TC-I 01b CAP01 Ejemplos

División de Ingenierías

Campus Irapuato – Salamanca

Universidad de Guanajuato

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

PROBLEMAS

Transferencia de Calor I

José Manuel Riesco Ávila

Transferencia de Calor I Problemas

J.M. Riesco A. 2

Análisis de problemas de transferencia de calor

El objetivo principal de este curso es preparar al estudiante para resolver problemas de ingeniería que incluyan procesos de transferencia de calor. Para este fin se incluyen aquí algunos ejemplos resueltos y se proponen algunos problemas. Resolver estos problemas le permitirá al alumno comprender en profundidad los fundamentos del tema y obtendrá confianza en su capacidad para aplicar estos fundamentos a la solución de problemas de ingeniería.

Para resolver problemas, se recomienda un procedimiento sistemático que se caracteriza por un formato establecido. Se emplea de forma consistente este procedimiento en los ejemplos resueltos y se pide al estudiante que lo utilice en sus soluciones de los problemas. El procedimiento consiste en los siguientes pasos:

1. Se conoce: Después de leer cuidadosamente el problema, con sus propias palabras establezca breve y concisamente lo que se conoce de éste. No repita el planteamiento del problema.

2. Encontrar: Plantee de forma breve y concisa lo que se debe encontrar.

3. Esquema: Dibuje un esquema del sistema físico. Si prevé la aplicación de las leyes de conservación, represente la superficie de control que se requiere mediante líneas punteadas sobre el esquema. Identifique los procesos de transferencia de calor relevantes con flechas apropiadamente etiquetadas sobre el esquema.

4. Suposiciones: Haga una lista de todas las suposiciones de simplificación pertinentes.

5. Propiedades: Reúna los valores de las características necesarias para los cálculos siguientes e identifique la fuente de la que se obtienen.

6. Análisis: Comience el análisis aplicando las leyes de conservación apropiadas e introduzca las ecuaciones necesarias. Desarrolle el análisis lo más completo que sea posible antes de sustituir valores numéricos. Ejecute los cálculos necesarios para obtener los resultados deseados.

7. Comentarios: Analice sus resultados. Este análisis incluirá un resumen de conclusiones clave, una crítica de las suposiciones originales y una inferencia de las tendencias obtenidas ejecutando cálculos adicionales del tipo qué sucedería si y de sensibilidad de parámetros.

No se deben subestimar los pasos 1 a 4, ya que éstos proporcionan una guía útil para estudiar un problema antes de conseguir su solución. En el paso 7 se espera que el estudiante tome la iniciativa para agudizar su ingenio ejecutando cálculos para los que puede convenirle el auxilio de una computadora.


J.M. Riesco A. 3

Ejemplo 1.1 Flujo de calor a través de una pared plana.

La pared de un horno industrial se construye con ladrillo de arcilla refractaria de 0,15 m de espesor que tiene una conductividad térmica de 1,7 W/m.K. Mediciones realizadas durante la operación en estado permanente muestran temperaturas de 1400 y 1150 K en las superficies interna y externa, respectivamente. ¿Cuál es la rapidez con que se pierde calor a través de una pared que tiene 0,5 m por 3 m de lado?

Solución

Se conoce: Condiciones de estado permanente con espesor de pared, área, conductividad térmica y temperaturas superficiales preestablecidas.

Encontrar: Pérdida de calor a través de la pared.

Esquema:

Suposiciones:

1. Conducción unidimensional en estado permanente a través de la pared. 2. Conductividad térmica constante.

Análisis:

Como la transferencia de calor a través de la pared se realiza por conducción, el flujo de calor se determina a partir de la ley de Fourier. Esto es,

2'' W/m2833m 0,15

K 250 W/mK 7,1

L

Tkqx

El flujo de calor representa la rapidez de transferencia de calor a través de una sección de área unitaria. La pérdida de calor a través de la pared es entonces

W4250 W/m2833m 0,3 m 5,0 2'' xx qHWq ◄

Comentarios:

1. Note la dirección del flujo de calor y la distinción entre flujo y rapidez de transferencia de calor.

T1

T2L

W

x

H

qx“


J.M. Riesco A. 4

Ejemplo 1.2 Pérdida de calor a través de una pared en función de la temperatura

exterior.

Una pared de concreto, que tiene un área superficial de 20 m2 y 0,30 m de espesor, separa el aire

acondicionado de una habitación del aire ambiental. La temperatura de la superficie interior de la pared se mantiene a 25ºC y la conductividad térmica del concreto es 1 W/mK.

a) Determine la pérdida de calor a través de la pared para temperaturas ambientales en el rango de -15ºC a 38ºC, que corresponden a extremos de invierno y verano, respectivamente. Muestre en forma gráfica sus resultados.

b) En su gráfica, trace también la pérdida de calor como función de la temperatura ambiente para materiales de la pared que tengan conductividades térmicas de 0,75 y 1,25 W/mK. Explique la familia de curvas que obtiene.

Solución

Se conoce: Condiciones de estado permanente con espesor de pared, área, conductividad térmica y temperaturas superficiales preestablecidas.

Encontrar: Pérdida de calor a través de la pared.

Esquema:

Suposiciones:

1. Conducción unidimensional en estado permanente a través de la pared.

2. La temperatura de la pared exterior es igual a la temperatura ambiente.

3. Conductividad térmica constante.

Análisis:

De la ley de Fourier,

W

m 3,0

K 25m 20 W/m.K 2

T

kL

TkAqx ◄

T1

T2L

W

x

H

qx“

A


J.M. Riesco A. 5

Los resultados de esta ecuación, para valores de k = 0,75, 1,0 y 1,25 W/m.K, respectivamente, en

función de la temperatura ambiente (-15ºC ≤ T ≥ 38ºC) se muestran en la siguiente figura:

Comentarios:

1. La pérdida de calor a través de la pared se reduce conforme se incrementa la temperatura exterior.

2. Para una temperatura exterior de 25ºC, no hay pérdida de calor a través de la pared.

3. Para una temperatura exterior mayor de 25ºC, la transferencia de calor es de afuera hacia adentro.

4. La rapidez de transferencia de calor se incrementa con el incremento de k, como era de

esperarse.

-20 -10 0 10 20 30 40

Temperatura ambiente [ ºC ]

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Pérd

ida d

e c

alo

r, q

[

W ]

Conductividad

térmica, k[ W / m.K ]

0,75

1,00

1,25


J.M. Riesco A. 6

Ejemplo 1.3 Coeficiente de convección para dos fluidos diferentes.

Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye agua con una temperatura de 25ºC y velocidad de 1 m/s cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la superficie a una temperatura uniforme de 90ºC es de 28 kW/m. Cuando fluye aire, también a 25ºC, pero con una velocidad de 10 m/s, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la misma temperatura superficial es de 400 W/m. Calcule y compare los coeficientes de convección para los flujos de agua y aire.

Solución

Se conoce: La longitud y el diámetro del cilindro con una resistencia empotrada; la potencia para mantener la temperatura de la superficie del cilindro a un valor constante para los flujos de aire y agua.

Encontrar: Los coeficientes de convección asociados a los flujos de agua y aire, respectivamente.

Esquema:

Suposiciones: Flujo cruzado sobre un cilindro muy largo en la dirección normal al flujo.

Análisis: La rapidez de transferencia de calor por convección desde el cilindro, por unidad de longitud, se calcula mediante la ecuación

TTDhq sconv '

de donde

TTD

qh

s

conv

'

Sustituyendo valores numéricos para los casos de flujo de agua y flujo de aire:

KmW 4570

Cº2590m030,0

mW 1028

2

3

whAgua ◄

KmW 65

Cº2590m030,0

mW 004

2

ahAire ◄


J.M. Riesco A. 7

Comentarios: Note que la velocidad del aire es 10 veces la del agua, no obstante

aw hh 70

Estos valores del coeficiente convectivo son típicos para la transferencia de calor en convección forzada con líquidos y gases.


J.M. Riesco A. 8

Ejemplo 1.4 Temperatura superficial para condiciones de convección en dos

fluidos diferentes.

Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma cilíndrica de longitud L = 200 mm y diámetro

exterior D = 20 mm. En condiciones de operación normal el calentador disipa 2 kW, mientras se

sumerge en un flujo de agua que está a 20ºC y provee un coeficiente de transferencia de calor por

convección de h = 5000 W/m2K. Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los extremos del

calentador, determine la temperatura superficial Ts. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo mientras

el calentador continúa operando, la superficie del calentador se expone al aire que también está a

20ºC, pero para el que h = 50 W/m2K. ¿Cuál es la temperatura superficial correspondiente?

¿Cuáles son las consecuencias de tal evento?

Solución

Se conoce: Dimensiones de un calentador eléctrico de cartucho. Potencia del calentador. Coeficientes de convección en aire y en agua a una temperatura preestablecida.

Encontrar: Temperatura de la superficie del calentador en agua y en aire.

Esquema:

Suposiciones: (1) Condiciones de estado permanente. (2) Toda la potencia eléctrica es transferida por convección al fluido. (3) Transferencia de calor de los extremos despreciable.

Análisis: Con P = qconv, de la ley de enfriamiento de Newton se tiene

DLh

PTT

TTDLhTThAP

s

ss

En agua,

Cº8,51

m 200,0m 02,0Km

W 5000

W2000Cº20

2

sT ◄

En aire,

Cº3203

m 200,0m 02,0Km

W 50

W2000Cº20

2

sT ◄

Comentarios:

1. El aire es mucho menos efectivo que el agua para transferir calor. De aquí que la temperatura del cartucho sea mucho mayor en aire; de hecho, tan alta que el cartucho podría fundirse.


J.M. Riesco A. 9

Ejemplo 1.5 Determinación experimental del coeficiente de convección.

Sobre un cilindro largo, de 25 mm de diámetro con un calentador eléctrico interno, fluye aire a

40ºC. En una serie de pruebas, se realizaron mediciones de la potencia por unidad de longitud, P’, que se requiere para mantener la temperatura superficial del cilindro a 300ºC, a diferentes

velocidades V de la corriente libre del aire. Los resultados son los siguientes:

Velocidad del aire, V (m/s) 1 2 4 8 12

Potencia, P’ (W/m) 450 658 983 1507 1963

a) Determine el coeficiente de convección para cada velocidad y muestre gráficamente los resultados.

b) Suponiendo que la dependencia del coeficiente de convección con la velocidad es de la forma

h = CVn, determine los parámetros C y n a partir de los resultados de la parte (a).

Solución

Se conoce: Potencia eléctrica, por unidad de longitud, requerida para mantener constante la temperatura de la superficie de un cilindro, para diferentes velocidades de la corriente libre de aire.

Encontrar:

1. Coeficiente convectivo para las diferentes condiciones de flujo.

2. Ecuación para h en función de V.

Esquema:

Suposiciones:

1. Condiciones de estado permanente.

2. Calentamiento eléctrico uniforme en todo el cilindro.

Análisis:

Para condiciones de estado permanente, la potencia eléctrica es transmitida por convección al aire ambiente. Por lo tanto,

TTrLhTThAPq ss 2

P’

L

qconvV

Ts

T , h8


J.M. Riesco A. 10

de donde,

TTrhPL

P

L

qq s2''

Resolviendo para h:

'

2

1P

TTrh

s

◄

Sustituyendo los valores numéricos en esta ecuación, se obtienen los valores de h para las

diferentes potencias registradas. En la figura se muestran los resultados obtenidos con la ecuación anterior. Además, se incluye también la dependencia del coeficiente convectivo de la velocidad.

Comentarios:

1. En la figura se observa que el coeficiente convectivo depende linealmente del valor de P’,

mientras que la dependencia de V es de la forma h = CVn, con C = 21,6 y n = 0,6.

400 800 1200 1600 2000

Potencia eléctrica por unidad de longitud, P' [ W/m ]

20

40

60

80

100

Co

efi

cie

nte

co

nvecti

vo

, h [

W/m

2.K

]

0 4 8 12

Velocidad, V [ m/s ]


J.M. Riesco A. 11

Ejemplo 1.6 Rapidez de emisión e intercambio de radiación.

Un objeto de 0,5 m2 de área, emisividad 0,8 y 150ºC de temperatura se coloca en una cámara

grande al vacío cuyas paredes se mantienen a 25ºC. ¿Cuál es la rapidez a la que la superficie emite radiación? ¿Cuál es la rapidez neta a la que se intercambia radiación entre la superficie y las paredes de la cámara?

Solución

Se conoce: Propiedades y temperatura de una superficie colocada en una cámara de vacío.

Encontrar: (a) Rapidez con que la superficie emite radiación y (b) rapidez neta de transferencia de radiación con sus alrededores.

Esquema:

Suposiciones:

1. El objeto está rodeado completamente por las superficies interiores de la cámara de vacío.

Análisis:

(a) La rapidez a la cual el cuerpo emite radiación está dada por la ecuación

442

82

4

K273150Km

W 1067,58,0m 5,0

semit TAEAq

W726emitq ◄

(b) La rapidez neta con la que el cuerpo intercambia radiación con sus alrededores será

44

4282

44

98K2K423Km

W 1067,58,0m 5,0

alrsrad TTAq

W547radq ◄

Comentarios:

El resultado anterior da la pérdida neta de calor desde el cuerpo, la cual ocurre en el instante en que éste se coloca en la cámara de vacío. Por supuesto que el cuerpo podría enfriarse debido a esta pérdida de calor y tanto su temperatura como la pérdida de calor, podrían disminuir con el tiempo. Eventualmente se podrían alcanzar condiciones de estado permanente cuando la temperatura del cuerpo alcance la de los alrededores.

Talr

A, Ts

qrad


J.M. Riesco A. 12

Ejemplo 1.7 Efecto de la radiación en el confort térmico.

Es común experimentar una sensación de “frío” en invierno y “calor” en verano en habitaciones que cuentan con sistema de acondicionamiento de aire, aún cuando el termómetro indica la misma temperatura en ambos casos. Esto se debe al llamado “efecto radiación” que resulta del intercambio de radiación entre nuestro cuerpo y las superficies de las paredes y del techo.

Considere una persona que se encuentra en una habitación que se mantiene a 22ºC en todo momento. La temperatura de las superficies de las paredes, el piso y el techo están a una temperatura promedio de 10ºC en invierno y de 25ºC en verano. Determine la rapidez de transferencia de radiación entre la persona y los alrededores, si el área expuesta y la temperatura promedio de la persona son de 1,4 m

2 y 30ºC, respectivamente.

Solución

Se conoce: La temperatura promedio de una persona y sus alrededores en invierno y en verano.

Encontrar: La rapidez de transferencia de radiación entre una persona y sus alrededores en verano y en invierno.

Esquema:

Suposiciones: 1. Condiciones de estado permanente. 2. No se considera la transferencia de calor por convección. 3. La persona está rodeada completamente por las superficies interiores de la habitación. 4. Las superficies de los alrededores se encuentran a una temperatura uniforme.

Propiedades: La emisividad de una persona es de ε = 0,95.

Análisis:

La rapidez de transferencia de radiación entre el cuerpo y sus alrededores es

44

alrsrad TTAq


J.M. Riesco A. 13

Evaluando esta expresión para las condiciones en invierno y en verano se tiene

W152

K 2731027330m 4,1Km

W 1067,595,0 444242

8

,

invradq ◄

y

W9,40

K 2732527330m 4,1Km

W 1067,595,0 444242

8

,

verradq ◄

Comentarios:

1. Note que en los cálculos de intercambio de radiación, se debe usar la temperatura absoluta.

2. La rapidez de transferencia de radiación de la persona hacia sus alrededores es casi cuatro veces mayor en invierno que en verano, lo cual explica la sensación de “frío” que se siente en invierno, a pesar de que la temperatura de la habitación es la misma en ambas estaciones del año.


J.M. Riesco A. 14

Ejemplo 1.8 Calentamiento eléctrico.

Una varilla larga de diámetro D y resistencia eléctrica por unidad de longitud R’e se encuentra

inicialmente en equilibrio térmico con el aire ambiente y sus alrededores. Este equilibrio se altera

cuando una corriente eléctrica I pasa a través de la varilla. Desarrolle una ecuación que sirva para

calcular la variación de la temperatura de la varilla con respecto al tiempo en que pasa la corriente.

Solución

Se conoce: La temperatura de una varilla de diámetro conocido y su resistencia eléctrica.

Encontrar: La ecuación que gobierna el cambio de la temperatura de la varilla con el tiempo, cuando se hace circular una corriente eléctrica a través de la misma.

Esquema:

Suposiciones:

1. En cualquier tiempo t la temperatura de la varilla es uniforme.

2. Propiedades constantes (, c, ε).

3. El intercambio de radiación entre la superficie exterior de la varilla y los alrededores se da entre una pequeña superficie y unos grandes alrededores.

Análisis: Haciendo un balance de energía en el volumen de control mostrado en la figura, se tiene

almsalg EEE

donde la generación de energía se debe al calentamiento de la resistencia eléctrica

LRIE eg'2

El calentamiento ocurre de manera uniforme dentro del volumen de control y también puede

expresarse en términos de una rapidez de generación de calor volumétrica

q (W/m3). La rapidez

de generación para todo el volumen de control es entonces VqE

, donde 4// 2'2 DRIq e

.

El flujo de energía de salida se debe a la convección y a la radiación neta de la superficie. Por lo tanto,

44

alrsal TTDLTTDLhE

y el cambio en la energía almacenada se debe al cambio en la temperatura,

VcTdt

d

dt

dUE t

alm


J.M. Riesco A. 15

El término almE

se asocia con la rapidez de cambio de la energía térmica interna de la varilla,

donde y c son la densidad y el calor específico, respectivamente, del material de la varilla y V es

el volumen de la misma, V = (πD2/4)L.

Sustituyendo las ecuaciones o modelos en el balance de energía se tiene,

dt

dTL

DcTTDLTTDLhLRI

alre

4

244'2

de donde,

4

2

44'2

Dc

TTDTTDhRI

dt

dTalre

◄

Comentarios:

La ecuación anterior se resuelve para la dependencia temporal de la temperatura de la varilla con integración numérica. Finalmente se alcanzaría una condición de estado permanente para la cual dT/dt = 0. La temperatura de la varilla se determina entonces mediante una ecuación algebraica de la forma

'244

eRITTDTTDhalr

Para condiciones ambientales fijas (h, T∞, Talr), así como para una varilla de geometría fija (D) y

propiedades (ε, Re’), la temperatura depende de la rapidez de generación de energía térmica y, por

consiguiente, del valor de la corriente eléctrica. Considere un alambre de cobre sin aislamiento (D

= 1 mm, ε = 0,8, Re’ = 0,4 Ω/m) en un recinto relativamente grande (Talr = 300 K) a través del cual

se hace circular aire de enfriamiento (h = 100 W/m2.K, T∞ = 300 K). Al sustituir estos valores en la

ecuación anterior, se calculó la temperatura de la varilla para corrientes de operación en el rango

de 0 ≤ I ≤ 10 A y se obtuvieron los siguientes resultados:

Si se establece una temperatura de operación máxima de T = 60ºC por razones de seguridad, la

corriente no debe exceder 5,2 A. A esta temperatura, la transferencia de calor por radiación (0,6 W/m) es mucho menor que la transferencia de calor por convección (10,4 W/m).

Si se desea operar a una corriente mayor mientras se mantiene la temperatura de la varilla dentro del límite de seguridad, el coeficiente convectivo tendría que incrementarse aumentando la

velocidad del aire que circula. Para h = 250 W/m2.K, la corriente máxima permisible aumentaría a

8,1 A.


J.M. Riesco A. 16

Ejemplo 1.9 Medición de la temperatura ambiente.

Un trabajador se queja de que el sistema de calefacción de su taller no mantiene la temperatura del aire ambiente al valor mínimo requerido de 20ºC. Para demostrar su reclamo, muestra que el termómetro de mercurio suspendido de una viga del techo indica una temperatura de 17ºC. El techo y las paredes del taller están hechos de láminas de acero corrugado y no están aislados. Cuando se coloca el termómetro en la pared, éste indica una temperatura de únicamente 5ºC. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor para el termómetro suspendido se estima en 10 W/m

2K, ¿cuál es la temperatura del aire ambiente real?

Solución

Se conoce: La temperatura que indica el termómetro de 17ºC.

Encontrar: La temperatura real.

Esquema:

Suposiciones: El termómetro se puede modelar como un pequeño cuerpo gris dentro de unos alrededores grandes a 5ºC de temperatura.

Análisis: La temperatura del termómetro se obtiene realizando un balance de energía en la superficie externa del mismo. Ya que la temperatura del termómetro se encuentra en estado permanente, no hay transferencia de calor por conducción dentro del mismo. Así,

0

0

radconv

sal

qq

E

Sustituyendo las expresiones adecuadas para la rapidez de transferencia de calor por convección y radiación, respectivamente, se tiene,

044 alrss TTATThA

Resolviendo para T ,

h

hTTTT salrs

44

Por lo tanto, al sustituir los valores numéricos apropiados, con un valor de 8,0 para el material

del termómetro (pirex), se tiene,

C

KmW

KmWmWT º22K295

/ 10

K290/ 10K278290K/ 1067,58,02

2444428

◄

Comentarios:

1. Ya que ,º20 CT parece que el sistema de calefacción está funcionando bien.

2. Nuestro modelo asume que el termómetro está rodeado completamente por una superficie a 5ºC; realmente, el termómetro también recibe radiación de las máquinas, los trabajadores y otras fuentes a temperatura mayor de 5ºC, de manera que el valor de la temperatura del aire ambiente está ligeramente sobrestimado.

T = 278 alr

K

T = 290 s K

T 8

T = 290 s K

qrad

qconv


J.M. Riesco A. 17

Ejemplo 1.10 Pérdida de calor de una persona.

Considere una persona que se encuentra en una habitación a 20ºC. Determine la rapidez total de transferencia de calor desde la persona si la superficie expuesta y la temperatura promedio de la persona son 1,6 m

2 y 29ºC, respectivamente, y el coeficiente de transferencia de calor por

convección es 6 W/m2K.

Solución

Se conoce: La temperatura promedio de una persona y la del aire ambiente y sus alrededores.

Encontrar: La rapidez de transferencia de calor total por convección y radiación desde la persona.

Esquema:

Suposiciones:

1. Condiciones de estado permanente.

2. La persona está rodeada completamente por las superficies interiores de la habitación.

3. Las superficies interiores de la habitación están a la misma temperatura que el aire ambiente de la habitación.

4. Se desprecia la transferencia de calor por conducción hacia el piso de la habitación.

Propiedades: La emisividad de la persona es ε = 0,95.

Análisis:

El calor total perdido por el cuerpo, por unidad de tiempo, será

radconvtot qqq


J.M. Riesco A. 18

Sustituyendo las relaciones apropiadas para la transferencia de calor por convección y por radiación se obtiene

44

alrsstot TTATThAq

Sustituyendo los valores numéricos correspondientes,

444242

8

22

K2732027329m 6,1Km

W 1067,50,95

K2029m 6,1Km

W 6

totq

W1,168 W7,81 W486 ,qtot ◄

Comentarios:

1. Note que en el cálculo de la transferencia de calor por convección, las temperaturas se pueden usar indistintamente en ºC o K, ya que se trata de una diferencia de temperaturas.

2. Para el cálculo de la transferencia de radiación, la temperatura deberá estar en K (valor absoluto).

3. La transferencia de calor podría haber sido mucho mayor si la persona no estuviera vestida, ya que la temperatura de la superficie expuesta sería mayor. Es por ello que una importante función de la ropa es servir como una barrera (aislante) contra la transferencia de calor.

4. En los cálculos anteriores se despreció la transferencia de calor por conducción que se da de los pies hacia el piso, que suele ser muy pequeña.

5. No se ha considerado la transferencia de calor desde la piel por la transpiración, la cual es el modo dominante de transferencia de calor en ambientes calientes.

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