T’atreveixesamb les mates?

12Quadern d’Activitats

Segon Cicle • ESO

José Luis Uriondo GonzálezSilvia Pérez Mateo

Ángela Vallejo Martín-Albo

BARCELONA • MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÈXICNOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÀ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO

atreveixes amb les mates? Estem segurs que sí. Aprendre matemàtiques pot ser una aventurainteressant i amena. Per això t’oferim aquest quadern d’activitats amb exercicis i problemes

complementaris als que realitzes a classe. Així podràs consolidar la comprensió dels continguts que has estudiat iresoldre els dubtes que se’ns plantegen a tots al llarg del curs.

T’atreveixes amb les mates? 12 és un quadern dividit en quatre unitats temàtiques: «Tipus de funcions»,«Estadística», «Probabilitat» i «Àrees i volums». Cada unitat comença amb un apartat anomenat Fes un repàs, enel qual t'oferim una síntesi dels continguts teòrics que necessites entendre per fer els exercicis.

La resta és cosa teva. No oblidis llegir detingudament els enunciats dels exercicis per estar ben segur del que espregunta abans de posar-te mans a l’obra. Sigues ordenat i net; confia en tu mateix i... l’èxit està garantit!

T’

ndex1. Tipus de funcions

• Polinòmiques de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

• Polinòmiques de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

• Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

• Funció exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

• Funcions a trossos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Estadística

• Variables estadístiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

• Freqüències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

• Gràfics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

• Paràmetres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Probabilitat

• Experiments aleatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

• Espai mostral en experiments compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

• Càlcul de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Àrees i volums

• Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

• Volums i capacitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

• Prismes i piràmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

• Cilindres, cons i esferes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Í

Fes un repàs

➔ Funcions polinòmiques de primer grau

• Funcions afins

� Expressió algèbrica: f(x) = ax + b o y = ax + b, a, b �.

� Gràfica: recta que passa pel punt (0, b).

� El nombre a s’anomena pendent de la recta; indica la seva inclinació.

� El nombre b s’anomena ordenada a l’origen. És el valor de la funcióquan x = 0.

• Funcions lineals: funcions afins en què b = 0.

� Expressió algèbrica: f(x) = ax o y = ax, a �.

� Gràfica: recta que passa pel punt (0, 0).

� Taula de valors: els valors de la variable dependent s’obtenen mul-tiplicant els de la variable independent per un mateix nombre, ano-menat constant de proporcionalitat directa.

� Descriuen una relació de proporcionalitat directa entre les magni-tuds que intervenen en la funció. Per tant, augments iguals en lavariable independent produeixen augments iguals en la variabledependent.

• Funcions constants: funcions afins en què a = 0.

� Expressió algèbrica: f(x) = b o y = b, b �.

� Gràfica: recta paral·lela a l’eix X que passa pel punt (0, b).

� Taula de valors: tots els valors de la variable dependent són iguals a b.

➔ Rectes verticals� Expressió algèbrica: x = k , k �.

� Gràfica: recta paral·lela a l’eix Y que passa pel punt (k, 0).

� No són gràfiques de funcions.

5

Tipus de funcions1

y = 2x + 1

y = –x – 2

y

x

y

x

y

x

y

x

a < 0y

x

a < 0 y

x

y = – 2 xy = x

y = 3

y = – 2

x = – 4 x = – 2

6

➔ Funcions polinòmiques de segon grau

• Expressió algèbrica: f(x) = ax2 + bx + c o y = ax2 + bx + c, a, b, c �

• Gràfica: paràbola, còncava (si a > 0) o convexa (si a < 0).

• És simètrica respecte a la recta x – .

• El seu vèrtex es troba en el punt (– , f (– )).• Els seus punts de tall amb els eixos són:

� Amb l’eix Y: (0, c ).

� Amb l’eix X: (x1, 0), (x2, 0), on x1 i x2 són les solucions de l’equacióax2 + bx + c = 0.

➔ Funcions de proporcionalitat inversa

• Expressió algèbrica: f (x) = o y = , k �.

• Gràfica: Hipèrbola.

� El seu domini és � – {0}.

� És simètrica respecte a l’origen de coordenades.

� No té punts de tall amb els eixos.

� Té asímptota vertical en x = 0 i asímptota horitzontal en y = 0.

• Descriuen una relació de proporcionalitat inversa entre les magnitudsque intervenen en la funció. Per tant, si la variable independent esdobla, la variable dependent es redueix a la meitat; si la variable inde-pendent es triplica, la variable dependent es redueix a la tercera part...La constant de proporcionalitat inversa és el nombre k i s’obté multi-plicant qualsevol valor de la variable independent per la seva imatge.

➔ Funcions exponencials

• Expressió algèbrica: f (x) = ax o y = ax , a > 0.

• Característiques:� Domini: �.� Recorregut: �+.� Passen pel punt (0, 1).� Contínua.� Creixent si a > 1 i decreixent si 0 < a < 1.� Asímptota horitzontal en y = 0.

kx

kx

b2a

b2a

b2a

5

1

-5 -4 -3 -2 -1 100

5

10

15

2 3 4 5

Eix de simetria

x = 2

y = 2x2 – 8x + 6

Vèrtex

a > 0y

x

a < 0 y

x

y

x

y = 3x

y = 2x

y

x

y = � �x1

2

a) b) c) d)

Tipus de funcions • Polinòmiques de primer grau7

1.

2.

De les taules següents, només dues corresponen a funcions lineals. Digues quines són, escriu la seva expres-sió algèbrica i representa-les gràficament. Després, calcula’n la constant de proporcionalitat.

Les taules següents corresponen a diferents funcions lineals. Representa-les gràficament i escriu-ne l’expressióalgèbrica.

x y

0

100 10

50

25

x y

–5

0

0,2 2

0,7

x y

3

5

0

1 –1

Taula 1 Taula 2 Taula 3

–2 1 5 10 ...

–8 4 20 40 ...

–6 0 5 20 ...

–3 0 2,5 10 ...

–4 0 7 15 ...

2 0 –3,5 –7,5 ...

x y

6

–1 3

0

0,5

8

3.

4.

5.

Escriu l’expressió algèbrica de les funcions següents. Tot seguit, esbrina si el punt A(5, 14) pertany a la sevarepresentació gràfica sense necessitat de representar-les gràficament.

a) f és una funció afí ambpendent 3 i amb coorde-nada a l’origen –1.

b) g és una funció afí ambpendent –1 i passa pelpunt (0, 3).

c) h és una funció linealamb pendent 2,8.

Sabent que la gràfica d’una funció afí passa pel punts P = (0, –8) i Q = (–2, 12), troba l’expressió algèbrica de l’esmentada funció. Per fer-ho, completa el procediment següent:

1r L’expressió algèbrica és de la forma y = ax + b.

2n Com que P (0, –8) és un punt de la gràfica, les seves coordenadeshan de complir l’equació y = ax + b. Per tant, –8 = a · 0 + b.

Com que Q (–2, 12) és _____________________________________

_________________________________________________________

3r Resol el sistema de dues equacions amb dues incògnites format perles equacions obtingudes en el pas anterior.

4t Escriu l’expressió algèbrica de la funció amb els valors que hasobtingut de a i b.

Una funció afí passa pels punts (1, –2) i (4, 7). Troba’n l’equació irepresenta-la gràficament.

� f (x ) =

� g(x ) =

� h(x ) =

Tipus de funcions • Polinòmiques de primer grau9

6.

7.

Representa les funcions següents. Després contesta les preguntes que se’t formulen:

y = –3x + 4 y = 0,25x y = 4x y = 4

a) Quina de les funcions anteriors té per representació gràfica una recta paral·lela a l’eix Y?

b) Quina de les funcions anteriors es representa gràficament amb una recta que passa per l’origen de coorde-nades?

c) Quina és la imatge de –3 en cada una de les funcions anteriors?

d) A quines funcions de les anteriors pertany el punt (0, 4)?

Escriu l’expressió algèbrica de les funcions representades per les gràfiques següents, i esbrina si el punt P(0, –5)pertany a cap de les dues.

a) b)y

x

y

x

1

100

100

1

10

8.

9.

En una ciutat, les normes urbanístiques sobre balconsestableixen que l’amplària ha de ser d’1,5 m. Consi-derant que la llargària pot ser com a màxim de 4 m,escriu l’expressió algèbrica, el domini i el recorregutde:

a) La funció que expressa la superfície del balcó enfunció de la llargària.

b) La funció que expressa el perímetre del balcó enfunció de la llargària.

c) Quin tipus de funció són les funcions anteriors?

Representa, en els mateixos eixos de coordenades, les funcions que et són donades en cada apartat i ratllal’opció de cada frase que no procedeixi. En cas que les gràfiques siguin secants, esbrina el seu punt de tall.

a) f (x ) = 3x – 8 i g (x ) = 3x + 5

– Les gràfiques són rectes paral·leles/secants.

– Les gràfiques tallen l’eix Y pel mateix/diferentpunt.

– Les expressions algèbriques tenen el/la ma-teix/a pendent/ordenada a l’origen.

b) f (x ) = 2x – 4 i g (x ) = x – 4

– Les gràfiques són rectes paral·leles/secants.

– Les gràfiques tallen l’eix Y per un mateix/dife-rent punt.

– Les expressions algèbriques tenen el/la ma-teix/a pendent/ordenada a l’origen.

Màxim 4m

1,5 m

1,40 m

Tipus de funcions • Polinòmiques de primer grau11

10.

11.

Determina quines de les funcions següents corresponen a una funció lineal, a una funció afí o a cap dels dostipus. Tot seguit, escriu l’expressió algèbrica de la funció.

a) El perímetre d’un triangle equilàter en funció del seu costat.

b) El perímetre d’un triangle isòsceles amb un costat desigual que fa 6 cm, en funció de l’altre costat.

c) El preu d’unes taronges, que costen 1,65 €/kg, en funció dels quilosque se’n comprin.

d) La velocitat mitjana a què s’han de córrer 135 km en funció del tempsque s’empreï per fer el recorregut.

e) El preu del lloguer d’un cotxe si paguem 35 € pel model escollit més10 ct per quilòmetre recorregut.

En quines funcions, les magnituds que hi intervenen són directament pro-porcionals?

D’ençà que Telefònica va deixar de ser un monopoli, les companyies d’operadors llançaren diverses tarifes peraconseguir nous clients. Aquesta és la propaganda de dues d’aquestes companyies:

Operador A Operador B

Trucades locals: 0,06 €/min* Trucades locals: 0,07 €/min*

*Establiment de trucada: 0,1 €. *Sense establiment de trucada.

a) Escriu l’expressió algèbrica de les funcions que estableixen el cost de la trucada en funció dels minutsparlats.

b) Representa les dues funcions, per a temps compresos entre 0 i 20 minuts, en els mateixos eixos de coor-denades.

c) Si tinguessis accés als dos operadors, quin escolliries per fer una trucada curta? A partir de quin temps etconvé escollir l’altre operador.

d) Amb quin dels dos operadors «pagues el doble pel doble»? En quin operador la funció cost–temps és unafunció de proporcionalitat directa?

12

12.

13.

Quin és el vèrtex de les paràboles següents? Representa-les en els mateixos eixos de coordenades i escriu unaconclusió referent a la influència del coeficient de x2 en la seva forma.

a) y = –x2 b) y = x2

c) y = –0,5x2 d) y = 0,5x2

e) y = –1,5x2 f) y = 1,5x2

Donades les funcions f (x) = x2 + 2x – 3 i g (x ) = –4x2 + 4x – 3:

a) Troba el vèrtex i els punts de tall amb els eixos de les dues paràboles.

b) Representa-les en els mateixos eixos de coordenades. Quin és l’eix de simetria de cada paràbola?

c) Estudia el creixement i la concavitat de les dues funcions.

d) Si tenen màxims i mínims, escriu-ne les coordenades.

Tipus de funcions • Polinòmiques de segon grau13

14.

15.

16.

Indica, sense fer càlculs ni representacions, quines d’aquestes paràboles són còncaves i quines són convexes.

a) y = 4 – 2x + x2 �

b) y = –2x2 + 3x �

c) y = 3 – 0,5x2 �

d) y = –5x2 + 3x – 1 �

e) y = 2x (–x + 3) �

Sense fer cap gràfica, busca els punts de tall amb els eixos de coordenades de les paràboles següents.

a) y = 5x2 – 5

b) y = x2 + 3x – 10

c) y = –2x2 – x + 3

d) y = –x2 – 1

e) y = 3x2 – 5x

Esbrina els punts de la paràbola y = 3x2 – 2x, l’ordenada de la qual és 8.

14

17.

18.

19.

Una paràbola passa pels punts (0, –1) i (1, 5), i l’abscissa del seu vèrtex és x = 2. Escriu-ne l’equació.

Identifica cada paràbola amb una de les equacions següents i dedueix el valor de c1, c2, c3 i c4.

y = –x2 + c1

y = x2 – x + c2

y = x2 + c3

y = –x2 – 2x + c4

En Xavier deixa caure una pedra des de tres altures distintes: h1 = 10 m, h2 = 30 m i h3 = 40 m. En aquest tipusde moviments, l’altura a la qual es troba la pedra en cada instant de temps t és donada, de forma aproximada,per la fórmula h = h0 – 5t2, sent h0 l’altura inicial i t el temps transcorregut.

a) Escriu l’expressió algèbrica de la funció h en cada cas.

b) A quina altura es troba la pedra passats 1,2 s en cada cas?

c) Quant de temps trigarà la pedra a arribar al terra en cada cas?

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

01-1-2-3-4 2 3 4-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

y

x

Tipus de funcions • Polinòmiques de segon grau15

20.

21.

Per provar un cotxe, un conductor parteix del repòs i va augmentant la velocitat del vehicle uniformement amb una

acceleració de 3,5 m/s2. En aquest tipus de moviments, es verifiquen les relacions següents: v = at, e = a t 2.

a) Completa la taula.

b) Representa les funcions acceleració–temps, velocitat–temps iespai–temps. Quin tipus de funció representa cadascuna?

Per a cada apartat, representa en els mateixos eixos les tres funcions que se’t donen. Quina relació hi ha enles tres gràfiques de cada apartat?

a) y = x2 ; y = x2 – 3 ; y = x2 + 1

12

t (s) a (m/s2) v (m/s) e (m)

0

1

2

3

4

5

16

22.

b) y = x2 ; y = (x – 2)2 ; y = (x + 1)2

Observa la gràfica corresponent a la funció y = x2. Tenint present l’exercici anterior, representa les funcions decada apartat.

a) y = x2 + 1 ; y = x2 – 3 b) y = (x – 3)2 ; y = (x + 2)2

2–2

2

4

6

8

–2 2–2

2

4

6

8

–2

y = x2

x

y

y = x2

y

x

Tipus de funcions • Funcions de proporcionalitat inversa17

23.

24.

En una fàbrica de conserves s’ha decidit que l’altura dels envasos cilíndrics sigui de 12 cm.

a) Quin és el volum de l’envàs per a una base qualsevol de radi r ?

b) El volum de l’envàs és directament proporcional al radi de la base? I a l’àrea de la base?

c) Representa la funció volum–radi de la base i digues quin domini té.

De les funcions següents, determina quines corresponen a una funció deproporcionalitat inversa. Exemplifica la teva resposta amb valors numèrics.

a) El nombre de caramels (iguals) d’una capsa en funció del pes de cadacaramel.

b) El nombre de caramels (iguals) d’una capsa en funció de la mida de lacapsa.

c) El nombre de trossos que podem fer d’una corda, en funció de la lon-gitud de cada tros.

d) El nombre de quadradets que hi ha en un full de paper quadriculat, enfunció del costat de cada quadradet.

2V(r) 12 r

V(r )Dom 0 , )

18

25.

26.

Per a solidaritzar-se amb una causa, els estudiants d’un institut decideixen portar llaços de color verd. Per ferels llaços han comprat 10 m de cinta.

a) Escriu l’expressió algèbrica de la funció quedóna la longitud de cada llaç en funció del nom-bre de llaços que es facin.

b) Quin és el domini de la funció suposant que lalongitud mínima d’un llaç és de 5 cm i que elnombre mínim d’estudiants és de 50?

c) Aquesta funció és discontínua: per què?Dibuixa’n la gràfica. Tot i que rigorosament no éscorrecte, de vegades s’uneixen amb una línia elspunts de funcions discontínues per mostrarmillor l’evolució de la variable dependent. Si hofas, has de considerar que aquesta línia no és lagràfica de la funció.

La taula de valors ens ofereix informació numèrica sobre una funció de proporcionalitat inversa.

a) Completa la taula i representa la funció.

b) Escriu-ne l’expressió algèbrica.

c) Indica’n el domini.

d) Estudia’n les asímptotes.

e) Estudia’n el creixement, la concavitat i la simetria.

x –40 –20 –10 –5 –2,5 2,5 5 10 20 40

y 4

V(r )Dom 0 , )

Tipus de funcions • Funció exponencial19

27.

28.

Les despeses de fabricació d’un envàs són inversament proporcionals al nombre d’envasos fabricats. Sabentque, si se’n fabriquen 1 000, el cost de cada envàs és de 0,96 €, resolt les qüestions següents:

a) Escriu l’expressió algèbrica de la funciónombre d’envasos fabricats – cost de lafabricació de cada envàs.

b) Representa gràficament la funció.

c) Quant costa fabricar 1 envàs? I quin ésel cost de 100 envasos?

d) Quants envasos s’han de fabricar per talque el cost de cada envàs sigui inferiora 5 ct?

Identifica cada funció amb una gràfica i troba les imatges i les antiimatges que es demanen.

a) f 1(x) = 2x ; f 2(x) = ( )xb) ; g1(x) = ( )x

; g2(x) = 0,5x45

52

1 2 3 4-4 -3 -2 -1 00

2

4

6

8

10

1 2 3 4-4 -3 -2 -1 00

2

4

6

8

10y y

x x

20

29.

30.

Representa en els mateixos eixos les funcions f (x) = 3x i g(x) = ( )x. Per a cada corba contesta les preguntessegüents:

a) Quin és el seu domini i el seu recorregut?

b) Quin punt tenen en comú?

c) Estudia’n el creixement i la curvatura.

d) Té màxims o mínims? Té asímptotes? (Si la teva resposta és afirmativa, escriu les equacions de les rectes.)

Una entitat bancària ofereix un 3 % d’interès anual per als capitals dipositats durant més d’un any. En el dia-grama observem l’evolució de 450 € al llarg dels tres primers anys.

1r any 2n any 3r any

450 450 · 1,03 450 · 1,032 450 · 1,033

Cap. final 463,5

a) Completa el diagrama escrivint els capi-tals finals en les graelles.

b) Observa la gràfica que ha presentat elbanc a un client. Creus que fa pensar alclient que el seu capital creix molt mésdel que realment ho fa? Per què?

c) Escriu l’expressió algèbrica de la funcióque reflecteix el capital final passats xanys.

d) Quin seria el capital final passats deuanys?

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8

590,00

570,00

550,00

530,00

510,00

490,00

470,00

450,00

Capitalfinal

Anys

f g

f g

Dom , , Dom ( , )

Rec (0 , ) , Rec (0 , )

Tipus de funcions • Funcions a trossos21

31.

32.

Un dels problemes més grans per al medi ambient és el de l’emmagatzematge dels residus radioactius, ja queaquest tipus d’elements triga molts anys a desintegrar-se. Per exemple, el radi es redueix a la meitat només després de passats 1600 anys. En conseqüència, si s’enterren 100 g de radi, passats n anys es tindrà una

quantitat C de radi que és representada per la fórmula C = 100 · ( ) .

Considera una substància radioactiva que triga areduir-se a la meitat 500 anys.

a) Escriu la funció algèbrica de la funció que dónala quantitat restant d’aquesta substància ra-dioactiva després de n anys, si es van enterrar 25 gde la substància.

b) Representa la funció.

c) Quants anys han de transcórrer aproximada-ment per què la quantitat que quedi d’aquestasubstància sigui menor que 0,1 g?

Representa les següents funcions definides a trossos. Tot seguit, indica el domini de cadascuna i fes un estudide la seva continuïtat.

a) x + 3 si x < 2 b) 2x + 1 si –5 < x < 4f (x ) =

–x si x > 2 g (x ) = 3 si 4 < x < 6

–x + 3 si x > 6

n1 6001

2

temps (anys)

mas

sa (g

)

n

5001C(n) 25·

2

fDom , gDom ( 5 , 6) (6 , )

22

33.

34.

35.

Representa gràficament les funcions següents:

x2 si x < 2 –3x si x < 0f (x) = g(x) =

2x – 1 si x > 2 x2 – 4x si x > 0

Observa la gràfica següent i escriu-ne l’expressió algèbrica.

Una agència de transports cobra 5,50 € per transportar qualsevol paquet amb un pes inferior a 250 g. Pels paquetsque pesen més de 250 g cobren els 5,50 € més un suplement d’1 ct per gram que sobrepassi els 250 g.

a) Fes una gràfica que representi les tarifes de l’esmentada agència.

b) Escriu l’expressió algèbrica que defineix la funció pes del paquet–tarifa de transport.

y

x

1

1

4 si x 2

f(x) x si 2 x 3

3 si x 3

5,5 si 0 x 250f(x)

5,5 0,01(x 250) si x 250

Fes un repàs

➔ Variables estadístiques

• Per estudiar una característica o propietat d’un conjunt de persones ode coses (població), realitzem un estudi estadístic. Si la població ésmolt gran, les dades es recullen d’un subconjunt representatiu de lapoblació anomenat mostra.

• La variable estadística és la característica o propietat de la poblacióque s’estudia. Pot ser:

� Quantitativa, si s’expressa mitjançant nombres.

- Discreta: nombre finit de valors. Es pot comptar.

- Contínua: nombre infinit de valors. Es pot mesurar.

� Qualitativa, si no es pot expressar mitjançant nombres.

• En un estudi estadístic d’una determinada variable, anomenem:

� Valor a cada un dels possibles resultats que pot tenir la variable.Freqüentment, en variables qualitatives es denomina modalitat.

� Dada a cada un dels resultats obtinguts en l’estudi estadístic.

� En variables quantitatives, s’anomena rang o recorregut a la dife-rència entre la dada major i la dada menor.

➔ Freqüències

• La freqüència absoluta d’un valor de la variable (n i) és el nombre dedades iguals a aquest valor. La suma de totes les freqüències absolutesés igual al nombre de dades recollides en total (n).

• La freqüència relativa d’un valor de la variable (f i) és el quocient entrela freqüència absoluta d’aquest valor i el nombre total de dades. Lasuma de totes les freqüències relatives és 1.

• El tant per cent d’un valor de la variable (%). S’obté multiplicant per 100 la seva freqüència relativa. La suma de tots els percentatges és 100.

• La freqüència absoluta acumulada d’un valor de la variable (Ni) és lasuma de les freqüències absolutes de tots els valors menors o iguals aaquest. La freqüència absoluta acumulada de l’últim valor coincideixamb el nombre total de dades.

23

Estadística2Població: Cinc amics

– Mes de naixement ➔ Variablequalitativa. Els seus valors són12: gener, febrer, març, abril...

– Alçada en metres ➔ Variablequantitativa contínua. Els seusvalors són infinits.

– Dia de naixement ➔ Variablequantitativa discreta. Els seusvalors són 31: d’1 a 31.

Dades recollides:

– Població: 50 alumnes.

– Variable: Notes ➔ qualitativa.

– Valors: INS, SUF, BÉ, NOT, EX

– Dades recollides:

Recorregut de la variable alçada:

1,68 – 1,22 = 0,46

Notes ni fi % Ni

INS 12 0,24 24 12

SUF 15 0,3 30 27

BÉ 10 0,2 20 37

NOT 0 0 0 37

EX 13 0,26 26 50

50 1 100

Mes Alçada (m)

Dia

Pere Gener 1,34 22

Xavier Febrer 1,27 17

Carme Febrer 1,68 11

Maria Novembre 1,64 28

Clara Abril 1,22 14

24

➔ Intervals i marques de classe

• Quan la variable que s’estudia té molts valors, aquests s’agrupen enclasses o intervals, normalment de la mateixa amplitud.

Per agrupar aquests valors:

1r Es troba el recorregut de la variable.

2n Es divideix el recorregut entre el nombre d’intervals que es desitgifer. El quocient ens ajudarà a decidir l’amplitud de cada interval.

La mitjana dels extrems de cada interval es denomina marca de classei es representa per xi.

• La freqüència absoluta d’un interval és el nombre de les dades igualsals valors de la variable que pertanyen a aquest interval. Les freqüèn-cies relatives, les absolutes acumulades i els percentatges es troben deforma anàloga a la manera que hem explicat en l’apartat anterior.

➔ Gràfics estadístics

• Diagrama de barres

� Barres del mateix gruix i d’altura proporcional a les freqüències delsvalors que representen.

� S’utilitza en variables amb pocs valors.

� De vegades les barres es representen horitzontalment. L’eix vertical,aleshores, representa els valors de la variable.

• Diagrama de sectors

� Angles centrals dels sectors proporcionals a les freqüències dels valors.Cada angle es calcula dividint 360º entre el nombre total de dades i mul-tiplicant el resultat per la freqüència absoluta del valor de la variable.

� Són molt apropiats en variables qualitatives. Resulten especialmentútils per fer comparacions.

• Polígon de freqüències

� Les coordenades dels punts són el valor de la variable i la freqüènciacorresponent.

� Són idonis per reflectir l’evolució d’un fenomen al llarg del temps.

Població: 98 alumnes de 4t d’ESO.

Variable: alçada. Distribució dedades en cinc intervals.

Alçada menor: 1,42 m.

Alçada major: 1,87 m.

Recorregut: 1,87 – 1,42 = 0,45 m

0,45 : 5 = 0,09 m. Fem intervalsd’amplitud 10 cm.

¿Coneixes els representants dels alumnes en el Consell Escolar?

No32%

Sí32%

Notes en matemàtiques

Nombre d’alumnes

INS SUF BÉ NOT EXNotes

Percentatge

Any1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Classes xi

[1,40 – 1,50) 1,45

[1,50 – 1,60) 1,55

[1,60 – 1,70) 1,65

[1,70 – 1,80) 1,75

[1,80 – 1,90) 1,85

100

90

80

70

60

50

12

9

6

3

0

Temperatures mínimes de febrer:

Mo = 3° M = 2° –x = 2,3°

– Per calcular la moda: La ni majorcorrespon a 3 °C.

– Per calcular la mediana:

= = 14

La Ni superior és 15, i doncs M = 2 °C

– Per calcular la mitjana:

–x = =

= 2,3º

(–1) · 3 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 9 + 5 · 428

282

n2

Fes un repàs

• Histogrames

� Les àrees dels rectangles són proporcionals a les freqüències. Sil’amplitud és la mateixa en tots els intervals, l’altura dels rectanglesés la freqüència absoluta.

� S’utilitzen per a dades agrupades en intervals.

➔ Paràmetres de centralització

• Moda és el valor de major freqüència. Es representa per Mo. Ser-veix tant per a variables quantitatives com per a variables qualita-tives.

Les distribucions de les dades poden ser bimodals (dues modes), tri-modals (tres modes), etc.

• Mediana és el valor de la variable que deixa a la seva dreta i a la sevaesquerra el mateix nombre de dades, una vegada aquestes estan orde-nades. Es representa per M.

És un valor únic i només es calcula quan s’estudien variables quanti-tatives.

� Càlcul:

- Si el nombre de dades és imparell, la mediana coincideix amb ladada central. Si el nombre de dades és parell, la mediana és la mit-jana de les dues dades centrals.

- Quan hi ha molt valors, s’utilitza la columna de Ni. La medianaés el valor corresponent a la freqüència acumulada imme-

diatament superior a , excepte quan és igual a alguna de

les Ni.

• Mitjana aritmètica és el valor mig de totes les dades. Es representa per–x. És únic i només es calcula en el cas de les variables quantitatives.

� Càlcul:

- Si hi ha poques dades, se sumen totes les dades i es divideix elresultat pel nombre total d’aquestes.

- Si hi ha moltes dades, s’utilitzen les freqüències absolutes percomoditat. La mitjana es calcula de la forma següent:

–x = ni · xi

n

n2

n2

25

Temperatures mínimes dels diesd’una setmana: 4°, 5°, 5°, 7°, 8°,9°, 10°

Mo = 5° M = 7° –x –~ 6,86°

(–x = –~ 6,86°)4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 107

T(°C) ni Ni

–1 3 3

1 4 7

2 8 15

3 9 24

5 4 28

Nre. d’alumnes

140 150 160 170 180 190

40

30

20

10

0

Alçada

Notes d’un grup d’alumnes:

Interval modal: [4, 6)

Interval mitjà: [4, 6).

x– = = 5,1612925

26

• Quan les dades estan agrupades en intervals

� S’anomena interval modal l’interval de freqüència més gran.

� La mediana es troba en l’interval que té la freqüència absoluta acu-

mulada immediatament superior a excepte si és igual a algu-

na de les Ni). Aquest interval s’anomena interval mitjà.

� La mitjana aritmètica es calcula considerant que les marques declasse són els valors de la variable. En aquest cas, el valor de la mit-jana és aproximat.

➔ Paràmetres de dispersió

• El rang o recorregut és la diferència entre el valor més gran i el méspetit. Es representa per R. Només es calcula en variables quantitatives.

• Desviació mitjana:

d =

• Variància:

2 =

• Desviació típica:

= ��2

Com més grans siguin el paràmetres de dispersió, més disperses esta-ran les dades.

• Quan les dades estan agrupades en intervals, els paràmetres de dis-persió es calculen considerant que les marques de classe són els valorsde la variable.

ni · (xi – –x)2

n

ni · �xi – –x�n

n2

n2

–x = = 4,15;

–d = = 0,78;

2 = = 0,89;

= 0,89 = 0,94

30,26534

26,534

14134

Classes xi ni Ni ni · xi

[0-2) 1 2 2 2

[2-4) 3 4 6 12

[4-6) 5 10 16 50

[6-8) 7 8 24 56

[8-10) 9 1 25 9

25 129

xi ni ni · xi ni�xi – x– � ni (xi – x–)2

3 10 30 11,5 13,225

4 12 48 1,8 0,27

5 9 45 7,65 6,5025

6 3 18 5,55 10,2675

34 26,5 30,265

��

Classes xi ni ni · xi xi – x– ni �xi – x– � ni (xi – x–)2

[45-50) 47,5 6 285 –13,33 80 1 066,67

[50-55) 52,5 11 577,5 –8,33 91,67 763,89

[55-60) 57,5 18 1 035 –3,33 60 200

[60-65) 62,5 22 1 375 1,67 36,67 61,11

[65-70) 67,5 17 1 147,5 6,67 113,33 755,56

[70-75) 72,5 7 507,5 11,67 81,67 952,78

Totals 81 4 927,5 463,34 3 800

Exemple: Nombre de pulsacions dels alumnes de tres grups de 4t d’ESO.

x– = = 60,83

–d = = 5,72

2 = = 46,91

= 46,91 = 6,85

3 80081

463,3481

4 927,581

��

Estadística • Variables estadístiques27

1.

2.

Es vol realitzar un estudi sobre algunes característiques de les famílies d’una ciutat. Per fer-lo, s’escullen 100habitatges a l’atzar, de barris diferents, i es formulen als veïns les preguntes que trobem a la taula. Per a cadauna d’aquestes, assenyala si la variable és quantitativa o qualitativa i escriu dos valors que pugui tenir.

• Quines de les variables quantitatives són contínues?

Aquesta és una taula corresponent a la primera pregunta de l’exercici anterior.

a) Quin és el recorregut de la variable que s’hi estudia?

b) Quantes famílies de tres membres hi ha?

c) Quantes dades s’han recollit?

d) Quantes dades iguals a 6 hi ha?

e) Quant sumen les freqüències absolutes?

Quantes persones formen la unitat familiar?

Quants metres quadrats té l’habitatge?

Tenen un segon habitatge?

Quant paguen de telèfon en cada rebut per terme mig?

Quants metres cúbics d’aigua han consumit en el darrer perío-de facturat?

Tenen ordinador a casa?

En quin supermercat compren habitualment?

Quina és la marca del seu cotxe?

Quin canal de televisió veuen amb més freqüència?

Quants mòbils tenen?

PreguntesQuantitativa Valorso qualitativa o modalitats

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

ni 4 8 15 27 22 17 5 2

28

3.

4.

5.

Els sous, en euros, dels treballadors d’una empresa són:

1 650 1 255 1 255 1 650 1 790 1 255 650 3300

1 255 1 650 1 790 650 3 300 1 650 1 255 900

Completa la taula de freqüències:

a) Quin és el recorregut de la variable?

b) Quin percentatge de treballadors de l’empresa guanya 1 650 €?

c) Quin percentatge guanya més de 1 000€?

d) Quants treballadors guanyen menys de 1 255€?

Completa les taules de freqüències següents:

S’ha llançat una moneda a l’aire 50 vegades i se n’han obtingut 21 cares. Completa la taula de freqüències.

xi ni fi % Ni

650

900

1 255

Total

xi ni fi % Ni

1 4

2 10

3 12

4

Suma 50

xi ni fi % Ni

Vermell 0,1

Verd 50

Blau 13

Negre 7

Suma

Modalitat ni fi % Ni

Estadística • Freqüències29

6.

7.

A la pregunta «Esmenta el nom d’un matemàtic que coneguis», trenta alumnes han contestat:

Tales Pitàgores Descartes Pitàgores Gauss Pitàgores

Pitàgores Euclides Tales Euclides Tales Descartes

Pitàgores Arquimedes Pitàgores Eratòstenes Arquimedes Gauss

Tales Euclides Pitàgores Tales Pitàgores Newton

Pitàgores Aristarc Gauss Laplace Laplace Newton

a) Quin tipus de variable s’està estudiant?

b) Completa la taula de freqüències.

c) Quin percentatge de dades correspon a Pitàgores?

d) Quin percentatge d’alumnes coneix Gauss?

e) Creus que té molt de sentit trobar en aquest cas les freqüències absolutes acumulades? Raona la teva res-posta.

En una enquesta s’ha preguntat a 1 000 electors per la seva intenció de vot. D’aquests, 325 han contestat queencara no ho han decidit; la resta ja ho ha decidit. Indica si les afirmacions següents són certes o si són falses.

La variable estudiada és quantitativa discreta.

La suma de les freqüències relatives és 1 000.

Les freqüències percentuals sumen 1 000.

Una de les freqüències relatives és 0,325.

Els electors que tenen el seu vot decidit represen-ten el 67’5 % del total.

Totes les freqüències absolutes sumen 1 000.

Les freqüències relatives sumen 1.

El recorregut de la variable és 1000 – 325 = 675.

Tales Pitág. Eucli. Arqui. Total

ni

fi

%

30

8. En una etapa d’alta muntanya els temps dels corredors han estat, en hores, minuts i segons, els següents:

a) Quin és el rang de la variable?

b) Completa la taula de freqüències agrupant els valors de la variable en cinc intervals.

c) Quants corredors han entrat a la meta amb un temps superior a 4:26:00? Dedueix la teva resposta mirantla columna Ni.

d) Completa l’histograma. Per què creus que s’ha tallat l’eix X en el gràfic?

4:23:08 4:23:09 4:23:15 4:23:17 4:23:24 4:23:34 4:23:34 4:23:34 4:23:34 4:24:00

4:24:01 4:24:01 4:24:12 4:24:56 4:24:56 4:24:56 4:24:58 4:25:00 4:25:06 4:25:06

4:25:06 4:25:06 4:25:06 4:25:06 4:25:06 4:25:06 4:26:03 4:26:03 4:26:03 4:26:03

4:26:17 4:26:17 4:26:17 4:26:17 4:26:17 4:26:35 4:26:45 4:26:48 4:26:48 4:26:48

4:26:48 4:26:48 4:26:50 4:26:59 4:26:59 4:26:59 4:26:59 4:26:59 4:27:00 4:27:05

4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:18 4:27:23 4:27:48

4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48

4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:48 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50

4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:50 4:27:55 4:27:55

4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:55 4:27:56 4:27:58

4:27:58 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59 4:27:59

Temps xi ni fi % Ni

Nre. de corredors 70

60

50

40

30

20

10

0

4:23 4:24 4:25 4:26 4:27 4:28

Temps

Estadística • Gràfics31

9.

10.

Un bon lector ha classificat els seus llibres en les categories següents:

Fes un diagrama de sectors i un altre de barres en què siguin represen-tades les dades (en el diagrama de barres és convenient «tallar» l’eix Y ).En quin dels dos gràfics es percep millor la proporció de les dades?

En els darrers cinc anys l’evolució del nombre de voluntaris d’una ONG ha estat la següent:

1997 � 54 1998 � 70 1999 � 61 2000 � 75 2001 � 104 2002 � 158 2003 � 172

Fes, en els mateixos eixos de coordenades, el diagrama de barres i el polígon de freqüències que mostren aques-ta evolució.

Novel·les: 298

Divulgació científica: 164

Art i Història: 152

Altres: 205

32

11. En un institut d’ensenyament secundari s’ha efectuat una enquesta entre els alumnes per recollir la seva opinió

sobre l’hora del pati. Se’ls va fer la pregunta següent: «Prefereixes una sola pausa de hora o dues pauses d’d’hora?» Aquestes foren algunes de les dades obtingudes:

a) Fes un diagrama de sectors en què es representin les dades de batxillerat.

b) Les respostes dels alumnes d’ESO es presenten en els diagrames de sectors anteriors. Sabent que hi ha 220alumnes en el primer cicle d’ESO i 200 alumnes de segon cicle d’ESO, quants alumnes de cada cicle hanescollit cada opció?

c) Quants graus mesuren exactament els angles centrals del diagrama corresponent al segon cicle?

d) Fes un diagrama de sectors en el qual es presentin les dades de tots els alumnes del centre.

14

12

Batxillerat

1 pausa 2 pauses Indiferent

80 24 12

Alumnat de primer cicle d’ESO

1 pausa

2 pauses

Indiferent

Alumnat de segon cicle d’ESO

1 pausa

2 pauses

Indiferent

10 %

30 %

60 %56 %

5 %

39 %

Estadística • Gràfics33

12.

13.

14.

De vegades interessa comparar dades de diversesvariables. Observa el diagrama següent i dibuixales tres últimes barres. Tingues present que, l’any2002, es van reciclar 15 kg de vidre, 18 kg depaper i 8 kg de plàstic per cada 100 habitants.

Completa la taula:

La taula reflecteix la informació relativa a les temperatures màximes registrades en 80 observatoris de Cata-lunya al juliol. Completa-la i fes-ne, tot seguit, un histograma.

Observa la piràmide de població d’un cert país l’any 2002.

a) Completa el gràfic tot sabent queentre 70 i 79 anys hi ha 750 000homes i 250 000 dones; i que hi ha500 000 homes i 250 000 dones demés de 80 anys.

b) Quantes dones hi ha en aquest paísd’edat compresa entre 30 i 49 anys?

c) Creus que a Catalunya sortiria unapiràmide semblant?

Vidre Paper Plàstic

2001

Interval ni % Ni

[15-20) 15

[20-25) 27

[25-30) 58

[30-35) 15

[35-40)

2000 1500 1000 500 0 0 500 1000 1500 2000

Més de 80

70 - 79

60 - 69

50 - 59

40 - 49

30 - 39

20 - 29

10 - 19

0 - 9

Més de 80

70 - 79

60 - 69

50 - 59

40 - 49

30 - 39

20 - 29

10 - 19

0 - 9

Quant reciclem?Quilos / 100habitants

Vidre Paper Plàstic

Any

20181614121086420

1998 1999 2000 2001 2002

Anys d’edat Homes Dones Anys d’edat

Milers de persones

34

15. Una sucursal bancària estudia l’impacte que ha tingut una campanya publicitària, realitzada al gener, l’ob-jectiu de la qual era afavorir que els clients utilitzessin el caixer automàtic per actualitzar la llibreta d’estalvis.Els encarregats de l’estudi han aportat aquest polígon de freqüències.

a) Observa el gràfic i completa la taula següent.

b) Amb les dades de la taula completa el gràfic anterior amb uns altres dos polígons de freqüències.

c) Fes dos diagrames de sectors per comparar les dades de gener i de juny.

d) Creus que la campanya publicitària ha assolit el seu objectiu?

e) Hi ha hagut algun altre canvi positiu per a la sucursal a més del que s’havien proposat?

Gener Febrer Març Abril Maig Juny

Treure diners

Ingresar diners

Actualitzar llibreta 2 3 7 10 10 20

Altres 6 10 15 24 32 35

Nre. d’operacions

MesosGener Febrer Març Abril Maig Juny

60

50

40

30

20

10

0

Treure diners Ingressar diners

Estadística • Paràmetres35

16.

17.

18.

Calcula tots els paràmetres estadístics (centralització i dispersió) de les tres sèries de dades que t’oferim a conti-nuació.

a) 4 5 7 3 8 3 b) 5 5 6 6 3 3 c) 3 3 3 3 3 3

Completa la taula i calcula la mitjana, els intervals modal i mitjà i els paràmetres de dispersió.

En cada apartat, completa la sèrie de dades amb nombres enters positius, tenint present la informació que es dóna.

a) 3 7 _____ _____ 8 2 b) 3 7 _____ _____ 8 2–x = 4 i M = 3 –x = 4 i M = 2,5

xi ni ni · xi �xi – x– � ni · �xi – x– � (xi – x– )2 ni · (xi – x– )2

[0-3) 4

[3-6) 5

[6-9) 6

[9-12) 2

[12-15) 3

o

e

2

X 5

M 3

M 4,5

R 5

d 1,6

1,91

3,6

o o o

e

2

X 4,6

M 3, M 6, M 5

M 5

R 3

d 1,1

1,25

1,56

o

e

2

X 3

M 3

M 3

R 0

d 0

0

0

o e

2

X 6,75 M 6 , 9) M 6 , 9)

R 12 d 3,225 3,89

15,19

36

19. L’import, en euros, dels rebuts de telèfon que ha pagat una família al llarg dels tres darrers anys ha estat:

62,34 71,23 54,65 65,87 72,34 68,91 59,56 78,35 75,67 72,54 69,30 57,67

75,45 71,09 55,67 60,24 54,38 66,77 59,81 67,87 71,21 70,95 69,89 76,32

65,18 66,78 68,39 66,67 70,02 59,96 64,54 78,65 65,77 71,23 70,87 70,65

a) Quin és el rang de la variable?

b) Completa la taula de freqüències en què s’agrupen els valors de la variable en cinc intervals.

c) Quants rebuts hi ha hagut amb un import inferior a 64 €? I a 65 €? I a 79 €?

d) Quins són els intervals modal i mitjà?

e) Calcula la mitjana exacta, considerant totes les dades, i una aproximació de la mitjana, considerant lesmarques de classe dels cinc intervals. Hi ha molta diferència entre les dues?

f) Calcula la mediana completant el paràgraf següent: Com n : 2 = ______________, aleshores la medianaés, suposant totes les dades ordenades, la mitjana de les dades que ocupen els llocs ______________ i______________ Aquestes dues dades estan en l’interval ______________ La freqüència absoluta acumula-da d’aquest interval és ______________ i, per tant, si ordeno les dades que pertanyen a aquest interval, lamediana serà la mitjana entre l’última i ______________ dada d’aquest interval. Mirant les dades, aques-tes són: ______________ i ______________. Per tant, la mediana és ______________.

g) Fes un histograma

Import Recompte xi ni ni · xi Ni

[54,59)

Totals

Estadística • Paràmetres37

20. En una fàbrica de piles es va escollir, ja fa temps, un lot de 30 piles a l’atzar per mesurar-ne la durada en con-dicions òptimes. Aquests han estat els resultats.

225 h 30 min 226 h 25 min 225 h 18 min 218 h 10 min 226 h 18 min

225 h 24 min 226 h 31 min 226 h 14 min 224 h 56 min 220 h 43 min

216 h 12 min 225 h 36 min 227 h 13 min 223 h 54 min 160 h 23 min

221 h 2 min 225 h 53 min 228 h 10 min 228 h 54 min 226 h 31 min

225 h 32 min 216 h 27 min 223 h 18 min 199 h 10 min 225 h 20 min

217 h 19 min 227 h 51 min 228 h 14 min 224 h 6 min 224 h 23 min

a) L’empresa considera com a defectuoses les piles de durada inferior a 215 hores. Quina és la proporció depiles defectuoses en el lot?

b) Quin és el rang de la variable «temps de durada» una vegada descartades les piles defectuoses?

c) Completa la taula de freqüències en què les dades de la variable «temps de durada de les piles no defec-tuoses» s’han agrupat en 3 intervals. Fes-ne tu una altra agrupant les dades en 7 intervals i prenent com aextrems del primer interval 216 h i 218 h.

d) Calcula la durada mitjana real de les piles no defectuoses.

e) Calcula, per als dos agrupaments de dades, l’interval modal, el mitjà i la mitjana.

f) En quin agrupament, la mitjana s’aproxima més a la mitjana calculada en l’apartat d)?

Durada Recompte xi ni ni · xi

[215-220)

Totals

Durada Recompte xi ni ni · xi

Totals

38

21. Per detectar el nivell inicial dels alumnes, un professor fa una prova entre els alumnes dels seus grups encomençar el curs. Aquests són els resultats obtinguts en els tres grups de 4t d’ESO.

a) En quin grup s’han obtingut notes més altes per terme mig?

b) En quin grup hi ha les notes més disperses? Comprova la teva resposta trobant la desviació amb relació ala mitjana.

c) Dibuixa tres histogrames, un per a cada grup. Com influeix la dispersió de les dades en la forma del gràfic?

Grup 4t A

Notes Nre. d’alumnes

[0-2) 2

[2-4) 5

[4-6) 10

[6-8) 8

[8-10] 4

Grup 4t B

Notes Nre. d’alumnes

[0-2) 8

[2-4) 3

[4-6) 5

[6-8) 5

[8-10] 9

Grup 4t C

Notes Nre. d’alumnes

[0-2) 1

[2-4) 3

[4-6) 20

[6-8) 5

[8-10] 1

Estadística • Paràmetres39

22.

23.

Els preus dels pisos dintre de les ciutats solen ésser mésalts que a l’extraradi. També s’hi aprecien, en els preusdels pisos, força diferències d’una ciutat a l’altra.

S’han recollit dades sobre els preus dels habitatges de100 m2. Dues sèries de dades corresponen al centre deles dues ciutats, l’una cara i l’altra barata; les altresdades corresponen a l’extraradi de la ciutat cara, on s’a-precia molta diferència de preus.

Associa cada parella de paràmetres amb una d’aques-tes sèries de dades.

Sèrie A: –x = 450 000 € i = 539 € Centre ciutat cara

Sèrie B: –x = 750 000 € i = 2 200 € Centre ciutat barata

Sèrie C: –x = 452 100 € i = 1 500 € Extraradi ciutat cara

En una autopista de peatge i en una carretera nacional s’ha fet un control de la velocitat de circulació dels cot-xes. Els resultats són:

Taula 1 Taula 2

a) Quina taula creus que correspon a la carre-tera?

b) Troba per a cada cas la velocitat mitjana deles velocitats registrades i els intervalsmodal i mitjà.

c) Troba la desviació mitjana i la desviaciótípica de les dues sèries de dades.

v (km/h) Nre. de cotxes

[80-90) 5

[90-100) 16

[100-120) 25

[120-130) 23

[130-140) 12

[140-150) 8

v (km/h) Nre. de cotxes

[80-90) 11

[90-100) 16

[100-120) 17

[120-130) 7

[130-140) 2

[140-150) 1

40

24. En una granja es crien vaques i porcs. S’han pesat 50 vaques i 50 porcs de la mateixa edat. Els resultats hanestat els següents:

a) Comprova que, per a les vaques, el pes mitjà és de 464 kg, i que hi ha una desviació típica de 29,33 kg.

b) Troba la mitjana i la desviació típica dels pesos dels porcs.

c) En quina de les dues distribucions és major la desviació típica? Significa això que les dades estan més dis-perses en aquesta distribució? (Pensa-ho bé: la desviació del pes de les vaques és de 29,33 kg amb relacióa 464 kg, mentre que la dels porcs...)

d) En els dos exercicis anteriors, s’han comparat distribucions homogènies (preus amb preus i velocitats ambvelocitats). En aquest tipus de distribució, la desviació típica serveix per determinar quines dades estan mésdisperses. Quan les dades que volem comparar corresponen a poblacions heterogènies (vaques i porcs)s’estableix una altra mesura de dispersió denominada coeficient de variació de Pearson i que es representa

per v. Sabent que v = troba el v de les dues distribucions.x

Vaques

[400-425) 6

[425-450) 10

[450-475) 14

[475-500) 15

[500-525) 5

Porcs

[180-200) 9

[200-220) 10

[220-240) 10

[240-260) 12

[260-280) 9

Estadística • Paràmetres41

25.

26.

Els càlculs que hem de realitzar per obtenir la mitjana i la desviació típica d’una distribució de dades podenser complicats. En aquest exercici aprendràs a utilitzar la calculadora científica per obtenir còmodamentaquests dos paràmetres.

Comprova, amb l’ajut de la calculadora, que la mitjana i la desviació típica de la distribució de dades de lataula són –x = 242 i = 4,42. Per fer-ho, segueix els passos següents:

1r Prepara la calculadora per realitzar càlculs estadístics.

Pitja les tecles MODE ·

2n Deixa la memòria de la calculadora en blanc.

Pitja les tecles SHIFT AC

3r Introdueix a la memòria cada dada multiplicada per la sevafreqüència.

Pitja les tecles 2 3 5 X 3 M+

2 3 7 X 4 M+

2 4 3 X 2 M+

2 4 5 X 5 M+

2 4 6 X 6 M+

4t Assegura’t que no t’has oblidat de cap dada. Per fer-ho, hasd’obtenir amb la calculadora el total de dades introduïdes, queha de d’ésser igual a la suma de les freqüències absolutes.

[n]

Pitja les tecles SHIFT 6

5è Per obtenir la mitjana

[ –x ]

Pitja les tecles SHIFT 7

Per obtenir la desviació típica

[ n]

Pitja les tecles SHIFT 8

Troba la mitjana i la desviació típica de la distribució de dades següent:

xi ni

235 3

237 4

243 2

245 5

246 6

xi 12 13 14 15 16

ni 3 5 9 7 5

[DATA]

[DATA]

[DATA]

[DATA]

[DATA]

42

27.

28.

L’IPC (Índex de Preus de Consum) és una mesura estadística que ens indica l’evolució dels preus a Catalunya.El calcula mensualment l’Institut d’Estadística de Catalunya (Idescat) i sempre que s’anuncia té una gran reper-cussió en tots els mitjans de comunicació.

Suposem que l’IPC dels mesos corresponents a 5 anys va ser:

Amb l’ajut de la calculadora científica,

a) calcula l’IPC mitjà corresponent a aquest període de 5 anys;

b) calcula la desviació típica de l’IPC durant aquest període.

Donada la distribució de dades de la taula:

a) Comprova amb la calculadora científica que la mitjana és 4 i la desviació típica és 1,19.

b) Ja saps que la distribució típica d’una distribució de dades és: = .

Comprova que també es pot calcular utilitzant la fórmula = – –x2.

Per fer-ho, sense esborrar les dades de la calculadora,

[ x2]1r Calcula ni x2 pitjant les tecles SHIFT 4

2n Calcula

3r Calcula – –x2

4t Calcula = – –x2ni xi

2

n

ni xi2

n

ni xi2

n

ni xi2

n

ni (xi – –x)2

n

IPC 1,8 2,1 2,4 2,5 2,6 2,8 3,2 3,6

Nre. de mesos 5 8 7 7 8 9 7 9

xi 2 3 4 5 6

ni 4 5 7 9 2

Tenim 3 pantalons –un de negre, un de grisi un de marró (PN, PG, PM)– i dues cami-ses –una de blanca i una de negra (CB, CN).Experiment: Escollir, a l’atzar, un panta-ló i una camisa.

CB PN, CBPN

CN PN, CN

CB PG, CBPGCN PG, CN

CB PM, CBPMCN PM, CN

= {(PN, CB), (PN, CN), (PG, CB), (PG, CN),(PM, CB), (PM, CN)}Experiment: Escollir, a l’atzar, una xifra delnúmero 453; després, una altra del 23 i for-mar, tot seguit, un nombre de dues xifres.

= {42, 52, 32, 43, 53, 33}

Fes un repàs

➔ Experiments deterministes i aleatoris

• Un experiment és aleatori quan té diversos resultats possibles. Encas contrari, es diu que l’experiment és determinista.

• S’anomena succés elemental a cada un dels possibles resultatsd’un experiment aleatori.

• S’anomena espai mostral d’un experiment aleatori el conjunt for-mat per tots els successos elementals. Es representa per .

• El succés compost és el format per dos o més successos elemen-tals.

• El succés segur és el succés que sempre passa. Coincideix amb .

• El succés impossible és el succés que no passa mai. Es representaper Ø.

• El succés contrari d’un succés A és el succés que té lloc quan nopassa A. Es representa per

–A.

• L’experiment simple és el que consta d’una sola acció.

• L’experiment compost és el que consta de més d’una acció.

➔ Espai mostral en experiments compostos

Per construir l’espai mostral en aquest tipus d’experiments són útilsels procediments següents:

• Diagrama d’arbre

És un gràfic en què, per mitjà de fletxes, escrivim els resultats pos-sibles de cada experiment. Les fletxes marquen un «camí» quedetermina cada un dels elements de l’espai mostral.

Per tal que el diagrama sigui clar, és important escollir una bona nota-ció.

• Taula de doble entrada

És una taula en què col·loquem, en l’horitzontal, els resultats possi-bles d’un dels experiments i, en la vertical, els resultats de l’altre. Totseguit, es completa la taula. Només és vàlida per a experiments com-postos de dos experiments simples.

43

Probabilitat3Experiment simple: Escollir, a l’atzar,una lletra de la paraula GENER.• Successos elementals:

– La lletra escollida és la G– La lletra escollida és la E– La lletra escollida és la N– La lletra escollida és la R

• Espai mostral: = {G, N, R}• Successos:

– La lletra escollida és vocal: {E}– La lletra escollida és una G o una R:

{G, R}• Succés segur: La lletra escollida és la

G o la E o la N o la R.• Succés impossible: La lletra escollida

no és ni la G, ni la E, ni la N ni la R.• El succés contrari al fet que la lletra

sigui una vocal, A = {E}, és que la lle-tra sigui una consonant –A = {G, N, R}

• Experiment compost: Escollir, a l’atzar,dues lletres de la paraula GENER.

4 5 3

2 42 52 32

3 43 53 33

Experiment: Extreure, amb reemplaça-ment, dues cartes d’un joc de cartes ianotar-ne el coll.

P (obtenir algun dels bastos) =

Experiment: Llançar monedesC

CXC

XX

716

Experiment: Girar una ruleta que té 5sectors iguals numerats de l’1 al 5 i ano-tar el número. = {1, 2, 3, 4, 5}

p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) =

Els successos elementals són equiproba-bles.Els successos A i –A no són equiprobables.

15

44

➔ Probabilitat d’un succés

És un nombre que mesura el grau de possibilitat que el succés passi.Es representa per p(A).

• Propietats:

� 0 p(A) 1

� p(E ) = 1 i p(Ø) = 0

� p(–A) = 1 – p(A)

� La suma de les probabilitats dels successos elementals és igual a 1.

• Els successos equiprobables són aquells que tenen la mateixa pro-babilitat.

➔ Càlcul de probabilitats

• Regla de Laplace

Considerem un experiment en el qual els successos elementals sónequiprobables. Si A és un succés, la seva probabilitat és:

p(A) =

Anomenem casos favorables als successos elementals en què es veri-fica A; anomenem casos possibles a tots els successos elementals.

• En el diagrama d’arbre

Es construeix el diagrama d’arbre i hi escrivim les probabilitatscorresponents a «cada fletxa». Per calcular la probabilitat d’uncamí es multipliquen les probabilitats d’aquest camí.

➔ Probabilitat condicionada

Siguin A i B dos successos d’un experiment aleatori. Calcular la pro-babilitat del succés A condicionat al B és trobar la probabilitat delsuccés A sabent que s’ha esdevingut B. Es representa per p(A/B).

➔ Dependència de successos

Dos successos A i B són dependents si el fet que un s’esdevinguiinflueix en la probabilitat que passi l’altre. En cas contrari, són inde-pendents.

• Si A i B són dependents, p (A/B) =/ p (A).

• Si A i B són independents, p (A/B) = p (A).

nombre de casos favorablesnombre de casos possibles

Experiment: Extreure una carta d’un joc de cartes. A: «7 de bastos» B: «no figu-ra» C: «copes»p (A/B) és la probabilitat que la cartasigui el 7 de bastos sabent que no ha sor-tit una figura.p (C/B) és la probabilitat que la cartasigui de copes sabent que no ha sortituna figura.

p(A) = p(A/B) =

p(C) = = p(C/B) = =

A i B són dependents, ja que:p (A/B ) =/ p (A)

C i B són independents, ja que:p (C/B) = p (C)

14

728

14

1040

128

140

A : «obtenir parell» p (A) = 25

–A : «obtenir senar» p (–A) = 35

+ =135

25

O C E BO O,O C,O E,O B,OC O,C C,C E,C B,CE O,E C,E E,E B,EB O,B C,B E,B B,B

p(C, C) = · = 14

12

12

12

12

12

12

12

12

Probabilitat • Experiments aleatoris45

1.

2.

3.

Indica si els experiments següents són aleatoris o deterministes.

a) Escollir, a l’atzar, una pàgina d’un llibre.

b) Assignar a una persona la seva lletra del NIF.

c) Escalfar un recipient amb un glaçó de gel.

d) Observar el color del primer cotxe que passi per la porta de casa teva.

e) Sortejar quin equip tria camp en un partit de futbol.

f) Comprovar si funciona una bombeta produïda per una màquina.

g) Mesurar el temps que triga un cotxe a recórrer 3 km si va a una velocitat de 80 km/h.

Escriu l’espai mostral corresponent als experiments aleatoris següents.

a) Escollir, a l’atzar, un nombre enter major que 25 i menor que 35.

b) Escollir, a l’atzar, un dia de la setmana.

c) Llançar un dau de 8 cares numerades de l’1 al 8.

d) Escollir, a l’atzar, un quadrat perfecte menor que 36 i calcular-ne les arrels quadrades.

e) Observar quina de les quatre persones que participen en un sorteig n’és la guanyadora.

f) Escollir, a l’atzar, una lletra de la paraula MATEMÀTIQUES.

Escriu quin és l’experiment aleatori que es realitza en les situacions que es descriuen a continuació. Indica siés simple o compost i, en cas que sigui compost, els experiments simples que el componen.

a) Un examen consisteix a escollir, a l’atzar, dos temes entre diversos, dels quals l’alumne sap alguns.

b) Es disposa de dues urnes, A i B, cadascuna de les quals conté boles blanques i negres. S’extreu a l’atzaruna bola d’una urna i s’anota el seu color.

c) Extreure el nombre premiat amb el primer premi de la loteria de Nadal.

46

4.

5.

En cada un dels apartats següents es descriu un experiment aleatori i un succés. Escriu els successos elemen-tals que componen cada un dels successos i descriu el succés contrari corresponent.

a) Escollir, a l’atzar, una xifra entre les que componen el número 18 543. A: «obtenir un nombre primer».

b) Escollir, a l’atzar, una carta d’una baralla espanyola. A: «obtenir una figura de copes».

c) Escollir, a l’atzar, un alumne d’una classe de vint. A: «l’alumne ocupa un lloc múltiple de tres a la llista».

d) Girar i anotar el número d’una ruleta de vuit sectors numerats i acolorits: els dos primers, de vermell; elstres següents, de verd; el següent, de groc, i els dos darrers, de blau. A: «obtenir un color primari».

Descriu, amb una frase, els successos que s’indiquen a cada apartat.

a) Llançament d’un dau amb vint cares numerades de l’1 al 20. A = { 1, 4, 9, 16 }.

b) Extracció d’una carta d’una baralla espanyola. A = { as de copes, as d’oros, as de bastos, as d’espases }.

c) Elecció, a l’atzar, d’una xifra del número 14 246. A = { 2, 4, 6 }.

d) Elecció, a l’atzar, d’una lletra de l’abecedari. A = {a, e, i, o, u }

e) Elecció, a l’atzar, d’una bola d’una urna que té deu boles numerades; les set primeres són blanques i lestres últimes, blaves. A = { 8, 9, 10 }.

Probabilitat • Espai mostral en experiments compostos47

6. Construeix l’espai mostral dels experiments següents:

a) Escollir, a l’atzar, dues boles d’una bossa que conté tres boles blanques i dues boles vermelles.

b) Llançar dos daus cúbics i anotar el producte de les puntuacions obtingudes.

c) Escollir, a l’atzar, dues persones d’un grup i anotar l’estació de l’any en què han nascut.

d) Llançar dos daus de quatre cares, numerades de l’1 al 4, i anotar-ne el resultat major.

e) Dues urnes contenen boles roges i negres. Escollir, a l’atzar, una urna i, tot seguit, escollir, també a l’atzar,una bola.

f) Una persona realitza tres tirades a un blanc. A cada tirada és possible que l’encerti o que falli.

g) Tres màquines produeixen un determinat tipus de peça que pot resultar correcta o defectuosa. Escollir, al’atzar, una peça de les produïdes per una d’aquestes màquines.

h) Escollir, a l’atzar, tres lletres diferents de la paraula TRES.

i) Un joc consisteix a llançar una moneda fins a obtenir una cara. Si això no s’aconsegueix a la quarta tira-da, s’acaba el joc.

48

7. En cadascun dels apartats següents es descriu un experiment aleatori i un succés. Escriu els successos ele-mentals que componen cada un dels successos i el succés contrari corresponent. Indica com simbolitzes cadaun dels successos elementals.

a) Llançar dos daus i anotar-ne la diferència. A: «diferència igual a 1».

b) Dues urnes contenen boles verdes, roges i negres. Escollir a l’atzar una urna i extreure’n, també a l’atzar,una bola. A: «la bola pertany a la primera urna i és roja o negra».

c) Una ruleta té tres sectors numerats de l’u al tres; una altra, tres sectors numerats del tres al cinc. A: «el pro-ducte de les puntuacions obtingudes és parell».

d) Escollir a l’atzar dues lletres, no necessàriament distintes, de la paraula ATZAR. A: «en les dues lletres hiha, almenys, una vocal».

Probabilitat • Càlcul de probabilitats49

8.

9.

Calcula la probabilitat del succés A que s’indica en cada experiment aleatori.

a) Llançar un dau de vint cares numerades de l’u al vint. A: «obtenir un múltiple de quatre».

b) Extreure una carta d’un joc de cartes. A: «obtenir una figura o un nombre parell».

c) Extreure una bola d’una bossa que conté una bola taronja, dues de negres i cinc de grogues. A: «obteniruna bola groga».

d) Extreure una carta d’un joc. A: «obtenir una carta que sigui as i oros».

Calcula la probabilitat que en escollir, a l’at-zar, dues lletres distintes de la paraula ARBRE,les dues siguin:

a) vocals,

b) una consonant i una vocal.

10. Calcula la probabilitat d’obtenir, en llançartres monedes:

a) dues cares,

b) un nombre diferent de cares que decreus.

3)

8

) 1

a P

b P

1

)10

3)

10

4)

25

6)

25

Sense reposició deles lletres

a P

b P

Amb reposició deles lletres

a P

b P

1)

4

7)

12

5)

8

1)

48

a P

b P

c P

d P

50

11.

13.

15.

Calcula la probabilitat que dues personesescollides a l’atzar hagin nascut en un dia dela setmana diferent.

Una persona tira dos daus i aposta que lasuma de les puntuacions és cinc o menorque cinc. Una altra tira dos daus i apostaque la diferència de punts és igual a 1.Quina té una probabilitat major de guanyar?

S’extreuen, a l’atzar i amb reemplaçament,dues cartes d’un joc. Calcula la probabilitatque, almenys una, sigui d’oros.

12. Una persona té tres parells de guants: un denegre, un de gris i un altre de vermell. Siescull a l’atzar un guant de la mà dreta i unaltre de la mà esquerra, quina probabilitat téque els dos siguin del mateix color?

14. En Carles escull, a l’atzar, una lletra del seunom. La Núria fa el mateix. Quina és la pro-babilitat que hagin escollit la mateixa lletra?

16. Amb les xifres 1, 5, 6 es formen tots els nom-bres de tres xifres possibles sense repetir-necap. Calcula la probabilitat que un d’aquestsnombres escollit a l’atzar sigui:

a) múltiple de tres,

b) parell.

) 1

1)

3

a P

b P

1

'

7

16

La probabilitat serà menys la probabilitat

quecap d elles sigui orus

P

1

15P

.

5

18

Són equiprobables

Totes dues opcions tenenuna P

1

3P

6

7P

Probabilitat • Càlcul de probabilitats51

17.

18.

Una bossa conté boles marcades de la manera següent: tres amb el número +1, dues amb el número 0, duesamb el número +5 i quatre amb el número –3. S’extreuen dues boles de la bossa. Calcula la probabilitat que:

a) les dues estigui marcades amb un nombre negatiu;

b) la suma dels nombres sigui igual a deu.

Un jugador disposa de tres daus marcats de la manera següent:

— El primer dau té dues cares marcades amb un punt, dues cares marcades amb dos punts i dues cares mar-cades amb tres punts.

— El segon dau té quatre cares marcades amb sis punts i dues cares que no estan marcades.

— El tercer dau té les sis cares marcades amb quatre punts.

Escull un dau a l’atzar i el tira. Calcula les probabilitats següents:

a) Obté una cara sense marcar.

b) Obté quatre punts.

c) Obté tres punts.

1)

9

1)

3

1)

9

a P

b P

c P

16)

121

4)

121

a P

b P

52

19.

20.

21.

22.

El temari d’unes oposicions consta de 60 temes i de l’examen de 2 d’aquests temes escollits a l’atzar. Un opo-sitor es prepara 35 temes dels 60. Calcula la probabilitat dels successos següents.

a) No en sap cap.

b) Sap els dos.

c) En sap un dels dos.

Un equip de música distribueix aleatòriament l’ordre en què sonaran les quatre cançons d’un CD. La primerai la tercera són les preferides d’una persona. Quina és la probabilitat que aquestes dues cançons siguin les pri-meres que sonaran?

Quina és la probabilitat que en una tria a l’atzar de dues pàgines d’aquest llibre les dues corresponguin a l’e-pígraf Fes un repàs?

La probabilitat que una màquina tallagespa funcioni és 0,9. En una determinada setmana, ha plogut durant 3dies. Si per tallar la gespa és necessari que la màquina funcioni i que no plogui, quina és la probabilitat queen aquella setmana no es pugui tallar la gespa?

10 ' ' 64

25) :

1024

5) :

224

Al llibre tenim pàgines d epígrafs d untotal de

Tenim dues opcions

a Amb reposició de pàgina P

b Sense reposició de pàgina P

1)

8

1)

6

a Amb possibilitat de quees repeteixin les cançons P

b Sense quees puguin repetir les cançons P

10)

59

119)

354

175)

354

a P

b P

c P

Probabilitat • Càlcul de probabilitats53

23.

24.

25.

Una comissió d’alumnes d’ESO està formada per 5 alumnes de primer, 3 de segon, 5 de tercer i 6 de quart.Entre aquests n’escullen dos perquè siguin portaveus de la comissió. Quina és la probabilitat que els dos siguindel mateix curs?

Pista: Calcula la probabilitat de cada «camí» favorable i després suma les possibilitats de tots aquests«camins».

Una bossa conté cinc boles blanques, dues de blaves i tres de gro-gues. Se n’extreuen, sense reemplaçaments, dues a l’atzar. Quinaprobabilitat hi ha que siguin del mateix color? I que siguin de colordiferent?

Un dau té quatre cares marcades amb nombres positius i dues mar-cades amb nombres negatius. Es tira dues vegades el dau i si el pro-ducte dels nombres obtinguts és positiu, es treu una bola d’unaurna que conté dues boles blanques i dues boles negres; si el pro-ducte és negatiu, es treu una bola d’una urna que conté cinc bolesblanques i una de negra. Quina és la probabilitat que la bola extre-ta sigui negra?

19

54

2

9

siguin del mateix color

siguin de color diferent

14P

45

31P

45

54

26.

27.

28.

Es fa girar la ruleta de la dreta. Es consideren els successos següents:

A: «número 2», B : «nombre parell», C : «nombre senar», D : «zona acolorida».

a) Calcula les possibilitats dels successos anteriors.

b) Calcula p (B/D) i p (C/D).

c) Els successos A i D, són dependents o independents?

Una persona té la seva música en CD i en cintes de casset repartides de la manera que s’indica a la taula.Escull un CD o una cinta a l’atzar.

a) Calcula p (CD), p (C ), p (MC), p (O), p (MC/CD),p(MC/C).

b) Raona si els successos MC i CD són dependents oindependents.

S’extreuen dues boles d’una bossa que conté quatre boles vermelles i cinc de verdes. Es consideren els suc-cessos R1: «la primera bola extreta és vermella», R2: «la segona bola extreta és vermella». Demostra si els suc-cessos R1 i R2 són dependents o independents si l’extracció es fa:

a) amb reemplaçament,

b) sense reemplaçament.

Música Altresclássica O

MCCompac

32 8CD

Cintes16 4

C

1

2

3

4 5

6

7

8

1 1 1 3a) P(A) , P(B) , P(C) , P(D)

8 2 2 8

1 2b)P(B /D) , P(C /D)

3 3

c)Són dependents, perquè P(A) P(A /D)

2 1 4 1 4 4a) P(CD) , P(C) , P(MC) , P(O) , P(MC / CD) , P(MC / C)

3 3 5 5 5 5

b)són independents, perquè P(MC / CD) P(MC)

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

4 4a) P(R ) , P(R /R ) successos independents perquè P(R ) P(R /R )

9 9

4 3b) P(R ) , P(R /R ) successos dependents perquè P(R ) P(R /R )

9 8

Fes un repàs

➔ Superfície, volum i capacitat

• La superfície d’una figura és la porció de pla que ocupa i la seva àreaés la mesura de la superfície.

• El volum d’un cos és l’espai que ocupa. La seva capacitat és la mesu-ra del màxim volum que pot contenir.

55

Àrees i volums4

➔ Àrea i volum de prismes i de piràmides

Unitats de mesura de superfície Unitats de mesura de volum

– Unitat principal: metre quadrat (m2).

– Divisors: decímetre quadrat (dm2), centímetre qua-drat (cm2), mil·límetre quadrat (mm2).

– Múltiples: decàmetre quadrat (dam2), hectòmetrequadrat (hm2), quilòmetre quadrat (km2).

– Unitat principal: metre cúbic (m3).

– Divisors: decímetre cúbic (dm3), centímetre cúbic(cm3), mil·límetre cúbic (mm3).

– Múltiples: decàmetre cúbic (dam3), hectòmetrecúbic (hm3), quilòmetre cúbic (km3).

… km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 … … km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 …

VolumÀrea

Prisma

Ortòedre

At = 2Ab + Al

A = 2(a · b + a · c + b · c)

V = Ab · h

V = 2,6 · 2,5 = 6,5 cm3

V = a · b · c

V = 2 · 3 · 2 = 12 cm3

Ab = = 2,6 cm2

Al = 6 · 1 · 2,5 = 15 cm2

At = 2 · 2,6 + 15 = 20,2 cm2

6 · 1 · 0,872

Apotema = 0,87

Àrea total Àrea lateralÀrea base

Equivalència entre les unitats de capacitat i de volum:1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3

1 mL = 1 cm3

×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×1 000 ×1 000 ×1 000 ×1 000 ×1 000 ×1 000 ×1 000

:1 000 :1 000 :1 000 :1 000 :1 000 :1 000 :1 000:100 :100 :100 :100 :100 :100 :100

At = 2(3 · 2 + 3 · 2 + 2 · 2) = 32 cm2

1 cm

1 cm

3 cm

2 cm

0,87 cm

a = 3 cmb= 2

cm

c=

2 c

m

2,5 cm

2,5

cm

�

56

➔ Àrea i volum de cilindres, cons i esferes

VolumÀrea

PiràmideV = Abh

13

V = · 4 · 3 = 4 cm313Ab = 22 = 4 cm2

Al = 4 · = 12,65 cm2

At = 4 + 12,65 = 16,65 cm2

2 ��102

VolumÀrea

Cilindre

Con

Esfera

At = 2Ab + Al = 2 r2 + 2 rh = 2 r (r + h)

A = 4 r2

V = Ab · h = r2h

V = 3,14 · 12· 3 = 9,42 cm3

V = Abh = r2h13

13

V = r343

V = · 3,14 · 33 = 113,04 cm343

At = 2 · 3,14 · 1 (1 + 3) = 25,12 cm2

Ab = 3,14 · 1,52 = 7,07 cm2

Al = 3,14 · 1,5 · 18,25 = 20,12 cm2

At = 7,07 + 20,12 = 27,19 cm2

A = 4 · 3,14 · 32 = 113,04 cm2

�����

����

����

At = Ab + Al = r2 + rg = r (r + g)

Alturad’unacara

Alturad’unacara

At = Ab + Al

Àrea total Àrea lateralÀrea base

2 cm

3 cm

r = 1 cm

1 cm

3 cm

2 � � 1

1,5 cm

4 cm

2 � � 1,5

r = 1,5 cm

r = 1,5 cm

r = 3 cm

g

g

g = 18,25

18,25

h=

3 c

m

h=

4 c

m

���10

1 cm

3 cm

2 cm

���10

V = · 3,14 · 1,52 · 4 = 9,42 cm313

Àrees i volums • Àrees57

1.

2.

3.

Associa cada objecte amb la mesura de la seva superfície i expressa totes les àrees en centímetres quadrats.

Disposa totes les fitxes formant tres cadenes d'equivalències.

6,52 m2 6,52 · 10–6 hm2 0,0652 m2 65,2 m2

0,0000652 km2 652 dm2 6 520 dm2 6,52 · 106 mm2

0,652 dam2 6,52 dm2 0,0652 dam2 65 200 mm2

= = =

= = =

= = =

Completa les equivalències entre distintes unitats de superfície que tens tot seguit:

a) 1 km2 = _______________ m2 b) 3 km2 = _______________ m2

c) 5 cm2 = _______________ m2 d) 1,23 dm2 = _______________ cm2

e) 120 mm2 = _______________ dm2 f) 10 m2 = _______________ hm2

g) 13 dam2 = _______________ km2 h) 4,35 hm2 = _______________ dm2

Objectes Àrees Àrees en cm2

Full de paper 4 800 m2

Pista de bàsquet 98 m2

Camp de futbol 1,77 dm2

Moneda de 0,01 € 62 370 mm2

Pis de tres habitacions 201 mm2

Territori d’un país 98 500 km2

Funda CD 364 m2

58

4.

n = nre. de costats

c

b

a

D

d

b

h

h h

b

B b

a

c

r

a) b) c)

15 cm

15 cm25 cm 40 cm

18 cm

6 cm

12 cm10 cm

10 cm

3 cm

12 cm

4 cm

D·d

2

B b ·h

2

b·h

2

5.

Per fer un repàs de les fórmules de les àrees dels polígons i de l’àrea del cercle, completa el quadre següent:

Quadrat Rectangle Rombe Romboide

Àrea = _________ Àrea = _________ Àrea = _________ Àrea = _________

Trapezi Triangle Polígon regular Cercle

Àrea = _________ Àrea = _________ Àrea = _________ Àrea = _________

Quants decímetres quadrats de cartró necessitarem per construir els envasos següents, incloses les tapes?(NOTA: No es considera el petit augment en la mida de les tapes.)

n·c·a

2

2·r

Àrees i volums • Volums i capacitats59

6.

7.

8.

9.

Associa cada objecte amb el volum que li correspon. Expressa cada volum en dm3 i la capacitat, en litres.

Completa les equivalències següents:

a) 3 km3 = ____________________ m3 b) 5 cm3 = _____________________ m3

c) 12,3 dm3 = _________________ cm3 d) 120 000 mm3 = _______________ dm3

e) 230 m3 = ___________________ hm3 f) 3 670 dam3 = ________________ km3

g) 456 hm3 = __________________ km3 h) 30 dm3 = ____________________ L

i) 3 mL = _____________________ cm3 j) 324 500 mL = ________________ cm3

k) 540 000 mL = _______________ dm3 l) 45 L = _______________________ cm3

m) 345 L = _____________________ dm3 n) 34 234 cm3 = ________________ L

Per trobar la sortida has de passar d’una graella a una altra que tingui una mesura equivalent.

Escriu les unitats que manquen en aquestes equivalències:

a) 3 km3 = 3 000 000 ________ b) 345 dm2 = 0,0345 ________

c) 4 520 dL = 452 ________ d) 345 hm2 = 3,45 ________

e) 123 456 cm3 = 0,123456 ________ f) 456 dam3 = 456 000 000 ________

g) 100 hm3 = 1011 ________ h) 34,5 mm2 = 0,00345 ________

Objectes Volums Volums (dm3) Capacitat (L)

Llauna de refresc 48 110 mm3

Cartró de llet 0,06 m3

Congelador d’un frigorífic 0,046 dam3

Habitació 330 cm3

Capsa de xinxetes 11 880 cm3

Capsa de sabates 0,0012 m3

SortidaEntrada: 4 m3

4 000 dm3

4 · 106 cm3

4 000 m3

4 · 105 dm3

4 · 103 dm3

0,004 dam3

0,000004 hm3

40 dm3

400 dm3

4 · 10–6 hm3

4 · 10–3 m3

0,04 cm3

0,004 dam3

4 · 10–9 km3

0,0000004 km3

4 000 cm3

4 000 000 cm3

4 000 000 km3

4 · 106 hm3

60

10.

11.

12.

Completa les tres primeres columnes de la taula amb les mesures de tres cubs. Escriu, a la quarta columna, launitat corresponent a la capacitat de cada cub.

La casa de la figura té una altura total de 6,7 m. Calcula’n:

a) La superfície de les parets, sense comptar els buits de les finestres.

b) La superfície de la teulada.

c) El volum que ocupa la casa.

El cub de la figura té una àrea total de 253,5 m2. El prisma regular hexagonal té la mateixa altura que el cub.

a) Calcula l’àrea total del prisma regular hexagonal.

b) Creus que el prisma tindrà més volum que el cub? Calcula els dos volums per comprovar la teva resposta.

Aresta Àrea total Volum Capacitat

3 cm 0,027 _____

864 dm2 17 280 _____

512 m3 512 000 _____

5,8 m

5 m

3,9

m

2,5 m

Àrees i volums • Prismes i piràmides61

13.

14.

15.

Completa la taula: les dades que falten en alguns cossos es poden deduir a partir de la informació contingu-da en les graelles «Àrea lateral» i «Volum», i considerant que les bases són polígons regulars.

Àrea lateral: 144 cm2 Àrea lateral: Àrea lateral: 576 cm2 Àrea lateral:

Àrea total: Àrea total: Àrea total: Àrea total:

Volum: Volum: Volum: Volum: 84,98 cm3

La piràmide de Keops, situada a Egipte i considerada una de les meravelles del món antic, és de base quadra-da (fa 227 m de costat) i té una altura de 138 m. Calcula la superfície de les seves parets i el seu volum.

Les piràmides–temples tenen, en el món precolombí, forma de tronc de piràmide com el de la figura. Calcula’nla superfície total, considerant que les seves bases són quadrades.

8 cm

5 cm

2 cm2 cm

9 cm

8 m

8 m

5 m

4 m

3 cm

5,5 cm

62

16.

17.

18.

Volem pintar el sostre i les parets d’aquest traster amb una pintura que cobreix 15 m2 de paret amb 10 L.Quants litres de pintura es necessiten? Quina és la capacitat de la cambra?

Es construeix un cilindre sense bases unint els costats –––AB i –––CD del rectangle. Calcula tant la superfície totalcom el volum d’aquest cilindre.

La capacitat d’un bidó d’oli de forma cilíndrica és de 425 L. Sabent que l’àrea de la seva base és de 0,34 m2, calcula’n:

a) l’altura

b) i la quantitat aproximada de xapa que es necessita per construir un bidó d’aquest tipus.

3 m

34,2 cm

14 cm

A

B C

D

2 m

0,5 m1,5 m

1,9 m

0,8 m

Àrees i volums • Cilindres, cons i esferes63

19.

20.

21.

22.

L’àrea de la base d’un con és 5,31 cm2. Calcula’n l’àrea total i el volum.

Aquí tens la mesura del diàmetre de quatre planetes.

a) Calcula’n la mesura de la superfície i del volum.

b) El diàmetre de la Terra és una mica menys del doble que el deMart. Quina és la relació aproximada entre les seves superfí-cies? I entre els seus volums?

c) Considera dues esferes E1 i E2. Si el radi d’una és el doble delradi de l’altra (R1 = 2 R2), quina és la relació exacta entre lamesura de les seves superfícies? I entre els seus volums?Demostra-ho.

El radi d’una pilota de bàsquet és 12,7 cm i el d’una de handbol, 9,5 cm. Calcula el volum de les dues pilo-tes i els litres d’aire que contenen.

El cucurutxo és ple de gelat. Si la bola té 9 cm de diàmetre, quina quantitat degelat hi ha?

Diàmetre de Mercuri = 4 880 km

Diàmetre de Mart = 6 790 km

Diàmetre de la Terra = 12 740 km

g = 3,5 cm

14 cm

Àrea ( km2 ) Volum ( km3 )Mercuri 74777216 60818802346,67

Mart 144766874 163827845743,33Terra 5096645864 1082148051226,67

64

23.

24.

Arquimedes va estudiar exhaustivament les relacions entre els volums de cilindres, cons i esferes. Diu la lle-genda que, satisfet dels seus descobriments, feu gravar aquesta figura en la seva tomba. Suposant que el dià-metre de l’esfera és de 20 cm, quina relació hi ha entre els volums del con, del cilindre i de l’esfera de la figu-ra? (Et serà més fàcil esbrinar la resposta si no substitueixes .)

Calcula la superfície i el volum d’aquestes figures.

a) b) c)

10 m

10 m

10 m

16,3 dm

18 dm

23 dm

40 m

29 m

22 m

18 m

3esfera

2 3cilindre

2 3con

esfera cilindre cilindre

con con esfera

4 4000V r

3 3

V r ·2r 2 r 2000

1 1 1000V r ·r r

3 3 3

Per tant:

V V V 34, 6 i

V V V 2