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Temas Selectos de Termodinamica

Tarea 4

Paul Langevis 1908 paper On the Theory of Brownian MotionArtculo de Don S. Lemons y Anthony Gythiel.

Alumno:Edgar Noe Ahedo Mendoza.

11 de junio de 2016

La primera parte es titulada Procesos de Langevin,Einstein y Marcov, el autor del articuloexplica como fue que dos personajes importantes de la fsica moderna Einstein y Marcov este ultimo denacionalidad francesa , cada uno por caminos diferentes y con herramientas matem aticas distintas lleganaun mismo resultado sobre el movimiento de una partcula Browniana nada sencillo de determinar, Eltrabajo de Langevin, al igual que la de Einstein, sigue siendo actual y es ampliamente citado y discutido.

El enfoque de Langevin al movimiento browniano es, en su propia palabras, infinitamente mas sen-cilla que el de Einstein. De hecho, su papel es aparentemente mas simple y por esta razon es atractivocomo una introduccion al tema. Mientras Einstein, a partir de el planteamiento de hipotesis , se disponeresolver una ecuacion diferencial parcial , es decir, una ecuacion de Fokker-Planck! y estudia con ello laevolucion temporal de la densidad de probabilidad de una partcula browniana, Langevin aplica la segun-da ley de Newton para una partcula BrownianaF =ma .

De esta manera Langevin invento la fsica para procesos estocasticos y desarrollo la formula llamadaecuacion de Langevin.Hoy en da esta claro que la aparente simplicidad de Langevin de enfoquefue adquirido a costa de forzar a la existencia nuevos objetos matem aticos con propiedades inusuales.Mientras Langevin trabajaba con estos objetos le llamo a uno de ellos ruido blanco gaussiano. y laecuacion diferencial estocastica! cautela y de manera intuitiva, sus propiedades formales han sido ahoradesarrollado y ampliamente aplicado. Por lo tanto el papel de Langevin 1908 inspiro el desarrollo denuevas herramientas matematicas, as como una nueva fsica. La ecuacion de Langevin y la ecuacion deFokker-Planck ambos describen la fsica del medio continuo, es decir , utilizando procesos Marcovianos, De hecho, Einstein y Langevin utiliza sus respectivos metodos para obtener el mismo resultado: queel desplazamiento cuadratico medio de una partcula Browniano por ejemplo una partcula de perfume

en una habitacion su movimiento aumenta con la raz cuadrada del tiempo. Sin embargo, El analisis delmovimiento browniano de Langevin fue ligeramente mas general y mas correcta que la de Einstein. Enparticular, Langevin introdujo una fuerza estocastico y la llamo Fuerza complementariael trabajo enel espacio de velocidad, mientras que Einstein trabajo completamente en el espacio de configuracion. Esdecir, en la terminologa moderna, Langevin describe velocidad de la partcula Browniana utilizando unproceso estadstico de Ornstein-Uhlenbeck , mientras que Einstein describio su posicion como un procesode Wiener.

El segundo capitulo lo titula Vida y Trabajo de Langevins,Langevin trabajo en el modelo teoricode los elementos diamagneticos y paramagneticos . En la relatividad. Einstein dijo de el Me pareceseguro que Langevin habra desarrollado la teora de la relatividad especial si no se hubiera

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hecho pues conoca los puntos de esta teora.

Fue detenido por los nazis despues de la invasion de Francia en 1940, fue brevemente encarcelado por elgobierno de Vichy, y finalmente se escapo a Suiza. Por lo tanto, cerca del final de su vida, el personal-mente experimento, por as decirlo, el caos de El movimiento browniano en el que Europa se encontraba.Murio en 1946 y fue enterrado con honores.

En el capitulo 3 EL TEXTO. se mencionan que las notas de Langevin se divide en tres partes, en laparte I Langevin se refiere a dos documentos de Einstein en la que este ultimo deriva la forma funcionalde 2x en la parte ll realiza un analisis de la ecuacion que lleva su nombre y menciona que es mas clara.

En la parte III se encuentra que los unicos resultados experimentales disponibles para comparar suteora son los de Svedberg, y estos,diferentes de las ofrecidas por su formula, solamente en aproximada-mente la proporcion de 1 a 4.

Teora del movimiento Browniano presentada por M Mascart.

La gran importancia teorica presentada por el movimiento Browniano es comentado por M. Gouy.Eltiene una hipotesis donde comenta como es el comportamiento de partculas suspendidas en un fluidocon un eco ,es decir, con agitacion molecular de un sistema termico,y demostro de forma experimental

cualitativamente, el constante movimiento Browniano y como estas partculas son indiferentes a las fuerzasexternas cuando no hay modificacion de temperatura del medio ambiente.

Una verificacion cuantitativa de esta teora la realizo Einstein que ha dado a una formula que permitepredecir, al final de un tiempo dado el valor cuadratico medio de 2x de un desplazamiento x para unapartcula esferica que sigue una direccionx y tiene como resultado el movimiento Browniano en lquidos yposee una dependencia del radio a de la partcula , una viscosidad mu de el liquido , con una temperaturaTmostramos la formula propuesta por Einstein.

2x = RT

N

1

3a (1)

Donde R que es la constante del gas perfecto y Nes el numero de moleculas contenidas en un gramo es

un numero conocido hoy en da y tiene un valor aproximado de 8 X1023 . M.Smoluchowski ha tratado deaproximarse a la misma problema con un metodo que es mas directo que los utilizados por Einstein en lasdos manifestaciones sucesivas que tiene dado de su f ormula, y ha obtenido para 2x una forma diferentea la ecuacion de Einsten y pudo obtener el valor para el coeficiente 64

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una afirmacion que realiza es que fue capaz de determinar, en primer lugar, una correcta aplicaciondel metodo de M. Smoluchowski lleva a recuperar la formula de Einstein M. con precision, y, por otraparte, que es facil dar una demostracion de que es infinitamente mas sencilla por medio de un metodoque es completamente diferente.

El punto de partida es siempre la misma: el teorema de la equipartici on de la energa cinetica entrelos diferentes grados de libertad de un sistema en equilibrio termico,el valor de la energa RT

2N para una

molecula en direccion x , si = dxdt

es la velocidad , en un instante en la direccion considerada para

calcular un numero considerable de partcula con masa m propone la siguiente ecuacion.

m2 = RT

N (2)

considerando las distancias promedios de las partculas en un liquido , y moviendose con velocidadycon una viscosidad que posee el liquido con valor 6made acuerdo con la formula de Stokes la acciondel fluido sobre la partcula en direccion xes .

md2x

dt2 = 6a

dx

dt + X (3)

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donde Xes una fuerza complementaria su valor depende de la agitaci on de las partculas puede sernegativa o positiva.si se multiplica la ecuacion anterior por xse puede reescribir .

m

2

d2x2

dt2 = 6a

dx2

dt + Xx (4)

propone ahora un cambio de variable este es z = dx2

dt para poder rescribir ahora

m

2

dz

dt + 3az=

RT

N (5)

la solucion general encontrada es

z= RT

N

1

3a+ Ce

6a

mt (6)

el rango de agitacion esta dadodx2

dt =

RT

N

1

3a

y para un intervalo

x

2

x

2

0=

RT

N

1

3 a

el desplazamiento x de una partcula esta dada por:

x= x0+ x

y el resultado tanto para casos positivos o negativos es

2x = x2 x20=

RT

N

1

3a (7)

0.1. Bibliografa

Paul Langevins 1908 paper .on de Theory of Brownian Motion[Sur la Theorie du mouvement brow-nien, C.R. Acad.Sci.(Paris) 146,530-533(1908)]

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