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Probabilidad II

Tarea 2

1.− Sea (X, Y ) un vector aleatorio discreto con funci´on de densidadconjunta dada por

f X,Y (x, y ) = cx si x, y ∈ {1, 2, . . . , N 2}, x ≤ y2

0 en otro caso

donde N es un entero N ≥ 1 y c es una constante. Encuentre

(a) IP (X = Y ),

(b) IP (X < Y ),

(c) IP (X > Y ).

(d) Las funciones de densidad f X y f Y .

2.− Sean X y Y dos variables aleatorias con funci ón de densidad con- junta dada por

f X,Y (x, y ) = λ2e− λy si 0 < x < y,

0 en otro caso

Encuentre

(a) Las funciones de densidad f X y f Y ,

(b) IP (2X < Y ).

3.− Sea X = ( X 1, X 2, . . . X n ), un vector aleatorio. Pruebe que la dis-tribuci ón marginal de la componente X i , i ∈ {1, 2, . . . , n } se puedeobtener como

F X i (x i ) = lim(x 1 ,...x i − 1 ,x i +1 ,...,x n )→ (+ ∞ ,..., + ∞ )

F X (x 1, . . . , x n ).

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4.− Considere la función

F (x, y ) = 1 − e− x − e− y + e− (x + y ) si x, y ≥ 0

0 en otro caso.

¿ Es F (x, y ) una funci ón de distribuci ón conjunta ? Justique surespuesta.

5.− Sea X = ( X 1, X 2) un vector aleatorio tal que

f X 1 ,X 2 (x, y ) = e− (x + y ) si 0 < x < ∞ y 0 < y < ∞

0 en otro caso

¿ Es nita la esperanza de la variable aleatoria Z = X 1X 2 ?

6.− Considere la función

F (x, y ) = 0 six < 0 o y < 0 o x + y < 11 en otro caso.

¿ Es F (x, y ) una funci ón de distribuci ón conjunta ? Justique surespuesta.