Tasas relacionadas

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Cálculo diferencial e integral de una variable

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TASAS RELACIONADAS

Una de las aplicaciones interesantes de la regla de la cadena la encontramos en la resolución de problemas de razón de cambio relacionados o ligados. En la resolución de estos problemas esta presente la regla de la cadena, preferiblemente en la notación de Leibniz.

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En el rectángulo ABCD los lados opuestos AB y CD son fijos y miden 40 cm mientras que los restantes lados son variables y aumentan su longitud a razón de 0.5 cm/min.¿Cómo varían las siguientes magnitudes?

• El área del rectángulo

• La diagonal, cuando el lado mide 2 cm.

Ejemplo 1

4


Ejemplo 2

Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si se le bombea agua, con una velocidad de 2 m3/min. Calcula la velocidad con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 3 m.

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r

2

h

4

hr31V 2

Planteamiento

6


hr31V 2

2

r

h4 4

2hr

min/m2dtdV 3 ?

dtdh

h21r

El nivel de agua sube con con una velocidad de 8/(9p) m/min ó 0.28 m/min

Planteamiento

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A mediodía el barco A está a 150 Km. al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 Km/h y B hacia el norte a 25 Km/h ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos barcos a las 4:00 PM.?

Ejemplo 3

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Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

12 m

AB

9



1 pm.

A B

10



2 pm.

BA

11



3 pm.B

A

12



4 p.m.

A

B

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150 - XX B

YZ

A

X: Distancia que recorre el barco A hacia el este en un determinado tiempo en Km. Y: Distancia que recorre el barco B hacia el norte en un determinado tiempo en Km.Z: Distancia entre los barcos en un determinado tiempo en Km.

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Estrategias

1. Leer detenidamente el problema.

2. Hacer un dibujo ilustrativo si el problema lo requiere.3. Identificar adecuadamente las variables que intervienen.

4. Establecer las relaciones de dependencia.

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Estrategia

6. Derivar.

7. Expresar el resultado en las unidadesde medida adecuadas y la respuesta completa.

5. Formular la regla de la cadena adecuadamente.

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¿Con qué velocidad se desliza el extremo superior de la escalera sobre el muro cuando el extremo inferior esta a 1.80 m de la pared?.

Una escalera de 3 m de longitud descansa en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 2.6 m/s.

Ejemplo 4

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Respuesta

3 m

x

y

3 my

x

?dtdy

sm

dtdx 6.2

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El extremo superior de la escalera se desplaza hacia abajo a una velocidad de 1,95 m/s.

Respuesta

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Un hombre de 6 pies de estatura camina hacia un edificio a una tasa de , si en el piso se encuentra una lámpara a 50 pies del edificio, ¿qué tan rápido se acorta la sombra del hombre proyectada enel edificio cuando el está a 30 pies de este.

spies5

Ejemplo 5

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Ejemplo 6

Se bombea aire a un globo esférico, de tal modo que su volumen aumenta con una rapidez de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

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Planteamiento

dr

r 3100dV cm / sdt

?dtdr

3r34V

El radio del globo aumenta con una rapidez o tasa de 0.0127 cm/s

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Una piscina está siendo llenada mediante una bomba que suministra 500 galones por minuto.

20’ 40’

Ejemplo 7

Una vez que se llene, el agua alcanza una profundidad de 9’ en la parte más profunda y 4’ en el otro extremo. El ancho es 30’. Determinar la velocidad con que se está elevando el nivel cuando hay 4’ de agua en el lado más profundo.

1g = 0.1337p

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4’5’

h

L

20’ 40’

El nivel del agua se está elevando a razón de 0,514 pulgadas/minuto en ese instante.

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Un canal de agua tiene 10 m de longitud y sus sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canalón se llena con 0.2 m3/min de agua ¿Con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30cm?

Ejemplo 8

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Se emplea una cámara de TV a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. Cuando el cohete esta a 3000 pies del suelo lleva una velocidad de 600 pies/s.a) ¿Con qué velocidad crece la distancia de la cámara de TV al cohete en ese momento?b) Si la cámara siempre se encuentra enfocada en el cohete, ¿a qué tasa se modifica su ángulo de elevación en ese momento?

Ejemplo 9

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y

4000

x

θ

Solución: Declaración de variables X: Distancia vertical del cohete en pies. Y: Distancia entre la cámara y la altura del cohete en pies. Incógnita.

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Un faro se encuentra en una isleta a 3 Km del punto más cercano P de una costa recta, y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 Km. de P?

Ejemplo 10

3 P

θ

X

1 rpm = 2 rad/min

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Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

P

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P

30



P

31



P

32



P

33



P

34



P

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Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

NE

E

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Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

NE

E

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Ejemplo 11

Un hombre de 1,75 m de estatura camina a 5 Km/h alejándose de una lámpara que se halla a 4 m de altura. ¿A qué velocidad se desplaza el extremo de su sombra?

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Respuesta

El extremo de la sombra se desplaza a 8,89 Km/h

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En una reserva forestal se produjo un incendio que se ha ido propagando en forma circular. Se ha calculado que las llamas avanzan a razón de 2 metros por minuto. Después de 6 horas de comenzar el incendio,

Ejemplo 12

• ¿Qué área tiene la región quemada?

• Con qué rapidez está aumentando el área quemada?

• Si se estima en 400 árboles por hectárea (1h = 10000 m2) la densidad del bosque, ¿cuántos árboles por minuto se están quemando?

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Respuestas

• En ese momento el área quemada es 144 m2.

• Está aumentando a una razón aproximada de 9050 m2/min.

• Se están quemando aproximadamente 362 árboles por minuto.

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Cálculo diferencial e integral de una variableBibliografía

“Cálculo de una variable”Cuarta ediciónJames Stewart

Sección 3.10Ejercicios 3.10 pág 257:2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,33.

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