Tareas de Metodos Numericos Periodo Sep 2011-Feb 2012

TAREA DE METODOS NUMERICOS

(PERIODO SEP 2011- FEB 2012)

CAPITULO 1. CALCULO DE ERRORES

1. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas

a. 9.755 b. 7,555 x 10-3

c. 0,269124 x102 d. 0,999500

e. 6325,0002 f. 789,436

2. Determinar la cantidad de cifras significativas para los siguientes números

aproximados:

a. 719,275 0,0035 b. 1,24785 0,0007

c. 263,32 0,01 d. 0,045 0,0003

e. 983,17 0,0065 f. 0,0087 0,0005

3. Calcule el error absoluto y relativo en las aproximaciones de A por a:

a. A = , a = 22/7 b. A = e, a = 2,718

c. A = e10

, a = 22000 d. A = 2 , a = 1,414

e. A = 10, a = 1400 f. A = 8!, a = 39900

4. Encuentre el intervalo más grande en que debe encontrarse a para que aproxime A

con un error relativo máximo de 10-4

para cada valor de A

a. b. e c. 2 d. 3 7

5. Calcular los errores de las siguientes expresiones:

a. ED

ACBX

4

325

, donde A= 7.48 0.02, B =65.84 0.03, C=215.37 0.02, D =

3.48 0.01, E = 82.65 0.01

b. 34

432

FE

DCBAX

, donde A= 2.73 0.001, B =645 0.002, C=3.21 0.001,

D = 792 0.002, E = 1.89 0.001, F = 617 0,002

c. 43

352

344

32

LK

JIHG

FED

CBAX

A = 65,63 0,001 B = 526,8 0,02 C = 3,451 0,001

D = 1875,2 0,03 E = 2,481 0,002 F = 825,7 0,02

G = 10,36 0,001 H = 37,42 0,001 I = 1,534 0,002

J = 475,21 0,003 K = 2,932 0,001 L = 1796,1 0,02

d. 243

35352

43243

43

QPO

ÑNMLKJ

IHGFED

CBAX

A = 6,63 0,001 B = 56,8 0,02 C = 3,45 0,001

D = 7,28 0,003 E = 298,81 0,002 F = 2,64 0,002

G = 450,36 0,001 H = 3,42 0,001 I = 91,534 0,002

J = 4,21 0,001 K = 62,32 0,001 L = 6,17 0,001

M = 875,21 0,001 N = 3,51 0,001 Ñ = 796,15 0,002

O = 5,21 0,002 P = 259,36 0,001 Q = 6,17 0,002

CAPITULO 2. ECUACIONES NO LINEALES

1. Determinar las raíces reales de las siguientes ecuaciones, mediante el método de la

bisección, regla falsa, Newton-Raphson y Secante.

a. 5,54,26,0)( 2 xxxf

b. 3,2764)( 23 xxxxf

c. 5432 844918526)( xxxxxxf

d. 06cos22 xe xx

2. Determinar las raíces reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones, mediante el

método de Muller y Bairstow.

a. 5262)( 234 xxxxxf

b. 22,647,0)( 23 xxxxf

Resolver los siguientes problemas de aplicación a la ingeniería:

3. Una reacción química reversible CBA 2 se caracteriza por la relación

de equilibrio ba

c

CC

CK

2 . Si k = 0,015, Ca,o= 42, Cb,o= 30 y Cc,o = 4, calcule x.

4. Las siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerrado

CBA 2 CDA

En equilibrio, éstas pueden caracterizarse por

ba

c

CC

CK

21 da

c

CC

CK 2

Si k1 = 4x10-4

, k2 = 3,7x10-2

, Ca,o= 50, Cb,o= 20 y Cc,o = 5 y Cd,0 = 10, calcule x1 y x2.

5. El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r y

longitud L esta relacionado con la profundidad del líquido h por

Lhhrhrr

hrrV

212 2)(cos

Determine h para r = 2 m, L = 5 m3 y V = 8 m

3.

6. El volumen del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado

con la profundidad h del líquido por

3

32 hrhV

Determine h para r = 1 m y V = 0,5 m3.

7. Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $ 25000 al contacto y en pagos de $

5500 al año durante 6 años. ¿ que tasa de interés se está pagando?. La fórmula que

relaciona el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de

interés es

111

1

n

nii

PA

8. Los problemas necesarios para pagar una hipoteca de una casa durante un período

fijo de tiempo requieren la ecuación

1)1( nii

PA

En la que A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de

interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $

135000 por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente

son de $ 1000 dólares mensuales. Cual será el interés más alto que podrá pagar

9. El factor de fricción f, depende de varios parámetros relacionados con el fluido y el

tamaño de la tubería, que se puede representar por el número de Reynolds Re. Una

fórmula que predice f es la ecuación de Von Karman

4,0Relog41

ff

Si Re es 40000, determinar el valor de f

10. La siguiente relación entre el factor de fricción f y el número de Reynolds Re se

cumple cuando hay flujo turbulento de un fluido en un tubo liso

)(Reln74,14,01

ff

Si el número de Reynolds Re = 10000, encontrar el factor de fricción f

11. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor específico a presión

cero del aire seco, cp KJ/ (Kg K), con la temperatura:

414311284 109520,1105838,9107215,910671,199403,0 TxTxTxTxcp

Determine la temperatura que corresponde a un calor específico de 1,2 KJ/(Kg K)

12. En un termo, el compartimiento interior está separado del compartimiento

intermedio por vacío. Alrededor del termo hay una última capa, que está separada de

la capa intermedia por una delgada capa de aire. La parte exterior de la última capa

está en contacto con el medio ambiente. El flujo de calor desde cada región del

termo debe ser igual, es decir, q1 = q2 = q3. Encuentre las temperaturas T1 y T2 en

estado estacionario. Si To es 500 oC y T3 es 25

oC

4

1

49

1 27327310 TTq o

212 4 TTq

3/4

323 3,1 TTq

13. La forma general de un campo tridimensional de esfuerzos esta dado por

161525

15714

251410

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

1, 2 y 3 se obtiene de la ecuación 023 IIIIII

zzyyxxI

222

yzxzxyzzyyzzxxyyxxII

yzxzxyxyzzxzyyyzxxzzyyxxIII 2222

Encuentre 1, 2 y 3.

14. El esfuerzo máximo de tensión máx en una barra de sección rectangular es 9152

lb/pulg.2 y el momento de torsión T es de 800 lb-pulg. Si el ancho de la barra w es

de 1,2 pulg., determinar el espesor t adecuado para esta barra.

w

t

tw

T8.13

2máx

15. El rendimiento de un motor viene dado por la siguiente ecuación

)1(1

11

1

1

cpp

k

cp

k

krkrr

rr

re

Si las relaciones rk = 12, rp = 4, rc = 8 y el rendimiento es del 25 %. Cuál será el valor de

k.

16. La tensión de corte en un resorte helicoidal viene dada por la siguiente ecuación

23

48

d

F

d

DF

Si la tensión de corte es 50000 lb/pulg2, la fuerza F es de 15 lb y el diámetro del

resorte es de 3 pulg. Determinar cuál deberá ser el diámetro d del alambre.

17. Para un cojinete de rodillos cónicos la capacidad de carga radial FR de catálogo

viene dada por la siguiente ecuación

10

3

5.1

1

/1ln48.4

/

R

nLnLFF RRDD

DR

Si la capacidad de carga radial FR es de 10500 kg, la carga radial de diseño FD es 15000

Kg., la duración nominal de catálogo LR es 10000 horas y la duración de diseño LD es

13000 horas, la velocidad nominal nR es 2500 rpm y la velocidad de diseño nD es 3600

rpm. Cual es su confiabilidad R.

18. La longitud efectiva Lp de una banda en V viene dada por la siguiente ecuación

C

dDdDCLp

457.12

2

Si la longitud efectiva Lp es 160 pulg., el diámetro de la polea mayor D es 14 pulg., el

diámetro de la polea menor es 9 pulg. Determinar la distancia entre centros C apropiada.

19. El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación para una

oscilación amortiguada:

twey kt cos10

Para un desplazamiento de y = 2,5, siendo k = 0.35 y w = 4. Determinar el tiempo

inicial necesario

20. En estudios sobre recolección de energía solar un campo de espejos planos en un

colector central, un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de

concentración geométrica C:

AAD

FAhC

cos5,0sen15,0

cos/2

2

donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con

los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo. Encuentre A, si h =

300, C = 1200, F = 0,8 y D = 14.

21. El sistema de amortiguación de un vehículo tiene como modelo la siguiente

ecuación diferencial

02

2

xm

k

dt

dx

m

c

td

xd

la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente

pt

p

nxptxetx oo

nt sencos

donde n = c/(2m), 2

2

2

2

44 m

c

m

ky

m

c

m

kp

Los valores de los parámetros son c = 2.5 x 107 g/seg., k = 2.5 x 10

9 g/seg

2, y m = 3 x

106 g. Si xo = 0,3, determinar la primera y segunda ocasión en que el auto pasa a través

del punto de equilibrio.

22. Un circuito eléctrico tiene como modelo la siguiente ecuación diferencial

02

2

c

q

td

qdR

td

qdL

la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente

t

L

R

cLeqtq LtR

o

2

2/

2

1cos

Determinar el tiempo necesario para que el circuito disipe el 12 % ( q/qo = 0.12 ) de su

valor original, dado R = 300 , c = 10-4

F y L = 4 H

23. La ecuación de Manning para un canal vertical esta dada por

3

2

)2(

)( 3

5

HBn

HBSQ

donde Q = al flujo (m3/s), S = pendiente (m/m), H = profundidad (m) y n es el

coeficiente de rugosidad de Manning. Determinar el valor de H para Q = 5, S = 0,0002,

B = 20 y n = 0,03.

24. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales

a. x2 + x – y

2 = 1 b. x

2 + y

2 + z

2 = 9

y – sen x2 = 0 xyz = 1

x + y – z2 = 0

c. d.

.

CAPITULO 3. ECUACIONES LINEALES

1. Resolver los siguientes sistemas por el método más apropiado

a. 2 x1 + x2 + 4 x3 = 7 b. 11 x + 3 y – z = 15

2 x1 – x2 – x3 = -5 2 x + 5 y + 5 z = -11

3 x1 + 4 x2 – 5 x3 = -14 x + y + z = 1

c. x1 – 4 x2 - x4 = 6 d. 3 x1 – 2 x2 – 5 x3 + x4 = -5

x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = -1 2 x1 – 3 x2 + x3 + 5 x4 = 7

2 x1 + 3 x2 – x3 – x4 = -1 x1 + 2 x2 - 4 x4 = 1

x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 = 3 x1 – x2 – 3 x3 + 9 x4 = -4

e. x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 f. 4 x1 + x2 – x3 = 7

2 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1 x1 + 3 x2 – x3 = 8

3 x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 1 -x1 – x2 + 5 x3 + 2 x4 = -4

4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 = -5 2 x3 + 4 x4 = 6

2. Calcular las reacciones y fuerzas internas para todos los miembros de la armaduras

mostradas en las figuras:

3. Calcular las corrientes y voltajes de los circuitos mostrados en las figuras:

4. Determinar las corrientes en los siguientes circuitos.

123

4 5 6

V1 = 25 V

V6 = 200 V

R = 30

R = 20

R = 5

R = 15 R = 5

R = 107

123

4

5 6

V1 = 5,5 V

V6 = 0

R = 3

R = 2

R =

R = 4 R = 3

R = 5

i12

i52

i32

i43

i54 V

2

2

1

7

i35

i56 i67

5. Realice los cálculos necesarios en los sistemas mostrados en las siguientes figuras

6. Problemas sobre distribución de recursos:

a. Para fabricar tres tipos de aleaciones de Aluminio de:

Aluminio (%) Magnesio (%) Silicio (%)

Tipo 1 80 15 5

Tipo 2 85 12 3

Tipo 3 90 7 3

Si se dispone de 150 Kg de Al, 25 Kg de Mg y 8 Kg de Si. Cuanto de cada aleación se

debe producir

b. Para fabricar tres tipos de llantas se requiere:

Caucho (kg) Nylon (Kg) Alambre (kg)

Tipo 1 6 1 2

Tipo 2 8 2 3

Tipo 3 15 3 6

Si se dispone de 1531 kg de caucho, 381 Kg de Nylon y 589 Kg de alambre. . Cuantas

llantas de cada tipo se debe fabricar.

c. Para fabricar tres tipos de autos se requiere:

Metal (kg/auto) Plástico (Kg/auto) Caucho (kg/auto)

Tipo 1 1500 25 100

Tipo 2 1700 36 120

Tipo 3 1900 42 160

Si se dispone de 106 ton. de metal, 2,17 ton.de plástico y 8,2 ton.de caucho. Cuantos

autos de cada tipo se debe fabricar.

30 60

u = 0,5

u = 0,2

u = 0,3

30 Kg

15 Kg

50 Kg

7. Problemas sobre balance de materia y energía:

a. En la figura, se muestras tres reactores conectados por tuberías. La velocidad de

transferencia de las sustancias químicas a través de cada tubería es igual a la velocidad

reflujo Q (m3/seg) multiplicada por la concentración del reactor de donde proviene el

flujoc (mg/m3). Desarrolle las ecuaciones del balance de masa para los reactores y

resuelva .

b. Para el mismo problema anterior. Si Q33 = 150, Q13 = 50, Q12 = 70, Q23 = 50 y Q21 =

30 m3/seg.

c.Un proceso de extracción en etapas se muestra en la figura. Una corriente que contiene

una fracción de peso yentrada de una sustancia química entra desde la izquierda con una

velocidad de flujo de masa de F1. En forma simultanea, un solvente que tiene una

fracción de peso xentrada entre desde la derecha con una velocidad F2. Así en la etapa i, un

balance de masa se representa como

i

iiiii

y

xKXFYFXFYF 211211

En cada etapa, se supone que se establece un equilibrio K entre yi y xi.

01 1

1

2

1

21

iii yK

F

FyK

F

Fy

Si F1 = 400 Kg/h, yentrada = 0,1, F2 = 800 Kg/h, xentrada =0 y K =5, determine los valores

de ysalida y xsalida, si se usa un reactor de 5 etapas.

d. Una reacción irreversible A→B de primer orden tiene lugar en cuatro reactores . La

velocidad a la cual A se transforma en B se representa como CVKRab . Los

reactores tienen diferentes volúmenes y como se operan a diferentes temperatura,

cada uno tiene una velocidad de reacción diferente.

Determine la concentración de A y B, en estado estacionario, para cada uno de los

reactores.

e. Un intercambiador de procesos químicos consiste de una serie de reactores en los

cuales un gas fluye de izquierda a derecha sobre un líquido que fluye desde la

derecha a la izquierda. La transferencia química desde el gas dentro del líquido

ocurre a una velocidad que es proporcional a la diferencia entre la concentración del

gas y el líquido en cada reactor. En estado estacionario, el balance de masa para el

primer reactor puede ser escrito para el gas como

0111 GLGGGoG CCDCQCQ

Y para el líquido

01112 LGLLLL CCDCQCQ

Donde QG y QL son las velocidades de flujo del gas y el líquido respectivamente, y D =

velocidad de intercambio del gas y el líquido. Similares balances se pueden escribir par

los otros reactores. Resuelva para los valores de las siguientes concentraciones dadas

QG = 2, QL= 1 , D = 0,8, CGo = 100, CL6 = 20.

CAPITULO 4. AJUSTE E INTERPOLACION

AJUSTE

1. Emplear regresión para ajustar los siguientes datos y determinar el coeficiente de

correlación R.

a. Ajustar los siguientes datos a un modelo lineal xaayo 1

x 2 3 4 5 6

y 6 8 11 13 17

b. Ajustar los siguientes datos a un modelo parabólico xaayo 1

2

x 2 3 4 5 6

y 2,26 2,53 2,77 3,00 3,21

c. Ajustar los siguientes datos a un modelo logarítmico o

axay ln1

X 1,5 2 2,5 3 3,5

Y 2,66 3,31 3,81 4,22 4,57

d. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente xa

oeay 1

X 2 3 4 5 6

Y 4,0 6,7 11,2 18,3 30,1

e. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente 1a

oxay

X 1 2 3 4 5

Y 1,2 1,9 2,6 3,2 3,7

f. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente xa

xay

o

1

X 3 6 9 12 15

Y 0,6 0,7 0,74 0,77 0,78

g. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente cb

xxay21

X1 5 6 7 8 9 10

X2 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Y 5,10 5,91 6,67 7,39 8,08 8,75

h. Use regresión lineal múltiple para ajustar

X1 0 1 2 0 1 2

X2 2 2 4 4 6 6

Y 19 12 11 24 22 15

Calcule además el coeficiente de determinación para evaluar la eficiencia del ajuste.

2. En una fábrica de rodamientos se realizan experimentos para determinar la vida útil

de los rodamientos L y se obtienen los resultados de capacidad de carga C y de

presión P.

C P L

15000 1000 2868.75

16000 900 4775.85734

17000 800 8156.34766

18000 700 14452.4781

19000 600 26991.4352

Si el modelo

b

P

CaL

, determinar los coeficientes a y b.

3. En un experimento se obtuvieron los datos que se muestran en la tabla adjunta.

Ajustar los mismos al modelo exponencial xa

oeay 1

X 1 2 3 4 5

Y 1.98 3.26 5.38 8.87 14.62

4. Nosotros conocemos que el número específico de revoluciones de una bomba viene

dado por 21 aa

Os HPan , donde P es la potencia en W y H la altura en metros. Si

los datos obtenidos al realizar la experimentación en una bomba son los siguientes:

ns P H

rpm CV m

200.622 1 5

119.291 2 10

88.011 3 15

70.931 4 20

Determinar la ecuación que nos permite obtener el número de revoluciones específicas

en función de la potencia y de la altura.

5. Las pérdidas en una tubería está en función del caudal Q y del diámetro D. Si la

ecuación 21 aa

oL DQah es el modelo resultante para predecir las perdidas en la

tubería. Utilizando regresión lineal múltiple en los datos de la tabla siguiente, hallar

los coeficientes del modelo.

Datos experimentales

Q D hL

3 1 0.04435

4 1.5 0.01057

5 2 0.00396

6 2.5 0.00188

7 3 0.00103

6. Experimentalmente se determinan los siguientes valores de capacidad calorífica C

para varias temperaturas de un gas.

7. Use regresión y determine un modelo para predecir C como una función de T.

Se sabe que la resistencia a la tensión de un plástico aumenta en función del tiempo

cuando se trata con calor y se obtienen los siguientes datos

Ajuste una línea recta a estos datos y use la ecuación para determinar la resistencia a la

tensión correspondiente a 30 min.

8. Se reunieron los siguientes datos para determinar la relación entre presión y

temperatura de un volumen fijo de 1 Kg de nitrógeno. El volumen es de 10 m3.

Emplee la ley de los gases ideales P V = n R T para determinar R, basándose en estos

datos.

9. Se realizó un estudio de ingeniería de transporte par determinar el diseño adecuado

de carriles de bicicletas y distancias promedio entre bicicletas y carros en

circulación. Los datos obtenidos de 11 calles son:

a. Grafique los datos

b. Ajuste una línea recta a los datos mediante regresión lineal.

c. Si la distancia promedio mínima segura entre las bicicletas y los carros en

circulación se considera de 7 pies, determine el ancho de carril mínimo

correspondiente.

10. Los datos sobre la velocidad de deformación ε, el tiempo en el cual la deformación

aumenta y el esfuerzo se muestran en la tabla. Usando un modelo de potencia ajustar

los datos y encuentre los valores de By de m. ε = Bσm

INTERPOLACION

1. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton

de orden 4 y determine la función para x = 1,75

x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

f (x) 4,7 8,0 15,7 36 81,7

2. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange

de orden 4 y determine la función para x = 2,5

x 1 2 3 4 5

f (x) -2 10 80 304 826

3. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación segmentaria

cuadrática y cúbica y determine la función para x = 2,5

x 2 2,5 3 3,5 4

f (x) 2,85 8,76 17,58 31,38 18,75

4. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton

de orden 4 y determine para una función f (x) = 0,875 cual es el valor de x

x 1 2 3 4 5

f (x) -2 10 80 304 826

5. Se llevan a cabo los siguientes experimentos y se determinan los siguientes

valores de capacidad calorífica ( C ) a varias temperaturas ( T) para un metal

T -50 -20 10 70 100 120

C 0,125 0,128 0,134 0,144 0,150 0,155

Determine C para T = 90 oC y 140

oC

6. Se mide la caída de voltaje ( V ) a través de una resistencia para cierto número

de valores de la corriente ( i ). Los resultados obtenidos son

i 0,25 0,75 1,25 1,5 2,0

V -0,25 -0,33 0,70 1,88 6

Determine V para i = 0,9 y 3.

7. La viscosidad cinemática del agua ( V) esta relacionada con la temperatura de la

manera siguiente:

T (oF) 40 50 60 70 80

V (10-5

pies2/seg. )

1,66 1,41 1,22 1,06 0,93

Determine V para T = 62 oF y 100

oF.

8 . El esfuerzo cortante, en Kips por pie cuadrado de nueve muestras tomadas a

distintas profundidades en un estrato de arcilla son

Estime el esfuerzo cortante a una profundidad de 4.5 m.

CAPITULO 5. INTEGRACION Y DIFERENCIACION

1. Resolver las siguientes integrales utilizando el número de segmentos que ayuda

a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos:

a. xdxx 2

1

2 b. sdss 21

4

1

c. xdxx

1

4

24 d.

4

021 x

xd

e. xdex x

3

0

3 f. xdxe x )2sen(

3

0

3

g. xdxxx 5

0

2)2()2(cos2 h. xdxx

0

2 cos

2. Resolver las siguientes integrales múltiples utilizando el número de segmentos

que ayuda a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos:

a. xdydyx

2

0 0 b. xdydyxyx

2

2

4

0

432 )3(

c. xdydyxx

4

0 1

2 )( d. xdydyxe x

1 1ln

e. dxdydzzyx

4

4

6

0

3

1

4 )2( f. dxdydzy

z

y

x xysen

10 0 0

g. dxdydze zyx

1

0

2

1

5.0

0 h. dxdydzzy

x

y

1

0

1

0

2

3. Use los términos en serie de Taylor de cuarto orden para estimar f (2) para la

función f (x) = e-x

usando como punto base x = 1, con un paso h = 0,05

4. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para

estimar la primera derivada de la función

f (x) = 25 x3 – 6 x

2 + 7 x – 88

usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25


estimar la primera derivada de la función

f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x

4 + 41,6 x

3 – 88,09 x

2 +79,35 x – 23,33

usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25


estimar la segunda derivada de la función

f (x) = 25 x3 – 6 x

2 + 7 x – 88

usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25


estimar la segunda derivada de la función

f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x

4 + 41,6 x

3 – 88,09 x

2 +79,35 x – 23,33



estimar la tercera derivada de la función

f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x

4 + 41,6 x

3 – 88,09 x

2 +79,35 x – 23,33


9. En un circuito con un voltaje impreso E (t) y una inductancia L, la primera ley

de Kirchhoff nos da la siguiente relación

iRdt

diLE *

donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Suponga que medimos la

corriente para varios valores de t y obtenemos

t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04

i 3.20 3.22 3.24 3.28 3.34

donde t se mide en segundos, i se da en amperios, la inductancia L es una constante de

0.882 henrios y la resistencia es de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t =

1.02.

10. En un circuito semejante, la inductancia L es de 0.882 henrios y la resistencia es

de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t = 1.05 seg.

t 1.00 1.01 1.05 1.10 1.16

i 3.20 3.22 3.24 3.28 3.34

11. Determinar la velocidad y aceleración de un vehículo cuando transcurren 15

segundos luego que se pone en movimiento, si los datos de tiempos y

posiciones son los siguientes

Tiempo 0 5 10 15 20 30

Distancia 0 47 95 189 273 398

12. Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000 g de

un material desde 0 hasta 900 oC, si la capacidad calorífica c del material

considerado esta dada en la siguiente tabla

T, oC 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

C 0,130 0,150 0,170 0,191 0,217 0,232 0,257 0,263 0,270 0,271

El calor necesario viene dado por la siguiente ecuación H = m.c.T

13. Calcular el calor total absorbido por un panel solar de 200000 cm2 durante un

período de 12 horas. El panel tiene una eficiencia de absorción eab = 0,55 %. El

calor absorbido está dado por

tdAqeHt

0ab

Tiempo,

h

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Flujo

calor q,

Cal/cm2/h

1,62 5,32 6,29 7,8 8,81 8,00 8,57 8,03 7,04 6,27 5,56 3,54

14. La concentración química a la salida de un reactor de mezcla completa se mide

como

t, min. 0 2 4 6 8 10 12 16

c,

mg/m3

10 20 30 40 60 72 70 50

Para una salida de flujo de Q =12 m3/min-, estime la masa de químicos que existe en el

reactor desde t = 0 hasta 20 min. ( 2

1

t

ttdcQM )

15. Suponga que la corriente a través de un resistor es descrita por la función

tsen)t60()t60()t(i 2

y la resistencia es una función de la corriente 32

i2i10R

Calcule el voltaje promedio desde t = 0 a 60 mediante la regla de Simpson de 1/3 de

segmentos múltiples (V = i R)

16. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de

autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los

datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección

Tiempo autos/min. Tiempo autos/min. Tiempo autos/min.

00:00

02:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

2

2

0

2

5

8

25

09:00

10:30

11:30

12:30

14:00

16:00

17:00

12

5

10

12

7

9

28

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

24:00

22

10

9

11

8

9

3

17. Hallar el área de la sección transversal de un canal a partir de los siguientes

datos mostrados en la figura

18. Hallar el área del campo que se muestra en la figura. Use la regla de Simpson

de segmentos múltiples.

19. Durante un estudio, se pide calcular el área del campo que se muestra en la

figura. Use las reglas de Simpson para determinar el área.

20. Usando los siguientes datos, calcule el trabajo realizado al estirar un resorte que

tiene una constante de K = 3x102 N/m en x = 0,45 m

21. Se tomo la posición de un avión caza sobre un portaviones durante el aterrizaje:

Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad (dx/dt)

y b) (dv/dt) usando diferenciación numérica.

22. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de

área de algún material por unidad de tiempo. Este se calcula con la ley de

Fourier

donde las unidades de j son J/m

2/s o W/m

2 y k es un coeficiente de conductividad

térmica y sus unidades son W/(oC-m), T = temperatura (

oC) y x = distancia (m) a lo

largo de la trayectoria del flujo de calor. Las siguientes temperaturas se miden desde la

superficie (x = 0) hacia el interior de una pared de piedra:

Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k.

23. La presión ejerce presión sobre la cara río arriba de una presa como se muestra

en la figura. La presión se caracteriza por

Donde p (z) = presión N/m

2 ejercida a una elevación de z metros por arriba del fondo de

la presa; ρ = densidad del agua (103 Kg/m

3); g = aceleración debida a la gravedad (9,8

m/s2), y D = elevación (m) de la superficie del agua por arriba del fondo. Debido a que

tanto la presión como el área varían con la elevación, la fuerza total se obtiene por

Donde W(z) = ancho de la cara de la presa (m) a la elevación Z. La fuerza total sobre la

línea de acción también se obtiene al evaluar

Use la regla de Simpson para calcular f1 y d.

24. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de

autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los

datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección

Tiempo autos/min. Tiempo autos/min. Tiempo autos/min.

00:00

02:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

2

2

0

2

5

8

25

09:00

10:30

11:30

12:30

14:00

16:00

17:00

12

5

10

12

7

9

28

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

24:00

22

10

9

11

8

9

3

25. El trabajo ejercido sobre un objeto es igual a la fuerza por la distancia recorrida

en la dirección de la fuerza. La velocidad de un objeto en la dirección de la

fuerza está dada por

Donde v = m/s. Emplear la regla del trapecio de segmentos múltiples para determinar el

trabajo para todo t si se aplica una fuerza constante de 200 n.

26. Emplee la regla del trapecio de segmentos múltiples para evaluar la distancia

vertical recorrida por un cohete si la velocidad está dada por

CAPITULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. Resolver las siguientes ecuaciones de primer orden, con dos iteraciones

a. 5)1(y,1y3x2y´ , con h = 0,1

d. 0)0(y,yxy 2´ , con h = 0,1

e. 5,0)0(y,)yx(y 2´ , con h = 0,1

f. 1)0(y,yxyy´ , con h = 0,1

g. 1)1(y,x

yyxy 2´ , con h = 0,1

h. 1)0(y,xcosy2y´ , con h = 0,1

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior de valor

inicial, con dos iteraciones

a. 623 ´´́ yyy ; 0 x 1, y (0) = y´(0) = 0, con h = 0,1

b. 3302510 ´´́ xyyy ;1 x 2, y (1) = y´(1) = 0, con h = 0,1

c. xexxyyy 26100208 2´´́ ;2 x 3, y (2) = y´(2) = 0, con h = 0,1

d. xyy 2sen34´́ ;0 x 1, y (0) = y´(0) = 2, con h = 0,1

e. xyy cos36 ´́´́ ´ ;1 x 2, y (1) = y´(1) = 3, con h = 0,1

f. xexxyy 24 2´́´́ ´́;0 x 1, y (0) = y´(0) = 1, con h = 0,1

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior con valores en

la fronteras

a. 2´́ xyy ; y (0) = 4, y (1) = 0, con n = 4

b. x5yy2y ´´́ ; y (0) = 0, y(1) = 0, con n = 5

c. x2´´́ e)1x(y4y4y ; y (0) = 3, y(1) = 0, con n = 6

d. xlnyyxyx ´́2 ; y (1) = 0, y (2) = -2, con n = 8

Resolver los siguientes problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

3. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se puede expresar como

a

TTktd

Td

donde T es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados), Ta es la temperatura del

medio que rodea al cuerpo (también en grados centígrados) y k una constante de

proporcionalidad (por minuto). Por lo tanto, esta ecuación especifica que el

enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio

que lo rodea. Si se calienta una bola de metal a 90 ºC y se sumerge en el agua que se

mantiene a una temperatura constante Ta = 20 ºC, empléese el método de Runge-Kutta

de cuarto orden para calcular el tiempo que le toma a la bola enfriarse a 80 oC si k = 0.1

min-1

.

4. Un contrapeso de 16 lb se une a un resorte de 5 pie de longitud. En la posición

de equilibrio, el resorte mide 8.2 pies. El coeficiente de amortiguación es

numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se eleva y se

suelta del reposo en un punto a 2 pies arriba de la posición de equilibrio,

determine los desplazamientos, x(t).

02

2

xKdt

dxC

td

xdm

5. Un contrapeso de 16 lb estira 8/3 pie un resorte. Al principio, el contrapeso parte

del reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en

un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la

mitad de la velocidad instantánea. Si el contrapeso está impulsado por una

fuerza igual a

f (t) = 10 cos 3 t. Determinar la posición del contrapeso en función del tiempo

6. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación

diferencial

Edtic

1iR

td

idL

Si R1 = 6 ohm, R2 = 10 ohm, R3 = 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10

voltios. Determinar la corriente i1 e i2 , luego de transcurridos 0.2 segundos de que se

cierra el circuito (h = 0.1 seg.)

7. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación

diferencial

Edtic

1iR

td

idL

www

60.5 F

510

8 H

10 V

I1 ( t ) I2 ( t )

Si R1 = 6 ohm, R2 = 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10 voltios. Determinar

la corriente i1 e i2 , luego de transcurridos 0.2 segundos de que se cierra el circuito (h =

0.1 seg.)

8. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL

donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la

carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1

henrios, R = 10 ohmios, C = 0.02 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t.

Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que dt

dqi )

9. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL

donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la

carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1

henrios, R = 10 ohmios, C = 0.002 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t.

Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que dt

dqi )

10. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente y

sin cambio de fase. Las ecuaciones que describen el intercambio de calor en

ciertas condiciones de operación son

)TT(03,0xd

TdBs

B

)TT(04,0xd

TdBs

s

Si TBo = 20 oC y TS1 = 100

oC, calcular TB1 y TSo si el intercambiador tiene una longitud

de 3 m, use el método de Runge-Kutta de cuarto orden

11. Un balance de calor en estado estable para una barra se puede representar como

0T1,0xd

Td2

2

obtenga una solución analítica para una barra de 10 m con T (0) = 200 y T (10) = 100

12. Encuentre la curva elástica de una viga con un extremo libre, de longitud L = 5

m y peso constante de w = 300 Kg. Tome La ecuación que rige el

comportamiento de la viga es

2/)xL(w)x(MyIE 2´´

Tome y (0) = 0, y (5) = 0,156, EI = 150000 y h = 0,5 m

13. Una viga rectangular sujeta a carga uniforme, cuando los extremos de la viga

están fijos y, por tanto, no experimenta deflexión. La ecuación diferencial que

aproxima este fenómeno físico tiene la forma

)Lx(IE2

xqy

IE

S

xd

yd2

2

Dado que los extremos están fijos y (0) = y (L) = 0. Suponga que L = 350 cm, q = 1

Kg/cm, E = 2 x 106 Kg/cm

2, S = 400 Kg, I = 2,5 x 10

4 cm

4. Encuentre la deflexión de la

viga cada 10 cm

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

1. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm

de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10

cm

150o

10º

80o

10o

2. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40

cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x =

y = 10 cm

150o

10º

80o

100o



y = 10 cm

150o

10º

80o

Aislamiento



y = 10 cm

150oC

Aislamiento 80oC

Aislamiento

5. Se realiza el proceso de carburación de un acero 1008 (0.08 %C), la materia

carburante utilizada tiene un contenido de carbono de 1.30 %. El coeficiente de

difusión D del carbono en el acero a la temperatura de tratamiento es de 2.3 x 10-7

cm2/seg. La ecuación que rige este proceso es

2

2

x

cD

t

c

, mediante el método

implícito determinar la concentración de carbono C alcanzada en el mencionado

acero a 2 mm de espesor utilizando un x = 0,5 mm y t = 2 horas = 7200

segundos , luego de 4 horas de proceso. Tomar 2

x

tD

6. Use el método de explicito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo

0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes

datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la

temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y

150 oC respectivamente

7. Use el método de implícito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo

0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes

datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la

temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y

150 oC respectivamente

8. Use el método de Crank-Nicolson para calcular la distribución de temperatura en el

tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los

siguientes datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t =

0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300

y 150 oC respectivamente.

ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS

1. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica

20,1042

2

2

2

yx

y

u

x

u

u (x, 0) = x2 u ( x, 2) = (x – 2)

2 0 < x < 1

u (0, y) = y2 u ( 1, y) = ( y – 1)

2 0 < y < 2

Use h = k = ½ y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = (x - y)2


10,2102

2

2

2

yx

y

u

x

u

u (x, 0) = 2 ln x u ( x, 1) = ln (x2 + 1) 1 < x < 2

u (1, y) = ln ( y2 + 1) u ( 2, y) = ln ( y

2 + 4) 0 < y < 1

Use h = k = 1/4 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = ln (x2

+ y2)


2/0,0)(cos)(cos2

2

2

2

yxyxyx

y

u

x

u

u (0, y) = cos y u ( , y) = - cos y 0 < y < /2

u (x, 0) = cos x u ( x, /2) = 0 0 < x <

Use h = /5 y k = /10 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) =

cos x cos y


10,20)( 22

2

2

2

2

yxeyx

y

u

x

u yx

u (0, y) = 1 u ( 2, y) = e2 y

0 < y < 1

u (x, 0) = 1 u ( x, 1) = ex 0 < x < 2

Use h = 0,4 y k = 0,2 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) =

exy

5. Una placa rectangular de plata de 6 x 5 cm tiene calor que se genera uniformemente

en todos los puntos con una rapidez q = 1,5 cal/cm3.seg. representemos con x la

distancia a lo largo del borde de la placa de una longitud de 6 cm, y con y la distancia a

lo largo del borde de la placa de una longitud de 5 cm. Supóngase que la temperatura u

a lo largo de los bordes se mantiene en las siguientes temperaturas:

u (x, 0) = x (6 – x) u ( x, 5) = 0 0 < x < 6

u (0, y) = y (5 – y) u ( 6, y) = 0 0 < y < 5

donde el origen se encuentra en una esquina de la placa con las coordenadas (0,0) y los

bordes se hallan a lo largo de los ejees po sitivos x y y. La temperatura de estado estable

u = u (x, y) satisface la ecuación de Poisson:

50,602

2

2

2

yx

k

q

y

u

x

u

donde k , la conductividad térmica, es 1,04 cal /cm.deg.seg. Aproxime la temperatura u

(x, y) con h = 0,4 y k = 1/3

ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

1. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica por el método

implícito y de Crank-Nicolson

txx

u

t

u

0,200

2

2

u (0, t) = u (2, t) = 0 0 < t

u (x, 0) = sen /2x 0 < x < 2

Use m = 4, T = 0,1 y N = 2, y compare después los resultados con la solución real u (x,

t ) = e-(2/4)t

sen /2 x . Recuerde h = l/m, k = T/N y = 2k/h

2

1.

2. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica por el método

implícito y de Crank-Nicolson

txx

u

t

u

0,00

2

2

u (0, t) = u (, t) = 0 0 < t

u (x, 0) = sen x 0 < x <

Use h = /10 y k = 0,05 y compare después los resultados con la solución real u (x, t ) =

e-t sen x en t = 0,5.

3. La temperatura u (x, t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante

y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de

calor. Si se genera calor en el material ( por ejemplo, debido a la resistencia a la

corriente o a la reacción nuclear), la ecuación se convierte en

tlxt

uK

C

rK

x

u

0,0

2

2

donde l es la longitud, es la densidad, C es el calor específico y K es la difusividad

térmica de la varilla. La funci{on r = r (x, t, u) representa el calor generado por unidad

de volumen. Suponga que

l = 1,5 cm K = 1,04 cal/cm.deg.seg = 10,6 g / cm3 C = 0,056 cal/g.deg.

y que r (x, t , u) = 5,0 cal/cm3.seg

Si los extremos de la varilla se mantienen en 0oC, entonces

u (0, t) = u (l, t) = 0 t > 0

Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por

U (x, 0) = sen x/l 0 < x < l

Use h = 0,15 y k = 0,0225

4. Sagar y Payne analizan las relaciones de esfuerzo-deformación y las propiedades

materiales de un cilindro sujeto alternativamente al calentamiento y al enfriamiento, y

consideran la ecuación

Trt

T

Kr

T

rr

T

0,12/1

4

112

2

donde T = T (r, t) es la temperatura, r es la distancia radial respecto al centro del

cilindro, t es el tiempo y K es el coeficiente de difusividad.

Obtenga las aproximaciones a T (r, 10) paara un cilindro con radio externo 1, dadas las

condiciones iniciales y de frontera:

T (1, t ) = 100 + 40 t 0 < t < 10

T (1/2, t) = t 0 < t < 10

T (r, 0) = 200 (r – 0,5) 0,5 < r < 1

Use K = 0,1 y k = 0,5 y h = r = 0,1

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS

1. Aproxime la solución de la ecuación de la onda

txx

u

t

u

0,100

2

2

2

2

u (0, t) = u (1, t ) = 0 0 < t

u (x, 0) = sen x 0 < x < 1

100)0,(

xx

t

u

Use m = 4, N = 4 y T =1, y compare después los resultados con la solución real u (x, t)

= cos t sen x en t = 1.


txx

u

t

u

0,100

2

2

2

2

u (0, t) = u (1, t ) = 0 0 < t

u (x, 0) = sen 2 x 0 < x < 1

1022)0,(

xxsenx

t

u

Use m = 4, N = 4 y T =1, y compare después los resultados con la solución real u (x, t)

= sen 2x (cos t + sen 2 x en t = 1.


txx

u

t

u

0,5,000

16

12

2

22

2

u (0, t) = u (0.5, t ) = 0 0 < t

u (x, 0) = 0 0 < x < 1

5,004)0,(

xxsenx

t

u

Use m = 4, N = 4 y T = 0,5, y compare después los resultados con la solución real u (x,

t) = sen t sen 4 x en t = 0,5.

4. En una línea de transmisión eléctrica de longitud l, que conduce una corriente

alterna de alta frecuencia ( llamada línea sin pérdida), el voltaje V y la corriente i se

describe por medio de

tlxt

VCL

x

V

0,0

2

2

2

2

tlxt

iCL

x

i

0,0

2

2

2

2

donde L es la inductancia por longitud unitaria y C es la capacitancia por longitud

unitaria. Suponga que la línea tiene 200 pies de largo y que las constantes C y L están

dadas por C = 0,1 faradios/pies L = 0,3 henrios/pies

Suponga, ademas que el voltaje y la corriente también satisfacen

V (0, t) = V (200, t ) = 0 0 < t

V (x, 0) = 110 sen x /200 0 < x < 200

20000)0,(

xx

t

V

i (0, t) = i (200, t ) = 0 0 < t

i (x, 0) = 5,5 cos x/200 0 < x < 200

20000)0,(

xx

t

i

Aproxime el voltaje y la corriente en t = 0,2 y t = 0,5 con h = 10 y k

Tareas de Metodos Numericos Periodo Sep 2011-Feb 2012

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