee energa cintica y energa potencial, las cuales varan con el tiempo. La suma de estas energas, es la energa total, la cual es constante. La energa potencial almacenada en el resorte estirado o comprimido, se obtiene de la siguiente manera: EP = F s,para el resorte: EP = F x, adems, F = k x,Donde: EP = energa potencialF = fuerza promedio = 2F x = desplazamiento del resorte K= constante de proporcionalidad del resorte Por lo que: 2 2221212 2 2X K E X KX KXX K X FEP P= = = = =La energa cintica de la masa m que oscila en un resorte se obtiene como: 221v m EC =La energa mecnica total ETse obtiene de la suma de ambas energas: ET=EP+ EC 2 22121X K v m EP+ =Cuando el desplazamiento es mximo, x = A, la masa est instantneamente en reposo (v = 0) y toda la energa es potencial, es decir: ( ) ()22 22121021A K E A K m ET T= + =

Donde:ET = energa total en el MAS (J) A= amplitud (m) K= constante de proporcionalidad del resorte (N /m) EstaesunapropiedadgeneraldelMAS;laenergatotaldeunobjetoqueoscilaconun M.A.S., es proporcional al cuadrado de la amplitud. LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 127 Delaanteriorecuacin,sepuedeexpresarlavelocidadenfuncindelaposicinxdel M.A.S.. Si: 221A K ET =221v m EC =221X K EP =ET= EP+ EC,nos da: 2 2 2212121X K v m A K + =Despejando la velocidadv, obtenemos: 2 2 2212121X K v m A K + =Multiplicando todo por dos, nos da: ( )mX A Kv mv X K A K X K v m A K2 22 2 2 2 2 2= = + =Obsrvesequecuandoeldesplazamientoesmximo,x=A,lavelocidadv=0,lamasa estinstantneamenteenreposo.Delamismamaneracuandolamasaqueoscilapasaa travs del punto de equilibrio, (x = 0), la Ep = 0, en ese instante toda la energa es cintica ( ET = EC) y la masa se mueve con su velocidad mxima. De la misma manera la aceleracin se puede obtener de: F = m a, yF = - k x Igualamos ambas ecuaciones, entonces: m a = - k x a = - k x / m Parax = A, tendremos:mA Ka =mx Nota:ElsignonegativoqueapareceenlaleydeHookesedebeaquelafuerzatiene sentido opuesto al desplazamiento (fuerza de restitucin). Si tomamos x positivo cuando el desplazamiento es a la derecha, la fuerza ser negativa (hacia la izquierda), si x es negativo (hacia la izquierda)la fuerza ser positiva (hacia la derecha). Laaceleracinesproporcionalaldesplazamientoydesentidoopuesto,stacaracterstica permite identificar sistemas que presenten movimiento armnico simple (MAS). Cuandolaaceleracinseaproporcionalaldesplazamientoytengasentidoopuesto, habr movimiento armnico simple.

EJERCICIOS RESUELTOS: Nota: Para utilizar las ecuaciones del MAS, te debes asegurar de ajustar la calculadora para leer ngulos en radianes (rad), de la misma manera no tratar de redondear los nmeros antes detenerlarespuestafinal,yaque,unpequeoerrorenlamedidaenradianeses significativo. LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 128 1.UnamasamoscilaconunMASdefrecuencia3Hzyunaamplitudde6cm.Qu posiciones tiene cuando el tiempo es de t = 0 yt = 2.4 s? Datos: Frmula:Desarrollo: f= 3 Hzx = A cos u = A cos etA = 6 cm x =A cos 2 t f ta)para t = 0 x= ? x = ( 6cm) cos 2(3.1416)(3 1/s)(0)t1 = 0 x = (6 cm)cos (0 rad.)= 6 (1) cm = 6 cm t2 = 2.4 s b)para t = 2.4 s x = (6cm) cos 2(3.1416)(3 1/s)(2.4 s) x = (6 cm)cos (45.238 rad) x = 6 cm (0.309016) = 1.854 x = 1.854 cm 2.Unamasade200grseencuentrasuspendidadeunlargoresorteenespiral.Cuandose desplaza10cm,lamasavibraconunperodode2s.(a)Culeslaconstantedel resorte?(b)Cules son su velocidad y aceleracin cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 5 cm sobre su posicin de equilibrio? Datos: Frmulas m = 200 g = 0.2 kgF = - k x A = 10 cm = 0.1 mv = - vT sen u = -e A sen e t = - 2t f A sen u T = 2 s a = - aC cos u = -e2 A cos e t = - 4 t 2 f 2A cos 2t f t a)k = ?a = - 4 t 2 f 2 A X AXCos = ub)v = ? a = ? Desarrollo: a) Hallar la constante k del resorte La fuerza que acta sobre el resorte es la del peso del cuerpo suspendido,F = - m g,por lo que: F = - k x k = - F / x = - ( - m g) / x k = 0.2 kg ( 9.8 m / s2 ) = 19.6 N / m 0.1 m k = 19.6 N / m b) Para hallar la velocidad y aceleracin se requiere conocer el ngulo correspondiente a la amplitud de 5 cm. AXCos = u radcmcmCos 5 0105. = = u u = cos -1( 0.5) = arc cos (0.5) = t / 3 = 1.0472 rad v = - 2t f A sen u LA FSICA EN NUESTRO ENTORNO D.G.E.T.I. MECNICA 129 v = - 2 (3.1416) (0.5 1/s) (10cm) sen (1.0472) v = - 27.2 cm / sR. v = - 0.272 m / s a = - 4 t 2 f 2 x a = - 4 (3.1416) 2 (0.5 1/s) 2 (5cm) = - 49.35 cm / s2 a =- 49.35 cm / s2 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Un deslizador unido a un resorte se estira hacia la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. En 3 s regresa al punto donde se solt y contina vibrando con MAS (a) Cul es la velocidad mxima?(b) Cul es la posicin y la velocidad despus de 2.55 s? R. a) v = 8.38 cm/s; b) x = 2.33 cm;v = 6.79 cm/s 2.UnobjetosemueveconunMASde16cmdeamplitudyunafrecuenciade2Hz(a) Culeslavelocidadmximaylaaceleracinmxima?(b)Quvelocidadyque aceleracin tiene despus de 3.2 s? R. a) v = 2.01 m/s; a = 25.27 m/s2 ; b) v = 1.18 m/s; a =20.44 m/s2 3.Unautomvilysuspasajeroshacenunamasatotalde1600kg.Elchasisdelautose sostienemediantecuatroresortes,cadaunodeellosrecibeunafuerzaconstantede20 000N/m.Calculalafrecuenciadevibracindelautocuandopasaporuntopeenel camino. R.f = 1.13 Hz. ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA: Un cuerpo se mueve con MAS; qu efecto tendr duplicar la amplitud A sobre: a) El periodo? b) La velocidad mxima? c) La aceleracin mxima? DosobjetosdemasasigualesestnunidosaresortesigualesaunaamplituddeX1= 10cmyX2=5cmrespectivamente,enqutiempoalcanzansusposicionesde equilibrio? CuleselvalordelaaceleracindeunosciladordeamplitudAyfrecuenciaf?(a) cuando su velocidad es mxima, (b) cuando su desplazamiento es mximo. ENERGA MECNICA