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Tarea 2. Obtener la ecuaci´ on de momento y su representaci´ on t´ erminos de los errores Luis ´ Angel Blas S´ anchez 1 Juan Javier Montesi nos Garc´ ıa 2 Os car Mar t ´ ıne z Fuentes 3 C´ esar Ul is es Sol ´ ı s Cervant es 4 Centro de Investigaci´ on y de Estudios Avanzados del IPN Departamento de Control Autom´ atico anghel [email protected] [email protected] stav.mx [email protected] [email protected] 1. Modelo bicicleta: Din´ amica late ral El mod elo “bicicleta” del veh ´ ıculo con dos grados d e lib ertad es considerado como se muestra en la figura (1). (a) y ψ x Fyf Fyr ac l r l f (b) Figura 1: Din´ amica latera l del veh ´ ıculo La ecuaci´ on para el movimiento de traslaci´ on lateral del veh´ ıculo y la din´ amica de yaw son: m¨ y + mV x ˙ ψ = F yf + F yr (1) I z ¨ ψ = f F yf − r F yr (2) donde las fuerzas laterales de los neum´ aticos F yf y F yr son: F yf = 2C αf α f (3) 1 Estudiante del DCA 2 Estudiante del DCA 3 Estudiante del DCA 4 Estudiante del DCA
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Tarea 2. Obtener la ecuacion de momento y su representacionterminos de los errores
Luis Angel Blas Sanchez 1
Juan Javier Montesinos Garca 2
Oscar Martnez Fuentes 3
Cesar Ulises Sols Cervantes 4
Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados del IPN
Departamento de Control Automatico
anghel [email protected]
1. Modelo bicicleta: Dinamica lateral
El modelo bicicleta del vehculo con dos grados de libertad es considerado como se muestra en lafigura (1).
(a)
y
x
Fyf
Fyr
ac
lr
lf
(b)
Figura 1: Dinamica lateral del vehculo
La ecuacion para el movimiento de traslacion lateral del vehculo y la dinamica de yaw son:
my+mVx = Fyf+Fyr (1)
Iz = fFyf
rFyr (2)
donde las fuerzas laterales de los neumaticos Fyf y Fyr son:
Fyf= 2Cff (3)
1Estudiante del DCA2Estudiante del DCA3Estudiante del DCA4Estudiante del DCA
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Modelado de vehculos aereos y submarinos
y
Fyr = 2Crr (4)
De las ecuaciones (3) y (4), Cf y Cr son la rigidez de las curvas de cada neum atico delantero y
trasero respectivamente. Los angulos de deriva frontal y trasero son f yr respectivamente, estosse describen por las siguientes expresiones:
f = V f (5)
y
r = V r (6)
donde
V f
=y+f
Vx(7)
y
V r =y r
Vx(8)
Tomamos la ecuacion para el movimiento de traslacion lateral del vehculo y sustituimos las ecua-ciones (3 - 5), se realizan las operaciones indicadas y se agrupan terminos:
my+mVx = Fyf+Fyr
= 2Cf
f
+ 2Cr
r
= 2Cf( V f) + 2Cr(V r )
= 2Cf 2CfV f 2CrV r
= 2Cf 2Cf
y+f
Vx
2Cr
y r
Vx
= 2Cf 2Cfy
Vx 2Cff
Vx 2Cr
y
Vx+ 2Crr
Vx
= 2Cf
2Cf+ 2Cr
y
Vx
2Cff 2Crr
Vx(9)
de la ecuacion (9) se despeja y:
y=2Cf
m
2Cf+ 2Cr
y
mVx
2Cff 2Crr
mVx Vx (10)
Para la ecuacion de la dinamica del yaw (ecuacion 2) se sigue un procedimiento similar al anterior
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y el cual se desarrolla a continuacion:
Iz = fFyf rFyr
= f(2Cf( V f)) r(2CrV r )
= 2fCf 2fCfV f+ 2rCrV r
= 2fCf 2fCf
y+f
Vx
+ 2rCr
y
r Vx
= 2fCf 2fCfy
Vx 22fCf
Vx+ 2rCr
y
Vx 22r Cr
Vx
= 2fCf+ (2r Cr 2fCf)y
Vx (22fCf+ 2
2rCr)
Vx(11)
de la ecuacion (11) se despeja :
=2fCf
Iz+ (2
rC
r 2
fC
f)
y
IzVx (22
fC
f+ 22
rC
r)
IzVx(12)
Proponiendo las siguientes varibles de estados:
x1 = x
x2 = x
x3 =
x4 = (13)
y derivando (13) se tiene:
x1 = xx2 = x
x3 =
x4 = (14)
donde xy son las ecuaciones (10) y (12), las cuales se reescribe de la siguiente forma:
y=2Cf
m
2Cf+ 2CrmVx
y
2Cff 2Crr
mVx+Vx
(15)
y
= 2fCf
Iz+2
rCr
2fCfIz Vx
y 22fCf+ 2
2r Cr
IzVx (16)
Por lo tanto, el modelo en el espacio de estados puede ser escrito como sigue:
x1x2x3x4
=
0 1 0 0
0 2Cf+2Cr
mVx0
2Cff2CrrmVx
Vx0 0 0 1
0 2rCr2fCf
IzVx0
22fCf+22rCr
IzVx
x1x2x3x4
+
02Cf
m
02fCf
Iz
(17)
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Modelado de vehculos aereos y submarinos
donde
d
dt
y
y
=
x1x2x3x4
(18)
y y
y
=
x1x2x3x4
(19)
2. Modelo dinamico del vehculo en terminos de los errores
A continuacion se expresara la ecuacion (20) en terminos de los errores
Iz= fFyf
rFyr (20)En clase se dedujeron las siguientes ecuaciones para expresar la ecuacion de movimiento de
Figura 2. Sistema lateral.
traslacion lateral del vehculo en terminos de los errores:
e2= d (21)
e1 = ay ayd
= y+Vx( d)
= y+Vx e2 (22)
dondeay = y+Vx (23)
ayd = V2x
R =Vx d (24)
d= Vx
R (25)
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e2= d (26)
Ademas, se tiene:e1= y+Vxe2 (27)
Procedemos de la siguiente manera para expresar la ecuacion en termino de los errores. La ecuacion(26) se deriva una segunda vez y multiplicamos por Iz a ambos lados:
Ize2= Iz Iz d (28)
A continuacion, en la ecuacion (28) se realiza la sustitucion Iz:
Ize2 = Iz Iz d
= fFyf rFyr Iz d (29)
Un resultado obtenido anteriormente (ecuacion (11)) se sustituye en la ecuacion (29) por fFyf
rF
yr, quedando como se muestra a continuacion:
Ize2 = 2fCf+2rCr 2fCf
Vxy
22fCf+ 22r Cr
Vx Iz d (30)
De las ecuaciones (26) y (27) se despejan y y, estas se sustituyen en la ecuacion (30):
Ize2 = 2fCf+2rCr 2fCf
Vx( e1 Vxe2)
22fCf+ 22r Cr
Vx( e2+ d) Iz d
= 2fCf+2rCr
Vx( e1 Vxe2)
2fCfVx
( e1 Vxe2) 22fCf
Vx( e2+ d)
22r CrVx
( e2+ d)
= 2fCf+
2rCr
2fCfVx
e1+ (2fCf
2rCr)e2
+
22fCf 2
2rCr
Vx
e2+
22fCf 2
2r Cr
Vx
d Iz d
Del resultado obtenido en el desarrollo anterior se despeja e2:
e2 = 2fCf
Iz+
2rCr 2fCf
IzVx
e1+
2fCf 2rCr
Iz
e2
+22fCf 22r Cr
IzVx
e2+22fCf 22r Cr
Iz Vx
d
d (32)
Para e1 no se incluye el desarrollo, solo la ecuacion final:
e1 =
2Cr 2Cf
mVx
e1+
2Cr+ 2Cf
m
e2
+
2fCf+ 2rCr
mVx
e2+
2fCf+ 2r Cr
mVx Vx
d+
2Cf
m (33)
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Modelado de vehculos aereos y submarinos
Eligiendo las siguientes varibles de estado:
x1 = e1
x2 = e1
x3 = e2
x4 = e2 (34)
y derivando (34) se tiene:
x1 = e1
x2 = e1
x3 = e2
x4 = e2 (35)
donde e2 y e1 son las ecuaciones (32) y (33).
As, el modelo en el espacio de estados esta dado por:
x1x2x3x4
=
0 1 0 0
0 2Cr2Cf
mVx
2Cr+2Cfm
2fCf+2rCrmVx
0 0 0 1
0 2rCr2fCf
IzVx
2fCf2rCrIz
22fCf22rCr
IzVx
x1x2x3x4
+
02Cf
m
02fCf
Iz
+
02fCf+2rCr
mVx V x
022fCf2
2rCr
IzVx
(36)
donde
d
dt
e1
e1e2e2
= x1
x2x3x4
(37)y
e1e1e2e2
=
x1x2x3x4
(38)
6
